Thuật toán điểm gần kề đường dốc nhất giải một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian bannach (Luận văn thạc sĩ)

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

◆●❯❨➍◆ ❱❿◆ ❍❷■

❚❍❯❾❚ ❚❖⑩◆ ✣■➎▼ ●❺◆ ❑➋ ✣×❮◆● ❉➮❈
◆❍❻❚ ●■❷■ ▼❐❚ ▲❰P ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈
❇■➌◆ P❍❹◆ ❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆
❇❆◆◆❆❈❍

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ✶✵✴✷✵✶✽


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

◆●❯❨➍◆ ❱❿◆ ❍❷■

❚❍❯❾❚ ❚❖⑩◆ ✣■➎▼ ●❺◆ ❑➋ ✣×❮◆● ❉➮❈
◆❍❻❚ ●■❷■ ▼❐❚ ▲❰P ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈
❇■➌◆ P❍❹◆ ❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆
❇❆◆◆❆❈❍
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣
▼➣ sè✿ ✽✹✻✵✶✶✷

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
❚❾P ❚❍➎ ●■⑩❖ ❱■➊◆ ❍×❰◆● ❉❼◆

●❙✳❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ❇×❮◆●
❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❚❍Ó❨ ❍❖❆

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ✶✵✴✷✵✶✽




ử ử
ỵ



ữỡ ợ t t t tự
tr ổ





j ỡ





ổ ỗ

ố t







j ỡ





tỷ





t t tự tr ổ


t t tự j ỡ
ữỡ ữớ ố t

Pữỡ ữớ ố t ữỡ
t ổ ừ

j ỡ

ữỡ Pữỡ ữớ ố t
t t tự




Pữỡ





ợ





Pữỡ sỹ ở tử

Pữỡ







ổ t ữỡ


✐✈

✷✳✷✳✷

❙ü ❤ë✐ tö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✷✳✷✳✸

❱➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛

✸✺

❑➳t ❧✉➟♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✼
✸✽




ỵ
H
E
E
SE
R
R+

x
D(A)
R(A)
A1
I
d(x, C)
lim supn xn
lim inf n xn
xn x0
xn
x0
J
j
(T )
f

ổ rt tỹ
ổ
ổ ố ừ E
t ỡ ừ E
t số tỹ
t số tỹ ổ
t rộ
ợ ồ x
ừ t tỷ A
ừ t tỷ A
t tỷ ữủ ừ t tỷ A
t tỷ ỗ t
tứ tỷ x t ủ C
ợ tr ừ số {xn }
ợ ữợ ừ số {xn }
{xn } ở tử x0
{xn } ở tử x0
ố t
ố t ỡ tr
t t ở ừ T
ữợ ừ ỗ f





E ổ tỹ ỵ E ổ ủ
ừ E x , x tr ừ t t tử x X
t x E ừ E

ỵ

ã t t

tự tr ổ E ữủ t ữ s
C ởt t ỗ õ rộ ừ ổ tỹ

E F : E E ởt tr E
tỷ x C s F (x ), j(x x ) 0

x C,

j ố t ỡ tr ừ E F
C t r ở
t t tự ữủ ợ t t
P rt t ổ ố ỳ
ự t ừ t tự q tợ
t t tố ữ t
tr ỵ tt ữỡ tr r t t
tự tr ổ ổ ự ử ừ
õ ữủ ợ t tr ố s trt t rt
qts r ts ừ rrr t
t tr ố s rt
srt qts ts t r r Prs
ừ t
tr ữỡ t t tự
tr ổ ỗ õ t

ợ t r ở C t ổ ừ m

j ỡ ở ừ ữủ tr tr ữỡ
ữỡ ợ t ởt số t t ừ ổ
ỗ õ t ố
t j ỡ t tỷ tr ổ ỗ
tớ tr ữỡ ữớ ố t t t
tự tr t t ở ừ ổ ữỡ
ữớ ố t ữỡ t ổ
ừ mj ỡ tr ổ
ữỡ tr ữỡ t ủ ợ ữỡ
ữớ ố t ởt ữỡ ữỡ
t t tự ợ
j ỡ t t r ở t ổ
ừ mj ỡ tr ổ ỗ
õ t
ữủ t t rữớ ồ ồ ồ
t tổ ỷ ớ ỡ t s
s t ữớ ữớ t t ú ù tổ
tr sốt q tr
ổ ỷ ỡ qỵ ổ tr ừ
trữớ ồ ồ t t tr t
tự qỵ tổ tr sốt q tr tổ ồ t
t trữớ
ổ ỷ ỡ qỵ ổ tr Pỏ t ừ
rữớ ồ ồ t t ủ

