LUẬN VĂN “Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T co suy rộng trong không gian b mêtric nón”.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN XUÂN LONG

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ T -CO SUY RỘNG
TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC NÓN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Vinh - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN XUÂN LONG

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ T -CO SUY RỘNG
TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC NÓN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60. 46. 01. 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. ĐINH HUY HOÀNG

Vinh - 2017

Mục lục
Lời Mở đầu

3

Chương1 Không gian b-mêtric nón
6
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Nón trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Không gian b-mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Sự tồn tại điểm bất động của ánh
xạ T -co suy rộng trong không gian b-mêtric
nón
Chương2

17

2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng trong không
gian b-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng trong không
gian b-mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Kết luận

33

Tài liệu tham khảo

34

2


LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những vấn đề được nhiều nhà toán
học quan tâm và nghiên cứu. Người ta đã tìm thấy sự ứng dụng đa dạng của lý
thuyết điểm bất động trong toán học và nhiều ngành kỹ thuật khác. Sự phát
triển của lý thuyết điểm bất động gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học
lớn như Brouwer, Banach, Shauder, Kakutani,. . . Kết quả quan trọng đầu tiên
phải kể đến trong lý thuyết điểm bất động là nguyên lý ánh xạ co trong không
gian mêtric đầy đủ của Banach (1922). Người ta đã mở rộng nguyên lý này cho
nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian khác nhau. Một trong những hướng
mở rộng đó là thay đổi điều kiện trong định nghĩa mêtric, từ đó thu được lớp
không gian rộng hơn lớp không gian mêtric. Sau đó, người ta nghiên cứu sự tồn
tại điểm bất động trong lớp các không gian vừa định nghĩa,. . . Năm 2007, các
nhà toán học Trung Quốc: Huang Long Guang và Zhang Xian ([6]) đã thay giả
thiết hàm mêtric nhận giá trị trong tập hợp các số thực không âm bởi nhận giá
trị trong một nón định hướng trong không gian Banach và đưa ra khái niệm
không gian mêtric nón. Sau đó, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và đạt được
nhiều kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian mêtric nón. Những
người thu được nhiều kết quả theo hướng này là: J. S. Ume, R. A. Stoltenbeg,
C. S. Wong, H. L. Guang và Z. Xian,. . . Khái niệm không gian b-mêtric được
đưa ra và nghiên cứu bởi S. Czerwik [5]. Trong [7], N. Hussain và các cộng sự
đã mở rộng lớp không gian b-mêtric và mêtric nón bằng cách đưa ra khái niệm
không gian b-mêtric nón và chứng minh một số tính chất tôpô và sự tồn tại
điểm bất động trong lớp không gian này. Năm 2013, M. Kir và H. Kiziltunc
[8] đã chứng minh sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co kiểu Kannan
và kiểu Chatterjea trong không gian b-mêtric. Mới đây (2014), Z. Mustaja và

các cộng sự [9] đã mở rộng các kết quả của Kannan, Chatterjea, Choudhury
3


[4] và A. Razani, Parvanneh [10] về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co
kiểu Kannan, Chatterjea, T -co yếu suy rộng kiểu Kannan, Chatterjea trong
không gian mêtric cho không gian b-mêtric. Một vấn đề được đặt ra một cách
tự nhiên là, các kết quả tương tự về sự tồn tại điểm bất động trong không gian
b-mêtric, đặc biệt là kết quả của Z. Mustafa và các cộng sự [9] có thể mở rộng
được cho không gian b-mêtric nón hay không? Để tập dượt nghiên cứu khoa
học và lĩnh hội về lý thuyết điểm bất động, chúng tôi tìm hiểu, nghiên cứu các
tính chất của không gian b-mêtric nón là sự tồn tại điểm bất động trong không
gian này. Vì thế chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Về sự tồn tại điểm
bất động của ánh xạ T -co suy rộng trong không gian b-mêtric
nón”.
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận luận văn gồm 2 chương
Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản
không gian mêtric nón và không gian b-mêtric nón.
Chương 2 đưa ra một vài kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động của các
ánh xạ T -co suy rộng trong không gian b-mêtric và không gian b-mêtric nón,
đó là các Định lí 2.1.2, 2.2.1 và các Hệ quả của hai định lí này.
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận
tình của PGS. TS Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đến Thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm khoa Toán - Trường Đại học Vinh.
Tác giả xin cảm ơn quý Thầy cô giáo tổ Giải tích trong khoa Toán - Trường
Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian
học tập.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn

học viên Cao học K23 - Chuyên ngành Toán Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và
động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên
khi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong
nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn!
4


Nghệ An,tháng 6 năm 2017
Tác giả
Nguyễn Xuân Long

5


Chương 1
Không gian b-mêtric nón

Chương này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không gian
b-mêtric nón làm cơ sở cho việc trình bày chương 2.

