SKKN gợi ĐỘNG cơ CHO VIỆC HÌNH THÀNH ĐỊNH lý và ĐỊNH HƯỚNG GIẢI một số bài tập ở CHƯƠNG 2, 3 HÌNH học lớp 11

Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GỢI ĐỘNG CƠ CHO VIỆC
HÌNH THÀNH ĐỊNH LÝ VÀ ĐỊNH HƯỚNG GIẢI
MỘT SỐ BÀI TẬP Ở CHƯƠNG II, III .HÌNH HỌC
LỚP 11
Người thực hiện: Cao Tú Cường
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2014
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay nhằm
phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo và độc lập suy nghĩ của học sinh, đòi
hỏi học sinh chủ động trong quá trình tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ
nhận thức dưới sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên. Vì vậy, việc giáo dục
Toán học ở trường THPT đặt ra yêu cầu đối với người học phải có nền tảng tri
thức cơ bản vững vàng, nâng cao khả năng ứng dụng, vận dụng vào học tập
và đời sống. Dù khai thác theo định hướng nào, đều có quan điểm chung trên
tinh thần đổi mới phương pháp giảng dạy theo Lý thuyết kiến tạo, tức là: học
sinh phải huy động kiến thức, tập trung suy nghĩ, độc lập sáng tạo để giải
quyết vấn đề dưới sự hướng dẫn, gợi động cơ của giáo viên.
Ở những lớp dưới, thầy giáo thường dùng những cách như: cho điểm,
khen chê, thông báo kết quả học tập cho gia đình… để gợi động cơ. Càng lên
lớp cao, cùng với sự trưởng thành của học sinh, với trình độ nhận thức và giác
ngộ chính trị ngày càng được nâng cao, những cách gợi động cơ xuất phát từ
nội dung hướng vào những nhu cầu nhận thức, nhu cầu của đời sống, trách
nhiệm đối với xã hội ngày càng trở nên quan trọng.
Việc phát triển tư duy Hình học luôn gắn với khả năng phát triển trí tưởng

tượng không gian, phát triển tư duy Hình học luôn gắn với việc phát triển của
phương pháp suy luận; việc phát triển tư duy Hình học sẽ kéo theo sự phát
triển tư duy Đại số. Như vậy, dạy học Hình học không gian cần phải được chú
trọng.
Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của SKKN là:
“Gợi động cơ cho việc hình thành định lý và định hướng giải một số bài
tập ở chương II, III. Hình học lớp 11” .
2. NỘI DUNG
2
2. 1. Cơ sở lí luận
Gợi động cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi bắt đầu dạy một tri thức
nào đó mà phải xuyên suốt quá trình dạy học. Vì thế có thể phân biệt gợi động
cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơ kết thúc.
Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những hoạt
động và của đối tượng hoạt động. Gợi động cơ nhằm làm cho những mục tiêu


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

sư phạm biến thành những mục tiêu của cá nhân học sinh, chứ không phải chỉ
là sự an bài, đặt vấn đề một cách hình thức.
Các hoạt động gợi động cơ hình thành định lý và giải bài tập Toán. Từ
các khái niệm, định lý cơ bản đã học giúp học sinh xây dựng các quy trình giải
bài toán Hình học không gian điển hình.
2. 2. Thực trạng của vấn đề
Trong việc học tập môn hình học không gian đa số học sinh thường cho
là khó hiểu và khó tiếp cận, vì hình học không gian lớp 11 được triển khai bằng
phương pháp tiên đề.
Trên cơ sở bám sát vào chương trình và sách giáo khoa Hình học 11 hiện
hành nếu người thầy giáo biết quan tâm, khai thác và vận dụng phương pháp