tổ t ữỡ tr ồ t tỹ
ố ũ tổ ỷ ớ ỡ ở
t t ủ tổ t

t





✹

❈❤÷ì♥❣ ✶

●✐î✐ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
❜✐➳♥ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ♠ö❝✳ ▼ö❝ ✶✳✶ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠
✈➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉ ❝â ❝❤✉➞♥
❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉✱ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝✱ →♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔
t♦→♥ tû ❣✐↔✐ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ▼ö❝ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ❣✐î✐
t❤✐➺✉ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ tr➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ✤÷í♥❣ ❞è❝ ♥❤➜t ❣✐↔✐ ❜➜t
✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ tr➯♥ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t
t➻♠ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝
✈✐➳t tr➯♥ ❝ì sð ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶❪✕❬✸❪✱ ❬✶✶❪✕❬✶✹❪ ✈➔ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ✤÷ñ❝ t❤❛♠
❝❤✐➳✉ tr♦♥❣ ✤â✳

✶✳✶ ⑩♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉
❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈î✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔

E ∗ ✳ ❚❛ ❞ò♥❣ ❦þ ❤✐➺✉ . ❝❤♦ ❝❤✉➞♥ tr♦♥❣ E ✈➔ E ∗ ✈➔ ✈✐➳t t➼❝❤ ✤è✐
♥❣➝✉ x, x∗ t❤❛② ❝❤♦ ❣✐→ trà ❝õ❛ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ x∗ ∈ E ∗ t↕✐
✤✐➸♠ x ∈ E ✱ tù❝ ❧➔ x, x∗ = x∗ (x)✳ ❱î✐ ♠ët →♥❤ ①↕ A : E → 2E ✱ t❛
s➩ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♠✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤✱ ♠✐➲♥ ❣✐→ trà ✈➔ ✤ç t❤à ❝õ❛ ♥â t÷ì♥❣ ù♥❣


✺

♥❤÷ s❛✉✿

D(A) = {x ∈ E : A(x) = ∅},
R(A) = ∪{Az : z ∈ D(A)},
✈➔

G(A) = {(x, y) ∈ E × E : x ∈ D(A), y ∈ A(x)}.
⑩♥❤ ①↕ ♥❣÷ñ❝ A−1 ❝õ❛ →♥❤ ①↕ A ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐✿

x ∈ A−1 (y) ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ y ∈ A(x).

✶✳✶✳✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤↔♥ ①↕✱ ♥➳✉

✈î✐ ♠å✐ ♣❤➛♥ tû x∗∗ ∈ E ∗∗ ✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ E ✱ ✤➲✉
tç♥ t↕✐ ♣❤➛♥ tû x ∈ E s❛♦ ❝❤♦

x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) ∀x∗ ∈ E ∗ .
◆➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕ t❤➻ ♠å✐ ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ E
✤➲✉ ❝â ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tö ②➳✉✳ ✣â ❧➔ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ s❛✉ ✤➙②✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✷ ✭①❡♠ ❬✸❪✮ ❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝

❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
(i) E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕✳
(ii) ▼å✐ ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ E ✤➲✉ ❝â ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tö ②➳✉✳

❑þ ❤✐➺✉ SE := {x ∈ E : x = 1} ❧➔ ♠➦t ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à ❝õ❛ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✳ ❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ❝❤➦t ✈➔
❧ç✐ ✤➲✉✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸

(i) ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧ç✐ ❝❤➦t
♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ x, y ∈ SE ✱ x = y ✱ s✉② r❛
(1 − λ)x + λy < 1 ∀λ ∈ (0, 1).


✻

(ii) ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧ç✐ ✤➲✉ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ε ∈ (0, 2]
✈➔ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ x ≤ 1, y ≤ 1✱ x − y ≥ ε t❤ä❛ ♠➣♥
t❤➻ tç♥ t↕✐ δ = δ(ε) > 0 s❛♦ ❝❤♦ (x + y)/2 ≤ 1 − δ ✳
▼è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉✱ ❧ç✐ ❝❤➦t ✈➔ ♣❤↔♥ ①↕
✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ✤à♥❤ ❧þ ❞÷î✐ ✤➙②✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✹ ✭①❡♠ ❬✸❪✮ ▼å✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉ ✤➲✉ ❧➔ ❧ç✐

❝❤➦t ✈➔ ♣❤↔♥ ①↕✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ trì♥ ♥➳✉ ✈î✐
♠é✐ ✤✐➸♠ x ♥➡♠ tr➯♥ ♠➦t ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à SE tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ♣❤✐➳♠

