Kiem tra 1 tiet so phuc

SỐ PHỨC

1. Khái niệm số phức
 Tập hợp số phức: C
 Số phức (dạng đại số) : z  a  bi (a, b �R , a là phần thực, b là phần ảo, i
là đơn vò ảo, i2 = –1)
 z là số thực
 phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo 
phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.  Hai số phức bằng nhau:
�
a  a'
a  bi  a�
 bi
�� �
(a, b, a', b'�R)
b  b'
�
2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b �R) được biểu diễn bởi điểm
r
M(a; b) hay bởi u  (a; b) trong mp(Oxy) (mp phức)
3. Cộng và trừ số phức:
   b  b�
i
 bi
�   a  a�
  a  bi    a�

   b b�
i

 bi
�   a  a�
  a  bi    a�
 Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
r
r
r r
r r
 u biểu diễn z, u' biểu diễn z' thì u  u'biểu diễn z + z’ và u  u' biểu diễn z –
z’.
4. Nhân hai số phức :
 aa�
   ab� ba�
i
�bb�
  a  bi   a' b'i   �
 k(a  bi )  ka  kbi (k �R)
5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z  a  bi

�z � z
z  z ; z �z'  z �z'; z.z'  zz
. '; �1 � 1
�z2 � z2 ; z.z  a2  b2  z là số thực  z  z ; z là số

ảo  z   z
6. Môđun của số phức : z = a + bi
uuuu
r
2
2

z  0� z 0
z

a

b

zz

OM

 z �0, z�C ,
z
z

. '  z . z'
 zz
 z' z'
 z  z' �z �z' �z  z'
7. Chia hai số phức:
1
z1 
z
2
z

(z  0)

z'
z'.z z'.z

 z' z1 

2
z
z.z
z

8. Căn bậc hai của số phức:

z'
 w � z'  wz
z


�x2  y2  a
�
2
2xy  b
z

x

yi
w

a

bi
z


w

là căn bậc hai của số phức

 �
 w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
 w �0 có đúng hai căn
bậc hai đối nhau
 Hai căn bậc hai của a > 0 là � a

 Hai căn bậc hai của a < 0 là

� a.i
9. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A
2
�0).   B  4AC

  �0 : (*) có hai nghiệm phân biệt

z1,2 

 B �
2A , (  là 1 căn bậc hai của )


   0 : (*) có 1 nghiệm kép:

z1  z2  

B

2A

z
Chú ý: Nếu z0  C là một nghiệm của (*) thì 0 cũng là một nghiệm của
(*).
CÁCH SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY THỰC HIỆN CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC
+ Kích hoạt : MODE 2
+ Nhập đơn vị ảo i ta bấm phím ENG
+ Các phép tốn cộng, trừ nhân chia được sử dụng các phím +, - , x , :
+ Phép nâng lũy thừa 2 và lũy thừa 3 của một số phức z, thực hiện như đối với số thực
+ Để tìm số phức liên hợp của sơ phức z, ta bấm SHIFT 2 2 rồi nhập số phức z và bấm = sẽ cho kết quả.
+ Để lấy mơđun của số phức z, ta bấm SHIFT Abs , nhập số phức ( hoặc một biểu thức gồm các phép tính
số phức) rồi bấm phím =
Bài tập áp dụng:
Dạng 1: Các phép tốn của số phức
1/ Cho z1  1  3i; z2  2  i . Tính: a) z1  z2 b) z1  z2 c) z1.z2
2/ Tìm z , biết
2
a) z  (1  2i)  (3  4i )(2  3i ) b) z  (1  2i )  (3  i)( 2  5i)
2

z1
d) z2

2

e)

z1 ; z2 ; z1  z2

2

f)

z1.z2

3
c) z  (1  3i )  (2  3i )(1  2i )  (1  i )
8
8
1 i � �
1 i �
�
z  � � � �
1 i � �
1 i �
�
f)

