(MEGA BOOK ) 113 câu hình học không gian

Câu 1

(MEGABOOK-2018)Cho tứ diện A B C D c ó A B C là tam giác cân tại A,
người ta để một quả cầu có bán kính r  l vào bên trong tứ diện từ đáy A B C sao cho
các cạnh A B , B C , C A lần lượt tiếp xúc với quả cầu và phần quả cầu bên trong
tứ diện có thể tích bằng phần quả cầu bên ngoài t ứ diện. Bi ết khoảng cách t ừ D đ ến
(ABC) bằng 2. Tính thể tích nhỏ nhất của tứ diện A B C D ?

3 3

A.

2 3

C.

B. 2 6
D. 4 3

Đáp án C
Tứ diện ABCD có chiểu cao không đổi do đó thể tích nhỏ nhất khi di ện tích tam giác
ABC nhỏ nhất. Vì AB, BC, CA lần lượt tiếp xúc với quả cầu và phần quả cầu bên trong
tứ diện có thể tích bằng phần quả cầu bên ngoài tứ diện nên tâm I của mặt cầu nằm

�
trong tam giác ABC. Đặt IBH  , X  tan
IH
1
2 tan 
2
 , AH  BH.tan 2  BH.


2
tan  x
1  tan  1  x 2

BH 

SABC 

Suy ra

AH.BC
2
 AH.BH 
�3 3
2
x  1 x2 

1
v ABCD min  .2.3 3  2 3
3
Do đó
Câu 2 (MEGABOOK-2018)Khối lập phương là khối đa diện đều loại
A.

 5;3

B.

 3; 4

C.

 4;3

D.

 3;5

Đáp án C
Khối lập phương là khối đa diện đều loại
Câu 3.

 4;3

(MEGABOOK-2018) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, AD = SA =

2a. Gọi E là điểm đối xứng của C qua SD. Bi ết SA vuông góc v ới đáy, tìm bán kính m ặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBD.
A.

2.

B.1

C. 5 .

C.

3.

Đáp án A
Cần phát hiện ra SB  BD, SC  CD suy ra A, B, C, D cùng thuộc mặt cầu tâm I,
.

R

SD
2


Vì E đối xứng với C qua SD nên IE  IC do đó cũng thuộc mặt cầu tâm I,

Vậy bán kính mặt cần tìm là
Câu 4.

R

R

SD
2

SD
4a 2  4a 2

 a
2
2

(MEGABOOK-2018) Hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thi ết di ện

qua trục bằng 10a. Thể tích của khối trụ đã cho bằng:
3
A. 5a

3
B. a

C.3 a

D. 4 a

3

3

Đáp án C

Thiết diện qua trục là 1 hình chữ nhật.
Giả sử chiều cao của hình trụ là b.
Theo đề ra

2  2a  b   10a � b  3a

2
3
Thể tích khối trụ là V  S.h  a .3a  3a

Đáp án D

Câu 5.

(MEGABOOK-2018) Một hình nón có tỉ lệ giữa đường sinh và bán kính đáy

bằng 2. Góc của hình nón bằng:
A. 120

Ta có:

0

� 
sin OSB

�  60�
� ASB

A. 30

0

OB 1
�  30�
 � OSB
SB 2

C. 150

0

0

D. 60 .


Câu 6 (MEGABOOK-2018). Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Các đi ểm
AM 1 BN CP 2



M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AA’, BB’, CC’ sao cho AA ' 2 , BB' CC ' 3 . Thể tích
khối đa diện ABC.MNP bằng:
2
V
A. 3

9
V
B. 16

20
V
C. 27

D.

11
V
18
Đáp án D

Có

VA '.B'C 'CB 

2
V  VM.B'C 'CB
3

1
1
2
V1  VM.NPCB  d  M,  CC ' B 'C   .SNPCB  d  M,  CC 'B 'B   . SCC'B'C
3
3
3
Đặt
2 1
2
2 2
4
. d  M.  CC 'B 'C   .SCC'B'C  VM.CC 'B'B  . V  V
3 3
3
3 3
9
1
1 1
1
V2  VM.ABC  d  M,  ABC   .SABC  . d  A ';  ABC   .SSBC  V
3

3 2
6
Vậy

VABC.MNP  V1  V2 

4
1
11
V V  V
9
6
18

Chú ý: Thật ra ta có thể giải đơn giản như sau
VANC.MNP 1 �A ' M B' N C ' P � 11
 �


�
V
3 �AA ' BB ' CC ' � 18

Câu 7.

(MEGABOOK-2018)Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy bằng 2a, khoảng cách

giữa hai đường thẳng SA và CD bằng a 3. Thể tích khối chóp đều S.ABCD bằng:
a3 3
.

A. 3

3
B. 4a 3

C. a

3

3.

