(GV nguyễn thị lanh) 54 câu hình học không gian

Câu 1 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Tính thể tích của hình hộp
rằng

AA ′B′D′

A.

ABCDA ′B′C′D′

biết

là tứ diện đều cạnh bằng a.

a3 2
2

B.

a3 2
4

V=
C.

a3 3
2

D.

a3
2

Đáp án A
Vẽ đường cao AH của tứ diện AA’B’D’

(cũng là đường cao
∆A ′B′D ′
của hình hộp) ta có H là trọng tâm
nên
2 a 3 a 3
A ′H = .
=
3 2
3
AH = AA ′2 − A ′H 2 = a 2 −

AH = a

= 2.
Câu 2

a

2

2
3
3

4

. Do đó:

.a

a2
3

V = SA′B′C′D′ .AH

2 a3 2
=
3
2

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Nếu tứ diện ABCD có thể tích V thì thể tích của

đa diện có 6 đỉnh là 6 trung điểm các cạnh tứ diện bằng:

A.

V
4

B.

V
2

C.

Đáp án B

V1

Gọi
là thể tích cần tính
V1 = V − ( VAEFG + VDFGI + VBEHJ + VCHJI )

VAEFG 1 1 1 1
= . . =
VABCD 2 2 2 8

Để ý:
Tương tự ta có:

VAEFG = VDFGI = VBEHJ = VCHJI =

V
8

V
3

D.

2
V
3

V1 = V −

V V
=
2 2

Vậy
Câu 3 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hai điểm phân biệt A, B. Tìm tập hợp các tâm
O của các mặt cầu đi qua hai điểm A, B.
A. Đường trung trực của đoạn AB.
B. Mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
C. Đường tròn đường kính AB.
D. Trung điểm của AB.
Đáp án B
Ta có OA = OB nên tập hợp các tâm O của các mặt cầu đi qua hai đi ểm A, B là
mặt phẳng trung trực của đoạn AB
Câu 4 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Một hình nón có đường cao bằng 10 cm, bán kính
đáy

r = 15cm

. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó

75 13
A.

B.

5π 13

C.

125π 13

D.

75π 13

Đáp án D
Sxq = πrl
Diện tích xung quanh:

. Ta xét tam giác vuông SOA:

SA 2 = SO 2 + OA 2 = 100 + 225 = 325;SA = 325 = 5 13 = 1;S xq = π.15.l = 75π 13 ( cm 2 )

Câu 5 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình
hành. Gọi M là trung điểm của SB. Thiết diện của mặt phẳng (ADM) với hình chóp là
A. Hình thang

B. Hình bình hành

C. Tam giác

D. Hình thang hoặc hình tam giác

Đáp án A
di qua M
 // BC

( SBC ) I ( ADM ) = ∆ 

Thiết diện cần tìm là hình thang MNDA
S ( O; R ) , A

Câu 6 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho mặt cầu

( S)
cầ u

( P)
và

là một điểm ở trên mặt

( P)
là mặt phẳng qua A sao cho góc giữa OA và

bằng

60°


Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng?

A.

C.

πR 2

.

πR 2
.
4

B.

D.

πR 2
2

.

πR 2
.
8

Đáp án C
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (P) thì

( S) , OA, ( P ) = ( OA, AH ) = 60°
H là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và

r = HA = OA cos 60° =
Bán kính đường tròn giao tuyến:

R

2

2

πR 2
R
πr = π  ÷ =
.
4
2
2

Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến:
Câu 7

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Khi quay các cạnh của hình chữ nhật ABCD

(Không phải hình vuông) quanh đường thẳng AC thì hình tròn xoay đ ược t ạo thành là
hình nào?
A. Hình trụ.
B. Hai mặt xung quanh của hai hình nón.
C. Mặt xung quanh của một hình trụ.
D. Hình gồm 4 mặt xung quanh của 4 hình nón.
Đáp án D
Ta có 4 hình nón được tạo bởi 4 tam giác cân quay quanh trục của nó.
Tam giác ADE
Tam giác CFB
Tam giác ABF
Tam giác CED
Câu 8 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình chóp tam giác đều cạnh bằng 3. Tính thể

tích hình chóp đó biết chiều cao

h= 7

.


A.

9 3
4

63 3
2

B.

C.

63

21 3
4

D.

4 3

Đáp án C
S∆ABC =

V=

9 3
,AH = 7
4

21 3
4

Câu 9 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian, tập hợp các điểm M nhìn đoạn
thẳng cố định AB dưới một góc vuông là:
A. Tập hợp chỉ có một điểm;

B.