❤➔♠ gx ∈ E ∗ s❛♦ ❝❤♦ x, gx = x ✈➔ gx = 1.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✻
(i) ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ♥➳✉
✈î✐ ♠é✐ y ∈ SE ❣✐î✐ ❤↕♥
x + ty − x
✭✶✳✶✮
lim
t→0
t
tç♥ t↕✐ ✈î✐ x ∈ SE ✱ ❦þ ❤✐➺✉ y,
x ✳ ❑❤✐ ✤â
x ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤↕♦
❤➔♠ ●➙t❡❛✉① ❝õ❛ ❝❤✉➞♥✳

(ii) ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉ ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ y ∈ SE ✱
❣✐î✐ ❤↕♥ ✭✶✳✶✮ ✤↕t ✤÷ñ❝ ✤➲✉ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ SE ✳
▼è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥ ✈➔ t➼♥❤ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉①
❝õ❛ ❝❤✉➞♥ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ✤à♥❤ ❧þ s❛✉✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✼ ✭①❡♠ ❬✸❪✮ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ trì♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾

❦❤✐ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ E ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① tr➯♥ E \ {0}✳
✶✳✶✳✷ ⑩♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✽ ⑩♥❤ ①↕ Js : E → 2E ,
∗

s > 1 ✭♥â✐ ❝❤✉♥❣ ❧➔ ✤❛

trà✮ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

Js x = {uq ∈ E ∗ :

x, us = x

us , us = x

s−1

},


✼

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✳ ❑❤✐

s = 2✱ →♥❤ ①↕ J2 ✤÷ñ❝ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ J ✈➔ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉
❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ E ✳ ❚ù❝ ❧➔
Jx = {u ∈ E ∗ :

x, u = x

u , u = x }.

❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H ✱ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❧➔ →♥❤ ①↕
✤ì♥ ✈à I ✳ ❑þ ❤✐➺✉ j ❝❤➾ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✤ì♥ trà✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✾ ⑩♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ J

: E → E ∗ ❝õ❛

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

(i) ▲✐➯♥ tö❝ ②➳✉ t❤❡♦ ❞➣② ♥➳✉ J ✤ì♥ trà ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö
②➳✉ ✈➲ ✤✐➸♠ x t❤➻ Jxn ❤ë✐ tö ②➳✉ ✈➲ Jx t❤❡♦ tæ♣æ ②➳✉∗ tr♦♥❣ E ∗ ✳
(ii) ▲✐➯♥ tö❝ ♠↕♥❤✲②➳✉∗ ♥➳✉ J ✤ì♥ trà ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤
✈➲ ✤✐➸♠ x t❤➻ Jxn ❤ë✐ tö ②➳✉ ✈➲ Jx t❤❡♦ tæ♣æ ②➳✉∗ tr♦♥❣ E ∗ ✳
❚➼♥❤ ✤ì♥ trà ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝â ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ✈î✐ t➼♥❤
❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ❝õ❛ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✶✵ ✭①❡♠ ❬✸❪✮ ❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈î✐ →♥❤ ①↕

✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ J : E → 2E . ❑❤✐ ✤â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔
t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
(i) E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥✳
(ii) J ❧➔ ✤ì♥ trà✳
(iii) ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ E ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✈î✐
x = x −1 Jx✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✶✶ ✭①❡♠ ❬✸❪✮ ❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❝â ❝❤✉➞♥
❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉✳ ❑❤✐ ✤â →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ j : E → E ∗
❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ✤➲✉ ♠↕♥❤✲②➳✉∗ tr➯♥ ♠å✐ t➟♣ ❝♦♥ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ E ✳
∗

✶✳✶✳✸ ⑩♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✷ ⑩♥❤ ①↕ A : E → E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

✽

(i) η ✲j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ❤➡♥❣ sè η > 0 s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐
x, y ∈ D(A)✱ ♠✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ A✱ t❛ ❝â
Ax − Ay, j(x − y) ≥ η x − y 2 , j(x − y) ∈ J(x − y);
(ii) α✲j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ♥❣÷ñ❝ ✭❤❛② α✲✤ç♥❣ ❜ù❝ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉✮ ♥➳✉ tç♥
t↕✐ ❤➡♥❣ sè α > 0 s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ D(A)✱ t❛ ❝â
Ax − Ay, j(x − y) ≥ α Ax − Ay 2 , j(x − y) ∈ J(x − y);
(iii) j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ D(A)✱ t❛ ❝â
Ax − Ay, j(x − y) ≥ 0, j(x − y) ∈ J(x − y);
(vi) j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ ♥➳✉ A ❧➔ →♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ✤ç t❤à G(A) ❝õ❛
→♥❤ ①↕ A ❦❤æ♥❣ t❤ü❝ sü ❜à ❝❤ù❛ tr♦♥❣ ❜➜t ❦➻ ♠ët ✤ç t❤à ❝õ❛ ♠ët
→♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ❦❤→❝❀
(v) m✲j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♥➳✉ A ❧➔ →♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ R(A + I) = E ✱ ð ✤➙②
R(A) ❧➔ ❦þ ❤✐➺✉ ♠✐➲♥ ❣✐→ trà ❝õ❛ →♥❤ ①↕ A✳