phù hợp trong dạy học hình thành định lý và giải bài tập Toán thì sẽ tổ chức tốt
hoạt động nhận thức cho học sinh và từ đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy
học Toán ở trường THPT.
2. 3. Giải pháp thực hiện
a) Gợi động cơ cho việc hình thành định lý:
Đối với việc dạy học định lý Toán học, người ta phân biệt hai con đường:
con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn. Hai con đường này
được minh họa bằng sơ đồ sau:
Con đường có khâu suy đoán Con đường suy diễn
3
Gợi động cơ và phát biểu vấn đề
Gợi động cơ và phát biểu vấn đề
Dự đoán và phát biểu định lí Suy diễn định lý
Chứng minh định lí Phát biểu định lí
Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề dặt ra
Củng cố định lí
Qua sơ đồ trên cho thấy, dù đi theo con đường nào chúng ta cũng phải
chú ý tới bước gợi động cơ cho việc hình thành định lý. Việc gợi động cơ cho
việc hình thành định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc
trong nội bộ Toán học [1, tr.383].
Dưới đây chúng ta xét cụ thể một số ví dụ thông qua dạy học các định lý
về hai đường thẳng chéo nhau quan hệ vuông góc:
Ví dụ 1: Gợi động cơ cho việc hình thành định lý đường vuông góc chung
của hai đường thẳng chéo nhau:
"Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, luôn luôn có duy nhất một
đường thẳng
∆
cắt cả a và b, và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy. Đường
thẳng
∆

Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

đó được gọi là đường vuông góc chung của a và b" [2, tr.80].
Để dạy học định lý này, đầu tiên chúng ta có thể gợi động cơ cho học sinh
như sau:
- Hai đường thẳng song song luôn luôn
có đường vuông góc chung.
• Xét mô hình hình lập phương
ABCD.A'BCD'
4
A'
B'
C'
D'
B
A
D
C
Hình 1.1
b
∆
a
Nếu ta xem a là đường thẳng đi qua B', C',
b là đường thẳng đi qua A', A. Khi đó đường
thẳng ∆ đi qua A', B' cắt và vuông góc với cả hai
đường thẳng a, b tại A' và B' (hình 1.1).
• Xét ba đường thẳng x, y, z đôi một
vuông góc và cắt nhau tại O. Tìm các đường

thẳng đó lần lượt lấy các điểm A, B, C khác O.
Khi đó các đường thẳng AB và z chéo nhau.
Hãy dựng một đường thẳng cắt và vuông góc
với hai đường thẳng chéo nhau nói trên? Đó
chính là đường thẳng d qua O và d vuông góc
AB(hình 1.2).
• Xét mô hình trực quan mô tả hai đường chéo bất kỳ: đường thẳng thứ
ba cắt và vuông góc làm bằng các thanh thép (hoặc nhôm) được hàn kết với
nhau.
Từ các trường hợp riêng hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với
nhau và xét mô hình trực quan để học sinh phát biểu mệnh đề tổng quát về
sự tồn tại và duy nhất đường thẳng cắt và vuông góc với hai đường thẳng
chéo nhau.
Ví dụ 2: Xét định lý mở đầu về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
"Nếu đường thẳng


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

∆
vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm
trong mặt phẳng (P) thì
∆
vuông góc với mọi đường thẳng c nằm trong mặt phẳng
(P)" [2, tr.59].
Tạo tình huống: Chúng ta có thể dùng các mô hình (có thể làm bằng tấm
bìa nhỏ và các dây thép nhỏ) và gợi ý cho học sinh như sau:
Vật liệu: Hai thanh thép (hoặc nhôm) mảnh, thẳng được hàn kết với nhau
ở giữa và tạo lỗ thủng để có thể cắm vừa vào thanh thép thứ ba vuông góc với
hai thanh nói trên; chúng mô tả các đường thẳng a, b cắt nhau và đường