1.1

Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian mêtric,
không gian b-mêtric, không gian Banach, ánh xạ liên tục,....cần dùng trong luận
văn.
1.1.1 Định nghĩa. ([1]) Giả sử X là một tập hợp khác rỗng và d : X × X →

R. Hàm d được gọi là mêtric trên X nếu với mọi x, y, z ∈ X thỏa mãn các
điều kiện sau:
i) d(x, y) ≥ 0 và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y ;
ii) d(x, y) = d(y, x);
iii) d(x, z) ≤ d(y, x) + d(y, z).
Tập X cùng với một mêtric d được gọi là không gian mêtric và được kí
hiệu bởi (X, d) hặc X .
1.1.2 Định nghĩa. ([5]) Giả sử X là tập hợp khác rỗng và số thực s ≥ 1.
Hàm d : X × X → [0, ∞) được gọi là b-mêtric nếu với mọi x, y, z ∈ X , ta có
i) d(x, y) = 0 ⇔ x = y ;
6


ii) d(x, y) = d(y, x);
iii) d(x, z) ≤ s[d(y, x) + d(y, z)] (bất đẳng thức tam giác).
Tập X cùng với một b-mêtric trên nó được gọi là không gian b-mêtric với
hệ số s, nói gọn là không gian không gian b-mêtric và được kí hiệu bởi (X, d)
hoặc X .
1.1.3 Chú ý. 1) Từ đây về sau, khi nói tới không gian b-mêtric ta luôn hiểu
hệ số của nó là s ≥ 1.
2) Từ định nghĩa không gian mêtric và không gian b-mêtric ta thấy rằng,
không gian mêtric là trường hợp đặc biệt của không gian b-mêtric khi s = 1.
Ví dụ sau đây cho thấy rằng, lớp các không gian b-mêtric thực sự rộng lớn
hơn lớp các không gian mêtric.
1.1.4 Ví dụ. 1)([9]) Giả sử (X, ρ) là không gian mêtric và d : X × X → [0, ∞)
là hàm xác định bởi
d(x, y) = (ρ(x, y))2 ,

∀x, y ∈ X .

Khi đó d là b - mêtric với s = 2.
2) Giả sử X = R và trên R ta xét mêtric thông thường. Ta xác định hàm
d : X × X → [0, ∞) bởi
d(x, y) = |x − y|2 ,

∀x, y ∈ R.

Khi đó, d là mêtric với s = 2 (theo 1), nhưng d không phải là mêtric trên R vì
d(1, −2) = 9 > 5 = d(1, 0) + d(0, −2).

1.1.5 Định nghĩa. ([5]) Giả sử {xn } là dãy trong không gian b-mêtric (X, d).
Dãy {xn } được gọi là b-hội tụ (nói gọn là hội tụ) tới x ∈ X và được kí hiệu
bởi xn → x hoặc limn→∞ xn = x nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên n0
sao cho d(xn , x) < ε với mọi n ≥ n0 . Nói cách khác, xn → x khi và chỉ khi
d(xn , x) → 0 khi n → ∞.
Dãy {xn } được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên
n0 sao cho d(xn , xm ) < ε với mọi n, m ≥ n0 .
Không gian b-mêtric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong nó đều
hội tụ.
7


1.1.6 Định nghĩa. Giả sử E là không gian véc tơ trên trường K = R hoặc
K = C. Hàm p : E → R được gọi là chuẩn trên E nếu thỏa mãn các điều kiện
sau:
i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ E và p(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0;
ii) p(λx) = |λ| p(x), ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ;
iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ E .
Số p(x) được gọi là chuẩn của véctơ x ∈ E . Ta thường kí hiệu chuẩn của x
là x . Không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi là

không gian định chuẩn.
1.1.7 Mệnh đề. Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức
d(x, y) = x − y ,