Một

đường thẳng;
C. Một đường tròn;

D. Một mặt

cầu.
Đáp án B
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:
º = 90° = M / OM = AB  = S O; AB 
M / AMB




2 
2 ÷



{

}

Vậy tập hợp các điểm M nhìn đoạn thẳng cố định AB d ưới một góc vuông là m ặt c ầu

R=
tâm O bán kính

AB
2

.

Câu 10 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình
hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, E là trung đi ểm c ủa CB, I là giao đi ểm c ủa AE và
BD. Khi đó IG sẽ không song song với mặt phẳng nào dưới đây?
A. (SAC).

B. (SBC).

Đáp án D
Gọi N là trung điểm của SB.

C. (SCD).

D. (SAD).


BE / /AD ⇒
Em có:

IA GA
=
= 2 ⇒ IG / / NE.
IE GN

∆NAE

Em có:
∆SCB

DI IA DA
=
=
=2
IB IE BE

có:
IG / /NE

 NE ⊂ ( SCB) ⇒ IG / / ( SCB)

IG ⊄ ( SCB)
có:

NE / /SC ⇒ IG / /SC
IG / / ( SCA )

Tương tự em có:

.

và

.

IG / / ( SCD)

(

Câu 11 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ABC

cân tại C. Gọi I là trung điểm của AB. Biết

SA = SB

và

( SAB) ⊥ ( ABC )

. Khẳng định nào

sau đây là sai?
A.

SI ⊥ ( SAB) .

B.

IC ⊥ ( SAB) .

C.

SAC = SBC.

D.

SC ⊥ ( SAB) .

Đáp án D
∆ABC

CI ⊥ AB
cân tại C nên
∆SAB
SA = SB ⇒ SI ⊥ AB
cân tại S (do
)
.
( SAB) ⊥ ( ABC )

( SAB) ∩ ( ABC ) = AB SI ⊥ ( ABC )
⇒


AB
⊥
SI
⊂
SAB
(
)

CI ⊥ ( SAB)
AB ⊥ CI ⊂ ABC
(
)


Em có:
∆SAC = ∆SBC ⇒ SAC = SBC.
Câu 12
tại A,

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông

ABC = 30°

. Mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và nằm trong m ặt phẳng vuông

góc với đáy. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).


A.

39a
.
13

B.

39a
.
3

26a
.
13

C.

D.

39a
.
26

Đáp án A

⇒ SH ⊥ BC
∆SBC
Gọi H là trung điểm BC, vì
đều
( SBC ) ⊥ ( ABC )


( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) .

SH ⊥ BC,SH ⊂ ( SBC )
Em có
• Các em chú ý
HI ∩ ( P ) = { M} ⇒
N ếu

d( I ;( P ) )

d( H;( P ) )

=

IM
HM

Áp dụng em có
d( C;( SAB) )

d( H;( SAB) )
Kẻ

HI ⊥ AB

Em có

=

CB

= 2 ⇒ d( C;( SAB) ) = 2d( H;( SAB) )
HB

và

HK ⊥ SI

.

 AB ⊥ HI
⇒ AB ⊥ ( SHI ) ⇒ ( SAB) ⊥ ( SHI )

 AB ⊥ SI

Có
( SAB) ⊥ ( SHI )

( SAB) ∩ ( SHI ) = SI
⇒ HK ⊥ ( SAB) ⇒ d( H;( SAB) ) = HK

HK ⊥ SI
SI ⊂ ( SAB)

⇒ d( C;( SAB) ) = 2d( H;( SAB) ) = 2HK

Vì

∆SBC

⇒ SH =

đều

a 3
2

. Trong

HBI = 30° ⇒ HI = HB.sin30° =

a
4

∆BHI

vuông tại I có


Trong

∆SHI

vuông tại H có

1
1
1
4 16 52
a 39
=

+ 2 = 2 + 2 = 2 ⇒ HK =
2
2
HK
SH HI
3a a 3a
26

⇒ d( C;( SAB) ) = 2d( H;( SAB) ) = 2.HK =

a 39
13

Câu 13 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam
giác đều cạnh a,

SA = 2a

và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là

hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Thể tích V của khối chóp
A.BCNM bằng
V=

A.

3a3 3
50

V=

B.

9a3 3
50

V=

C.

8a3 3
75

V=

D.

