ĐỒ THỊ ĐẲNG CẤU (Graph Ismorphism)

BÁO CÁO
ĐỒ THỊ ĐẲNG CẤU
(Graph
Ismorphism)


Ghi chú




Κ η ảο σ〈τ τρν
η ướνγ .
Đồ τη ị πη ảι λιν
Βι ểυ δι ễν đồ τη ị

đồ

τη ị

đơν

ϖ

τηνγ .
β ằνγ µα τρ ậν κ ề.


Nhắc lại…
1 . Βι ểυ δι ễν đồ τη ị β ằνγ : Μα Τρ ậν Κ ề
Χηο

τη Γ = ( ς , Ε ) τρονγ
⌠ ς= {ϖ 1 ,ϖ 2 ,
…,ϖ ν } Μα τρ ν κ
βι υ δι ν
τη Γ
λ◊ µα τρ ν χ⌠ κχη τη ướχ ν ξ ν đượχ ξ〈χ
νη νη σαυ:
0
α ιϕ =
1

ν ếυ ( ϖ ι , ϖ ϕ) ∉ Ε
ν υ ( ϖ ι , ϖ ϕ) ∈ Ε


Ví dụ


1

Βι υ δι ν
τη
β νγ µα τρ ν κ
2

3

5

4

ϖ η

νγ

σαυ


2. Bậc của đỉnh đồ thị


Β χ χ ủα đỉνη ϖ ∈ ς λ◊ σ ố χ ạνη
λιν τηυ ộχ ϖ ớι ϖ, κ ηι ệυ λ◊ δεγ ( ϖ)
1

Deg(5)=3

2

3

5

4


3. Song ánh (đơn ánh và toàn
ánh)
Đơν 〈νη:
φ: Ξ

Ψ
∀ ξ, ξ∋ ∈ Ξ: φ ( ξ) =
ηαψ ξ ≠ ξ∋ = > φ ( ξ)
Το◊ν 〈νη:
φ: Ξ
Ψ
∀ ψ ∈ Ψ χ⌠ τ νη ấτ
φ ( ξ)

φ ( ξ∋) = > ξ = ξ∋
= φ ( ξ∋)

µ ộτ ξ ∈ Ξ σαο χηο ψ =

Σονγ 〈νη λ◊ µ ộτ 〈νη ξ ạ ϖ ừα đơν 〈νη , ϖ α το◊ν 〈νη


ĐỒ THỊ ĐẲNG CẤU
Hai đồ thị G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2) được gọi là đẳng cấu
(Isomorphism) với nhau nếu tồn tại một song ánh S như sau:
S:

V1

V2

v1

v2 = S(v1)

Sao cho:
∀ x, y ∈ V1 : (x, y) ∈ E1 ⇔ (S(x), S(y)) ∈ E2
Và ∀ x, y ∈ V2 : (x, y) ∈ E2 ⇔ (S(x), S(y))∈ E1


Two Graph Isomorphism?
Γ ραπη 1

Γ ραπη 2
1

C

B

D

2

3

4

A

E

5

Ta có song ánh:
A -------> 1
B -------> 2
C -------> 3
D -------> 4
E -------> 5


Graph 1

Graph 2

C

B

1

D

2

3

4

A

E

5


Ta có song ánh:
A -------> 4
B -------> 2
C -------> 1
D -------> 3
E -------> 5


Ta có song ánh:
Với
đỉnh
lớn
Với số
số
đỉnh(E,5)
lớn
(A,4); (B,2); (C,1);
(D,3);
thì
số
hoán
vị
thì
số
hoán
vị
Để χη ọν σονγ 〈νη νη ư τρν τη:

lớn
=>tìm
hoán
vị
lớn
=>tìm
hoán
vị
− Τα γ ι ữ νγ υψν τη ứ τ ự χ〈χ đỉνη τρονγ
thích
hợp
để
thích
để tạo
tạo
ς 1 = {Α , Β, Χ,
∆, Ε hợp
}
ra
một
song
ánh
ra
một
song
ánh
− Τη τ χ〈χ
νη τρονγ ς 2 đượχ λ ấ
ψ τ ừ µ ộτ
khó!!!

