(GV vũ văn NGỌC) 98 câu hình học không gian

Câu 1

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình hộp chữ nhật đứng

AB = a, AD = 2a, AA' = 3a.
Gọi
O ' . ABCD

A.

O'

là tâm hình chữ nhật

A' B 'C ' D ' .

ABCD. A' B 'C ' D '

có

Thể tích của khối chóp

là?

4a 3 .

B.

2a 3 .

C.

a3.

D.

6a 3 .

Đáp án B
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD thì

OO ' = 3a.

1
1
VO' . ABCD = OO ' . AB. AD = .3a.a.2a = 2a 3 .
3
3

Câu 2 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Tứ diện đều ABCD có khoảng cách từ điểm A đến mặt

( BCD )
phẳng

A.

bằng a. Cạnh của tứ diện có độ dài bằng?
a 6
.
3

B.

a 6
.
2

C.

a 2
.
3

Đáp án A

GA ⊥ ( BCD ) .
Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC suy ra
Gọi M là trung điểm BD.

Đặt

2
2x 3 x 3
AC = x ⇒ GC = CM =
=
3
3 2
3

⇒ x2 −

x2
3
a 6
= a 2 ⇒ x2 = a2 ⇒ x =
3
2
2

, lại có

AC 2 − GC 2 = AG 2

D.

a 2
.
2


Câu 3: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho khối trụ có bán kính đáy
hai đáy

h = 7cm.

R = 5cm.

Khoảng cách

Cắt khối trụ bằng một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Diện

tích của thiết diện bằng:

46 cm 2 .
A.

56 cm2 .

66 cm 2 .

B.

36 cm 2 .

C.

D.

Đáp án B
Ta có thiết diện như hình vẽ.
Ta có:

O ' I = 3cm, O ' A = 5cm ⇒ AI = O ' A2 − O ' I 2 = 4cm
⇒ AB = 8cm
⇒ S ABCD = 7.8 = 56cm 2
S . ABCD,
Câu 4 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho khối chóp
có các cạnh đáy AB, CD sao cho

CD = 4 AB.

trong đó ABCD là hình thang

Một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB tại các điểm

tương ứng M, N. Nếu điểm M nằm trên SA sao cho thiết diện MNCD chia khối chóp đã cho

VS .MNCD : VMNCDA
thành hai phần có thể tích

A.

−3 + 132
.
2

tỉ lệ 1:2. Khi đó tỉ số

B.

−6 + 51
.
3

Đáp án C

Đặt

SM
= x ( 0 < x < 1)
SA

Gọi thể tích của hình chóp S.ABCD là V.
VS .MNC SM .SN .SC
=
= x2
VS . ABC
SA.SB.SC

( 1)

VS .MCD SM .SC.SD
=
=x
VS . ACD
SA.SC.SD

( 2)

C.

−3 + 17
.
2

SM
SA

bằng:

D.

−3 + 21
.
2


Ta có:
CD = 4 AB ⇒ S ADC = 4S ABC ⇒ S ADC =

4
S ABCD
5

4
4
V
⇒ VS . ADC = VS . ABCD = V ; VS . ABC =
5
5
5

Ta có:

V
4V
VS .MNC = x 2 . ; VS .MCD = x
5
5

V1 = VS .MNC + VS .MCD =

V 2
( x + 4x )
5


−6 + 51
x=

V1 x + 4 x 1
4
3
=
= ⇔ x 2 + 3x − = 0 ⇔ 
V
5
3
3

−6 − 51
( L)
x =
3

2

⇒x=

−6 + 51
3

Câu 5 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng

( SBC )
đáy, tam giác SBC đều cạnh a, góc giữa mặt phẳng

và mặt phẳng đáy là

30o.

Tính thể

tích V của khối chóp S.ABC.
V=

A.

a3 2
.
16

a3 3
.
32

V=

B.

V=

C.

3a 3
.
64

V=

D.

Đáp án A
Gọi M là trung điểm của BC,

∆SBC

SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC
Mà

và

đều

⇒ SM ⊥ BC

SM ⊥ BC

BC ⊥ ( SAM )
suy ra

Ta có:

( SAM ) ∩ ( SBC ) = SM
·
⇒ ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = ( SM , AM ) = SMA
= 30o


( SAM ) ∩ ( ABC ) = AM
·
sin SMA
=

Xét tam giác SAM vuông tại A có:

SA
a 3 a 3
⇒ SA = sin 30o.
=
SM
2
4

a3 3
.
12


·
cos SMA

=

Và
⇒ S ABC =

AM
a 3 3a
⇒ AM = cos 30o.
=
SM
2
4

1
3a 2
1
a3 3
AM .BC =
⇒ VS . ABC = SA.S ABC =
2
8
3
32

Câu 6

(Gv Nguyễn

Bá Tuấn

2018): Cho hình hộp

AB = AD = 2a , AA' = 4a.