8a3 3
25

Đáp án A
Ta có:

VS.ABC = VS.AMN + VA.BCNM

1
1
a2 3 a3 3
VS.ABC = .SA.SABC = .2a.
=

3
3
4
6
2

VS.AMN SM SN  SM.SB 
=
.
=
VS.ABC
SB SC  SB2 ÷


vì

SM SN
=
SB SC

2


2 
2
 SA   ( 2a) ÷  4  16
= 2÷ =
= ÷ =
2÷
25

 SB   a 5 ÷  5


2

2

(

⇒ VS. AMN =

)

16
16 a3 3
VS.ABC = .
25
25 6

VA.BCNM = VS. ABC − VS.AMN =

a3 3 16 a3 3 9 a3 3 3a3 3
− .
= .
=
6
25 6
25 6
50

Câu 14 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Trong không gian cho hai điểm phân biệt A và B.
Tập hợp tâm các mặt cầu đi qua A và B là:
A. Một mặt phẳng;

B. Một đường thẳng;

C. Một đường tròn;

D. Một mặt cầu.


Đáp án A
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, v ới O là đi ểm b ất kì trong
không gian.
O ∈ ( P ) ⇔ OA = OB ⇔ O
Ta có:
là tâm của mặt cầu qua A và B.
Vậy tập hợp các tâm O của mặt cầu qua A và B là m ặt phẳng trung tr ực c ủa đo ạn
thẳng AB.
Câu 15 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình chóp S.ABCD, O là giao điểm
của AC và BD. Gọi M, N, P lần lượt là các đi ểm thu ộc c ạnh SA, SB, SD. I là giao đi ểm c ủa
SC ∩ ( MNP ) = Q.

NP và SO. Biết
A.

Khẳng định nào sau đây là sai?

I = MQ ∩ SO.

I = MD ∩ SO.

B.

I = SO ∩ ( MNP ) .

I = MQ ∩ NP.

C.

D.

Đáp án A
I ∈ SO
⇒ { I} = SO ∩ ( MNP ) .
I ∈ NP ⊂ ( MNP )

{ I} = SO ∩ NP ⇒ 
Ta có:
Ta có:

 I ∈ SO ⊂ ( SAC )
⇒ I ∈ ( SAC ) ∩ ( MNP )

 I ∈ NP ⊂ ( MNP )
M ∈ SA ⊂ ( SAC )
⇒ M ∈ ( SAC ) ∩ ( MNP )

M ∈ ( MNP )
MI = ( SAC ) ∩ ( MNP ) .

Suy ra:
MQ = ( SAC ) ∩ ( MNP ) .

Tuowg tự ta có:
Suy ra: I, M, Q thẳng hàng
 I = MQ ∩ NP
⇒
 I = MQ ∩ SO


Câu 16

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình

nón có chiều cao bằng 2 và đường sinh hợp với
trục một góc bằng

45°

. Diện tích xung quanh của

hình nón là:
4 3π;

2π;

A.

B.

3π;
D.

C.
4 2π.

Đáp án D

45°
Hình nón có đường sinh hợp với trục một góc bằng
nên góc ở đỉnh của hình nón
90°.
là
Vậy thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân. Suy ra bán kính
đáy bằng chiều cao h của hình nón R = h = 2. Đ ộ dài đ ường sinh c ủa hình
nón là

I = 2 2.

Diện tích xung quanh hình nón là

Sxq = πRI = π.2.2 2 = 4 2π
Câu 17 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) : Cho tứ diện ABCD. Gọi B’ và C’ lần
lượt là trung điểm của AB và AC. Khi đó tỉ số thể tích c ủa kh ối t ứ đi ện
AB’C’D và khối tứ diện ABCD bằng:

A.

1

2

B.

1
4

C.

1
6

D.

1
8

Đáp án B
VAB′C′D AB′ AC′ AD 1 1
1
=
.
.
= . .1 = .
VABCD
AB AC AD 2 2
4

Câu 18 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào
khoảng 2500 năm trước công nguyên. Kim tự tháp này là một hình chóp t ứ giác đ ều có

chiều cao là 147m, cạnh đáy dài 230m. Tính thể tích của nó
A. 2 592 100m3
Câu 19 Đáp án A

B. 52900 m3

C. 7776300 m3

D. 1470000 m3


Thể tích kim tự tháp:

1
V = Sđ .h
3

Sđ = 2302 = 52900 m2.

Theo bài:
h = 147 m
1
V = .52900.147 = 2 592 100m 3
3

Câu 20 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình chóp
S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và thể tích

V = 12cm3 .

Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh bằng

4cm. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).

A. 3cm.

D.

B.

3 3
cm.
2

C. 6cm.

3 3cm.

Đáp án B
Vì

∆SAB

Ta có

đều cạnh bằng 4cm
1
VS.ABC = VS.ABCD = 6cm 3 .
2

⇒ S∆SAB = 4 3cm 2

VC.SAB = VS.ABC = 6
Mặt khác,
và
1
VC.SAB = d ( C; ( SAB ) ) .S∆SAB
3
⇒ d ( C; ( SAB ) ) =

Câu 21

3VS.ABC
3.6 3 3
=
=
cm.
S∆SAB
2
4 3

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình lăng trụ đứng

ABC.A′B′C′

( A′BC ) .