ηο〈ν ϖ ị χ ủα 5 đỉνη {1 là
,là2 rất
,rất
3 , khó!!!
4 , 5 }, ϖ ớι 5

νη τη τα χ⌠ 5 ! ηο〈ν ϖ .
− Σαυ đ⌠ λ ấψ τ ươνγ ứνγ χ〈χ đỉνη τρονγ ς 1
ϖ◊ ς 2 = > µ ộτ σονγ 〈νη γ ι ữα đồ τη ị Γ 1 ϖ◊ Γ 2.
− Τµ µα τρ ậν κ ề χ α ηαι
τη Γ 1 ϖ◊ Γ 2
τηεο τη τ
νη νη τρν
− Ν ếυ ηαι µα τρ ậν κ ề γ ι ốνγ νηαυ τη τα
χ σονγ 〈νη χ ầν τµ


Hai đồ thị đẳng cấu thì ta có:








Χνγ σ ố đỉ νη.

Đây
Đây là

là những
những
kiện
cần
Χνγ σ ố đỉ νη β ậχ κ, ∀ κđiều
νγ υψν
δ ươ
νγ ≥
điều
kiện
cần
0.
để
để hai
hai đồ
đồ thị
thị
đẳng
đẳng cấu
cấu!!
Χνγ σ ố χ ạνη.

Χνγ σ ố τη◊νη πη ầν.

= > Ν ếυ ηαι đồ τη ị χ⌠ µα τρ ậν κ ề ( τηεο
µ ộτ τη ứ τ ự đỉνη ν◊ο đ⌠) β ằνγ νηαυ τη
χηνγ đẳνγ χ ấυ ϖ ớι νηαυ.


Nhưng đồ thị nào đẳng cấu với

nhau?


Kiểm tra tính đẳng cấu của hai
đồ thị
Γ ραπη 1
B

A

D

Γ ραπη 2

E

F

H

G
C

1

2

3

4

8

7

6

5


Bài toán kiểm tra
hai đồ thị đẳng cấu là
bài toán khó (NP-Complete).
Có rất nhiều thuật giải nhưng
Chưa có một thuật giải tối ưu!!


Thuật toán kiểm tra hai đồ thị đẳng
cấu



Χηο đồ τη ị Α ϖ◊ Β
⇑ τ ưởνγ : Ξψ δ ựνγ
νη σαυ:

( γ ồµ ν đỉνη )
µ ộτ χψ τµ κι µ
Root M={}

M={(a1,b1)}
M={(a1,b1),(a2,b2)}














ς ớι Μ λ◊ τ ậπ η ợπ χη ứα χ〈χ χ ặπ τ ươ νγ
νγ Α ξΒ .
Ν ếυ Α ϖ◊ Β đẳ νγ χ ấυ τη:


M={(a1,b1),(a2,b2),…, (an,bn)}



M xác định một song ánh

Τ ạι µ ứχ 0 ( Ροοτ) χ ủα χψ τη Μ = ∅.
Τ ι µ χ 1 χ α χψ τη Μ = {( α 1 ,β 1) } ϖ ι
( α 1,β 1) χη ọν τ ừ Ν 2 χ〈χη χ⌠ τη ể χη ọν.

Τ ι µ χ 2 χ α χψ τη Μ= {( α 1,β 1) ,
( α 2,β 2) } ϖ ι ( α 2,β 2) χη ν τ ( Ν−1) 2 χ〈χη χ⌠
τη χη ν.
…
Τ ι µ χ Ν χ α χψ τη:


M={(a1,b1),(a2,b2),…, (an,bn)}




ΠΡΟΧΕ ∆ΥΡΕ Ματη( Σ)
 IF M(S) cover all nodes THEN succeeds
 ELSE

Compute the set P of possible pairs
can be chosen next
 FOREACH p ∈ P
 IF
M+p is a feasible set of
mapping
 THEN
 S’=New State(M+p)
 Call Math(S’)
 ENDIF
 ENDFOREACH


 ENDIF



Ε Ν∆


Thuật toán thực hiện







Βαν đầ υ Μ= ∅
Τνη τ ậπ Π χ〈χ χ ặπ χ⌠ τη ể χη ọν
τι ếπ τηεο
ς ớι µ ỗι π ∈ Π , τα đư α π ϖ◊ο Μ ν υ
Μ ∪ {π} τ ạο τη◊νη µ ộτ σονγ 〈νη γ ι ữα
ηαι đồ τη ị χον . ς◊ χ ứ τη ế τι ếπ
τ ụχ…
Ν υ τ π Μ χη ứα τ ấτ χ ả χ〈χ đỉ νη
χ ủα ηαι đồ τη ị τη ηαι
τη ν◊ψ
đẳνγ χ ấυ


THE END