Đáp án D
Ta có:

CD / /AB � CD / /  SAB 

Suy ra

d  CD; AB   d  CD;  SAB    d  C;  SAB    2d  O;  SAB  

4a 3 3
D. 3


� d  O;  SAB   

a 3
2

Gọi I là trung điểm AB � SI  AB

Dựng OH  SI

(tam giác SAB cân tại S)

(với HI �SI ). Khi đó ta có:

�
OH  AB  AB   SOI  
a 3
�
� OH   SAB  � d  O;  SAB    OH 
�
2
OH  SI
�
Tam giác SOI vuông tại O ta có:
1
1
1
OH.OI

 2 � SO 

2
2
OH
SO OI
OI 2  OH 2

a 3

.a
2
3a 2
a2 
a 3
4

1
4a 3 3
2
V  a 3.4a 
3
3
Vậy
Câu 8.

(MEGABOOK-2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C,

AB  a 5 , AC = a. Cạnh bên SA = 3a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Th ể tích c ủa kh ối
chóp S.ABC bằng:
5 3
a
A. 2

3
B. 3a

3
C. a

3
D. 2a

Đáp án C
Vì ABC vuông nên áp dụng Pitago:
CB  AB2  AC 2  5a 2  a 2  2a

1
SABC  .a.2a  a 2
2
Diện tích đáy
1
1
VS.ABC  .SABC .SA  .a 2 .3a  a 3
3
3
Thể tích khối chóp:
Câu 9.
diện?

(MEGABOOK-2018) Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa


Đáp án C
Vì hình C vi phạm tính chất "Mỗi cạnh của mi ền đa giác nào cũng là c ạnh chung c ủa
đúng hai miền đa giác"
Câu 10:

(MEGABOOK-2018) Cho tứ diện ABCD có

AD   ABC 

, đáy ABC thỏa mãn

cot A  cot B  cot C
BC
CA
AB



.
2
AB.AC BC.BA CA.CB Gọi H, K lần lượt là hình
điều kiện
chiếu vuông góc của A lên DB và DC. Tính thể tích V của kh ối c ầu ngo ại ti ếp kh ối chóp
A.BCHK.

A.

V

32
3

B.

V

8

3

C.

V

4
3 3

D.

V

4
3

Đáp án A
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do tam giác AHB
vuông tại H nên I thuộc trục của tam giác AHB. Tương t ự I cũng
thuộc trục của tam giác AKC. Suy ra I cách đều A, B, H,K, C nên nó là
tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCKH. Gọi R là bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCKH thì R cũng là bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có:

cot A  cot B  cot C 

b2  c2  a 2 a 2  c2  b2 a 2  b 2  c2 a 2  b 2  c2




4S
4S
4S
4S

cot A  cot B  cot C
BC
CA
AB



2
AB.AC BC.BA CA.CB
Nên


�

a 2  b 2  c 2 a sin A
b sin B c sin C



8S
bc sin A ca sin B ab sin C

�

a 2  b 2  c2
a2
b2
c2
4
32



� R  2 � V  R 3 
8S
4RS 4RS 4RS
3
3

Câu 11:

(MEGABOOK-2018) Cho hình lập phương ABCD.A ' B'C ' D ' có cạnh bằng a.

Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đ ường tròn đáy ngo ại ti ếp hình vuông
ABCD và A ' B'C ' D ' . Tính S.
2
A. S  a

a 2 2
S
2
B.

2

D. S  a 3

2
C. S  a 2

Đáp án C
Do hình trụ và hình lập phương có cùng chiều cao nên ta ch ỉ cần chú ý
đến mặt đáy như hình vẽ bên. Đường tròn đáy của hình trụ có bán kính

bằng một nửa đường chéo của hình vuông
Do đó thể tích hình trụ cần tìm bằng
Câu 12:

ABCD; R 

S  2Rh  2

a 2
.
2

a 2
a  a 2 2.
2

(MEGABOOK-2018) Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường

cao AH tạo nên một hình nón. Tính diện tích xung quanh

A.

Sxq  a 2

B.

Sxq 

1 2
a
2

C.

Sxq 

Sxq

3 2
a
4

của hình nón đó.

D.

Sxq  2a 2

Đáp án B
Khi quay tam giác ABC quanh đường cao AH ta đ ược hình nón có bán kính đ ường tròn
a

R  BH  ,
2 đường sinh l  AB  a .
đáy là
a
1
Sxq  Rl   .a  a 2 .
2
2
Vậy diện tích xung quanh là


Câu 13 (MEGABOOK-2018)Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2 cm. Gọi M, N, P
lần lượt là trọng tâm của ba tam giác ABC, ABD, ACD. Tính th ể tích V c ủa kh ối chóp
AMNP .
A.

V

2
cm3
162

B.

V

2 2
cm 3
81

C.

V

4 2
cm3
81

D.

V

2
cm3
144

Đáp án C
Tam giác BCD đều

� DE  3 � DH 

2 3
3

AH  AD 2  DH 2 

2 6
3

1

SE FK  .d  E,FK  .FK 
2
1
� VSKFE  AH.SE FK
3

1 1
1
3
. d  D,BC  . BC 
2 2
2
4
1 2 6 3
2
 .
.