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✸ ✭①❡♠ ❬✼❪✮ ❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥♥❛❝❤ t❤ü❝ ✈➔

trì♥✳ ❑❤✐ ✤â✱

x+y

2

≤ x

2

+ 2 y, j(x + y)

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✹ ❈❤♦ C

∀x, y ∈ E.

❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

❇❛♥❛❝❤ E ✳

(i) ⑩♥❤ ①↕ T : C → E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ L✲❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ♥➳✉
tç♥ t↕✐ ❤➡♥❣ sè L ≥ 0 s❛♦ ❝❤♦
Tx − Ty ≤ L x − y

∀x, y ∈ C.

✭✶✳✷✮

(ii) ❚r♦♥❣ ✭✶✳✷✮✱ ♥➳✉ L ∈ [0, 1) t❤➻ T ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❝♦❀ ♥➳✉ L = 1
t❤➻ T ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳




T : C E ữủ ồ
t tỗ t số (0, 1) j(x y) J(x y) s

T x T y, j(x y) xy 2 (IT )x(IT )y

2

x, y C,


ợ số ổ ố r = 0 t T ữủ
ồ

t
(i) F : E E t t F L
tử st ợ L = 1 + 1/
(ii) ồ ổ tử

ờ E ổ tỹ

trỡ F : E E j ỡ
t ợ + > 1 õ (0, 1) I F ợ
số 1 , tr õ = 1 (1 )/.
tỷ
t ỳ rst ởt tt ỳ ữủ t r r
ố t ổ t ởt ự ữỡ tr
t t s tứ ự ữỡ tr
r số ởt ừ ữỡ tr t
t số t r ọ tt ữủ t r
rr t ữỡ tr
r
ởt A ữủ ồ tọ

D(A) R(I + A) > 0,
D(A) õ ừ ừ A

E ởt ổ A : D(A)

E 2E ởt j ỡ tọ
õ ợ ộ > 0 JA : R(I + A) D(A)
JA = (I + A)1



ữủ ồ t tỷ ừ A
tỷ ừ A õ t t s

ờ c2 c1 > 0 t

ợ ồ x E.
ờ ợ t ý số ữỡ à t ổ
õ
x JcA1 x 2 x JcA2 x

JA x = JàA

à A
à
x+ 1
J x

x E.

E ởt ổ

A ởt j ỡ tr E s D(A) R(I +tA)
ợ ồ t > 0 õ
1 A
1
Jt x JrA JtA x x JtA x ợ ồ x R(I + tA) r, t > 0.
r
t

t t tự tr ổ

t t tự j ỡ ữỡ
ữớ ố t
E ổ tỹ C t ỗ õ rộ
ừ E j : E E ố t ỡ tr ừ E
r t ổ tt F : E E ỡ
tr t t tự j ỡ ợ F
t r ở C ỵ (F, C) ữủ t ữ s
x C tọ

F x , j(x x ) 0 x C.

ỵ t ừ t t tự

S

QC

: E C ữủ ồ rút
ổ t t tứ E C QC tọ
(i) QC rút tr C tự Q2C = QC

(ii) QC ổ
(iii) QC t t tự ợ ồ 0 < t <
QC (QC (x) + t(x QC (x))) = QC (x).
C ữủ ồ t rút ổ t t tỗ t
rút ổ t t QC tứ E C
ỹ tỗ t ừ rút tứ ổ E t ỗ C
ữủ tr ờ ữợ

ờ ồ t C ỗ õ ừ ổ

ỗ E t rút ừ E tự tỗ t
rút tứ E C
ờ C t rộ ỗ õ ừ
ổ trỡ E QC : E C rút tứ E
C õ t s tữỡ ữỡ
(i) QC ổ t t
(ii) x QC (x), j(y QC (x)) 0 x E, y C

C t ỗ õ rộ tr ổ
tỹ E T : C C t t ở

ữủ t ữ s
x C tọ x = T x .