∀x, y ∈ E ,

xác định một mêtric trên E .
Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric chuẩn.
Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric
sinh bởi chuẩn được gọi là không gian Banach.
1.1.8 Định lí. Giả sử E là không gian định chuẩn thì
ánh xạ định chuẩn: x → x , ∀x ∈ E ;
phép cộng: (x, y) → x + y , ∀(x, y) ∈ E × E ;
và phép nhân với vô hướng: (λ, x) → λx, ∀(λ, x) ∈ K × E là các ánh xạ
liên tục.
1.1.9 Định nghĩa. Cho tập hợp X và ≤ là một quan hệ hai ngôi trên X .
Quan hệ ≤ được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận trên X nếu thỏa mãn các điều
kiện sau
i) x ≤ x, với mọi x ∈ X ;
ii) x ≤ y và y ≤ x suy ra x = y , với mọi x, y ∈ X ;
iii) x ≤ y và y ≤ z suy ra x ≤ z , với mọi x, y, z ∈ X .
8


Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ
tự bộ phận và kí hiệu (X, ≤) hoặc X .
1.1.10 Định nghĩa. ([2]) Giả sử ” ≤” là một quan hệ hai ngôi trên X và
A ⊆ X.
i) Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên (tương ứng cận dưới) của A nếu
a ≤ x (tương ứng x ≤ a), với mọi phần tử a ∈ A;

ii) Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên đúng (tương ứng cận dưới đúng)
xủa A nếu x là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A và nếu y cũng
là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A thì x ≤ y (tương ứng y ≤ x).
Khi đó, ta kí hiệu x = sup A (tương ứng x = inf A).

1.2

Nón trong không gian Banach

1.2.1 Định nghĩa. ([4]) Cho E là không gian Banach trên trường số thực
R. Một tập con P của E được gọi là nón trong E nếu
(i) P là đóng, P = ∅, P = {0};
(ii) Với a, b ∈ R, a, b ≥ 0 và x, y ∈ P thì ax + by ∈ P ;
(iii) Nếu x ∈ P và −x ∈ P thì x = 0.
1.2.2 Ví dụ. 1) Trong không gian Banach các số thực R với chuẩn thông
thường, tập P = {x ∈ R : x ≥ 0} là một nón.
2) Giả sử E = R2 , P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R2 . Khi đó P thỏa mãn ba
điều kiện
(i) P là đóng, P = ∅, P = {0};
(ii) Với (x, y), (u, v) ∈ P và với mọi a, b ∈ R, a, b ≥ 0, ta có
a(x, y) + b(u, v) ∈ P ;

(iii) Với (x, y) ∈ P và (−x, −y) ∈ P , ta có (x, y) = (0, 0).
9


Vậy P là một nón trên E .
3) Giả sử C[a,b] là tập hợp tất cả các hàm số nhận giá trị thực liên tục trên
[a, b]. Ta đã biết C[a,b] là không gian Banach với chuẩn
f = supx∈[a,b] |f (x)|, ∀f ∈ C[a,b] .

Trên C[a,b] có quan hệ thứ tự bộ phận thông thường ≤ được xác định bởi
f, g ∈ C[a,b] ,
f ≤ g ⇔ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b].

Đặt P = {f ∈ C[a,b] : 0 ≤ f }. Khi đó P thỏa mãn ba điều kiện
(i) P là đóng, P = ∅, P = {0};
(ii) Với a, b ∈ R, a, b ≥ 0 và với mọi f, g ∈ P , ta có
0 ≤ af (x) + bg(y), ∀x ∈ [a, b].