ABCD. A' B 'C ' D '

AA' , BB ' , CC ' , DD ' .
Lấy M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của

hình hộp chữ nhật

có

ABCD. A' B 'C ' D '

(T)
nội tiếp khối trụ

Biết
ABCD.MNPQ

và lăng trụ

nội tiếp

( C) .
mặt cầu
V( T )
V( C )

Tỉ số thể tích

A.

giữa khối trụ và khối cầu là:

2 3
.
3

B.

2

3
.
3

3 3

1

.

2 3

C.

.

D.

Đáp án B
R=

(T)
Xét lăng trụ

có:

RC =

( C)
Xét mặt cầu

AC
= a 2; h = 4a ⇒ V = 8π a3
2

có:
8

4 3

=

AP
4
= a 3 ⇒ V = π RC3 = 4π 3a 3
2

3

2 3
.
3

Tỉ số bằng
Câu 7 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Lăng trụ

Hình chiếu vuông góc của

A'

ABC. A' B 'C '

có đáy là tam giác đều cạnh a.

( ABC )
lên

( P)
trùng với tâm O của tam giác ABC. Mặt phẳng


qua BC và vuông góc
trụ

ABC . A' B 'C '

A.

AA'

cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích bằng

a2 3
.
8

Thể tích lăng

bằng:

a3 2
.
12

B.

a3 6
.
12

C.

a3 6
.
3

D.

a3 3
.
12

Đáp án A

( P)
Gọi H là trung điểm của BC, giao điểm của

và

AA'

là

P.
⇒

1
a2 3
a 3
PH .BC =
⇒ PH =
2
8
4
a 3
a 3
, AO =

2
3

AH =

∆AHP

AP = AH 2 − PH 2 =
vuông tại P có

3a
4

a 3
A O HP
AO
a
∆AA'O : ∆AHP ⇒
=
⇒
= 4 ⇒ A'O =
3a
AO AP
3
a 3
4
3
'

'

a a2 3 a3 3
⇒ VABC . A' B'C ' = OA' .S ABC = .
=
3 4
12

Câu 8 (Gv Nguyễn Bá Tuấn). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA ⊥ ( ABCD ) SA = a 6
α
,
. Gọi là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng
trong các khẳng định sau?

A.

α = 30°.

Chọn D.

cos α =
B.

3
.
3

C.

α = 45°.

D.

α = 60°.


SA ⊥ (ABCD)
Vì
⇒

nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD).
Góc giữa giữa SC và mp (ABCD) bằng góc SC&AC
tan α =

⇒

α = SCA.

SA a 6
=
= 3 ⇒ α = 60°.
AC a 2

Xét tam giác SAC vuông tại A có,

Câu 9 (Gv Nguyễn Bá Tuấn). Cho lăng trụ tam giác

và trung điểm M của cạnh

CC '

ABC.A ' B 'C '

. Mặt phẳng đi qua A,B

V1 , V2 ( V1 > V2 )
chia lăng trụ thành 2 phần có thể tích

. Tỉ số

V1
V2
là
A. 4

B. 2

C. 5

Đáp án C
Hình chóp

MABC

có cùng diện tích đáy với hình lăng trụ

Và có chiều cao bằng

1

2

lăng trụ nên

1
5
V
V2 = VABC . A ' B 'C ' ⇒ V1 = VABC . A ' B 'C ' ⇒ 1 = 5
6
6
V2

D. 3


Câu 10 (Gv Nguyễn Bá Tuấn). Người ta cần chế tạo một ly dạng hình cầu tâm O, đường
kính 2R. Trong hình cầu có một hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Nước chỉ chứa
được trong hình trụ. Hãy tìm bán kính đáy r của hình trụ để ly chứa được nhiều nước nhất.

r=
A.

R 6
3

r=
B.

2R
3

r=

2R
3

r=

C.

R
3

D.

Đáp án A
Chiều cao của hình trụ là

h = 2 R2 − r 2

⇒ VTr = 2π r 2 R 2 − r 2 = 4π

1 4 2 2
r ( R −r )
4
3

1 2 1 2
2
2 

2r + 2r +( R −r ) 
R3
≤ 2π 
=
2
π

3
3 3





Thể tích lớn nhất đặt được khi

1 2
6
r = R2 − r 2 ⇒ r =
R
2
3

Câu 11. (Gv Nguyễn Bá Tuấn) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B.

Biết SA vuông góc với mặt phẳng

(ABC),

AB = a BC = a 3 SA = a

,
,
. Một mặt phẳng

(α) qua A vuông góc SC tại H và cắt SB tại K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.