1  i � 3  2i
�
z  � �
1 i �
2i
�
e)
(3  2i )  (4  3i )  (1  2i ) 
(1  2i )(3  5i )  (1  i )7
15
z


z

z   1 i
2  4i
5  4i
g)
h)
i)
z
3/ Xác định phần thực và phần ảo của các số phức sau
�1
�
�2 5 �
2  3i
1 i
z  2 i  �  2i � z   2  3i   �  i �
z
z
3
3
4
z

(4�)
i

(2

3

i
)
�
(5

i
)
�
� c)
�
�
1 i
4  5i
a)
b)
d)
e)
1 i
3  2i
z

2  3i
i
d)

f)

z   1 i

z

2017

g)





2 i

z  1 i 3



  1  2i 
2

2
2
h) (2  3i) z  (4  i ) z  (1  3i )

6

4/ Chứng minh rằng
là số ngun dương
Dạng 2: Giải phương trình trên tập số phức
1/ Tìm z , biết
 3  2i  z   4  5i   7  3i
a) iz  2  i  0

b)
z
  2  3i   5  2i
d) 4  3i
e) z  2 z  2  4i
2/ Giải các phương trình sau trên tập số phức
2
2
a) 3z  2 z  1  0
b) 7 z  3 z  2  0

f)

c)

 1  3i  z   2  5i    2  i  z

� 1�
�
iz  � 0
�2  i  z  3  i �
�
�
� 2i �
2
c) 5 z  7 z  11  0
4
2
g) z  7 z  10  0

4

�z  2i �
�
� 1
z

i
�
�
g)
2
d) 3z  7 z  8  0
4
2
h) z  z  6  0

2
4
2
e) z  2 z  13  0
f) z  z  6  0
3/ Giải các phương trình sau trên tập số phức
2
2
4
2
3
a) 2 x  3x  4  0
b) 3x  2 x  7  0

c) 2 x  3x  5  0
d) x �8  0
4/ Giải các phương trình sau trên tập số phức
2  i 3 x  i 2  3  2i 2
3x  2  i   1  2ix  1  i   3i
 3  4i  x   1  2i   4  i 
a)
b)
c)
2
5/ Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình 2 z  3 z  3  0 . Hãy tính
1 1
z1 z2


2
2
3
3
z1  z2
z1  z2
z
z
z
z1
1
2
2
a)
b)

c)
d)






x 2   3  4i  x  5i  1  0
6/ Giải phương trình sau trên tập số phức
2
7/ Cho phương trình x  2mx  1  2i  0 . Tìm m thuộc tập số phức C sao cho phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn
x12  x22  4
Dạng 3: Giải hệ phương trình sau
Giải các hệ phương trình sau
a)

b)

Dạng 4: Chứng minh tính chất của số phức
1
1
zz
zz
1/ CMR : phần thực của số phức z bằng 2
, phần ảo của số phức z bằng 2i
2/ CMR : số phức z là số ảo khi và chỉ khi z   z









3/ CMR : với mọi số phức z, z’ ta có : z  z '  z  z ' ; z.z '  z.z '
Dạng 5: Tập hợp điểm
1/ Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các sô phức thỏa mãn từng điều kiện sau
z i
1
z  z  3  4i
z i 1
z  i  (1  i ) z
z

i
a)
b)
c)
d)
Một số bài tập tổng hợp:
2
2
2
z  z2
1/ Gọi z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình z  2 z  10  0 . Tính 1
2
z  (2  i )  10
z  2

2/ Tìm số phức z thỏa mãn a)
và z.z  25
b)
và z là số thuần ảo
z  (3  4i )  2
3/ Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn
4/ Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn
2
2
a) (1  i) z  1  5i  0
b) (1  i ) (2  i) z  8  i  (1  2i ) z
b) (2  3i) z  (4  i) z  (1  3i )
5/ Tìm phần ảo của số phức z, biết

z



2 i

  1  2i 
2

1
6/ Cho số phức z thỏa mãn z  2(1  i) z  2i  0 . Tìm phần thực và phần ảo của z
5i 3
2
z
1  0
z2  z  z

z
7/ Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn a)
b)
c) z  (2  3i) z  1  9i
ĐỀ ÔN TẬP CHƯƠNG IV – SỐ PHỨC
1/ Thực hiện các phép tính
1  2i
1  i   2  3i 