Do đó af + bg ∈ P ;
(iii) Nếu f ∈ P và −f ∈ P , ta có f = 0.
Vậy P là một nón trên E .
Cho P là một nón trong không gian Banach E . Trên E ta định nghĩa quan
hệ thứ tự ≤ xác định bởi P như sau: x ≤ y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P .
Ta viết x < y nếu x ≤ y và x = y ; và viết x
y nếu y − x ∈ intP , trong
đó intP là phần trong của P .
1.2.3 Định nghĩa. ([4]) Cho P là một nón trong không gian Banach E . Nón
P được gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số thực K > 0 sao cho với mọi
x, y ∈ E và 0 ≤ x ≤ y , ta có x ≤ K y . Số thực dương K nhỏ nhất thỏa
mãn điều kiện này được gọi là hằng số chuẩn tắc của P .
1.2.4 Bổ đề. ([4]) Giả sử P là nón trong không gian Banach E , a, b, c ∈ E ,
{xn }, {yn } là các dãy trong E và α là số thực dương. Khi đó
(i) Nếu a

b và b

c thì a

c;

(ii) Nếu a ≤ b và b

c thì a

c;
10


(iii) Nếu a

b, c

d thì a + c

b + d;

(iv) α intP ⊂ intP ;
(v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP , tồn tại 0 < γ < 1 sao cho γx < δ ;
(vi) Với mỗi c1 ∈ intP và c2 ∈ P , tồn tại d ∈ intP sao cho c1
c2
d;
(vii) Với mỗi c1 , c2 ∈ intP , tồn tại e ∈ intP sao cho e

c1 và e

d và

c2 ;

(viii) Nếu a ∈ P và a ≤ x với mọi x ∈ intP thì a = 0;
(ix) Nếu a ≤ λa với a ∈ P , 0 < λ < 1 thì a = 0;
(x) 0 ≤ xn ≤ yn với mỗi n ∈ N và limn→∞ xn = x, limn→∞ yn = y thì
0 ≤ x ≤ y.
Chứng minh. (i) Vì phép cộng liên tục nên intP + intP ⊂ intP . Nếu a
b
và b
c thì b − a ∈ intP và c − b ∈ intP . Suy ra c − a = c − b + b − a
∈ intP + intP ⊂ intP . Vậy a
c.
(ii) Để ý rằng intP + P = x∈P (x + intP ) là tập mở và P nón nên suy ra
x + intP ⊂ P . Do đó P + intP ⊂ intP . Nếu a ≤ b và b
c thì b − a ∈ P và
c − b ∈ intP . Suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP hay c − a ∈ intP .
Vậy a c.
(iii) Ta có a
b và c
d nên b − a ∈ intP và d − c ∈ intP , suy ra
b − a + d − c ∈ intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP , do đó a + c
b + d.
(iv) Vì phép nhân vô hướng liên tục nên α intP ⊂ intP .
δ
(v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP , chọn số tự nhiên n > 1 sao cho
< 1. Khi
n x
δ
đó với γ =
thỏa mãn 0 < γ < 1 và
n x

δ
δ
γx ≤ γ x ≤
x ≤ < δ.
n x
n
(vi) Chọn δ > 0 sao cho c1 + B(0, δ) ⊂ intP , trong đó B(0, δ) = {x ∈ E :
x < δ}. Do tính hút của B(0, δ) nên tồn tại m > 1 sao cho c2 ∈ mB(0, δ),

11


suy ra −c2 ∈ mB(0, δ) và mc1 − c2 ∈ intP . Đặt d = mc1 − c2 . Khi đó, d thỏa
mãn (vi).
(vii) Chọn δ > 0 sao cho c1 +B(0, δ ) ⊂ intP , c2 +B(0, δ ) ⊂ intP trong đó
B(0, δ ) = {x ∈ E : x < δ }. Do tính hút của B(0, δ ) nên tồn tại m > 0 sao
cho c1 ∈ mB(0, δ ), c2 ∈ mB(0, δ ), suy ra −c1 ∈ mB(0, δ ), −c2 ∈ mB(0, δ )
và mc1 − c1 ∈ intP , mc2 − c2 ∈ intP . Đặt e = m1 c1 − c1 + mc2 − c2 . Khi đó,
e thỏa mãn (vii).
x
(viii) Giả sử x ∈ intP . Từ giả thiết suy ra a ≤ với mọi n = 1, 2, ..., do
n
x
x
x
x
đó − a ∈ P với mọi n = 1, 2, ..., Vì
=
→ 0 nên
→ 0. Do đó