thẳng thứ ba vuông góc với hai đường thẳng kia.
5
C
O
d
y
x
z
A
Hình 1.2
B
Hệ thống các thanh thép được đặt
trên tấm ván gỗ mỏng tượng trưng cho
phần mặt phẳng (P). Hai đường thẳng a,
b được mô tả bởi hai thanh thép a, b
nằm sát trên tấm ván và đường thẳng
thứ ba xuyên qua hai thanh thép a, b và
đồng thời xuyên qua tấm gỗ được giữ
chặt. Khi đó xét đường thẳng c bất kỳ đặt
nằm trên tấm ván và cho học sinh nhận
xét độ lớn các góc:
+ Góc giữa c và ∆', cũng là góc (c, ∆) khi c // a.
+ Góc giữa c và ∆' khi c // b.
+ Góc giữa c và ∆' khi c không song song với a và b.
Trong trường hợp cuối, học sinh có thể kết luận góc (c, ∆') bằng bao
nhiêu, giáo viên hướng dẫn đặt đầu thanh thép sát và vị trí giao của hai thanh
a, b nằm trên mặt phẳng (P) sao cho c' // c. Học sinh trực giác phán đoán độ
lớn góc (c', ∆') bằng 90
o
.

Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

Từ việc xem xét trên, giáo viên cho học sinh phán đoán mệnh đề về góc
giữa đường thẳng c bất kỳ thuộc (P) và đường thẳng ∆', có nghĩa là góc giữa c
và ∆: "Nếu đường thẳng
∆
vuông góc với hai đường cắt nhau a, b thuộc mặt
phẳng (P) thì
∆
vuông góc với mọi đường thẳng c thuộc (P)".
Ví dụ 3: Gợi động cơ phát hiện định lý: "Nếu mặt phẳng (
α
) chứa hai
đường thẳng a và b cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với mặt
phẳng (
β
) cho trước thì mặt phẳng (
α
) và (
β
) song song với nhau" [2, tr.33].
Tạo tình huống: Hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D

1
(hình 1.4a) làm bằng
bìa hoặc gỗ mỏng được cắt thành hai nửa ((hình 1.4b) và (hình 1.4c)) và
chúng có thể gắn kết lại bằng những nam châm mỏng.
Giáo viên cho học sinh quan sát (hình 1.4a) và nhận xét mặt phẳng
(ABCD) song song với mặt phẳng (A
1
B
1
C
1
D
1
). Cho học sinh nhận xét tiếp các
6


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

∆'
∆
a
c
c'
bO
P
Hình 1.3
cặp đường thẳng (AB, AD); (BA, BC); (CB, CD) đều có tính chất cắt nhau và
song song với mặt phẳng (A
1

B
1
C
1
D
1
). Giáo viên đặt câu hỏi cho học sinh:
"Cần bao nhiêu cặp đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng (ABCD) song
song với mặt phẳng (A
1
B
1
C
1
D
1
)?".
"Hãy quan sát hai hình được cắt ra: ở (hình 1.4b) chỉ có hai đường BA',
BC'
cắt nhau song song với mặt phẳng (B
1
C'
1
A'
1
) và (hình 1.9c) chỉ có cặp
đường thẳng (DA", DC") mỗi đường song song với mặt phẳng (A"
1
C"

Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

1
D
1
). Tuy
nhiên vẫn giữ nguyên các cặp mặt phẳng (A
1
BC
1
); (A'
1
B
1
C'
1
) song song với
nhau và (DA"C"), (D
1
A"
1
C"
1
) song song với nhau".
Từ các tình huống trên đề xuất học sinh phát biểu điều kiện để mặt phẳng
(P) song song với mặt phẳng (Q) nhằm phát hiện định lý.
b) Gợi động cơ định hướng giải bài tập:
Trong quá trình dạy học tìm phương pháp chung giải toán cần có những
gợi ý để thầy hỗ trợ cho trò và để trò tự định hướng suy nghĩ tìm ra lời giải.

Việc gợi động cơ định hướng giải các bài tập Toán thường được xảy ra thông
qua việc sử dụng các quy trình giải các dạng toán điển hình hoặc sử dụng các
bài tập gốc. Thông qua các quy trình hoặc các bài tập gốc, giáo viên hướng
dẫn học sinh giải bài toán theo quy trình hoặc tương tự bài tập gốc.
Sau đây là một bản gợi ý về căn bản dựa theo Polya được tác giả
Nguyễn Bá Kim đề cập trong "Phương pháp dạy học môn Toán", chúng ta có
thể áp dụng các bước 1, 2 để gợi động cơ định hướng giải bài tập.
7
a)
A
D
D
1
B