 1  3i  (1  i)3  3  2i
a)
b) 3  5i
c)
2/ Giải các phương trình sau
2
a) (1  i ) z  1  2i  0
b) z  2 z  3  4i
c) z  2 z  5  0
2

2
2
e) z  (1  3i ) z  2(1  i)  0 f) (2  i) (1  i) z  4  3i  (3  i) z
3/ Tìm các số thực x và y biết 2 yi  2 x  3 y  1  xi  3 x  2  4 xi  yi  3i  2 y
4/ Tìm số phức z, biết phần ảo của z gấp đôi phần thực của nó và bình phương mô đun của z bằng 5.
z2  iz
5/ Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn
.
2016
z   1 i

6/ Chứng minh rằng
là số thực dương.
Bài tập trắc nghiệm ( PART 1)
Câu 1: Số phức liên hợp z của số phức z  1  2i là A. z  1  2i B. z  1  2i C. z  1  2i D. z  2  i
4
2
d) z  6 z  27  0

Câu 2: Mô đun

z

của số phức: z  4  3i là

Câu 3: Cặp số thực x, y nào dưới đây thỏa:
A. x  1; y  4

A.

z 7

 x  y    2 x  y  i  3  6i

B. x  1; y  4

C. y  1; x  4

B.

z 5

C.

z  25

D.

D. x  1; y  4

z  7


Câu 4: Thu gọn số phức

z

Câu 5: Mô đun của số phức
Câu 6:



2  3i



2

được: A. z  5 B. z  11  6 2i C. z  1  6 2i

z  3  5  4i   2i  1

Số phức liên hợp của số phức

B. 14  10i

A. 4 6

là:

z  3  2  3i   4  2i  1 .

là A.10  i

B.10  i

D. z  7  6 2i
C. 2 74

D. 2

C. 10  3i

D.

2i

Câu 7: Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z  2  5i và B là điểm biểu diễn của số phức z  2  5i . Tìm mệnh đề đúng
trong các mệnh đề sau:
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung.
B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành.

D. Hai điểm A và B cùng nằm trên đường thẳng x  5 .

C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O.

z1
z  3 4i ; z2  4  i . Số phức
z2 bằng:
Câu 8. Cho 2 số phức 1
16 13
8 13
16 13
 i.
 i.
 i.
A. 17 17
B. 15 15
C. 5 5
5  4i
z  4  3i 
.
3  6i
Câu 9: Tìm phần thực a và phần ảo b của số phức
73
17
17
73
73
17
a , b .
a

,b .
a  , b   i.
15
5
5
15
15
5
A.
B.
C.
z

Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn: z(1 2i)  7 4i .Tính
A.

w3

B.

w  z  2i

w5

C.

16 13
 i.
D. 25 25

D.

Câu 12: Gọi

w 5

D.

2

Câu 13: Gọi

z1 , z2

là hai nghiệm phức của phương trình

7
P
i
2
A.

P
B.

2

ta có kết quả là:

D. P  26 .

C. P  2 13.

B. P  22 .

w  29

D. a  1

2
P  z1  z 2
là hai nghiệm phức của phương trình z  2 z  13  0 . Tính

A. P  0 .

73
17
, b .
15
5

.

z
z2
2
Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn 1  2i
. Phần thực a của số phức w  z  z là:
A. a  5
B. a  3

C. a  2

z1 , z2

a

2z 2  3z  3  0 . Tính giá trị biểu thức

8
3

P
C.