VS.AHK =
A.

a3 3
20

VS.AHK =
B.

a3 3
30

Đáp án C
Ta có
SB = a 2 + a 2 = a 2;
AC 2 = a 2 + 3a 2 = 4a 2 ⇒ SC = a 2 + 4a 2 = a 5

SA2
a2
a
SA2
a2
a
SK =

=
=
; SH =
=
=
SB a 2
SC a 5
2
5

VS.AHK =
C.

a3 3
60

VS.AHK =
D.

a3 3
90


VSAHK SK .SH 1 1 1
=
= . =
VSABC
SB.SC 2 5 10
⇒ VSAHK =

1
1
1
VSABC =
SA.BA.BC =
3a 3
10
60
60

Câu 12. (Gv Nguyễn Bá Tuấn) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân,

AD = BC =

a 13
4

,

AB = 2a

CD =
,

3a
2

, mặt phẳng

(SCD) vuông góc với mặt phẳng

(ABCD). Tam giác ASI cân tại S, với I là trung điểm của cạnh AB, SB tạo với mặt phẳng
(ABCD) một góc 30º. Khoảng cách giữa SI và CD là

A.

a 13
7

B.

2a 21
7

C.

2a 13
7

D.

a 21
7

Đáp án D
M,E
Gọi
Kẻ

là trung điểm của AI và CD

SH ⊥ CD

do mặt phẳng

(SCD) vuông góc với mặt

SH ⊥ ( ABCD )

SA = SI

(ABCD) nên

. Mặt khác

phẳng

⇒ SM ⊥ AI ⇒ AI ⊥ ( SHM ) ⇒ HK ⊥ ( SAI )
mà CD

( SAB ) ⇒ HK
Song song với

là khoảng cách cần tìm.

Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F

⇒ EF =

Ta có

1
a 13
a
a 3
0
=a
; FI = ⇒ HM =
⇒ HB = a 3 SH = HB. tan 30 = a 3.
3
4
4
2
;

1
1
1
1
4
7
a 21
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ HK =
2
2
2
HK
SH

HM
a 3a
3a
7


Câu 13 (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại

{ 5;3}
A.

12π

B.

36π

C.

18π

D.

24π

{ 5;3}
Khối đa diện đều loại
tổng các góc bằng

là khối mười hai mặt đều, gồm 12 mặt là các ngũ giác đều nên

12.3π = 36π

(mỗi mặt chia thành 5 tam giác để tổng góc)

Chọn đáp án B
Câu 14 (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Cho hình nón có diện tích toàn phần bằng

5πa 2

và bán kính

đáy bằng a. Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho.
A.

l = 5a.

B.

l = 4a.

Stp = Sxq + Sd ⇔ 5πa 2 = π.a.1 + π.a 2 ⇒ 1 =

C.

l = 2a.

D.

l = 3a.

5πa − π.a 2
= 4a
π.a

Chọn đáp án B
Câu 15 (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Cho khối chóp S.ABCD, hỏi hai mặt phẳng

(SAC) và

(SBD) chia khối chóp S.ABCD thành mấy khối chóp?
A. 4.

B. 3.

C. 5.

D. 2.

Chọn A.
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Mặt phẳng (SAC) và (SBD) chia khối chóp S.ABCD thành mấy
khối chóp thành 4 khối chóp là các khối chóp sau S.ABO, S.ADO,
S.CDO, S.BCO.

Câu 16 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình chóp S.ABC. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các

SA = 2SM , SB = 3SN , SC = 2SP.
cạnh SA, SB, SC thỏa mãn
tích hình chóp S.MNP là:

Biết thể tích S.ABC là

a3
.
2

Thể


A.

a3
.
4

B.

2a 3
.
7

C.

a3
.
24

D.

a3
.
16

VS .MNP SM SN SP 1 1 1 1
a3
=
.
.
= . . = ⇒ VS .MNP = .
VS . ABC
SA SB SC 2 3 2 12
24
Ta có:
Câu 17:

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình hộp chữ nhật

ABCD. A' B 'C ' D '

AB = 2a, BC = a.
Biết bán kính của mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật là

3a
.
2

có

Thể tích

của hình hộp chữ nhật là:

A.

a3 3
.
2

3

B.

Ta có:
Xét

4a .

AC = AB + BC = a 5.
2

tam

giác

3

C.

2a .

2

ACC '

vuông

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là
tại

C,

ta

D.

2 3
a.
3

3a
⇒ AC ' = 3a.
2

có:

CC ' = AC '2 − AC 2 = 2a.
V = CC ' .S ABCD = 2a.a.2a = 4a 3 .

Thể tích hình hộp là:

AD = π ,
Câu 18: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Một hình thang vuông ABCD có đường cao
AB = π ,
đáy nhỏ

đáy lớn

xoay có thể tích bằng:

CD = 2π .

Cho hình thang đó quay quanh CD, ta được vật tròn


A.

4 4
π .
3

B.

7 4
π .
3

C.

Lấy I là trung điểm CD. Thể tích vật tròn xoay là

10 4
π .
3

D.

13 4
π .
3

1
4
π .π .π 2 + π .π .π 2 = π 4
3
3

Câu 19: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Thể tích hình hộp chữ nhật đạt giá trị lớn nhất bằng
bao nhiêu nếu biết diện tích toàn phần của hình hộp đã cho là S?
S3
.
8

S3
.
27

A.