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

C
B
1
A
1
C
1
Hình 1.4
B
B
1
C'

1
C'
A'
D
A"
C"
1
C"
A"
1
A'
1
D
1
b) c)
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.
* Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thoả mãn các điều
kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?
* Hãy vẽ hình. Hãy sử dụng kí hiệu thích hợp.
* Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều
kiện đó thành công chức hay không?
Bước 2: Tìm cách giải
* Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một
dạng hơn khác?
* Hãy xét kỹ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng
cái chưa biết hay có cái cho biết tương tự?
* Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không? Có thể áp dụng một
định lý nào đó không?
* Thấy được một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể sử

Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụng phương
pháp giải bài toán đó. Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới áp
dụng được bài toán đó hay không?
* Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Một cách khác
nữa? Quay về những định nghĩa.
* Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán
có liên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường
hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần bài toán hay
không? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó cái cần tìm
được xác định đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn có
thể nghĩ ra những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái phải tìm
hay không? Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần
thiết, sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn không?
8
* Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điều kiện
hay chưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
* Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bước, thấy mỗi
bước đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán hay
không?
* Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp
ngay kết quả không?
* Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm ra
lời giải ngắn gọn và hợp lý nhất [1, tr.420-422].
Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cũng cần quan tâm cho học sinh biết
kiến thức nào là cơ sở và kiến thức nào có thể để học sinh tự học hoặc tự suy
luận được trên cơ sở kiến thức đã được lựa chọn truyền thụ cho học sinh.
Hoặc giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh xây dựng các bài toán gốc để

củng cố các khái niệm, định lý. Hệ thống bài tập gốc đóng vai trò hết sức quan
trọng và ngoài chức năng củng cố kiến thức cho học sinh, hệ thống bài tập gốc
còn góp phần định hướng tìm tòi lời giải cho các dạng toán, nhất là các dạng
toán có quy trình giải. Việc thực hiện quy trình trong dạy học toán không
những hướng cho học sinh tới tư tưởng thuật toán mà còn tạo điều kiện cho
sử dụng mềm mại, uyển chuyển các phương pháp dạy học khác nhau, dựa vào
những kiến thức cần truyền đạt để dạy học sinh tưởng tượng, phát triển trực
giác Toán học, giúp học sinh phát triển tư duy tích cực, độc lập sáng tạo. Chúng
ta hãy xét các ví dụ sau:
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD thuộc mặt phẳng (P). Gọi S là điểm
không thuộc mặt phẳng (P). Các điểm M, N lần lượt là trung điểm các đoạn AB
và SD. Xác định giao tuyến của các mặt phẳng.
a) (SMN) và (P)
b) (SMN) và (SAC)


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

Giáo viên gợi động cơ định hướng tìm lời giải bài toán trên bằng các câu
hỏi sau:
9
- Cho hai mặt phẳng (α) và (β) tìm giao tuyến hai mặt phẳng đó ta phải
làm như thế nào?
+ Ta phải tìm ra hai điểm chung A, B của 2 mặt phẳng đó. Vì A, B ∈ (α)
nên theo tiên đề hai của mặt phẳng thì mọi điểm trên đường thẳng AB đều
thuộc mặt phẳng (α). Tương tự với A, B ∈ (β). Vậy giao tuyến của (α) và (β) là
đường thẳng AB.
- Hãy vận dụng quy trình trên để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN)
và (P)?
a) Hãy tìm hai điểm chung của (SMN) và (P)?