n
n
n
n
x
x
− a → −a. Mặt khác, vì dãy { − a} ⊂ P và P đóng trong E nên −a ∈ P .
n
n
Như vậy a và −a ∈ P . Vì P nón nên a = 0.
(ix) Vì a ≤ λa nên λa − a ∈ P hay a(λ − 1) ∈ P . Do 0 < λ < 1 nên
1
a ∈ P , hay −a ∈ P . Như vậy, a và
1 − λ > 0. Từ đó suy ra −a =
1−λ
−a ∈ P . Vì P nón nên a = 0.
(x) Ta có xn ≤ yn suy ra yn −xn ∈ P . Do P đóng nên limn→∞ (yn −xn ) ∈ P .
Mặt khác, limn→∞ xn = x, limn→∞ yn = y nên limn→∞ (yn − xn ) = y − x. Từ
đó suy ra y − x ∈ P , do đó x ≤ y . Hoàn toàn tương tự như trên, ta chứng
minh được từ 0 ≤ xn suy ra 0 ≤ x. Vậy 0 ≤ x ≤ y .

1.2.5 Bổ đề. ([4]) Giả sử P nón trong không gian Banach E và {xn } là
dãy trong P . Khi đó, nếu xn → 0 thì mỗi c ∈ intP , tồn tại n0 ∈ N sao cho
xn
c với mọi n ≥ n0 .
Chứng minh. Giả sử {xn } là dãy trong P và xn → 0. Với mọi c ∈ intP , vì
intP là tập mở nên tồn tại δ > 0 sao cho c+BE (0, δ) ∈ intP , trong đó BE (0, δ)
là hình cầu mở tâm 0, bán kính δ trong E . Do đó, nếu x ∈ E mà x < δ thì
c − x ∈ intP . Với δ > 0 xác định như trên, tồn tại n0 ∈ N sao cho
x < δ , ∀n ≥ n0 .

Suy ra c − xn ∈ intP với mọi n ≥ n0 . Do đó, xn

12

c với mọi n ≥ n0 .


1.3

Không gian b-mêtric nón

Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của không
gian b-mêtric nón.
Từ đây trở về sau, ta luôn giả thiết E là không gian Banach thực, P là
nón của E với intP = ∅, ≤ và
là hai quan hệ thứ tự trên E được xác định
bởi P .
1.3.1 Định nghĩa. ([7]) Giả sử X là tập khác rỗng và hàm d : X × X → E .
Hàm d được gọi là b-mêtric nón trên X nếu tồn tại s ≥ 1 sao cho với mọi
x, y, z ∈ X , ta có
i) d(x, y) ∈ P (tức 0 ≤ d(x, y)) và d(x, y) = 0 ⇔ x = y ;
ii) d(x, y) = d(y, x);
iii) d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)].
Tập X cùng với một b-mêtric nón d trên nó được gọi là không gian b-mêtric
nón với tham số s và được kí hiệu bởi (X, d).
1.3.2 Chú ý. 1) Trong định nghĩa 1.3.1, nếu s = 1 thì ta nhận được định
nghĩa mêtric nón và không gian mêtric nón. Nói cách khác, không gian mêtric
nón là trường hợp đặc biệt của không gian b-mêtric nón khi s = 1.
2) Tồn tại những không gian b-mêtric nón mà không phải là không gian

mêtric nón.
3) Trong định nghĩa 1.3.1, nếu ta lấy E = R và P = [0, ∞) thì ta nhận được
định nghĩa không gian b-mêtric. Như vậy không gian b-mêtric là một trường
hợp đặc biệt của không gian b-mêtric nón.
1.3.3 Ví dụ. ([7]) Lấy E = R2 , P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0}, X = R và
d : X × X → E là hàm xác định bởi
d(x, y) = (|x − y|β , α(|x − y|β ), ∀(x, y) ∈ X × X ,

trong đó α và β là hai hằng số, α ≥ 0, β > 1.
Khi đó, (X, d) là không gian b-mêtric nón với tham số s ≥ 2β > 1 nhưng (X, d)
không phải là không gian mêtric nón.
13