3 3
4
6

AM AN AP 2



AE
AK
A
F

3
Mà
VAMNP AM AN AP 8
8
4 2

.
.

� VAMNP 
VAEKF 
.
27
81
Lại có: VAEKF AE AK A F 27
�
2 3
2
2 2
a 
.8 
�VABCD 
2 2 2 4 2
�
12
12
3
� VA.MNP  .

�

27 3
81
�VA.MNP  2 . 2 . 2 . 1  2
�V
3 3 3 4 27
Chú ý: Chúng ta dễ thấy � A.BCD
Câu 14

(MEGABOOK-2018): Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A ' B'C 'D ' cạnh đáy

bằng a, góc giữa A’B và mặt phẳng

 A ' ACC '

o
bằng 30 . Tính thể tích V của khối lăng

trụ đã cho.
3
A. V  a 3

3
B. V  a 2

3
C. V  a

3
D. V  2a

Đáp án C
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ tứ giác đều nên ABCD, A’B’C’D’ là hình vuông cạnh a và
các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Có
mặt phẳng

 ACC 'A ' là A’I.

BD   ACC 'A '

tại I. Hình chiếu của A’B lên


Vậy góc giữa A’B và mặt phẳng
Có

BI 

� 'I  30o
 A 'ACC ' bằng BA

1
a 2
BD 
� A ' B  2BI  a 2 � A ' A  a
2
2

3
Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là V  SABCD .A A '  a .

Câu 15 (MEGABOOK-2018)Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B'C ' D '
có thể tích bằng 48. Tính thể tích phần chung của hai khối chóp A.B'CD ' và A ' BC 'D .
A. 10

B. 12

C. 8

D. 6

Đáp án C
Gọi O, O’, M, N, P, Q lần lượt là tâm của các hình ch ữ nh ật
ABCD, A ' B'C ' D ', A ' B'BA, BB 'C 'C, CC 'D ' D, AA ' D ' D.
Ta có phần chung của hai khối chóp AB’CD’ và A’BC’D là bát di ện
OMNOO’
Ta có tứ giác MNPQ là hình thoi nên:

SMNPQ 

1
1
NQ.MP  AB.AD
2
2

Suy ra thể tích bát diện OMNPQO ' là:
2
1
1
1

VOMNPQO '  2VO '.MNPQ  SMNPQ . A A '  AB.AD.A A '  .48  8
3
2
6
6
Câu 16 (MEGABOOK-2018): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân
o
�
�
 SBC 
tại B, AB  2a, SAB  SCB  90 và góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng
o
bằng 30 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A.

V

2 3a 3
3

B.

V

4 3a 3
9

C.

V

3a 3
3

D.

V

8 3a 3
3

Đáp án B
o
�
�
Dựng hình vuông ABCD tâm O. Do SAB  SCB  90 nên hình chóp S.ABC nội tiếp mặt

cầu tâm I đường kính SB với I là trung đi ểm c ủa SB. Do O là tâm đ ường tròn ngo ại ti ếp
tam giác ABC nên

OI   ABC  � SD   ABCD 

.


Kẻ

DK  SC � DK   SCB 

�  30o
� �
AB;  SBC    �
DC;  SAB    SCD
SD  DC tan 30o 
VS.ABC 

2a
3

1
1
1 2a
4a 3 3
VS.ABCD  .SD.SABCD  . .4a 2 
2
6
6 3
9

Câu 17 (MEGABOOK-2018): Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' cạnh a. Gọi N là
trung điểm của cạnh CC’. Mặt phẳng

 NAB  cắt hình hộp theo thiết diện là hình chữ

nhật có chu vi là:
A.



2 2a  a 5



B. 2a  a 5

C.



2 aa 5



D. Cả A, B, C đều sai

Đáp án B
Trong

 DCC ' D ' qua N kẻ NN’ song song với DC.

Thiết

diện

AB  a, BN 

là

hình

chữ

nhật

ABNN’

có:

a
5�
2
Chu vi ABNN’ là 2a  a 5 .

Câu 18 (MEGABOOK-2018) Hình bát diện đểu có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 4

B. 9

C. 2

D. 0

Đáp án B
Hình bát diện có 9 mặt đối xứng


Câu 19 (MEGABOOK-2018)Cho tứ diện đểu ABCD cạnh A. Gọi O là tâm của tam giác
đểu BCD. M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB. Quay hình thang BCMN quanh đ ường
thẳng AO ta được khối tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?

7 a 3 6
96
A.

7 a 3 6
B. 288

7 a 3 6
C. 216

7 a 3 6
36
D.