S3

.
125

B.

C.

S3
.
216
D.

Đáp án D
a, b, c ( a, b, c > 0 ) .
Gọi chiều dài, rộng, cao của hình hộp chữ nhật lần lượt là
⇒ S = 2ab + 2 ( a + b ) .c = 2(ab + bc + ca ) ≥ 2.3. 3 ab.bc.ca

⇔ S ≥ 6.

(

3

Vmax =

abc

)

2

⇔

S 3
S3
≥ V ⇔V ≤
.
6
216

S3
.
216

Vậy

(BĐT Cauchy cho 3 số dương)

ab = bc = ca ⇔ a = b = c ( a, b, c > 0 ) .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Câu 20 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho lục giác đều có cạnh bằng a. Quay lục giác quanh
đường trung trực của một cạnh ta được khối tròn xoay có thể tích bằng:

A.

7a 3π 3
.
12

B.

7a 3π 3
.
6

C.

5a 3π 3
.
12

Đáp án A
Gọi O là tâm lục giác đều ABCDEF

⇒ OA = OB = OC = OD = OE = OF = a.

Gọi

AF ∩ BC = { I } ; IO ∩ AB = { K } ⇒ IO = 2 IK = 2OK .
2

a 3
a
∆AOK : OK = AO − AK = a −  ÷ =
⇒ IO = a 3.
2
2
2

Xét

2

2

D.

3a 3π 3
.
4


2
1
1  a   a 3   7π a 3 3
⇒ V = 2  π a 2 a 3 − π  ÷ 
÷
÷ = 12
3
3
2
2



 


(

)

(đvtt).

Câu 21 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABCD. M,N là hai điểm trên AB, CD.

(α)
Mặt phẳng

(α)
qua MN // SA. Điều kiện của MN để thiết diện của hình chóp với

là hình

thang là:
A. MN // AD.

B. MN // BC.

C. MN là trung điểm AB, CD.

D. MN qua trung điểm AC.

Đáp án B
Thật vậy, giả sử

MN / / BC.

Ta sẽ chứng minh thiết diện là hình thang.

MI / / SA ( I ∈ SB ) ; IJ / / BC ( J ∈ SC ).
Kẻ

Khi đó, thiết diện là tứ giác
IJ / / BC ; MN / / BC ⇒ IJ / / MN .

Mà

Do đó, tứ giác

IMJN

IMJN .

là hình thang (đpcm).

Câu 22 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy là I thuộc AB sao cho

( SCD )
giữa mặt bên

A.

3a 93
.
31

và mặt đáy bằng

B.

60o.

Khoảng cách giữa AD và SC là:

4a 93
.
31

C.

5a 93
.
31

Đáp án A

IE ⊥ DC = { E} .
Gọi
Gắn trục tọa độ Ixyz với I là gốc tọa độ sao cho:
Tia Ix trùng tia IB; tia Iy trùng tia IE; tia Iz trùng tia IS.
Khi đó
A(

BI = 2 AI .

−a
2a

2a
−a
;0;0); B( ;0;0); C ( ; a;0); D( ; a;0).
3
3
3
3

Do góc giữa mặt phẳng (SDC) và (ABCD) bằng

600

nên

· = 600.
SEI

D.

6a 93
.
31

Góc


Xét

D SEI

(

)

· = a.tan 600 = a 3 Þ S 0;0; a 3 .
SI = EI .tan SEI

vuông tại I có:

uuu
r  2a
uuur
uu
r
 ur
⇒ SC  ; a; −a 3 ÷/ / u1 2;3; −3 3 ; AD ( 0; a;0 ) / / u2 ( 0;1;0 )
 3


(

)

r ur uu
r
ù= 3 3;0;2
n=é
u
;
u

1
ê
ú
ë 2û

(

Mặt phẳng (P) chứa SC và song song với AD nhận

)
làm vectơ pháp

3 3 x + 2 z - 2a 3 = 0.

tuyến nên có phương trình:
Do đó, khoảng cách giữa AD và SC bằng khoảng các từ A đến (P) và bằng:

d( A;( P )) =

3a 93
31

(đvđd).

Câu 23 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABC có thể tích V, M là trung điểm
của SA. Thể tích khối chóp S.MBC bằng:

A.

V

.
2

B.

V
.
3

C.

V
.
6

D.

2V
.
5

VS .MBC SM 1
=
= .
VS . ABC
SA 2

Đáp án A Ta có:
Câu 25

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình hộp chữ nhật

AB = 2a, AD = 3a, AA' = 3a.
Gọi E là trung điểm

A.

a3
.
2

Đáp án C Ta có:

B.

a3 .

B 'C '

C.

ABCD. A' B 'C ' D '

. Thể tích khối chóp E.BCD bằng:

3a 3 .

D.