AB = AA′ = a, BC = 2a, AC = a 5.
Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
A.

45°

B.

60°

C.

30°

D.

135°

có


Đáp án A

∆ABC

AB = a, BC = 2a, AC = a 5

Xét
có:
2
AC = AB 2 + BC 2 ⇒ ∆ABC
⇒ AB ⊥ BC
Vì

vuông ở B
ABC.A′B′C′
Ta có:
là lăng trụ đứng
⇒ AA′ ⊥ ( ABC ) ⇒ AA′ ⊥ BC
⇒ BC ⊥ ( A′AB ) ⇒ BC ⊥ A′B

tại B
Lại có

AB ⊥ BC

tại B

( A′BC )

( ABC )

Và BC là giao tuyến của
và
⇒ ( ( A′BC ) , ( ABC ) ) = ( A′B, AB ) = A′BA

AB = AA′ = a ⇒ ∆A′AB

∆A′AB

vuông tại A có
vuông cân tại A
⇒ A′BA = 45° ⇒ ( ( A′BC ) , ( ABC ) ) = 45°

Câu 22 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình lăng

trụ đứng

ABCD.A′B′C′D′

trung điểm

AA′

^

có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc

và N là trung điểm của

đồng phẳng. Hãy tính độ dài cạnh

A.

a 2

AA′

Chứng minh rằng bốn điểm

theo a để tứ giác

B. a

Đáp án A

DD′.

CC′.

Gọi P là trung điểm cùa
⇒ A′P//B′N;
A′B′NP
là hình bình hành
⇒ A′P// MD
A′PDM
là hình bình hành

BAD = 60°.

C.

a 2
2

B′MDN

B′

là hình vuông.

D.

a 3

Gọi M là
, M, N, D


⇒ B′N// MD

B′,

hay
M, N, D đồng phẳng.
B′NDM
Tứ giác
là hình bình hành.
B′NDM
DM = B′M
Có
nên
là hình thoi.
Để

B′MND

Đặt:

là hình vuông thì

2B′N 2 = B′D 2 .

 y2


′
y = AA ⇒ 2  + a 2 ÷ = y 2 + a 2 ⇒ y = a 2
 4


Câu 23 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình lập phương

a. Góc giữa
A.

B'D

20°

( AA 'D ' D )
và mặt phẳng
B.

gần nhất với góc nào sau đây?

35°

C.

45°

Đáp án B
ABCD.A 'B'C'D'
 Em có:

là hình lập phương
⇒ A 'B' ⊥ A 'D'
A 'B' ⊥ AA'
và
⇒ A 'B' ⊥ ( AA 'D'D)
A'
tại
( AA 'D'D)
⇒ A'
B'
là hình chiếu vuông góc của
trên
( AA 'D'D)
⇒ A 'D
B'D
là hình chiếu vuông góc của
trên
⇒ ( B'D,( AA 'D'D ) ) = ( B'D,A 'D) = B'DA '

A 'D'DA

⇒

là hình vuông cạnh a
đường chéo
∆A 'B'D
A'
 Xét
vuông tại
có

tanB'DA ' =

Vậy:

ABCD.A 'B'C'D'

A 'D = a 2

B'A '
a
2
=
=
⇒ B'DA ≈ 35°15'
A 'D a 2 2

( B'D,( AA 'D'D) ) ≈ 35°15'

D.

60°

cạnh bằng


Câu 24 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho tam giác đều ABC có diện tích

3

quay xung quanh cạnh AC, thể tích khối tròn xoay được tạo thành là

A.

2π.

B.

π.

C.

7
π.
4

D.

7
π.
8

Đáp án B
S∆ABC = 3 ⇒ AB = AC = BC = 2

. Giả sử chọn hệ tọa

độ Oxy như hình bên.

⇒
⇒

y = 3 ( x − 1)
Phương trình AB là

.

Thể tích khối ABI quay quanh trục AC là
2

1

V = π∫  3 ( x − 1)  dx = π
0

⇒

Thể tích khối ABC quay quanh trục AC là

Câu 25

2π

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình chóp ABCD có đáy BCD là tam giác

vuông cân tại B,

CD = a 2

, AB vuông góc với mặt phẳng đáy,

AB = b

. Khoảng cách từ

B đến (ACD) là
ab
2b + a
2

A.

2

.
B.

2b 2 + a 2
.
ab

C.