2 7

P

P

3

D.

z1 z2

z2 z1

3
2

Câu 14: Trong tập số phức. Gọi

z1 , z2 , z3 là ba nghiệm của phương trình z 3  3z 2  8z  6  0 .Tính P  z1 . z2 . z3

A. P  6

B. P  59

D. P  36

C. P  4

2
z  2
Câu 15. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa
và z là số thuần ảo

a  �1
�
�
b  �1
A. �

a  �1
�
�
b 1
B. �

a  1
�
�
b  �1
C. �

a  �1
�
�
b  1
D. �

z i  1

Câu 16. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện
A. Một đường thẳng
B. Một đường tròn
C. Một đoạn thẳng
Câu 17. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức

là:
D. Một hình vuông

z1  -1+3i; z 2  -3-2i, z 3  4+i .Khi đó, tam giác ABC là:

A. tam giác cân.

B. tam giác đều.

C. tam giác vuông .

D. tam giác vuông cân
2

Câu 18. Gọi
A. 4 10

2

z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2z  10  0 . Tính A  z1  z2 .
B. 2 20
C. 20
D. 10
2

Câu 19. Trong tập số phức, phương trình z  z  1  0 có nghiệm là:

.


A.

z1,2 

1 � 3
2

B.

z1,2  1 �i 3

C.

z1,2 

1 �i 3
2

1
3
1
3

i.

i.
Câu 20. số phức liên hợp của z  1 3i là A. 4 4
B. 2 2
z1   1  i   2i  3 , z2   i  1  3  2i  .
Câu 21. Cho hai số phức

A

z1.z2 ��.

D. Vô nghiệm
C. 1 +

D. 1 3i

3i.

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

B.

z1.z21 ��

C.

z1.z2 ��.

D.

zi   2  i   2

Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

A.

 x  1

2

  y  2  4
2

 x  1
B.

2

  y  2  4

 x  1
C.

2

2

  y  4  0
2

z1  z2 ��.

2

là

2

D. x  y  2 x  4 y  3  0

z 2
Câu 23. Trên mp Oxy,tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
A. là một đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính là 2

B. là một đường thẳng: x  y  2  0

C. là một đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính là 4

D. là là một đường thẳng: x  y  4  0

Câu 24. Môđun của số phức
Câu 25. Nếu ta có
A. x  2; y  3

z  5  2i   1  i 

3

A.

z  41.

 x  2    2 y  1 i   y  1   x  2  i

B.

z  5

C.

z  7.

D.

z  3.

thì hai số thực x, y bằng:

B. x  5; y  4

C. x  1; y  1

D. x  4; y  5

uuur

Câu 26. Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức z1, z2. Khi đó độ dài của véctơ AB bằng
A.

z1  z2

z1  z2

B.

C.

z1  z2

D.

z1  z2

z  2  2i ;
Câu 27. Trong mặt phẳng phức cho ΔABC vuông tại C . Biết rằng A, B lần lượt biểu diễn các số phức : 1
z1  2  4i . Khi đó, C biểu diễn số phức : A. z  2  4i

Câu 28. Cho số phức z thỏa mãn:

B. z  2  2i

2 z  2  3i  2i  1  2 z

A. Một đường thẳng có phương trình: 20 x  16 y  47  0

C. z  2  4i

D. z  2  2i

. Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z là

B. Một đường thẳng có phương trình: 20 x  16 y  47  0

C. Một đường có phương trình: 3 y  20 x  2 y  20  0 D. Một đường thẳng có phương trình: 20 x  32 y  47  0
2

Câu 29. Khẳng định nào không đúng.
A. Tập hợp số thực là tập con của số phức.

B. Nếu tổng của hai số phức là số thực thì cả hai số ấy đều là số thực.

C. Hai số phức đối nhau có hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
D. Hai số phức liên hợp có hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau qua trục Ox.
4
2
Câu 30. Tìm tích các nghiệm thuần ảo của phương trình z  z  6  0 A. 6

B. 3

C. 2

D. 3


Câu 31. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Trong tập số phức C
A. căn bậc hai của -9 là 3i

B. căn bậc hai của  là i 

`

C. căn bậc hai của 3 là � 3

D. căn bậc hai của -1 là i

Câu 32. Tập hợp điểm biểu diễn số phức

z  2i  3

1
3 x  4 y - m  0 bằng 5 là A. m  7; m  9

là đường tròn tâm I . Tất cả các giá trị m để khoảng cách từ I đến d :

B. m  8; m  8

C. m  7; m  9

D. m  8; m  9

Câu 33. Cho số phức . Điểm biểu diễn trên mặt phẳng của số phức có mô đun nhỏ nhất có tọa độ là
A.