4a 3

.
3

1
1
1
VE . BCD = d ( E , ( BCD ) ) S BCD = . AA' . S ABCD = 3a 3 .
3
3
2

Câu 26 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho tam giác ABC vuông tại A. Các cạnh AB, AC, BC
của hình tam giác lần lượt là 3; 4; 5. Tính thể tích hình nón khi quay tam giác quanh trục AB.
A.

12π .

B.

16π .

C.

48π .

D. Đáp án khác.

có

Đáp án B Thể tích hình nón là

1
V = π AC 2 . AB = 16π .
3

Câu 27 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh

SD =

a,

a 17
.
2

Hình chiếu H của S lên mặt đáy là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung

điểm của AD. Thể tích của khối chóp S.HKDC là:

A.

5a 3 3
.
8

B.

5a 3 3
.

16

C.

5a 3 3
.
24

D.

5a 3 3
.
32

Đáp án C

Ta có: Xét
Xét

D SDH

S HKDC =

D ADH

DH = AD 2 + AH 2 =

vuông tại A có:

a 5

.
2

SH = SD 2 - DH 2 = a 3.

vuông tại H có:

5S ABCD 5a 2
=
8
8

(đvdt)

1 5a 2
5a 3 3
⇒ VSHKDC = .
.a 3 =
3 8
24

(đvtt)

Câu 28 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt là
I ∈ AC , J ∈ DN
trung điểm của CD và AB. Lấy

A.

a 3

.
3

B.

a 2
.
3

sao cho IJ // BM. Độ dài IJ theo a là:

C.

a 3
.
4

D.

a 2
.
2

Đáp án A
Kẻ đường thẳng qua C song song với BM cắt BD ở G, AG cắt DN ở J, đường thẳng qua J
song song với CG cắt AC ở I. Kẻ AH vuông góc với BD tại H.
Dễ dàng chứng minh được IJ//BM; B là trung điểm của GD và tính được

BM =

a 3
3a
; CG = 2 BM = a 3; GH = .
2
2


Ta có: Tam giác ANJ đồng dạng với tam giác AHG nên:
AJ AN
a/2 1
=
=
= .
AG GH 3a / 2 3

Mà IJ//CG nên:
IJ
AJ 1
CG a 3
=
= ⇒ IJ =
=
.
CG AG 3
3
3
Câu 29 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy,
AB = 2a, AD = CD = a, SA = 2a.
ABCD là hình thang vuông tại A và D,

Gọi I là trung điểm

của AB. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện S.AICD là:
A.

π a 3 6.

B.

π a 3 3.

C.

π a 3 5.

D. Đáp án khác.

Đáp án A
Dễ thấy trung điểm I của SC là tâm hình cầu ngoại tiếp chóp S.AICD.

SC = SA2 + AC 2 = (2a) 2 + (a 2) 2 = a 6 ⇒ SI =

Mà

SC a 6
=
.
2
2
3

Vậy thể tích hình cầu ngoại tiếp chop S.AICD là:

4 a 6
3
π
÷ = πa 6
3  2 ÷


(đvtt).

Câu 30 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,

( SAB )
SA vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm BC, góc giữa SC và mặt phẳng

bằng

30o.

Khoảng cách giữa DE và SC là:

A.

a 38
.
19

B.

a 2
.
7

C.

2a
.
9

D.

2a 3
.
9

Đáp án A
Xét

∆SBC

vuông tại B, có

·
BSC
= 300

nên dễ tính được

SB = a 3.

Gắn trục tọa độ Axyz với A là gốc tọa độ sao cho:
Tia Ax trùng tia AB; tia Ay trùng tia AD; tia Az trùng tia AS.
Khi đó:

Từ đó suy ra

SA = a 2.


a
A(0;0;0); B(a;0;0); C ( a; a;0); D(0; a;0); E ( a; ;0); S (0;0; a 2 ).
2
Phương trình mặt phẳng qua DE và song song với SC là:
( P ) : 2 x + 2 2 y + 3 z - 2 2a = 0.

d( ED ;SC ) = d ( S ;( P )) =

Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng ED và SC là:

a 38
19

(đvđd).

Câu 31 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Cho hình nón tròn xoay có bán kính đáy R, chiều cao
h và góc ở đỉnh là góc

α

không là góc nhọn. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt

hình nón theo thiết diện là tam giác. Khi đó tam giác có diện tích lớn nhất là:

A.

1 2
( h + R2 ) .
2

B.

1 2
( h + R) π.
2

C.

1
( h + R 2 ) h.
2

D.

1 2
( h − R2 ) .
2

Đáp án A

Giả sử thiết diện là một tam giác cân có độ dài chiều cao hạ từ đỉnh nón xuống đáy tam giác

(0< x< R

2

+ h2 ) .

là x
Khi đó ta dễ dàng tính được độ dài đáy tam giác theo x, h và R là:
Do đó, diện tích

S

.

của tam giác là:

S = x. R 2 + h 2 − x 2 ≤

Vậy

2. R 2 + h 2 − x 2

x 2 + ( R 2 + h2 − x 2 )
2

(BĐT Cauchy)

R2 + h2

⇔S≤
.
2

R 2 + h2
S max =
.
2

Câu 32 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với
đáy, tam giác ABC vuông cân tại B. Có cạnh

AB = a.