ỵ t t ở ừ T (T ) ố q
ỳ t t tự ợ t t
ở tr ổ trỡ ữủ tr ữợ




C t rộ ỗ õ

ừ ổ trỡ E õ t t tự
tữỡ ữỡ ợ t t ở
x = QC (I F )x ,

> 0,



tự S = (QC (I F ))

ự ờ t õ p (QC (I F ))

(p F p ) p , j(x p ) 0 F p , j(x p ) 0
ợ ồ x C > 0 > 0 t s r x S
ữủ ự


sỹ tữỡ ữỡ ừ t t tự tr
ổ trỡ ợ t t ở ữỡ
t tự tr ổ ụ
ữủ ỹ ỹ ữỡ t ở

F : E E L tử st j ỡ t
QC (I F ) ợ (0, 2/L2 ) õ t
ỵ Pr

xn+1 = QC (I n F )xn



ở tử x t tự
t ữỡ ữớ
ố t t tự tr t r ở C
t t ở ừ ởt ồ ỳ ổ
Ti i = 1, . . . , N tr ổ rt tỹ H

C := N
i=1 (Ti ) ỏ ữợ
un+1 = T[n+1] un n+1 àF (T[n+1] un ),

[n] := n mod N tr tr t {1, 2, . . . , N }

u0 t ý tr H à (0, 2/L2 ) Pữỡ




t ữủ ự ở tử
t ừ t t tự tr ổ
rt H C := N
i=1 (Ti ) ợ t t
số {n } ữ s (L1 ) limn n = 0 (L2 )

(L3 )


n=1 |n


n=1 n

=

n+N | <

N = 1 ữỡ ữớ ố ừ tr


un+1 = T (un ) n+1 àF (T un ).

r trữớ ủ F =

t ở tử x
ỹ t ừ (x) tr t r ở N
i=1 (Ti ) t
q ữủ ts ổ ố ì
ừ ữỡ ữớ ố ổ tỹ
t r ở C ừ t tự t
õ õ ừ ồ t t ở ừ
ồ õ t ữủ ừ t

Pữỡ ữớ ố t ữỡ
t ổ ừ j ỡ
r ử t t t t tự tr
trữớ ủ F j ỡ t tr E
t r ở C t ổ ừ Ai : E E
õ t t mj ỡ tr ổ E ỗ õ
t

C = N
i=1 ZerAi N 1,



ZerAi := {p D(Ai ) : 0 = Ai p}
C E (Ai I) t tr t ữỡ tr t tỷ

F x = 0 õ t ởt ừ j ỡ
L tử st F ợ D(F ) = E t sỷ ử
ữỡ ữớ ố t z 1 E t ý

{z k } ữủ

z k+1 = (I tk F )z k ,

k 1,



tr õ tk tọ s

tk (0, 1) limk tk = 0


k=1 tk

=

ợ t t tr t F ởt mj ỡ tr ổ
ởt tr ỳ ữỡ ờ t
ổ ừ mj ỡ A

x1 E, xk+1 = JrAk xk ,

k 1,

tr õ JrAk = (I + rk A)1 t tỷ ừ A {rk } số
tỹ ữỡ ỹ ở tử ừ ữủ ự tr
ổ rt tỹ H rỗ t tr s ổ
trỡ E
r rr s t tt t t
t t ừ ồ

y k = JrAk xk + ek ,

xk+1 = tk u + (1 tk )y k ,



{ek } s số ồ ự r {xk } s
r ở tử tợ PZerA u rút ổ t t
u ZerA ữợ



rk (0, ) ợ ồ k 1 limk rk =
k1 ek <

ồ ụ r tt t tự

y k = JrAk xk + ek ,

xk+1 = tk xk + (1 tk )y k ,

ở tử v ZerA ợ

v = limk PZerA xk





t t ữủ ự A ởt
ỡ ỹ tr ổ rt tỹ H tt t


✶✺

♥➔② ❧➔ ❝→❝ ❝↔✐ ❜✐➯♥ ❝õ❛ t❤✉➟t t♦→♥ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲✱ ♠ët t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤➾
❝❤♦ sü ❤ë✐ tö ②➳✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈æ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳ ▼ët ❝↔✐ ❜✐➯♥
❦❤→❝ ❝❤♦ sü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ t❤✉➟t t♦→♥ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ ✤÷ñ❝ ✤÷❛ r❛ ❜ð✐
❳✉ ❬✶✻❪ ✈➔ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐✿

xk+1 = JrAk ((1 − tk )xk + tk u + ek ),

k ≥ 1.