D ∈ SN ∈ (SMN) ⇒ D ∈ (SMN) (1)
D ∈ (P) (2)
Từ (1) (2) ta có D là điểm chung thứ nhất
Lại có M ∈ AB ∈ (P)
M ∈ (SMN)
Vậy M là điểm chung thứ 2.
Giao tuyến cần tìm là đường thẳng DM.
b) - Hãy tìm giao tuyến của (SMN) và (SAC)?
- Hãy xác định 2 điểm chung của hai mặt phẳng đó?
S là điểm chung thứ nhất. Ta tìm điểm chung thứ hai.
- Nhận xét gì về hai mặt phẳng (SMN) và (SMD)?
Hai mặt phẳng đó trùng nhau vì D ∈ SN.
- Vậy việc tìm giao tuyến của (SMN) với (SAC) có thể quy về tìm giao
tuyến của (SMD) và (SAC). Tìm giao tuyến đó?
Gọi O là giao điểm của MD và AC. Ta có:
O ∈ MD ∈ (SMD)
O ∈ AC ∈ (SAC)
⇒ D là điểm chung thứ hai cần tìm.
10
⇒ O ∈ cả hai mặt phẳng (SMD) và (SAC)
S
N
D
A
M
B
C


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

O
Hình 2.1
Giao tuyến của 2 mặt phẳng (SMN) và (SAC) là SO (hình 2.10).
Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật
ABCD. A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' =
c. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng BB' và AC' [3, tr.86].
Giáo viên có thể hướng đích gợi
động cơ cho học sinh giải các bài tập
trên bằng câu hỏi sau: "Để tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a
và b ta phải làm như thế nào?".
Học sinh có thể dựa vào bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau: "Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Một mặt phẳng (P) chứa
b và song song với a. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng a,
b bằng khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)" để lập quy trình
giải bài toán này như sau:
Bước 1: Xác định mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.
Bước 2: Trên a chọn một điểm M sao cho hình chiếu của A xuống mặt
phẳng (P) là H dễ dàng xác định được.
Bước 3: Gắn MH vào trong một "hình" nào đó để thuận lợi cho việc tính
độ dài đoạn MH.
Học sinh vận dụng quy trình trên vào giải ví dụ thông qua việc trả lời các
câu hỏi sau:
• Xác định mặt phẳng (P) chứa BB' và song song với AC' hoặc ngược lại
chứa AC' song song với BB'?
Vì BB' // AA'
BB' // CC' ⇒
AC' ⊂ (ACC')

11
mặt phẳng (ACC') chứa AC' và
(ACC') song song với BB'.
A'
D'
C'
B'
A
B
C
D


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

H
Hình 2.2
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng BB' và AC' là khoảng cách giữa
BB' với mặt phẳng (ACC').
• Xác định khoảng cách giữa đường thẳng BB' với mặt phẳng (ACC')?
Gọi H là hình chiếu của B lên AC. Khi đó, ta dễ dàng chứng minh được
BH ⊥ (ACC'). vậy khoảng cách giữa BB và AC' là độ dài đoạn BH.
• Hãy tính độ dài đoạn BH?
Xét tam giác vuông ABC:
AC =
22
ba+
và
222
BC

1
BA
1
BH
1
+=
⇒ BH =
22
ba
ab
+
.
Đối với các dạng toán cần quan tâm tới trình tự sau:
Khái niệm, Định lý ⇒ dạng toán ứng dụng ⇒ quy trình giải ⇒ xây dựng
các bài tập gốc vận dụng quy trình ⇒ các bài toán nâng cao vận dụng lược đồ
trên nhằm thực hiện mục đích kép: vừa để khắc sâu khái niệm, định lý; vừa bồi
dưỡng năng lực huy động kiến thức cho học sinh khi giải các bài toán nâng
cao.
Ví dụ 6: Dạng toán xác định giao điểm
của một đường thẳng với một mặt phẳng.
Trước tiên giả thiết rằng đường thẳng
a cắt mặt phẳng (P) (đường thẳng a và mặt
phẳng (P) chỉ có một điểm chung I) (hình


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

2.3).
a) Quy trình xác định điểm I:
1. Xác định mặt phẳng (Q) chứa a và (Q) cắt (P): (Q) = (a, M); M ∈ (P).