Đáp án B
Gọi các điểm như hình vẽ
Gọi V là thể tích khối tròn xoay khi xoay hình thang BCMN quanh
đường thẳng AO
Ta có: IMN, OBC là hai tam giác cân tại I, O và lần l ượt nằm
trong 2 mặt phẳng vuông góc với trục AO nên khi xoay hình thang
BCMN quanh đường thẳng AO ta được khối tròn xoay bị gi ới hạn
bởi hai hình nón cụt được tạo ra khi quay tứ giác IMBO quanh tr ục
AO và hình nón cụt được tạo ra khi quay tứ giác IKHO quanh trục AO
Lại có:
�
2a 3 a 3
BO 

�
3 2

3
�
�
BO a 3
IM 

�
2
6
�
�
1a 3 a 3
OH 

�
�
3 2
6
�
OH a 3
�
IK


�
2
12
�
a 6
�

AO  AB2  OB2 
�
3
�
AO a 6
�
AI 

�
2
6
�
1
1
7a 3 6
2
2
2
2
� V    BO .AO  IM .AI     OH .AO  IK .AI  
3
3
288
Câu 20: (MEGABOOK-2018)Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó
được thiết diện là tam giác đểu cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối nón theo a

A.

V

Đáp án B

a 3 3
12

B.

V

a 3 3
24

C.

V

a 3 3
6

D.

V

a 3
3


Vì thiết diện qua trục của tam giác đểu nên chiều cao của khối nón
cao tam giác đều), bán kính của đáy

r

h

a 3
2

(đường

a
2

1
1 a 2 a 3 a 3 3
V  r 2 h  

3
3 4 2
24
Vậy thể tích V của khối nón
Câu 21 (MEGABOOK-2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể
tích là V. Gọi M là trung điểm của SB. P là điểm thuộc cạnh SD sao cho SP = 2DP. Mặt
phẳng

A.

 AMP 

cắt cạnh SC tại N. Tính thể tích của khối đa diện ABCDMNP theo V

VABCDMNP 

23
V
30

B.

VABCDMNP 

19
V
30

C.

VABCDMNP 

Đáp án A

Gọi O là tâm hình bình hành
Gọi I  MP �SO � N  AI �SC
Ta có
S
S
1 SP SM SSPM SSPI  SSMI

.



 SPI  SMI
3 SD SB SSDB
SSDB
2SSDO 2SSBO


SI �SP SM � 7 SI
SI 4
�

� 
� .
2SO �SD SB � 12 SO
SO 7

2
V
5

D.

VABCDMNP 

7
V
30


Suy ra:
S

S
SN SSAN SSAI  SSNI
SI
SI SN 2 2 SN


 SAI  SNI 

.
  .
SC SSAC
SSAC
2SSAO 2SSAO 2SO 2SO SC 7 7 SC
�

SN 2

SC 5

VS.AMNP VS.AMP  VS.MNP
V
V
SA.SM.SP SM.SN.SP
7

 S.AMP  S.MNP 


V
V

2VS.ABD VS.BCPD 2SA.SB.SD 2SB.SC.SD 30
Suy ra
� VABCDMNP 
Câu 22:

23
V
30

(MEGABOOK-2018) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB  BC  5a, AC  6a.

Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng
A 'C 

( ABC) là trung điểm của AB và

a 133
.
2
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a
3
B. V  12 133a

3
A. V  12a

3
C. V  36a

3

D. V  4 133a

Đáp án C
Gọi H là trung điểm AB

Tam giác ABC có

HC 2 

AC2  BC2 AB2 97a 2


2
4
4

Trong A 'HC ta có:
A ' H  A 'C 2  HC 2 � A 'H  3a  h
2
Diện tích đáy S  12a

(dùng công thức Hê-rông)

2
3
Vậy thể tích Vcủa khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là V  Sh  12a .3a  36a

Câu 23 (MEGABOOK-2018)Cho khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình
vuông. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( ABCD) là trung điểm của AB, góc
. Thể tích khối chóp B’.ABCD là

giữa mặt phẳng (A’CD) và mặt phẳng (ABCD) là 60�
8 3a 3
.
2
Tính độ dài đoạn tahwngr AC theo a
2a
2 2a
3
3
A. 3 B.
3

C. 2a D. 2 2a


Đáp án D
Đặt AB  x, Dựng HK  CD
Vì

A 'H   ABCD  � A ' H  CD � CD   A ' HK  � A ' K  CD

Vì A ' HK vuông tại H nên A ' H  x tan 60� x 3
� �
HA '; KH   1
 A 'CD  ;  ABCD    �
�
cph�
t h�
nh b�
i Dethithpt.com]

Nhận thấy [��
V  3VB'.ABCD � A ' H.SABCD

8 3a 3
8 3a 3
2
3
� x 3.x  3
� x  2a
3
3

Vì ABCD là hình vuông nên AC  x 2  2a 2

Câu 24

(MEGABOOK-2018)Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A

�  30�
SB   ABC  , AB  a, ACB
,
góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là 60°. Tính
thể tích V của khối chóp S.ABC theo a.
3
A. V  3a

3
B. V  a

3

C. V  2a

D.

