de thi hs gioi toan HN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HÀ NỘI
NĂM HỌC 1999-2000
Bài 1: Tìm tất cả các số chẵn có ba chữ số mà khi chia mỗi số đó cho ta được thương là số có
3 chữ số
Bài 2: Tính giá trị biểu thúc:
Bài 3:
Tổng độ dài hai cạnh hình chữ nhật gấp lần hiệu độ dài hai cạnh đó. Tính chu vi hình chữ nhật ,
biết diện tích của nó là 600
Bài 4:
cho là các số tự nhiên khác và
hãy giải thích tại sao
Giải
Bài 1: gọi hai số đó là A và B( 99<A,B<1000)
ta có
A=B.9
vì A<1000 nên B.9 <1000
B<111,111...
vậy B sẽ là 100,101,102,...,111
do đó A sẽ nhận những giá trị là 900,909,...,999
Bài 2.
a)
b)
Ta không cần biết số đằng trước là gì vì số nào nhân với cũng bằng
bài 3 gọi chiều dài là a và chiều rộng là b
ta có
a+b=(a-b). 5
a+b=a.5-b.5
b.6 = a.4
b.1,5=a
mà diệntích là 600 m^2 nên
b.1,5.b=600

b.b=400
vậy b=20 và a=20.1,5 = 30
làm nốt nhé
Gọi chiều dài là , chiều rộng là
Ta có:
suy ra
suy ra
suy ra
mà
suy ra
suy ra
Vậy
TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-NĂM HỌC 2006-2007
MÔN :TOÁN VÒNG 1
Thời gian:120 phút (không kể thời gian giao đề )
Bài 1:
Cho
Tính giá trị biểu thức :
Bài 2:
Giải hệ phương trình:
Bài 3:
Cho là các số thực thỏa mãn đồng thời :
và
Hỏi có thể nhận là bao nhiêu ? Vì sao?
Bài 4:
Tìm các số nguyên thỏa mãn phương trình:
Bài 5:
Cho tam giác nhọn có là các đường cao
Gọi là trực tâm của tam giác lần lượt là trung điểm

của
a) Tứ giác là hình gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh: Các đường chéo của tứ giác giao nhau tại trung điểm I của (với
là tâm đường tròn đi qua )
c) Cho Tính bán kính của đường tròn
Giải
Bài 1
Xét đề bài , ta xét TH( x,y có vai trò như nhau đối với đề bài )
<=>
Nếu(x-y)(y+x)>1.
=> => ( vô lý)
Nếu
=> => vô lý
Từ các nhận xét trên ta có thể rút ra trường hợp
+
+ và ngược lại
-Nếu x=y thì x=y=0
-Nếu x=-y thì x=y=0
-Nếu x^2=y^2+1 => vô lý
=>....
Tính giá trị biểu thức :
(1)<=>
<=>
Tương tự
Từ (2) và(3) =>
=>
Bài 2:
Cộng(1) với(2) theo vế ta được
Lấy (2) trừ(1) theo vế ta dược
Ta có hệ

<=>
mà ta có
hệ<=>
<=>
Đến đây dễ dàng tìm ra nghiệm
Hệ pt có nghiệm
Bài 3:
từ =>
Bài 4:Ta dễ thấy (do các số hạng còn lại đều chia hết cho 3) mà mỗi số hạng
đều không âm => .Xét trường hợp thì rõ ràng y=0=>x ko
nguyên(vô lý).Vậy z=0 => chỉ có 1 trường hợp thỏa là:
từ đó suy ra các nghiệm:
Bài 5
a/ Áp dụng tính chất trung tuyến ứng với cạch huyền bằng nửa cạnh huyền ta dc:
Dễ thấy vuông cân tại
vuông cân tại vuông cân
là hình thoi
là hình vuông
b/ Gọi là điểm đối xứng với qua
Ta có vuông cân tại là trung trực của
Tương tự
Tứ giác là hình bình hành
là trực tâm
Vậy giao điểm đường chéo hình vuông cũng là trung điểm
c/ Vẽ đường kính
hay
Tương tự
là hình bình hành là trung điểm ( do là trung điểm )
là đường trung bình
Đặt

Đề thi học sinh giỏi THCS Bungary
KỲ THI MUA ĐÔNG NĂM 1995
LỚP 8 NHÓM I
(Trích cuốn "Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại Bungary" tác giả Nguyễn Sinh Nguyên)
Bài toán 1 :
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có " 7 là ước số của nếu và chỉ nếu 7 là
ước số của ".
Bài toán 2 :
Cho ABCDE là một ngũ giác lồi và gọi M,P,N,Q lần lượt là trung điểm các đoạn AB,BC, CD , DE ,
nếu K và L lần lượt là các trung điểm của các đoạn MN và PQ và đoạn AE có độ dài a , tìm độ dài
đoạn KL .
Bài toán 3 :
Mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bằng màu đen hoặc màu trắng . Chứng minh rằng tồn tại
một tam giác vuông với cạnh huyền độ dài băng 2 và một góc nhọn , mà các đỉnh của nó
được tô bởi cùng một màu .
Đề thi học sinh giỏi THCS Bungary
KỲ THI MUA ĐÔNG NĂM 1995
LỚP 8 NHÓM II
(Trích cuốn "Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại Bungary" tác giả Nguyễn Sinh Nguyên)
Bài toán 1 :
Cho và cắt BC và AC lần lượt trại D và E . Chứng minh rằng tứ giác DEMN nội tiếp
trong một đường tròn nếu và chỉ nếu tồn tại một đường tròn nội tiếp trong tứ giác CMGN .
Bài toán 3 :
Cho ba mươi điểm trong mặt phẳng . Một số trong các điểm ấy được nối bởi các đoạn thẳng như
hình 1 ( xem hình vẽ ) . Các điểm được đánh số bởi các số nguyên dương phân việt
Nếu a là một đoạn và p và q là các số , tương ứng với các đầu mút của chúng , ta ký hiệu