1
.
ab

Đáp án A
Em nhận thấy, AB, BC, BD đôi một vuông góc nên em có:
1
1

1
1
=
+
+
2
2
2
d ( B, ( ACD ) ) = BH
BH
AB BC BD 2
và
(Với H là hình chiếu vuông góc của B trên (ACD))
Em có

∆BCD

vuông cân tại B,

CD = a 2

nên

BC = BD = a.

1
1 1 1 a 2 + 2b 2
ab
⇒
= 2+ 2+ 2 =

⇒ BH =
2
2 2
2
BH
b a
a
a b
a + 2b 2

ab.
D.


Công thức giải nhanh: Nếu hình chóp O.ABC có OA, OB và OC đôi một vuông góc v ới
nhau thì

1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
OH
OA
OB OC2

d( O,( ABC ) ) = OH

và
Câu 26 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và m ặt phẳng

(SBC) vuông góc

với mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là

A.

2a
.
2

B.

a
.
2

C.

3a
.
4

D.

3a
.
2

Đáp án C

⇒ SH ⊥ BC,AH ⊥ BC
Gọi H là trung điểm của BC
( SBC ) ⊥ ( ABC )

( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) .

SH ⊥ BC
Em có
HK ⊥ SA ( K ∈ SA )
Trong (SHA), kẻ
(1)
BC ⊥ SH
⇒ BC ⊥ ( SAH ) ⇒ BC ⊥ HK.

BC ⊥ AH
Vì
(2)
⇒ HK
Từ (1), (2)
là đoạn vuông góc chung của SA và BC.
⇒ HK = d( SA,BC )
.
∆SBC

SH =

đều cạnh a nên
∆ABC

3a
.
2

AH =
vuông cân tại A nên

BC a
= .
2 2

Tam giác SHA vuông tại A có đường cao HK nên
⇒ HK =

3a
.
4

 Trường hợp đặc biệt: a chéo b,

a⊥ b

1
1

1
4
4 16
=
+
= 2 + 2 = 2.
2
2
2
HK
SH AH
3a a 3a


( P) chøa a
( P) : 
( P) ⊥ b

Bước 1: Xác định mặt phẳng
{ B} = b∩ ( P)
BA ⊥ a A ∈ a
Bước 2: Gọi
. Trong (P), kẻ
,
d( a,b) = AB
Bước 3: Khoảng cách
Câu 27 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình trụ có bán kính đáy là R, độ dài đường
cao là b. Đường kính MN của đáy dưới vuông góc với đường kính PQ đáy trên. Th ể tích
của khối tứ diện MNPQ bằng

A.

2 2
R h.
3

B.

1 2
R h.
6

C.

1 2
R h.
3

D.

Đáp án A
Cách 1: Ta có

1
VNMPQ = 2VN.I PQ = 2. NI.S∆IPQ
3
2 1
2 1
2
= .R. II '.PQ = .R. .h.2R = h.R2

3 2
3 2
3
Cách 2:
Gọi I và I’ là tâm của 2 đáy của hình trụ như hình vẽ.
MN ⊥ ( PQI ) ⇒ ( PMN ) ⊥ ( PQI )
MN ⊥ PQ MN ⊥ II '
Ta có:
,
nên
.
Gọi H là chiếu vuông góc của Q trên PI.
( PQI ) ⊥ ( PMN )

( PQI ) ∩ ( PMN ) = PI ⇒ QH ⊥ ( PMN )

QH ⊥ PI
Do

1
1
1
S∆PQI = .II '.PQ = .QH.IP ⇔ h.R = .QH. h2 + R 2 ⇒ QH =
2
2
2

Suy ra:

1

1 2Rh 1
2
VMNPQ = .QH.S∆MNP = .
. .IP.MN = R 2h
2
2
3
3 R +h 2
3

2hR
h2 + R2

2R 2 h.


Câu 28 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại
B, cạnh huyền

AC = 6cm

, các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc

60°

. Diện tích mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

48π cm 2 .

12π cm 2 .

A.

B.

16π cm 2 .
C.

D.

Đáp án A




Do các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau
nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy trùng v ới
∆ABC
tâm đường tròn ngoại tiếp
.
∆ABC
Mà
vuông tại B nên trung điểm H của AC chính là
⇒ SH ⊥ ( ABC )

hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy
.
Góc giữa SA và mặt đáy chính là góc gi ữa SA và AC hay

¼ = 60°
SAC

⇒ ∆SAC

đều

⇒

Trọng tâm G chính là tâm đường tròn ngoại tiếp

(

∆SAC

và

G ∈ SH

.

)

2
2
2 3.6
⇒ R = .SH = .
= 2 3cm⇒ Sxq = 4π 2 3 = 48π cm2
3
3 2

AB = 2a AC = 4a
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình chóp S.ABC có
,
,

Câu 29

BC = 3a

một góc

A.