✭✶✳✶✻✮

❳✉ ❬✶✻❪ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❞➣② {xk } ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✶✳✶✻✮ ❤ë✐ tö

❳✶✿
✭✐✮ tk t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❈✶✮❀
✭✐✐✮ tk+1 ≤ rr ✈î✐ ♠å✐ k ≥ 1 ✈➔ limk→∞ t1
♠↕♥❤ tî✐ PZerA u ❞÷î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t

k+1

k
rk+1 tk

∞
k=1 rk tk+1

− 1 < ∞❀

k

rk+1 tk
rk tk+1

− 1 = 0 ❤♦➦❝

✭✐✐✐✮ {rk } ❧➔ ❞➣② sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣❀ ✈➔
✭✈✐✮ ✭❈✸✮✳
❍♦➦❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ❳✷✿
✭✐✮ tk t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❈✶✮ ✈î✐ ∞k=1 |tk+1 − tk | < ∞❀
✭✐✐✮ tk+1 ≤ rr ✈î✐ ♠å✐ k ≥ 1 ✈➔ limk→∞ t1 rr t t − 1 =
k+1

k
rk+1 tk

∞
k=1 rk tk+1

k+1 k

− 1 < ∞❀

k

k k+1

0 ❤♦➦❝

✭✐✐✐✮ {rk } ❧➔ ❞➣② sè t❤ü❝ s❛♦ ❝❤♦ 0 < r ≤ rk ≤ r ✈î✐ ♠å✐ k ≥ 1 ✈î✐
0 < r ≤ r ✈➔ ∞
k=1 |rk+1 − rk | < ∞❀ ✈➔ ✭❈✸✮✳
❚r♦♥❣ ❬✺❪✱ ❇♦✐❦❛♥②♦ ✈➔ ▼♦r♦s❛♥✉ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ✭✶✳✶✻✮ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐

y k+1 = (1 − tk+1 )JrAk y k + tk+1 u + ek+1 ,

✭✶✳✶✼✮

✈➔ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❞➣② {y k } tî✐ PZerA u✱ ♥➳✉ ❝→❝
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤÷ñ❝ t❤ä❛ ♠➣♥

✭✐✮ tk t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❈✶✮❀
✭✐✐✮ rk t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❈✷✮❀ ✈➔
✭✐✐✐✮ ❤♦➦❝ ✭❈✸✮ ❤♦➦❝ ek /tk → 0✳


✶✻

❚r♦♥❣ ❬✶✸❪✱ ❚✐❛♥ ✈➔ ❙♦♥❣ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ✭✶✳✶✼✮

❞÷î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t

❳✶ trø ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✐✐✮✳ ●➛♥ ✤➙② ❙❛❤✉ ✈➔ ❨❛♦ ❬✶✶❪ ✤÷❛ r❛

t❤✉➟t t♦→♥ Pr♦①✲❚✐❦❤♦♥♦✈✿

xk+1 = JrAk ((1 − tk )xk + tk f xk + ek ),

k ≥ 1,

✭✶✳✶✽✮

✈î✐ →♥❤ ①↕ ❝♦ f ✈➔ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t t÷ì♥❣
tü ♥❤÷ ❣✐↔ t❤✐➳t

❳✶✳

❇➔✐ t♦→♥ ①➜♣ ①➾ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ❝❤♦ ♠ët ❤å →♥❤ ①↕ Ai ❝â t➼♥❤
❝❤➜t m✲j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥♥❛❝❤ E ✈î✐ i ≥ 1 ✤➣
✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr➯♥ ❝ì sð sû ❞ö♥❣ ❝→❝ →♥❤
①↕ A =

i≥1 ai Ai

✈î✐ ai > 0 ✈➔

tr♦♥❣ ✤â

i≥1 βk,i

= 1✱ 0 < βk,i

= 1 ❤♦➦❝ S = i≥1 βk,i JrAi i ,
< 1 ✈➔ JrAi i = (I + ri Ai )−1 ✈î✐ ❝→❝ sè
i≥1 ai

❝è ✤à♥❤ ri > 0✳
❚r♦♥❣ ❬✼❪✱ ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✭✶✳✻✮ ❦❤✐ C =

ZerA✱ ❈❡♥❣ ✈➔ ❝ë♥❣ sü ✤➣ ✤➲ ①✉➜t t❤✉➟t t♦→♥ s❛✉
xk+1 = (I − λk F ) tk xk + (1 − tk )JrAk xk ,

k ≥ 1,

✭✶✳✶✾✮

✈➔ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ✭✶✳✶✾✮ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥♥❛❝❤
trì♥ ✤➲✉ ❞÷î✐ ♥❤ú♥❣ ❣✐↔ t❤✐➳t t÷ì♥❣ tü ♥❤÷

❳✶✳

❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷✱ t❛ s➩ tr➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣
t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✭✶✳✻✮ ✈î✐ t➟♣ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❧➔ t➟♣ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛
❝→❝ →♥❤ ①↕ m✲j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥✳




ữỡ

Pữỡ ữớ
ố t t t
tự
ữỡ tr ởt t ợ t t
tự tr trữớ ủ t r ở C t ổ
ừ mj ỡ Ai i = 1, 2, . . . , N
C = N
i=1 ZerAi ổ sỷ ử A S ử
ữỡ ở ừ ữỡ ữủ tr tr ử
ử tr ởt ữỡ tr ự
sỹ ở tử ừ ữỡ ử tr ữỡ
ỵ ở tử ỗ tớ tr ử số tr
ổ t q ừ ữỡ ữủ t tr ỡ s
ổ ố ởt số t ữủ tr tr õ

Pữỡ
ợ
t ổ số



= {x = (x1 , x2 , . . .) :

supn |xn | < }

P à :

R ữủ ồ ợ




(i) à t t tự à(x + y) = à(x) + à(y) à(cx) = cà(x)
ợ ồ x, y c số
(ii) à ữỡ tự à(x) 0 ợ ồ x
xn 0 n N



s

(iii) à = à(1, 1, . . .) = 1
(vi) à(x1 , x2 , . . .) = à(x2 , x3 , . . .) ợ ộ x = (x1 , x2 , . . .)



t à(xn ) t à(x1 , x2 , . . . , xn , . . .) ỹ tỗ t ừ ợ
ữủ ớ ỵ

ỵ ổ tỗ t t t

tử à tr

s
x = (x1 , x2 , . . .)

à = à(1) = 1

à(xn) = à(xn+1) ợ ộ

ởt số t t ừ ợ à ữủ tr
ữợ

à ợ õ
lim inf xn à(xn ) lim sup xn
n

n

ợ ộ x = (x1, x2, . . .) ỡ ỳ xn a t à(xn) = a
ờ C t ỗ tr ổ
E õ t sỷ {xn}
tr E z ởt tr C à ợ õ
à xn z

2

= min à xn u

à u z, j(xn z)

uC

0

2

ợ ồ u C

ợ ởt rở ừ ợ tổ tữớ

Pữỡ sỹ ở tử
t ữỡ s
A

y t = JrANN JrNN11 ã ã ã JrA11 (I t F )y t ,
t

t

t






tr õ JrAi i = (I + rti Ai )1 ợ rti > > 0 số t (0, 1) ữủ
t

ồ s t 0 t 0

ờ {ak } tỹ ổ tọ
t s ak+1 (1 bk )ak + bk ck tr õ {bk } {ck }
tỹ s

(i) bk (0, 1) bk 0 k
k=1 bk =

(ii) lim supk ck 0.

õ limk ak = 0

E ổ ỗ

õ t F : E E ởt j ỡ
t ợ + > 1 Ai
mj ỡ tr E JrA = (I + rti Ai )1 tr õ rti > > 0 ợ
ồ t > 0 i = 1, 2, . . . , N ợ ộ t t ồ ởt số t (0, 1)
tũ ỵ s t 0 t 0 õ {yt} ữủ
ở tử tợ p t ừ t
t tự t 0 ợ C = Ni=1ZerAi ữủ
tt rộ
i

i
t

ự t Ut = JrA

N
N
t

t ổ ừ

JrAi i
t

A

JrNN11 ã ã ã JrA11 (I t F ) ứ t
t

t

ờ s r
A

Ut x Ut y = JrANN JrNN11 ã ã ã JrA11 (I t F )x
t



t

t

A
JrANN JrNN11
t
t

ã ã ã JrA11 (I t F )y
t

(I t F )x (I t F )y
(1 t ) x y

x, y E.

õ Ut tr E ỵ
tỗ t tỷ t y t E tọ
t t r {y t } t t
Ai
p N
i=1 ZerAi t õ p = Jri p i = 1, 2, . . . , N ỷ ử t t
t


✷✵

❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❝õ❛ JrAi i ✈➔ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✼✱
t

A

y t − p = Ut y t − p = JrANN JrNN−1−1 · · · JrA11 (I − λt F )y t
t

≤
≤

t

t

A
− JrANN JrNN−1−1 · · · JrA11 p
t
t
t
(I − λt F )y t − (I − λt F )p − λt F p
(1 − λt τ ) y t − p + λt F (p) .