V

3a 3
2

Đáp án B
�
Ta có tam giác ABC vuông tại A và ACB  30�
�  60�
� ABC
, AB  a � BC  2a

Vì

SB   ABC  �

góc giữa SC và

 ABC 

�
chính là góc SCB  60�

Vậy đường cao của hình chóp SB  BC tan 60� 2 3a
1 AB.AC
a.a 3.a.2 3

V ,
.SB 
 a3
3
2
6
Vật thể tích khối chóp
Câu 25 (MEGABOOK-2018): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh
đáy đểu bằng a. Gọi O là tâm của ABCD. Gọi M là trung điểm SC và M' là hình chiếu
vuông góc của M lên (ABCD). Diện tích của tam giác M' BD bằng:


a2 6
A. 8

a2
B. 2

a2 2
C. 8

a2
D. 4

Đáp án D

a2 2
� SM 'BD  SMBD .cos�
 M ' BD  ;  MBD  
4

a2 2
a2
� SM 'BD 
.cos45�
4
4

SMBD 

Câu 26

(MEGABOOK-2018)Trong một hình đa diện lồi, mỗi cạnh là cạnh chung của

tất cả bao nhiêu mặt?
A. 5

B. 3

C. 4

D. 2

Đáp án D
Trong một hình đa diện lồi, mỗi cạnh là cạnh chung của hai mặt.
Câu 27 (MEGABOOK-2018)Cho tứ diện ABCD có AB  4a, CD  6a, các cạnh còn lại
đều bằng a 22. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .
5a
A. 2

B. 3a

a 85
C. 3

Đáp án C
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Ta có:

AB  MD, AB  MC � AB   MCD 

Tương tự:

CD  BN, CD  AN � CD   ANB 

�  MCD  ,  NAB 

là mặt phẳng trung trực của AB và CD.

Gọi I là điểm thuộc MN.
Do

I �MN � I � MCD  � IA  IB

Do

I �MN � I � NAB  � IC  ID

a 79
D. 3

Nếu I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thì ID  IB
2
2
Xét AMN vuông tại M: MD  AD  AM  3 2a
2
2
Xét MND vuông tại M: MN  MD  ND  3a

Đặt

MI  x, NI  3a  x  0  x  3a 

2
2
2
2
Ta có: R  BI  x  4a

R 2  ID 2   3a  x   9a 2
2

Mà

� x 2  4a 2   3a  x   9a 2 � x 
2

Câu 28:

7a

a 85
�R 
3
3

(MEGABOOK-2018) Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường

kính MN, PQ của hai đáy sao cho MN  PQ . Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt
đi qua 3 trong 4 điểm M, N, P, Q để thu được khối đá có hình tứ di ện MNPQ . Biết rằng
MN  60 cm và thể tích khối tứ diện MNPQ bằng 30dm3 . Tìm thể tích của lượng đá bị

cắt bỏ (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân).
A. 101,3dm

3

B. 141,3dm

3

C. 121,3dm

3

D. 111, 4dm

3

Đáp án D
Ta dễ dàng chứng minh được

 O ' MN  vuông góc với PQ.

1
1
VMNPQ  .SMNO .PQ  .O O '.MN.PQ
3
6
Do đó thể tích khối tứ diện MNPQ là:
1
d  MN, PQ   O O '  h � .60 2.h.1  30.103 � h  50cm.
6
Trong đó
Vậy thể tích của lượng đá bị cắt bỏ bằng:
2

V  Vt  VMNPQ  R 2 .h  30 

 �60 �
.
.50  30 �111, 4 dm 3 .
3 � �
10 �2 �

Câu 29 (MEGABOOK-2018) Cho hình nón đỉnh S. Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC là
tam giác ngoại tiếp đường tròn đáy của hình nón và có AB  BC  10a, AC  12a góc
tạo bởi hai mặt phẳng
3
A. 9a

 SAB 

và

3
B. 27 a

 ABC  bằng 45o . Tính thể tích khối nón đã cho.
3
C. 3a

D. 12a

3


Đáp án A
10a  10a  12a
 16a
2
Nửa chu vi tam giác ABC:
Diện tích tam giác ABC là:
S  p  p  a   p  b  p  c
 16a  16a  10a   16a  10a   16a  12a   48a 2
SABC

Mà

SABC 48a 2
 pr � r 


 3a,
p
16a
với r là bán kính của đường

tròn đáy nội tiếp tam giác ABC.
SO
� SO  IO.tan 45o  IO  3a
IO

tan SIO 

Lại có

1
1
2
Vnon  SO..r 2  .3a.  3a   9a 3
3
3
Thể tích khối nón là:
Câu 30

(MEGABOOK-2018): Cho hình chóp S.ABC có

SC  2a và SC   ABC  .

Đáy

   đi qua C và vuông góc
ABC là tam giác vuông cân tại B và có AB  a l2. Mặt phẳng
với SA,

 

cắt SA, SB lẩn lượt tại D, E. Tính thể tích khối chóp S.CDE.