. Gọi H là hình chiếu của S nằm trong tam giác ABC. Các m ặt bên t ạo v ới đáy

45°

. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

15a 3
V=
.
6

B.

3 15a 3
V=
.

4

C.

15a 3
V=
.
8

D.

Đáp án D
45°
Theo giả thiết, các mặt bên tạo với đáy một góc
nên hình chiếu
vuông góc của S trên
(ABC) chính là tâm đường tròn n ội ti ếp
∆ABC
∆ABC
hay H là tâm đường tròn nội tiếp
.

5a 3
V=
.
8


1
⇒ SH ⊥ ( ABC ) ⇒ VS.ABC = SH.S∆ABC

3
∆ABC

AB = 2a AC = 4a BC = 3a
;
;
. Áp dụng công thức Hê-rông em tính được

có

S∆ABC

và

p=

9a
2

3 15a2
=
4

S∆ABC

.
= p.r

Em lại có:
với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Từ H, em kẻ HM, HN, HP lần lượt vuông góc với AB, AC, BC thì
r = HM = HN = HP =

S∆ABC
15a
=
.
p
6

HN ⊥ AC SH ⊥ AC ⇒ AC ⊥ ( SHN ) ⇒ AC ⊥ SN
Mà
;
.

⇒

Góc giữa (SAC) và (ABC) chính là góc giữa SN và HN hay

⇒ ∆SNH
Câu 30

⇒ SH = HN =

¼ = 45°
SNH

15a
.
6

vuông cân tại H
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình chóp S.ABCD. Trên cạnh SA lấy đi ểm

M sao cho

1
SM = SA
3

( α)
. Mặt phẳng

qua M và song song với mặt đáy lần l ượt cắt SB,

SC, SD tại N, P, Q. Tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ với khối chóp S.ABCD là

A.

1
.
9

⇒ VS .ABC

B.

1
.
3

C.

1
.
81

1
1 15a 3 15a 2 5a 3
= SH .S ∆ABC = .
.
=
.
3
3 6
4
8

Đáp án D
Do

( α)

qua M song song với mặt đáy nên em kẻ

MN / /AB ( N ∈ SB)

;
NP / /BC ( P ∈ SC ) ;PQ / /CD ( Q ∈ SD ) ⇒ ( α )

chính là (MNPQ).

D.

1
.
27


VS.MNPQ = VS.MNP + VS.MQP .

VS.MNP SM SN SP 1
1
=
. .
=
⇒ VS.MNP = VS.ABC .
VS.ABC SA SB SC 27
27

Em có:
VS.MQP
và

VS.ADC

=

SM SQ SP 1
1

. .
=
⇒ VS.MQP = .VS.ADC .
SA SD SC 27
27

⇒ VS.MNP + VS.MQP =
⇒ VS.MNPQ =

1
1
1
VS.ABC + VS.ADC = ( VS.ABC + VS.ADC ) .
27
27
27

1
.VSACBD .
27

 Chú ý: Em nhớ rằng, công thức tính tỉ số thể tích chỉ áp d ụng cho kh ối chóp tam
giác. Còn với khối chóp tứ giác, ngũ giác, lục giác,… em cần chia ra thành các kh ối
chóp tam giác và áp dụng công thức.
Công thức giải nhanh:
S.A1A 2...A n
Cắt khối chóp bởi mặt phẳng song song với đáy: Xét khối chóp
,
SM
=k

SA1

SA1

mặt phẳng (P) song song với m ặt đáy cắt c ạnh
tại m thỏa mãn
.
Khi đó (P) chia khối chóp thành 2 khối đa diện, trong đó kh ối đa di ện ch ứa

đỉnh S có thể tích
⇒
Nên

VSMNPQ
VSABCD

V'

và khối đa diện ban đầu có thể tích V thì

V'
= k3
V

2

1
 1
= ÷ =
 3 27

Câu 31 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm
của AC và BC. Trên BD lấy điểm K sao cho

BK = 2KD

. Gọi E là giao điểm của JK và CD;

F là giao điểm của IE và AD. Tìm giao điểm của AD và (IJK).
A. Điểm I
Đáp án C.

B. Điểm E

C. Điểm F

D. Điểm K


Câu 32 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho hình hộp

ABCD.A ′B′C′D′

BCD = 120°
A′

có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

AA ′ =
và

5a
.
2

Hình chiếu vuông góc của

lên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm của AC

và BD. Tính theo a thể thích khối hộp

V=
A.

2 2
a
2

V=
B.