Góc giữa SB và mặt đáy là

tích hình chóp là:

A.

a3 3
.
3

B.

a3 3
.
4

C.

a3 3
.
5

D.

a3 3
.
6

60o.

Thể


Đáp án D Có

1
a2
S ABC = .a.a = .
2
2

SA = AB.tan 60o = a 3.

Vậy

·

= 60 .
( SB, ( ABC ) ) = ( SB, AB ) = SBA
o

Có

1
a3 3
VS . ABC = SA.S ABC =
.
3
6

Câu 33: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình lập phương cạnh a. Diện tích mặt cầu đi qua
các đỉnh của hình lập phương là:
A.

a2.

B.

2a 2 .
a 3
.
2

R=

Đáp án C Theo giả thiết

C.

3a 2 .

Vậy diện tích mặt cầu là

D.

4a 2 .

4π R 2 = 3a 2 .

Câu 34: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a
·
·
·
SAB
= SAD
= BAD
= 60o,
và

cạnh bên

A.

a3 2
.
2

B.

SA = a.

a3 2
.
3

Thể tích khối chóp tính theo a là:

C.

a3 2
.
6

Đáp án C
Ta có:

SA = SB = SC = a.

·
·
·
SAB
= SAD
= BAD
= 600 Þ D SAB, D SAD, D BAD

Mà

đều.

Þ SB = SD = BD = a Þ D SBD

đều.

Gọi O là tâm hình thoi ABCD, I là tâm tam giác đều SBD cạnh a. Vì
AS = AB = AD Þ AI ^ mp ( SBD ) = { I } .

AO = SO =

Dễ dàng tính được

Xét

D AIO

a 3
SO a 3
; IO =
=
.
2
3
6

AI = AO 2 + OI 2 =

vuông tại I có:

1
1 a 6 a2 3 a3 2
⇒ VA.SBD = . AI .SSBD = .
.
=
3
3 3
4
12

a 6
.
3

(đvtt)

D.

a3 2
.
12


Câu 35:

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình
AD = a, BC = b.

thang với đáy AD và BC. Biết

Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác

( ADJ )
SAD và SBC. Mặt phẳng

( BCI )
cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng

cắt SA, SD

tại P, Q. Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Tính EF theo a,b.
EF =
A.

1
( a + b) .
2

EF =
B.

3
( a + b) .
5

EF =
C.

2

( a + b) .
3

EF =
D.

2
( a + b) .
5

Đáp án D

Dễ thấy rằng:

SP SM SN SQ 2
=
=
=
= ⇒ PM / / AB; MN / / BC ; NQ / / CD; QP / / DA.
SA SB SC SD 3

SE ∩ AB = { E '} ; SF ∩ CD = { F '} .
Giả sử
Áp dụng định lý Ceva vào tam giác SAB có:
E'A MB PS
E'A 1
.
.
=1⇔
. .2 = 1 ⇔ E ' A = E ' B ⇒ E '

E ' B MS PA
E 'B 2

Chứng minh tương tự ta cũng có
⇒ E'F ' =
hình thang ABCD

F'

là trung điểm của AB.

là trung điểm của CD

⇒ E 'F '

là đường trung bình của

AD + BC a + b
=
.
2
2

Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác SBE’ với cát tuyến AEM
có:
MB ES AE '
1 ES 1
ES
ES 4
.

.
=1⇔ .
. =1⇔
=4⇒
= .
MS EE ' AB
2 EE ' 2
EE '
E 'S 5

Chứng minh tương tự ta cũng có:

FS 4
= ⇒ E ' F '/ / EF .
F 'S 5

Áp dụng định lý Thales vào tam giác SE’F’ có:
EF
SE 4
4
4 a + b 2 ( a + b)
=
= ⇒ EF = E ' F ' = .
=
.
E ' F ' SE ' 5
5
5 2
5

Câu 36: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho một hình vuông ABCD cạnh a. Khi quay hình

V1
vuông theo trục chéo AC thì ta thu được một khối tròn xoay có thể tích
V1
V2

V2 .
AB được khối tròn xoay có thể tích
2
.
2

A.

B.

và quay quan trục

Khi đó

2
.
3

bằng:

C.

2
.
6

D.

π 2
.
12

Đáp án C
⇒ OA = OB = OC = OD =

Gọi O là tâm hình vuông ABCD

a 2
.
2
3

1
2
2π
2π  a 2  a 3 2π
⇒ V1 = 2. .OA.S( O ;OB ) = .OA.π .OB 2 =
OA3 =

÷ =
3
3

3
3  2 ÷
6


(đvtt)

V2 = AB.S( O ; AD ) = AB.π . AD 2 = π . AB 3 = a 3π .
⇒

V1
2
=
.
V2
6

Câu 37 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,

SA ⊥ ( ABCD ) .