4a 3
A. 9

2a 3
B. 3

2a 3
C. 9

Đáp án
VS.CDE SD SE
SD SE

.
� VS.CDE 
. .VS.CAB
V
SA
SB
SA
SB
S.CAB

Ta có:
VS.CAB

1
1
1
1 2 2a 3
 .SC. .BA.BC  .2a. .2a 
3
2
3
2
3

Xét SAC ta có:
SD SC 2
4a 2
1
SC  SD.SA �

 2

2
2
SA SA
4a  4a
2
2

Ta có:

AB   SBC  � AB  CE � CE   SAB  � CE  SB

Tương tự xét SBC ta có:
SC2  SE.SB �

SE SC 2
4a 2
2



2
2
2
SB SB
4a  2a
3

a3
D. 3


1 2 2a 3 2a 3
VS.CE F  . .

2 3 3
9
Vậy suy ra
(MEGABOOK-2018): Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có

Câu 31

A A '  a 3. Gọi I là giao điểm của AB’ và A’B. Cho bi ết khoảng cách từ I đ ến m ặt ph ẳng

 BCC ' B ' bằng

a 3
2 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ .

3
A. 3a

3a 3
C. 4

3
B. a

a3
D. 4

Đáp án A
Gọi E là trung điểm BC, M là trung điểm của BE, M là trung đi ểm của AB.
Ta có

IM / /  BCC 'B' 

nên:

d  I,  BCC 'B'    d  M,  BCC 'B'    MN 

a 3
2

Gọi b là cạnh của tam giác đều ABC .Ta có: EA  2MN  a 3
Mà

AE 

b 3
 a 3 � b  2a
2

Diện tích mặt đáy là:

SABC

 2a 


2

4

3

 a2 3

2

2
Thể tích hình lăng trụ là: V  SABC .A A '  a 3.a 3  3a .

Câu 32:

(MEGABOOK-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

mặt bên SAD là tam giác đểu cạnh 2a và nằm trong mặt ph ẳng vuông góc v ới m ặt

 SBC  tạo với mặt
phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết rằng mặt phẳng
o
phảng đáy một góc 30 .

A.

3a 3
2

Đáp án B

3
B. 2 3a

2 3a 3
C. 3

4 3a 3
D. 3

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC

� SI 

2a 3
a 3
2

(SI là đường cao của tam

giác đều SAD

Ta

có:

�
 SAD  � ABCD 
�
� SI   ABCD 
�
SI  AD,SI � SAD 
�

=> JI là hình chiếu vuông góc của JC lên

 ABCD 

�  30

SBC  ,  ABCD    �
JS, JI   SJI
�

Khi đó

o

SJI vuông tại I
� 
tan SJI

SI
SI
a 3
�IJ 

 3a
�
IJ
tan 30o
tan SJI

1
1
1
VS.ABCD  .SABCD .SI  .AD.I J.SI  .2a.3a.a 3  2a 3 3
3
3
3

(đơn vị thể tích).

Câu 33: (MEGABOOK-2018)Cho biết hiệu đường sinh và bán kính đáy của một hình
nón là a, góc giữa đường sinh và mặt đáy là . Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón
2
2
A. Smc  3a cot 

2
2
B. Smc  4a cot 

2
2
C. Smc  2a cot 

Đáp án B
Theo giả thiết ta có SA  OA  a,SAO  
Gọi R là bán kính đáy hình nón, r là bán kính mặt c ầu nội
�
cph�
t h�
nh b�
i Dethithpt.com]
tiếp hình nón [��
Khi đó:

OA  AH  r
IO  IH  r

SH  a

2
2
D. Smc  a cot 


Tam giác SHI vuông tại H có góc

HSI 



2
nên:

�
�
r  SH.tan �   � a.cot 
�2
�
Diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón

Smc  4r2  4a 2 cot 2 

Câu 34 (MEGABOOK-2018): Một hộp nữ trang có mặt bên ABCDE với ABCE là hình
chữ nhật, cạnh cong CDE là một cung của đường tròn có tâm là trung đi ểm M c ủa đo ạn
thẳng AB. Biết AB  12 3cm; BC  6cm; BQ  18cm. Hãy tính thể tích của hộp nữ trang
A.
C.









216 3 3  4 cm 3

B.

261 3 3  4 cm3

D.









216 4  3 3 cm3
261 4  3 3 cm3

Đáp án A
Ta có

V  BQ.SABCDE

Trong đó
SABCDE  SABCE  SCDE  SABCE   SMCDE  SMCE 
�122.120 1
�
 6.12 3  �
 .6.1 3 � 12 3 3  4 cm 3
2
� 360
�





Câu 35 (MEGABOOK-2018): Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn

 O; R  ,

 O; R  , Ký hiệu S1 ,S2 lần
với OO '  R 3 và một hình nón có đỉnh O’ và đáy là hình tròn
k
lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón. Tính

A.

k

1
3

B. k  2

Đáp án C
Ta có
S1  2R.R 3  2 3R 2
S2  R 3R 2  R 2  2R 2

C. k  3

S1
S2

D.

k

1
2


k
Vậy

S1
 3
S2

Câu 36 (MEGABOOK-2018)Gọi V là thể tích hình lập phương ABCD.A’B’C’D’,
tích của tứ diện A’ABD. Hệ thức nào sau đây là đúng?
A.

