đáp án đề thi đại học- đề số 10đề thi môn toán

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
Câu I. 1)
1
2
(1 + a )(1 + b ) =
1
2
(1 + a b + a + b )
22 2222
=
[]
1
2
(1 - ab) + (a + b) |1 - ab| . |a + b|
22

,
từ đó suy ra kết quả cần chứng minh.
2) Vế trái của bất phỷơng trình có nghĩa khi x ạ 0.Vớix>0ị 2
x
> 1, bất phỷơng trình tỷơng đỷơng với
2
1-x
-2x+1Ê 0 2
1-x
+1Ê 2x.
Vớix<0,bấtphỷơng trình tỷơng đỷơng với 2
1x
+1 2x.
Trên mặt phẳng tọa độ, xét đồ thị các hàm y

1
=2
1-x
+1,
y
2
= 2x. Hàm y
1
là nghịch biến, hàm y
2
là đồng biến, đồ thị của chúng cắt nhau tại điểmx=1,y=2.Từđósuyra
nghiệm của bất phỷơng trình đã cho : x<0;1Ê x.
Câu II. Giả sử h, l là độ dài các đỷờng cao và đỷờng phân giác trong xuất phát từ đỉnh A. Ta có
h
l
AH
AD
ADB B
A
== = +sin sin( ),
^
2
vậy
h
l
B
A
BA
2
2

2
2
1
21 2
=+=
+
sin ( )
[cos( )]
=
1
2
1+cos(B-C) =cos
B-C
2
2






.
Mặt khác, ta biết rằng (xem lời giải đề số 94)
r
R
=4sin
A
2
sin
B

2
sin
C
2
=
2sin
A
2
cos
B-C
2
-cos
B+C
2






=
=
2sin
A
2
cos
B-C
2
-2sin
A

2
2
.
Ta cần chứng minh
h
l
2r
R
2
2

hay
cos
B-C
2
4sin
A
2
cos
B-C
2
-4sin
A
2
22

hay
cos
B-C
2

-2sin
A
2
0
2







.
Bất đẳng thức này đúng. Dấu = xảy ra khi
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
cos
B-C
2
=2sin
A
2
ị

2cos
B- C
2
sin
B+C
2

=
4sin
A
2
cos
A
2
sinB + sinC = 2sinA
(theo định lí hàm số sin) 2a=b+c.
Câu III. 1) Đặt t = sinx +
2-sinx
2
thì |t| Ê 1+
2
,và
t
2
= 2 + 2sinx
2-sin x
2
,phỷơng trình đã cho trở thành t
2
+2t-8=0.
Nghiệmt=-4bịloại. Vớit=2,suyrasinx = 1 ị x=

2
+2k (k ẻ Z).
2) Kẻ đỷờng chéo AC : ABC là tam giác cân đáy AC,
gọi là góc nhọn ở đáy . Chỉ cần xét trỷỳõng hợp ABCD
là tứ giác lồi và

ACD
^
= /2. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.
Tacó:S=dt(ABC) + dt(ACD) =
1
2
a
2
sin2 +a
2
cos =a
2
cos (1 + sin).
Cần xác định sao cho y = cos(1 + sin) lớn nhất. Ta có
y>0(vì nhọn) và
y
2
= cos
2
(1 + sin)
2
=(1-sin)(1+sin)
3
=
1
3
(3 - 3sin)(1+sin)
3
Ê
1

3
.
(3 - 3sin + 3 + 3sin )
4
=
27
16
4
4

(bất đẳng thức Côsi cho 4 số dỷơng). Vậy y Ê
33
4
, dấu đẳng thức chỉ xẩy ra khi
3 - 3sin =1+sin ị sin =
1
2
ị


=
6
;
khi đó ABCD là nửa lục giác đều cạnh a.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0

__________________________________________________________


Câu IVa.

11
n
n
00
xdx 1
0xdx
1x n1
<<=
++


Câu Va. Để ý rằng hệ
2
y64x
4x 3y 46 0


=

+ +=



vô nghiệm : đờng thẳng (d)
4x + 3y + 46 = 0
không cắt parabol (P)
2
y64x=
.
Ta hãy tìm điểm

ooo
M(x,y)
trên (P) sao cho tại đó
tiếp tuyến song song với (d) : ta có
o
32 4
y'
y3
= =



o
y24=
2
o
o
y
x9
64
= =
.
(Nh vậy tiếp tuyến ấy có phơng trình 4x + 3y + 36 = 0).
Giả sử M là một điểm tùy ý thuộc (P), N là một điểm tùy ý thuộc (d). Lấy N' (d) sao cho
o
MN'
// MN, và gọi
o
N
là hình chiếu vuông góc của

o
M
lên (d) (Hình 12). Hiển nhiên

ooo
MN M N' M N ,
vậy
oo
MN
là đoạn ngắn nhất trong tất cả các đoạn MN. Ta có
oo
oo
22
4x 3y 36
10
MN 2
5
43
++
===
+
.
Nhận xét thêm : đờng thẳng
oo
MN
có phơng trình
3x

4y

123 = 0,
điểm
o
N
có tọa độ
o
37 126
N ;
55




.
Câu

IVb.
1) ACD = BCD AN = BN ANB cân Trung tuyến NM cũng là chiều cao MN
AB.
ACB = ADB DM = CM CMD cân Trung tuyến MN cũng là đờng cao MN CD
(2)
Từ (1) và (2) suy ra MN là đờng vuông góc chung của AB và CD.
2) Vì AN CD, BN CD
n
o
ANB 90=
ANB vuông cân NM =
1
2
AB.

Ta có : AB = AN
2
=
22
2a x


22
12
MN AB a x
22
== .








www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0

__________________________________________________________


3) Vì CM AB, DM AB
n
CMD =
là góc phẳng của nhị diện cạnh AB
n

NMC
2

= và
NC
tg
2NM

= .
Muốn nhị diện (AB) vuông thì
o
90= , tức
tg 1
2

=
,tức NC = NM, hay
22
2
xax
2
=.
Giải ra đợc
a3
x
3
=
. Khi đó ta cũng có
AB =
2a 3

2x CD
3
==
.
Vậy muốn nhị diện (AB) vuông thì
CD = 2x = AB =
2a 3
3
.
Xác định O : Mặt phẳng (ANB) là mặt phẳng trung trực của đoạn CD, mặt phẳng (CMD) là mặt
phẳng trung trực của đoạn AB và MN là giao tuyến của 2 mặt phẳng đó. Do đó điểm O cách đều
4 điểm A, B, C, D phải nằm trên MN. Đặt OM = y. Do OA = OB = OC = OD nên
22
OA OC= ; tức
22
22
AB CD
y(MNy)
22

+= +


.
Vì AB = CD nên
22
y(MNy)=
MN = 2y. Do đó O là trung điểm của MN.
Tính OA :
222

1
OA (AB MN )
4
=+
, với
AB
MN
2
=


=+=


22 2
2
14a a 5a
OA
43 3 12
OA =
a15
6
.