SA = y; M ∈ AD; AM = x; x 2 + y 2 = a 2 .
Biết

Khi đó giá trị lớn nhất của

VS . ABCM
là:

A.

a3 3
.
4

B.

a3
.
8

C.

Đáp án D
S ABCM =

Ta có:

a( x + a)
AM + BC
. AB =
2
2

(đvdt)

a3 3
.
2

D.

a3 3
.
8


a ( x + a) y a ( x + a) a 2 - x 2
1
Þ VS . ABCM = SA.S ABCM =
=
3
6
6

f ( x ) = ( x + a ) a 2 - x 2 Þ f '( x ) =

(đvtt).

- 2 x 2 - ax + a 2
a 2 - x2

Đặt
f '( x) = 0 ⇒ x =
Xét phương trình
VS . ABCM max =

Từ đó suy ra

a

⇒ f ( x)
2

a3 3
8

x=
đạt giá trị lớn nhất khi

a
2

.

(đvtt).

Câu 38: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cắt mặt trụ bởi mặt phẳng như hình
vẽ. Thiết diện tạo được là Elip có trục lớn bằng 10. Khi đó thể tích của hình vẽ
là:
A.
B.
C.

192π .

275π .
704π .

D.

176π .

Đáp án D
R=
Bán kính đường tròn đáy là:

102 − 62
= 4.
2
V = π .42.8 +

Khi đó ta dễ dàng tính được thể tích hình vẽ là:

π .42.6
= 176π
2

(đvtt).

SA ⊥ ( ABC ) ,
Câu 39 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABC có

tam giác ABC

vuông tại B. Góc giữa SC và mặt phẳng (SBC) là:
A.

·ABC.

Đáp án C

B.

· .
SAB

C.

· .
BSC

D.

·ASB.


SA ⊥ BC , AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAB ) .
Ta có:

Do đó

·
.
( SC , ( SAB ) ) = ( SC , SB ) = BSC

Câu 40 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Khối tứ diện là khối đa diện lồi.
B. Khối hộp là khối đa diện lồi.
C. Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi.
D. Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.

Khẳng định lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện là sai.
Câu 41

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình hộp chữ nhật

AB = 2a, AD = 3a, AA' = a 2.

Gọi I là trung điểm của cạnh

B 'C ' .

ABCD. A' B 'C ' D '

Thể tích khối chóp I.BCD

bằng:
A.

3a3 .

B.

a3.

3a 3 .
C.

D.

2a 3 .

1
1
1
VI .BCD = d ( I , ( BCD ) ) S BCD = AA' . S ABCD = 2a 3
3
3
2
AB = 6, AC = 8,
Câu 42 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Tam giác ABC vuông tại A cạnh

M là

trung điểm của cạnh AC. Thể tích khối tròn xoay do tam giác qua quanh cạnh AB là:
A.

102π .

B.

84π .

C.

76π .

D.

96π .

Khi quay tam giác BMC quanh cạnh AB ta được khối tròn xoay như
hình vẽ, khi đó ta có:
V=

1
1
ABπ . AC 2 − ABπ . AM 2 = 96π
3
3

Câu 43: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy

vuông cân tại C,

đó

d ( B, ( SAC ) )

AB = 3a

bằng:

SG ⊥ ( ABC ) , SB =

và G là trọng tâm tam giác ABC,

có

a 14
.

2

Khi


A.

a 3
.
3

a 3.
B.

C.

a 3
.
2

D.

a 2
.
2

Đáp án B

GH ⊥ AC = { H } .
Gọi I là trung điểm BC; kẻ

Xét

∆ABC

vuông cân tại C ta có:

AC = BC =

3a
3a
3a 10
⇒ CI =
; AI = AC 2 + CI 2 =
4
2
2 2


2
a 10
⇒ GS = SB 2 − BG 2 = a
 BG = AG = AI =

3
2
⇒
GH / / CI ⇒ GH = 2 CI = a 2

3
2

GK ⊥ SH = { K } ⇒ GK ⊥ mp ( SAC ).
Kẻ

Xét

∆SGH

vuông tại G có:

1
1
1
2 1
a 3
=
+
= 2 + 2 ⇒ GK =
2
2
2
GK
GH
GS
a a
3
⇒ d( B ;mp ( SAC ) ) = 3GK = a 3

(đvđd).

Câu 44 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD

hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

( SBD )
phẳng

( ABCD )
tạo với mặt phẳng

một góc bằng

mặt

60o.

Gọi M là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai

đường

thẳng SC và BM
2a
.
11

A.

6a
.

11

B.

a
.
11

C.

