Đề HSG Toán 8 thi giữa tháng 4 (mới)

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
THIỆU HÓA
TRƯỜNG THCS THIỆU ĐÔ

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC: 2018 - 2019
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề gồm: 01 trang

Câu 1. ( 2,0 điểm)
6 x  1 � x 2  36
�6 x  1

� 2
a) Rút gọn biểu thức: A= � 2
�
2
�x  6 x x  6 x �12 x  12

b) Cho x, y, z là các số khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn
Tính giá trị biểu thức A 

1 1 1
  0
x y z

yz
xz
xy
 2

 2
x  2yz y  2xz z  2xy
2

Câu 2. ( 2,0 điểm)
a) Giải phương trình:

x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6





60
1000 999 998 997 996 995

b) Cho x, y thỏa mãn: x > y > 0 và x2 + 3y2 = 4xy.
2x  5 y
Tính giá trị biểu thức A =
.
x  2y
Câu 3. ( 2,0 điểm)
a) Tìm đa thức dư của phép chia đa thức f(x) = x100 + x99+. . . + x2 + x + 1
cho đa thức x2 – 1.
x2  4x  2020
b) Cho biểu thức M =
( với x ≠ 0)
x2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M.
Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H �BC). Trên tia
HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh BC.DC = AC.EC
b) Chứng minh rằng tam giác BEC và tam giác ADC đồng dạng, từ đó suy ra
AB =AE.
c) Gọi M là trung điểm của đoạn BE, tính số đo của góc AHM.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
A=

a
b
c


3
b c  a a c  b a b  c

….................Hết….................
Họ và tên thí sinh:…………………………………..Số báo danh:……….
Họ và tên giám thị số 1:…………………………….


PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
THIỆU HÓA
TRƯỜNG THCS THIỆU ĐÔ

Câu

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC: 2018 - 2019
MÔN:TOÁN
Hướng dẫn chấm gồm: 04 trang

Nội dung

Biểu
điểm

a) ĐKXĐ: x  0; x  6
6 x  1 � x 2  36
�6 x  1

� 2
A= � 2
�
2
�x  6 x x  6 x �12 x  12
�6 x  1

6 x  1 �( x  6)( x  6)


=�
��
2
�x ( x  6) x( x  6) � 12( x  1)

6 x 2  36 x  x  6  6 x 2  36 x  x  6

1

� 2
x
12( x  1)
12( x 2  1)
1
� 2
x
12( x  1)
1

x


b) Từ

0,25

0,25
0,25
0,25

1 1 1
yz  xz  xy
   0�
 0 � yz  xz  xy  0
x y z
xyz

(vì x,y,z ≠0)
1

� yz  xy  xz � x2  2yz  x2  yz  xy  xz   x  z  x  y

Tương tự ta có: z2  2xy =  z  x  z  y
y2  2xz =  y  z  y  x
A





0,25

yz
xz
xy


 x  z  x  y  y  z  y  x  z  x  z  y

yz y  z  xz z  x  xy x  y
 x  z  x  y  y  z

yz y  z  xz x  z  xy �
 x  z   y  z �
�
�

 x  z  x  y  y  z

0,25

yz y  z  xz x  z  xy x  z  xy y  z

 x  z  x  y  y  z
x x  z  y  z  y y  z  x  z

 x  z  x  y  y  z
 x  z  x  y  y  z

 x  z  x  y  y  z
1

0,25

0,25


x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6





6 0
1000 999 998 997 996 995
x 1
x2

x 3 x 4
x 5
x 6

1
1

1
1
1 0
1000
999
998 997
996
995

0,25

x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001 x 1001





0
1000
999
998
997
996

995
1
1
1
1
1
1
( x 1001)(





) 0
1000 999 998 997 996 995
x=-1001.



2

Vậy nghiệm của phơng trình là x=-1001.
Có x2+3y2 = 4xy x2- 4xy+3y2= 0
x2- xy-3xy +3y2= 0
x(x-y)-3y(x-y)=0
(x-y)(x-3y)=0
x-y=0 x=y (loại vì x>y)
hoặc x-3y=0 x=3y
Có

3

0,25
0,25

2 x 5 y 2.3 y 5 y 11y


11 (Do y>0)
x 2y
3y 2 y
y
100

99

98

0,25
0,25
0,25

0,25

2

f(x) = x + x + x +. . .+ x + x +1.
Giả sử đa thức f(x) chia cho đa thức x2-1 đợc thơng là q(x) d là ax+b
0,25
Suy ra f(x) = (x2-1).q(x) +ax + b

f(1) = 101 = a+b a+b = 101 (1)
f(-1) = 1 = -a+b -a+b = 1 b= a+1 thay
0,25
vào (1) ta đợc 2a+1 = 101
suy ra a = 50, b = 51
0,25
2
Vy d của phép chia đa thức f(x) cho đa thức x -1 0,25
là đa thức 50x + 51
x2 4x 2020 2020x2 4.x.2020 20202
M

0,25
x2
2020x2
4x2 4.x.2020 20202 2016x2

0,25
2020x2

2x 2020

2020x2

2

2016x2

2020x2

2

2x 2020 2016 1008



2020x 2020 1010
Du = xy ra x 2010
Vy giỏ tr nh nht ca M bng

0,25

1008
t c khi x 2010
1010
0,25


A

E

0,25

M
B

D

H

C

�
�  900 và ACB
� chung
a) Xét ABC và DEC có BAC=EDC
ABC
DEC (g-g)

0,25
0,25

BC AC

CE CD
� BC.CD  AC.CE

0,25
0,25

�

b) Xét ADC và BEC có:
Góc C chung.
CD CA

( do ABC
CE CB

4

DEC (g-g))

0,25
0,25
ADC
BEC (c-g-c)
0 (vì tam giác AHD vuông cân tại H)
mà ADC=135
�
�
�
� ADC=BEC
0
�
� AEB=45
� ABE vuông cân tại A � AB = AE
BE AD
BM 2
BE 2
AD 2



Ta có
BEC �
)
2
2

2 ( vì ADC
BC AC
BC
4 BC
4 AC
2 AH 2
AH 2
2
2


2
2 ( vì AHD vuông cân tại H nên AD = 2AH )
4 AC
2 AC
� chung
�
�
Xét ABC và HBA có BAC=
AHB  900 và ABC

ABC

HBA (g-g)

0,25
0,25

0,25

AH BH
AH 2 BH 2
�

�

AC AB
AC 2 AB 2
BM 2
AH 2
BH 2 BH 2
�



( vì ABE vuông cân tại A nên
BC 2 2 AC 2 2 AB 2 BE 2

BE2 = 2AB2)
�

BM BH

BC BE

� BHM
BEC (c-g-c)
� =BEC
�  1350
� BHM

Mà �
AHB  900 � �
AHM  450
5

Đặt b + c - a = x > 0; c + a – b = y > 0; a + b – c = z > 0
Từ đó suy ra a =

yz
xz
xy
;b 
;c 
;
2
2
2

0,25
0,25
0,25
0,25


Thay vào ta được A=
yz xz xy 1 y x
x z
y z 



 (  )  (  )  (  )
2x
2y
2z
2 x y
z x
z y 
1
Từ đó suy ra A  (2  2  2) hay A 3
2

Dấu “=” xảy ra  x = y = z  a = b = c
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
….................Hết….................

0,25
0,25