V  6V1

B.

V  4V1

C.

V  3V1

D.

V1

là thể

V  2V1

Đáp án A
Ta có
V  SABCD .AA '
1
V1  SABD .AA '
3

1

V 2SABDAA '
SABD  SABCD �

6
2
V1 1 S AA '
ABD
3
Mà
Câu 37 (MEGABOOK-2018): Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng
2, diện tích tam giác A’BC bằng 3. Tính thể tích khối lăng trụ

2 5
A. 3

B. 2 5

C.

2

D. 3 2

Đáp án D
Gọi M là trung điểm của BC.
BC  AM
�
� AC  A ' M
�
BC


AA
'
�
Vì
SA 'BC  3 �

1
1
A ' M.BC  3 � A ' M.2  3 � A ' M  3
2
2

AA '  AM 2  A ' M 2  32 
VABC.A 'B'C'  SABC .A 'A 

 3

2

 6

22 3
. 6 3 2
4

Câu 38 (MEGABOOK-2018): Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c ạnh
a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc v ới đáy. Bi ết th ể tích cho

a 3 15

.
 ABCD là
hình chóp S.ABCD là 6
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy


A. 30�

B. 45�

C. 60�

D. 120�

Đáp án C
Gọi H là trung điểm AB

1
a 3 15
a 15
SABCD  a 2 , VS.ABCD  SH.a 2 
� SH 
3
6
2
Ta có:
a2 a 5
HC  BC  BH  a 

4

2
2

2

2

�
SC,  ABCD   �
SC, HC   SCH
�
�  SH : CH 
tan SCH

a 15 a 5
�  60�
:
 3 � SCH
2
2

Câu 39 (MEGABOOK-2018)Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Bi ết

SA   ABCD

SB SC

 a.
2
3

và
Tính thể tích khối chóp S.ABCD

a3
a3
a3
a3
A. 2 B. 3 C. 6 D. 12

Đáp án B
Đặt cạnh hình vuông là x � AC  x 2.
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông SAB và SAC ta có
SA 2  SB2  AB2  SC 2  AC 2 � 2a2  x 2  3a2  2x2 � x  a
1
1
a3
V  SA.SABCD  a.a 2 
3
3
3
Thể tích khối chóp là

Câu 40 (MEGABOOK-2018)Biết rằng một hình đa diện H có 6 mặt là 6 tam giác đều.
Hãy chỉ ra mệnh đề nào dưới đây là đúng
A. Không tồn tại hình H nào có mặt phẳng đối xứng
B. Có tồn tại một hình H có đúng 4 mặt phẳng đối xứng
C. Không tồn tại hình H nào có đúng 5 đỉnh
D. Có tồn tại một hình H có hai tâm đối xứng phân biệt
Đáp án B

Luôn tồn tại một hình đa diện H có 4 mặt phẳng đối x ứng và có đúng 5 đ ỉnh, H không
có tâm đối xứng
Câu 41 (MEGABOOK-2018)Cho một khối lập phương biết rằng tăng độ dài cạnh của
3
khối lập phương thêm 2cm thì thể tích của nó tăng thêm 152cm . Hỏi cạnh của khối
lập phương đã cho là

A. 5cm

B. 6cm

C. 4cm

D. 3cm

Đáp án C
Gọi

a  cm 

là độ dài cạnh của khối lập phương, với a  0

Khi đó thể tích của nó là

V  a 3  cm3 

Sau khi tăng thêm 2cm, thì thể tích mới là

V '   a  2

3

 cm 
3

a  6  l 
�
3
V ' V  152 �  a  1  a 3  152 � 6a 2  12a  144  0 � �
a  4  tm 
�
Từ giả thiết, ta có

Câu 42:

(MEGABOOK-2018) Cho hai đường tròn

mặt phẳng phân biệt
cầu có thể đi qua

 P  ,  Q   C1  ,  C2 

 C1  ,  C2 

lần lượt chứa trong hai

có hai điểm chung A, B. Hỏi có bao nhiêu mặt

 C1  ,  C2  ?

A. Có đúng 2 mặt cầu phân biệt
B. Có duy nhất 1 mặt cầu
C. Có 2 hoặc 3 mặt cầu phân biệt tùy thuộc vào vị trí của

 P ,  Q

D. Không có mặt cầu nào
Đáp án B

 C  ,  C2  lần lượt lấy M, N sao cho hai điểm
Trên hai đường tròn 1
này không trùng hai điểm A, B. Khi đó 4 đi ểm M, N, A, B không
đồng phẳng nên tạo thành tứ diện ABMN. Mặt cầu

 C1  ,  C2  khi đó mặt  S

đi qua A, B, M, N

Do đó có duy nhất 1 mặt cầu

 S

đi qua


Câu 43:
(MEGABOOK-2018) Cho một hình nón có bán kính đáy bằng 5a, độ dài
đường sinh bằng 13a. Tính độ dài đường cao h của hình nón
A. h  7a 6

D. h  8a

h  12a

B.