Đáp án A
Gắn trục tọa độ Axyz với A là gốc tọa độ sao cho:
Tia Ax trùng tia AB; tia Ay trùng tia AD; tia Az trùng tia AS.
Khi đó:

3a
.
11

D.

là


 a 
A(0;0;0); B(a;0;0); C (a; a;0); D(0; a;0); M  0; ;0 ÷.
 2 

Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Do góc giữa mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng

600

nên

æ a 6ö
a 2
a 6
÷
·
·
÷
SOA
= 600 Þ SA = OA.tan SOA
=
tan 60 0 =
Þ Sç
0;0;
.
ç
÷
ç
÷
ç
2
2
2 ø
è

uuu
r

uuuu
r
−a 6 
a 
⇒ SC  a; a;
/
/
2;2;
−
6
;
BM
÷
 −a; ;0 ÷/ / ( −2;1;0 ) .
÷
2 
2 



(

)

(

( P)
Mặt phẳng

) (

6;2 6;6 / / 1;2; 6

)

song song với BM có vecto pháp tuyến là
d ( SC ;BM ) = d ( B ;( P ) ) =

x + 2 y + 6 z − 3a = 0.

chứa SC và

nên có phương trình:
2a
11

Do đó:

(đvđd).

Câu 45 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng vuông góc với trục
của nó ta được thiết diện là một hình tròn có chu vi bằng chu vi vủa hình chữ nhật được tạo
S xq
Stp
thành khi cắt mặt trụ bởi một mặt phẳng đi qua 2 tâm. Khi đó tỉ số

A.

π −2
.

π −1

B.

π +2
.
π +1

C.

π ( π − 2)
.
2π − 2

Đáp án A

h; r ( h; r > 0 ) .
Gọi chiều cao, bán kính đáy của hình trụ lần lượt là
⇒ 2π r = 2.( 2r + h ) ⇒ h = ( π − 2 ) r.
S xq
Stp

=

Khi đó:

2π rh
h
( π − 2) r = π − 2 .
=

=
2π r ( h + r ) h + r ( π − 2 ) r + r π − 1

của khối trụ bằng:

D.

π −2
.
π +2


Câu 46:

(Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình chóp S.ABC với đáy ABC có

AB = 10cm, BC = 12cm, AC = 14cm,
các mặt bên cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng
nhau và bằng

α

với

tan α = 3.

cm3 .

A. 182

Thể tích khối chóp S.ABC là:

B. 242

cm3 .

C. 192

cm3 .

D. 252

cm3 .

Đáp án C
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng đáy. Kẻ HM, HN, HP lần lượt
vuông góc với các cạnh AB, BC, CA. Khi đó ta có SM, SN, SP lần lượt

với AB, BC, CA. Do đó:

góc

·
·
·
SMH
= SNH
= SPHα
= .

HM = HN = HP =
Khi đó:

vuông

HS
HS
=
.
tan α
3

Suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC bán kính HM.

S∆ABC = 24 6
Áp dụng công thức Hê-rông ta có:
⇒ HM =

(đvdt)

S ∆ABC 24 6 4 6
=
=
⇒ HS = 3HM = 4 6.
p
18
3

1
1

⇒ VS . ABC = HS .S ∆ABC = .4 6.24 6 = 192
3
3

(đvtt).

Câu 47. (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho lăng trụ tứ giác đều

( A ' BC )
đáy bằng 2a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

8a

3

A.

3.

4a

3

B.

Đáp án A.
AH ⊥ A' B( H ∈ A' B) ⇒ AH = a 3
Từ A dựng

C.

có cạnh

a 3
bằng

3.

ABCD. A ' B ' C ' D '

8 3
a 3.
3

. Thể tích khối lăng trụ là.

3a3 3.
D.


1
1
1
1
1
1
1
=
+
⇒

= 2− 2=
2
2
2
2
AH
AA ' AB
AA' 3a 4a 12a2
⇒ AA' = 2a 3 ⇒ V = 2a 3.4a2 = 8a3 3.

a 3
Câu 48 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho hình nón có độ dài đường cao là

, bán kính

đáy là a. Số đo của góc ở đỉnh là.
A.

300.

B.

600.

C.

1200.

D.

900.

Đáp án B.
1= h2 + r 2 =

( a 3)

2

+ a2 = 2a

Đường sinh

Ta có góc ở đỉnh

2α ,

sinα =
với

Cách 2: Ta có góc ở đỉnh bằng

r a 1
=
= ⇒ α = 300 ⇒ 2α = 600.
l 2a 2

r
2.tan−1  ÷ = 2.300 = 600.
 h

Câu 49 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018). Cho hình lập phương

ABCD. A ' B ' C ' D '

(α )
a, một mặt phẳng
1
2
AM = a, CP = a
3
5

A.

11 3
a.
30

AA ', BB ', CC ', DD '
cắt các cạnh

có cạnh bằng

M , N , P, Q
lần lượt tại

. Biết

. Thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ là.

B.

a3
.
3

C.

2a 3
.
3

D.

11 3
a.
15

Đáp án A
ABCD.MNPQ
Thể tích của khối đa diện
đứng có đáy là

ABCD

và chiều cao

1  a 2a  11a
h =  + ÷=

2  3 5  30

bằng thể tích khối

hình hộp