❙✉② r❛✱ y t − p ≤ F p /τ ✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❞➣② {y t } ❜à ❝❤➦♥✱ ✈➔ ❞♦ ✤â ❝→❝
t
❞➣② {F y t } ✈➔ {yit } ❝ô♥❣ ❜à ❝❤➦♥✱ ð ✤➙② yit = JrAi i yi−1
✱ i = 1, 2, . . . , N,

✈➔

t

= (I − λt F )y ✳ ❑❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t t❛ ❣✐↔ sû ❝→❝ ❞➣② ♥➔②
❜à ❝❤➦♥ ❜ð✐ ♠ët ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣ M1 ✳ ❚ø ✭✷✳✶✮ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ JrAi i ✈➔ ❇ê
t
t
t
✤➲ ✶✳✶✳✶✸ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ y = yN ✈➔
y0t

t

yt − p

2

t
= yN
−p

≤

t
yN
−1

2

−p

AN
t
= JrANN yN
−1 − JrN p
t

t

2

≤···≤

≤ · · · ≤ y0t − p

2

2

yit

−p

2

= (I − λt F )y t − p

= (I − λt F )y t − (I − λt F )p − λt F p
≤ (1 − λt τ ) y t − p

2

2

✭✷✳✷✮

2

− 2λt F p, j(y t − p − λt F y t

s✉② r❛

yt − p

2

≤

−2
F p, j(y t − p − λt F y t )
τ

∀p ∈ C.

✭✷✳✸✮

❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ y t − JrAi i y t → 0 ❦❤✐ t → 0 ✈î✐ ❜➜t
t

❦ý rti > ε > 0 ✈➔ i = 1, 2, . . . , N ✳ ✣➸ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ♥➔②✱ tr÷î❝ ❤➳t t❛ ❝❤➾ r❛
t
t
yi−1
−JrAi i yi−1
→ 0✳ ●✐↔ sû {tm } ⊂ (0, t0 ) ✈î✐ t0 > 0 ❝è ✤à♥❤✱ ❧➔ ♠ët
t
i
❞➣② ❤ë✐ tö ✈➲ 0 ❦❤✐ m → ∞✳ ❚❛ ✤➦t rm
= rtim ✱ λm = λtm ✈➔ yim = yitm ✳
m
m
❘ã r➔♥❣ ✤✐➲✉ ✤â ❧➔ ✤õ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ yi−1
− JrAi i yi−1
→ 0 ❦❤✐
m

m → ∞✳
✣➛✉ t✐➯♥✱ sû ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✷✵ ✈î✐ A, λ, µ ✈➔ x t❤❛② t❤➳ t÷ì♥❣ ù♥❣
i
i
m
❜ð✐ Ai , rm
, rm
/2 ✈➔ yi−1
✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
m
m
m
JrAi i yi−1
= JrAi i/2 yi−1
/2 + JrAi i yi−1
/2 .
m

m

m




E ổ ỗ tỗ t ởt tử
t t ỗ g : [0, +) [0, +) ợ g(0) = 0 s

tx + (1 t)y

q

q

t x

+ (1 t) y

q

q (t)g( x y ),

ợ ồ x, y BM (0) := {x E : x M } t [0, 1] tr õ

M > 0 q > 1 số ố q (t) = tq (1 t) + t(1 t)q
t = 1/2 ợ q = 2 sỷ ử t ữủ
ym p

2

m
= JrANN yN
1 p
m

=

ã

2

m
ã ã ã JrAi i yi1
p
m

m
/2 JrAi i/2 p 2
+ JrAi i yi1
m
m
2
Ai m
p)/2 + (Jri yi1 p)/2
m
m
2
m
yi1 p /2 + JrAi i yi1
p 2 /2
m
Ai m
m
g yi1 Jri yi1 /4
m
m
2

m
m
yi1 p g yi1
JrAi i yi1
/4
m
m
m
ã ã = y0m p 2 g yi1
JrAi i yi1
m

JrAi i/2
m
m
(yi1

2

m
yi1
/2

ym p

2

/4

2m F y m , j(y m p m F y m )

m
m
g yi1
JrAi i yi1
/4.
m

õ
m
m
g yi1
JrAi i yi1
/4 2m F y m , j(y m p m F y m ) .
m

t ủ ợ m 0 y m M1 F y m M1 s r
m
m
lim g( yi1
JrAi i yi1
) = 0,

m

i = 1, 2, . . . , N.

m

m

m
ứ t t ừ g s r yi1
JrAi i yi1
0 m
m

t
t
{tm } ởt ở tử 0 m yi1
JrAi i yi1
0
t

t 0 i = 1, 2, . . . , N. ớ t r r y JrAi i y t 0
t
t 0 ợ i = 1, 2, . . . , N. t trữớ ủ i = 1 t õ
t

y0t JrA11 y0t 0, y t y0t = t F y t t M1 0,
t

y t JrA11 y t y t y0t + y0t JrA11 y0t + JrA11 y0t JrA11 y t
t

t

t

2 y

y0t

+

y0t



JrA11 y0t
t

t

.

t