2. Xác định giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng (P) và (Q).
12
(Q)
(P)
a
MI
Hình 2.3
3. Trong mặt phẳng (Q) xác định giao của đường thẳng a và ∆. Khi đó
I ∈ a và I ∈ ∆ nên I ∈ (P) ⇒ I là giao điểm cần tìm.
b) Bài toán gốc vận dụng quy trình nhằm khắc sâu quy trình và khắc sâu
các tính chất của mặt phẳng. Chẳng hạn xét bài toán:
Bài toán 1: "Cho tam giác ABC và điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC).
Trên các đoạn thẳng OA, OB, OC lần lượt lấy các điểm A', B', C' không trùng
với các đầu mút của đoạn thẳng đó. Gọi M là một điểm thuộc mặt phẳng
(ABC) và nằm trong tam giác ABC. Tìm giao điểm của đường thẳng OM với
mặt phẳng (A', B', C')" [4, tr.25].
Thực hiện các bước quy trình:
- Mặt phẳng (AOM) chứa OM và
cắt mặt phẳng (A', B', C') theo các tiên
đề 2 và 3.
- Giao tuyến của (OAM) và (A',
B', C') là A', K'.
- Trong mặt phẳng (OAM) các đường OM và A'K' cắt nhau tại I.
Ta có I là điểm cần tìm.
c) Các bài toán nâng cao mức độ khó khăn (vận dụng nhiều bước quy
trình hoặc nhiều kiến thức bổ trợ).
Bài toán 2: Cho tam giác ABC và điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC).
Gọi I là trung điểm cạnh BC. Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia AB, SC
nhưng không thuộc các đoạn AB, SC. Hãy xác định giao điểm H của đường
thẳng MN và mặt phẳng (SAI) [4, tr.26].

13
O
A'
C'
C
B
A


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

M
B'
K'
K
I
Hình 2.4
Giải:
- Mặt phẳng (SMC) chứa M, N vì chứa S và C (theo tiên đề 2).
- AI cắt MC tại K; K là điểm chung của (SMC) và (SAI).
- Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAI) và (SMC) là đoạn thẳng SK. Trong
mặt phẳng (SMC), đường thẳng MN cắt SK tại H - điểm cần tìm.
Ví dụ 2: Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) với khối đa diện.
a) Quy trình xác định thiết diện:
Cho khối đa diện (K) và một mặt phẳng (P). Nếu (P) cắt một số cạnh của
(K) thì hình phẳng tạo bởi các giao điểm ấy gọi là thiết diện của K với (P).
Dựng thiết diện của (K) với (P) thực tế là dựng các giao điểm của (P) với các
cạnh có thể có của (K).
b) Nêu bài toán gốc (các bài toán
vận dụng trực tiếp quy trình).

Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD. M
là một điểm trên cạnh BC. Tìm thiết diện
của tứ diện với mặt phẳng (D) qua M song
song với CD.
Ta có:
CD ⊂ (BCD)
CD // (D) ⇒ MN // CD (1)
(P) ∩ (BCD) = MN
Tương tự ta có RS // CD (2)
Từ (1), (2) ta có thiết diện MNRS là hình thang.
c) Bài toán nâng cao:
14
A
BD
C
M
N
Hình 2.5
S
R
Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và CD. Hãy dựng thiết diện của hình
chóp khi cắt mặt phẳng (MNP).
- Giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với (ABCD) là NP.
Kéo dài NP cắt AD tại J, cắt AB tại I ⇒ mặt phẳng (MIJ) trùng với mặt
phẳng (MNP).

- Do IM và SB cùng
phẳng - mặt phẳng (SAB) không song song nên MI ∩
SB = E. Ta có:
E ∈ SB
E ∈ (MNP)
⇒ ME là giao tuyến
của (MNP) với (SAB).
- Tương tự MF, FD,
EN là giao tuyến của mặt
phẳng (MND) với các mặt bên (SAD), (SDC), (SBC).
Vậy thiết diện là ngũ giác MENPF.
Ví dụ 3: Bài toán tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau.
Đối với bài toán tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, ta có thể
xây dựng được ba quy trình tương ứng với ba tính chất được trình bày trong
SGK Hình học 11, trang 82.
15
S
F
J
P
C
N
B
E
A
M
I
D
Hình 2.6
Tính chất 1: Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b. Một mặt phẳng (P)

chứa b song song với a. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng
a và b bằng khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Quy trình:
- Xác định mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