B.

C.

D.

Câu 34. Biết rằng số phức thỏa mãn điều kiện u  ( z  3  i )( z  1  3i ) là một số thực. Giá trị nhỏ nhất của |z| là
A.

B.

C.

D. 1

Câu 35. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Mô đun nhỏ nhất của số phức là
A.

B.

C.

D.

3

�
1 i 3 �
z �
�.
� 1 i �
�
� là:
Câu 36. Phần thực và phần ảo của số phức
A. a  2; b  2.
B. a  2; b  2.
C. a  2; b  2.
Câu 37. Trong tập số phức, gọi

z1

A. P  2 5.

và

z2

D. a  2; b  2.
2

2

2
P  z1  z2 .

là hai nghiệm của phương trình z  2z  5  0. Tính

B. P  10.

C. P  6.

D. P  2.

Câu 38: Cho số phức z  a  bi ; a, b �R thỏa mãn z (1  i )  iz  3  5  7i . Tính S  a  b .
A. S  5.

B. S  2.

( 1+ i )
Câu 39 Tìm phần thực của số phức

Câu 41: Giả sử

z 1 i  2

M  z

B. z  3  4i.

C. 1

2017
D. 2

.

Câu 40: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện 2z  i.z  2  5i.
A. z  3  4i.

D. S  5.

2017

1008
B. 2

A. - 1

C. S  3.

C. z  4  3i.

D. z  4  3i.

là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tập hợp các điểm

M  z

thỏa mãn điều kiện

là một đường tròn:

I  1; 1
I  1; 1
I  1; 1

I  1; 1
A.
và R  2. B.
và R  2. C.
và R  4. D.
và R  2.
Câu 42 : Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z  1  3i và w  2  i trên mặt phẳng tọa độ. Tính độ
dài của đoạn thẳng AB.
A. 5.

B. 3.

C. 5.

D. 13.

2
2
Câu 43. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn | z  ( z ) | 4 là:
A. Một đường tròn bán kinh R=2
B. Hai đường tròn có tâm lần lượt O(2;1), O’(-2;-1)


. Một hyperbol có phưng trình

( H1 ) : y 

1
2x

D. Hai hyperbol có phương trình

( H1 ) : y 

1
1
(H 2 ) : y  
x và
x

C

z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4 z 2  16 z  17  0. Trên mặt phẳng toạ độ,
w  iz0 ?
điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức
Câu 44. Kí hiệu

�1 �
M1 � ; 2 �
.
�2 �
A.

�1 �
M 4 � ;1�
.
�4 �
D.
2
2

Câu 45 .Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z  8 z  25  0 . Khi đó, giả sử z  a  bi thì tích ab là:
A. 168
B. 12
C. 240
D. 5
z  2  4i  z  2i
z
z
Câu 46.Trong các số phức
A.

z  2i

�1 �
M2 �
 ; 2�
.
�2 �
B.

�1 �
M 3 � ;1 �
.
�4 �
C.

thỏa mãn điều kiện

. Tìm số phức

B. z  3  i

4
2
z ,z ,z ,z
Câu 47. Phương trình z  3z  4  0 có bốn nghiệm 1 2 3 4 . Tính

A. S  3

B.

S

5
2

S

25
B. 4

Câu 49: Cho số phức z thay đổi và luôn thỏa mãn
A.

PMax  12

B.

PMax  5

D. z  1  3i

1
1
1
1



z1 z2
z3 z 4

C. S  6

Câu 48: Cho điểm M biểu diễn số phức z  3  4i và điểm M’ biểu diễn số phức
OMM’ (với O là gốc tọa độ)

15
A. 2

có mô đun bé nhất.

C. z  2  2i

25
C. 2
z  3  4i  4
C.

D.

z'

13
2

1 i
z
2 . Tính diện tích tam giác

31
D. 4
PMax

. Tìm giá trị lớn nhất

PMax  9

S

D.

của biểu thức

PMax  3

P z