C.

h  17a

Đáp án B
Xét hình nón như hình vẽ
Ta có tam giác SOB vuông nên
h  SO  SB2  OB2  169a 2  25a 2  12a
Câu 44:

(MEGABOOK-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O
�
, SA  SB  SC, SD  2a. Gọi  P  là mặt phẳng qua A và vuông
cạnh bằng a, ABC  60�
góc với SB tại K. Mặt phẳng

 P

chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích

V1
V1 , V2
V
trong đó 1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S. Tính V2

A. 11

B. 7

C. 9

D. 4

Đáp án A
Trong mặt phẳng

 SAB  ,

Ta chứng minh đưuọc

Tính được

�

dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc vưới SB tại K

 AKC   SB �  P 

SB  3a; BK 

là mặt phẳng

 AKC 

a 3

SK 5
�

6
SB 6

VS.AKC SK 5
5
5
1

 � VS.AKC  VS.ABC  VS.ABCD � V2  VS.ABCD
VS.ABC SB 6
6
12
12

� V1 

11
V
VS.ABCD � 1  11
12
V2

Câu 45:

(MEGABOOK-2018) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy

là tam giác vuông tại A, AB  a, AC  a 2. Biết rằng góc giữa hai

mặt phẳng

 AB 'C ' ,  ABC 

bằng 60�và hình chiếu A lên mặt


 A ' B 'C ' là trung điểm H của đoạn A’B’. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp
phẳng
tứ diện AHB’C’
A.

R

a 86
2

B.

R

a 82
6

C.

R

a 68
2

D.

R

a 62
8

Đáp án D
Kẻ

Vì

HK  B'C '  K ' �B 'C ' 
B' KH : B'A 'C ' �

HK
B'H
B 'H.A 'C '

� HK 
A 'C ' B'C '
B'C '

a
a 2
a 6
2

6

a 3
Ta có

B 'C '   AHK  �  AHK    AB 'C ' 

mà

AH   ABC  �  AHK    ABC 

AM   AHK  � ABC 
�
�
�
AM / /HK  M �BC  � �
� �
 60�
 ABC  ,  AB'C '   MAK
AK   AHK  � AB'C ' 
�
Kẻ

�  30�� AH 
� HAK

HK
a 2

tan 30� 2

Gọi D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B’HC’

� HD  B'D  C ' D  R 

B 'C '
B'C '
B'C '
a 3
3a 6




�HC ' 2sin 180� C
�' HA '
A 'C '
8
a 2
2sin B'
2
2
HC '
1,5a





2

a 62
�AH �

IA  IB '  IH  IC '  � � R 2 
8
�2 �
Do đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp AB’HC’ là:

Câu 46:

(MEGABOOK-2018) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,

BD  2a, SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC  a 3.
Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng

a 30
A. 5

2a 21
7
B.

 SAD

là

C. 2a

D. a 3


Đáp án B
BD  AC  2a, CD 

BD
SA.SC a.a 3 a 3
 a 2,SA  AC 2  SC 2  a,SH 


AC
2a
2
2

3a 2 a
AH  SA  SH  a 
 ,
4
2
2

2

2

�
cph�
t h�
nh b�
i Dethithpt.com]
Gọi O là tâm hình vuông ABCD [��
Ta có

d  B,  SAD    2d  O;  SAD    4d  H,  SAD  

1
a 2
HI / /CD  I �AD  , HI  CD 
4
4
Kẻ
K � HK   SAD 
Kẻ HK  SI tại

� d  B,  SAD  

a 3 a 2
.
2
4  2a 21
 4HK  4.
 4.
7
SH 2  HI 2
3a 2 2a 2
.
4 16
SH.HI

Câu 47: (MEGABOOK-2018) Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’ D’ có đáy
Biết mặt phẳng
3
A. 478m

 D 'BC 

4 3  m .

. Thể tích khối lăng trụ là:
hợp với đáy một góc 60�
3
B. 648m

3
C. 325m

3
D. 576m

Đáp án D
Ta thấy ABCD.A’B’C’D’là một hình lăng trụ tứ giác đều, cũng có nghĩa nó là một hình hộp
đứng có đáy hình vuông cạnh
Ta có

4 3  m

BD  CD, BC  DD ' � BC   CDD 'C '  � BC  CD '

Suy ra

�'CD  60�
CD ', CD   D
 D 'BC  ,  ABCD   �

�

D 'CD vuông tại D nên:
tan D 'CD 

DD '
� DD '  4 3.tan 60� 12  m 
CD