ABCD.A ′B′C′D′

2 3
a
2

V=
C.

:

6 3
a
2

V=
D.

3 2 3
a
2

: Đáp án D.
Gọi

O = AC ∩ BD

.

Từ giả thuyết suy ra

SABCD

Vì

A′O ⊥ ( ABCD )

a2 3
= BC.CD.sin120° =

2

BCD = 120°

nên

.
ABC = 60° ⇒ ∆ABC

đều.

⇒ AC = a ⇒ A′O = A′A2 − AO2
=

25a2 a2
−
= 6a.
4
4

VABCD.A′B′C′D′ = A′O.SABCD = a 6.

a2 3 3 2 3
=
a.
2
2

Suy ra
Câu 33 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông t ại

A,

BC = 2a

, góc

ACB = 60°

. Mặt phẳng

(SAB) vuông góc với mặt phẳng

giác SAB cân tại S, tam giác SBC vuông tại S. Thể tích khối chóp S.ABC là:

A.

a3
2

B.

a3
4

C.

a3
8

D.

a3
16

(ABC), tam


Đáp án B.
Gọi H là trung điểm cạnh AB, từ giả thiết có
SH ⊥ ( ABC )

.

1
VS.ABC = SABC .SH
3
Tam

giác

.
ABC

vuông

tại

A

có:

AB = 2sin60° = 3a; AC = 2acos60° = a

SABC =

1
3
AB.AC = a2
2
2

Nên
Gọi K là trung điểm của cạnh BC thì

SK =

1
1
1
BC = a; HK = AC = a cos60° = a
2
2
2

SH 2 = SK 2 − KH 2 =
VS.ABC =
Suy ra

1 3
a

4

3 2
3
a ⇒ SH =
a.
4
2

.

Câu 34 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Từ một miếng bìa hình tròn bán kính là 20cm,
cắt bỏ hình quạt OAFC phần còn lại ghép thành hình nón như hình vẽ. Biết số đo cung

A EC = 240°

. Diện tích xung quanh của nón là:

800
π cm2
3

(

A.

)

400
π cm2

3

(

B.

)

800
π cm2
5

(

C.

)

400
π cm2
5

(

D.

)

Đáp án A.

240°

là

4π
3

20.
, Độ dài cung AEC là

4π 80π
=
( cm)
3
3

Mà độ dài cung AEC là chu vi của đường tròn đáy nón nên ta có
bán kính đường tròn đáy nón.

80π
40
= 2π r ⇒ r=
3
3

là


Sxq = π
Diện tích xung quanh của nón là :

Câu 35

40
800π
20 =
cm2
3
3

(

)

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy

bằng a, đường cao SO bằng h. Khoảng cách giữa SB và AD là

A.

3ah

ah

2ah

4ah

4h2 + a2

4h2 + a2

4h2 + a2

4h2 + a2

.

B.

.

C.

.

Đáp án C.
⇒ AC ∩ BD = { O}

Gọi O chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy
.
OH ⊥ SN
Dựng
(H thuộc SN). Gọi M, N lần lượt là trung
MI //OH
điểm của AD và BC. Trong (SMN), kẻ
(I thuộc SN).

(

)

(

AD//BC ⇒ d ( SB, AD ) = d AD,( SBC ) = d M ,( SBC )

Em có:
Em lại có:

( SMN ) ⊥ ( SBC) ⇒ OH ⊥ ( SBC)

OH //MI

(

)

MI ⊥ SBC ⇒ d M ,( SBC ) = MI = 2OH .

Do
nên
Tam giác SON vuông tại O, đường cao OH nên ta có
1
1
1
ah
2ah
=
+
⇒ OH =

⇒ MI =
2
2
2
OH
SO ON
4h2 + a2
4h2 + a2

)

.

D.

.


SA ⊥ ( ABC ) .

Câu 36 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình chóp S.ABCD có

Tam giác

ABC vuông tại B. Gọi H là chân đường vuông góc hạ t ừ A xu ống SB. Kh ẳng đ ịnh nào sau
đây sai?
A. SA⊥BC.

B. AH⊥BC.

C. AH⊥AC.

D. AH⊥SC.

Đáp án C

Em có:

SA ⊥ ( ABC )
⇒ SA ⊥ BC.

BC
⊂
ABC
(
)

BC ⊥ SA
BC ⊥ AB

SA ∩ AB = A

SA, AB ⊂ ( SAB )

Em có:
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH
Tương tự em có:
AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC.

⇒

Góc giữa hai đường thẳng MN và PQ có số đo bằng

45°
Câu 37 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho khối hộp H có
thể tích V. Xét tất cả các khối chóp tứ giác có đỉnh của chóp
và các đỉnh của mặt đáy đều là đỉnh của H. Chọn Câu dung.