- Trên a chọn một điểm M sao cho hình chiếu của M xuống mặt phẳng
(P) là H dễ dàng xác định được.
- Gắn MH vào một trong hình H nào đó để thuận lợi cho việc tính toán.
Tính chất 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b. Mặt phẳng (P) chứa
a và song song (Q) chứa b. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường
thẳng a và b bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Quy trình:
- Xác định hai mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau lần lượt chứa a và b.
- Trên (P) hoặc (Q) chọn một điểm M sao cho hình chiếu của M lên (Q)
(hoặc (P)) là H dễ dàng thực hiện được.
- Tính độ dài MH.
Tính chất 3: Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. Khoảng cách giữa
hai đường thẳng a và b là độ dài đoạn vuông góc chung của a và b.
Quy trình:
- Xác định mặt phẳng (P) chứa a và song song với b.
- Xác định hình chiếu a' của b lên (P), giao điểm M của b với a' trong (P).
- Từ giao điểm M, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) cắt b tại N.
Đoạn vuông góc chung của a và b là MN.
- Tính độ dài đoạn MN.
Xây dựng bài tập gốc các quy trình này ta có thể chọn các bài tập 2, 3, 7
[2, tr.86]. Chẳng hạn, bài tập số 7 có thể chọn làm bài tập gốc cho quy trình 3.
Bài toán 1: Cho hình chóp SABCD có

ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
16
S
D
H
B
C
A
E
Hình 2.7
với đáy ABCD và SA = a. Xác định và tính độ
dài đoạn vuông góc chung của cặp đường
thẳng SB và AD [2, tr.86].
Giải:
SB ∈ mp(SBC)
SB // CD
Từ A kẻ AH ⊥ SB. Từ H kẻ HE // BC ⇒ AH ⊥ (SBC).
Vậy hình chiếu của AD lên (SBC) là HE.


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

Ta có: AH ⊥ SB, AH ⊥ AD nên AH là đoạn vuông góc chung của SB và
AD.
Xét ∆SAB có SA = AB = a nên ∆SAB cân tại A ⇒ AH = a
2
.
Bài toán nâng cao:
Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh

SA = h và vuông góc mặt phẳng (ABCD).
Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc
chung của SC và DB.
Giải:
Ta có:
BD ⊥ SA
BD ⊥ AC
Trong mặt phẳng (SAC) từ O hạ OH ⊥ SC tại H, ta có:
OH ⊥ SC
OH ⊥ BD (do BD ⊥ mp(SAC))
Vậy OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC.
17
⇒ AD // mp(SBC)
⇒ BD ⊥ mp(SAC) tại O
S
D
B
C
A
O
H
Hình 2.8
Ta có:
SC
SA
OC
OH
=
= sin ACS ⇒ OH =
22

2a h


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

h
.
2
2a
SC
SA.OC
+
=
.
2. 4. Kiểm nghiệm sư phạm
Việc thực nghiệm sư phạm được thực hiện tại Trường THPT Yên Định 2 năm
học 2013 – 2014.
Lớp thực nghiệm: Lớp 11A
4
có 42 học sinh.
Lớp đối chứng: Lớp 11A
5
có 43 học sinh.
Dựa vào kết quả kiểm tra chất lượng đầu năm thì chất lượng của 2 lớp
tương đối đều nhau.
Đối với lớp đối chứng vẫn dạy như những giờ bình thường. Việc dạy học
thực nghiệm và đối chứng được tiến hành song song theo lịch trình dạy của
nhà trường.
Thông qua các bài kiểm tra thường xuyên theo quy định của phân phối
chương trình và một bài kiểm tra hết chương kết quả như sau:

Kết quả kiểm tra bài số 1 như sau:
Điểm
Lớp
3 4 5 6 7 8 9 10 Tổng số bài
Thực nghiệm 4 3 4 8 9 9 5 0 42
Đối chứng 6 6 7 9 8 5 2 0 43
Lớp thực nghiệm có 35/42 (83, 3%) đạt trung bình trở lên, trong đó có
54, 8% khá giỏi. Có 5 em đạt điểm 9, không có em nào đạt điểm tuyệt đối.
Lớp đối chứng có 31/43 (72%) đạt trung bình trở lên, trong đó có 34, 9%
đạt khá giỏi. Có 2 em đạt điểm 9, không có em nào đạt điểm tuyệt đối.
Kết quả kiểm tra bài số 2 như sau:
Điểm
Lớp
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tổng số


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

bài
Thực nghiệm 1 1 3 5 7 9 9 8 1 42
Đối chứng 2 5 6 6 10 7 4 3 0 43
18
Lớp thực nghiệm có 37/42 (88, 9%) đạt trung bình trở lên, trong đó 60%
khá giỏi. Có 1học sinh đạt điểm tuyệt đối.
Lớp đối chứng có 30/43 (60, 8%) đạt trung bình trở lên, trong đó có 32, 6%
khá giỏi. Không có học sinh đạt điểm tuyệt đối.
Qua quan sát hoạt động dạy, học ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng,
tôi thấy:
- Ở lớp thực nghiệm, học sinh tích cực hoạt động, chịu khó suy nghĩ, tìm

tòi và phát huy tư duy độc lập, sáng tạo hơn ở lớp đối chứng. Hơn nữa, tâm lý
học sinh ở lớp thực nghiệm thoải mái, tạo mối quan hệ thân thiết, cởi mở giữa
thầy và trò.
- Khả năng tiếp thu kiến thức mới, giải các bài tập Toán cao hơn hẳn so
với lớp đối chứng. Các em có thể vận dụng các quy trình hoặc các phương
pháp giải các dạng toán cơ bản của Hình học không gian vào giải các bài tập
cụ thể.
- Năng lực giải quyết vấn đề trong tiết học của lớp thực nghiệm tốt hơn
so với lớp đối chứng. Các em biết huy động kiến thức cơ bản, các tri thức liên
quan để giải các bài tập Toán.
3. KẾT LUẬN
1. Đã bước đầu kiểm nghiệm được bằng thực nghiệm sư phạm nhằm
minh họa cho tính khả thi và tính hiệu quả của phương pháp sư phạm được
đề xuất.
2. Kết quả thu được trên bước đầu cho phép kết luận rằng:
Nếu giáo viên có phương pháp dạy học thích hợp và học sinh có kiến
thức cơ bản, vững chắc, khả năng huy động kiến thức cơ bản tốt thì sẽ có tác
dụng tốt trong việc tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh. Nhờ đó học
sinh nắm vững chắc và hiểu sâu các kiến thức được trình bày trong sách giáo
khoa, đồng thời phát triển tư duy sáng tạo, góp phần nâng cao hiệu quả dạy
học môn Toán.
3. Có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán ở Trường THPT.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
GIÁO VIÊN THỰC HIỆN
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
19
của mình viết, không sao chép
nội dung của người khác.
Cao Tú Cường
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

[1] Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học
sư phạm, Hà Nội.
[2] Văn Như Cương (chủ biên), Trần Đức Huyên, Nguyễn Mộng Hy (2000),
Hình học 11 (Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000), Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[3] Văn Như Cương (chủ biên), Trần Đức Huyên, Nguyễn Mộng Hy (2000),
Bài tập Hình học 11 (Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000), Nxb Giáo dục,
Hà Nội.
[4] Văn Như Cương (chủ biên), Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh (2000), Tài
liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 11 (Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000),
Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[5] Nguyễn Sinh Nguyên (chủ biên), Nguyễn Cương Nghi, Nguyễn Văn
Thông, Võ Quang Đa, Lê Hoành Phò (2001), Tuyển tập 750 bài tập
Toán Hình học 11, Nxb Đà Nẵng.
[6] Đào Tam (2005), Phương pháp dạy học Hình học ở trường THPT, Nxb
Đại học sư phạm, Hà Nội.
[7] Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận duy vật biện chứng
với việc học, dạy, nghiên cứu Toán học, Tập 1, Nxb Đại học quốc gia,
Hà Nội.