A. Tất cả các khối chóp đó có thể tích bằng

B. Tất cả các khối chóp đó có thể tích bằng

C. Có khối chóp có thể tích bằng

V
3

V
3
V
6

, có khối chóp có thể tích bằng

D. Không có khối chóp có thể tích bằng

V
3

V

6

, không có khối chóp có thể tích bằng

V
6


Đáp án A.
Ta có: diện tích của chóp bằng diện tích của hộp, Chi ều cao c ủa chóp b ằng chi ều cao

VC =

V
3

của hộp nên
Câu 38
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều

ABC.A′B′C′

có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên có diện tích bằng

A đến mặt phẳng

( A′BC )

2a 5
.

5

A.

B.

Gọi M là trung điểm của BC
Em có

3a 5
.
5

C.

2a 13
.
13

AK ⊥ A′M

Em lại có

⇒ AM ⊥ BC ⇒ AM = a 3

là hình chữ nhật

SABB′A′ 4a2
⇒ AA′ =
=

= 2a
AB
2a
Kẻ

⇒ SABB′A′ = AA′.AB

.

tại K.

 AM ⊥ BC
⇒ BC ⊥ ( A′AM ) ⇒ BC ⊥ AK

 A′A ⊥ BC

 AK ⊥ BC
⇒ AK ⊥ ( A′BC ) ⇒ d A;( A′BC ) = AK

 AK ⊥ A′M

(

Có

Trong

∆A′AM

A′A2 + AM 2

(

)

=

2a.a 3
4a2 + 3a2

d A;( A′BC ) = AK =
Vậy

)

có,

AA′.AM

AK =

. Tính khoảng cách từ

theo a.

Đáp án D.

ABB′A′

4a2

2a 21
7

=

.

2a2 3
a 7

=

2a 21
7

.

D.

2a 21
.
7


Câu 39 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình
hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, E là trung đi ểm c ủa CB, I là giao đi ểm c ủa AE và
BD. Khi đó IG sẽ không song song với mặt phẳng nào dưới đây?

( SAC ) .

( SBC ) .

A.

( SCD ) .

B.

C.

( SAD ) .
D.

Đáp án D
Gọi N là trung điểm của SB.
DI IA DA
BE / /AD ⇒
=
=
=2
IB IE BE
Em có:
IA GA
=
= 2 ⇒ IG / /NE.
∆NAE
IE GN
có:

Em có:
∆SCB

IG / / NE

 NE ⊂ ( SCB ) ⇒ IG / / ( SCB ) .

IG ⊄ ( SCB )

có:

NE / /SC ⇒ IG / /SC.
IG / / ( SCA )

Tương tự em có:
IG / / ( SCD ) .

và

Câu 40 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho tam giác ABC vuông
cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc v ới

SB =

( ABC )
lấy điểm S sao cho

a 6
.
3

Góc giữa đường thẳng SB

( ABC )
và

là
A.

30°.

B.

45°.

C.

60°.

Đáp án A
SA ⊥ ( ABC )

Em có:
tại A
⇒
A là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC)

D.

90°.

⇒

AB là hình chiếu vuông góc của SB trên (ABC)
⇒ ( SB, ( ABC ) ) = ( SB, AB ) = SBA

Xét
Xét

∆ABC
∆SAB

⇒ AB = AC =
vuông cân tại A, BC = a

a
a 2
=
2
2

vuông tại A có

a 2
AB
3
cos SBA =
= 2 =
SB a 6

2
⇒ SBA = 30° ⇒ ( SB, ( ABC ) ) = 30°
3
Câu 41

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác

vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Kho ảng cách gi ữa
hai đường thẳng AB và SC là
A.

a 3.

B. 2a.

C.

a 2.

D.

a 5.

Đáp án C
⇒ AB ⊥ ( SAD ) .

Lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật
AE ⊥ SD
Trong (SAD), kẻ
(E thuộc AD).

CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ AE.
CD ⊥ AD, CD ⊥ SA
Ta có:
nên
⇒ AE ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AE
Tam giác SAD vuông cân tại A, E là trung điểm SD nên
AE = SA 2 − SE 2 = a 2.

Câu 42 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, gọi
M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân t ại S và n ằm trong m ặt ph ẳng vuông góc v ới
SD = a 3,
đáy. Biết

SC tạo với mặt phẳng đáy

(ABCD) một góc

60°.

Thể tích khối

chóp S.ABCD theo a là

A.

4a 3
.
3

Đáp án B

B.

3a 3
.
10

C.

4a 3 15
.
5

D.

2a 3 15
.
3