Chứng minh. Để chứng minh (X, d) là không gian b-mêtric nón, ta sẽ lần lượt
kiểm tra ba điều kiện b-mêtric nón của hàm d. Ta có
i) Hiển nhiên |x − y|β ≥ 0 và α|x − y|β ≥ 0 với mọi x, y ∈ R, α ≥ 0, β > 1.
Do đó, d(x, y) ∈ P , ∀(x, y) ∈ X × X .
Hơn nữa
d(x, y) = (|x − y|β , α|x − y|β ) = (0, 0)
|x − y|β = 0
⇔
⇔ |x − y|β = 0 ⇔ x = y .
α|x − y|β = 0
ii) Nhờ tính chất của giá trị tuyệt đối |x − y| = |y − x|, ∀x, y ∈ R, ta dễ dàng
suy ra được d(x, y) = (|x − y|β , α|x − y|β ) = (|y − x|β , α|y − x|β ) = d(y, x),
với mọi x, y ∈ R, α ≥ 0, β > 1.
iii) Với mọi x, y, z ∈ R, ta có
d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)]
⇔ sd(x, z) + sd(z, y) − d(x, y) ∈ P

⇔ s(|x − z|β , α|x − z|β ) + s((|z − y|β , α|z − y|β ) − ((|x − y|β , α|x − y|β ) ∈ P
⇔ (s|x − z|β + s|z − y|β − |x − y|β , α[s|x − z|β + s|z − y|β − |x − y|β ] ∈ P
⇔ s|x − z|β + s|z − y|β ≥ |x − z|β .
Mặt khác, vì s ≥ 2β nên
|x − y|β ≤ (|x − y| + |y − z|)β
≤ (2 max{|x − y|, |y − z|})β = 2β (max{|x − y|, |y − z|})β )
≤ 2β (|x − z|β + |z − y|β ) ≤ s(|x − z|β + |z − y|β ).

(1.1)

Do đó s|x − z|β + s|z − y|β ≥ |x − y|β . Như vậy, d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)],
với mọi s ≥ 2β > 1.
Vậy (X, d) là không gian b-mêtric nón với tham số s ≥ 2β > 1.
Trong trường hợp s = 1, x = 4, y = 0, z = 1, β = 2 và α = 1, ta có
|4 − 1|2 + |1 − 0|2 < |4 − 0|2 .

Từ đó suy ra d(4, 0) > d(4, 1) + d(0, 1). Do đó (X, d) không phải là không gian
mêtric nón.

14


1.3.4 Định nghĩa. ([7]) Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric nón, x ∈ X và
{xn } là dãy trong X .
i) Dãy {xn } được gọi là dãy hội tụ tới x và được kí hiệu bởi limn→∞ xn = x
hoặc xn → x nếu với mọi c ∈ intP , tồn tại số tự nhiên nc sao cho
d(x, xn )

c, với mọi n ≥ nc ;

ii) Dãy {xn } được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi c ∈ intP , tồn tại số tự
nhiên nc sao cho
d(xn , xm )

c, với mọi m, n ≥ nc ;

iii) Không gian b - mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy
trong X đều hội tụ.
1.3.5 Bổ đề. Giả sử {xn } là dãy trong không gian b-mêtric (X, d) và
xn → x ∈ X . Khi đó, ta có
i) {xn } là dãy Cauchy;
ii) x là duy nhất;
iii) Với mọi y ∈ X và với mọi c ∈ intP , tồn tại số tự nhiên n0 sao cho
1
d(x, y) − c ≤ d(xn , y) ≤ sd(x, y) + c, ∀n ≥ n0 .
s

Chứng minh. i) Với mỗi c ∈ intP , vì xn → x nên tồn tại nc ∈ N sao cho
c
với mọi n ≥ nc . Do đó, với mọi n và m ≥ nc , ta có
d(xn , x)
2s
|d(xn , xm )| ≤ s[d(xn , x) + d(xm , x)]
c.
Do đó, {xn } là dãy Cauchy.
ii) Giả sử xn → x và xn → y . Khi đó, với mọi c ∈ intP , tồn tại nc ∈ N sao
cho với mọi n ≥ nc , ta có
c
c
d(xn , x)

, d(xn , y)
.
2s
2s
Do đó
d(x, y) ≤ s[d(x, xn ) + d(xn ), y]

Kết hợp với Bổ đề 1.2.4 suy ra d(x, y) = 0, tức x = y .
iii) Với mỗi y ∈ X , theo bất đẳng thức tam giác, ta có
15

c.


d(x, y) ≤ s[d(x, xn ) + d(xn ), y], n = 1, 2, ...

Từ đó suy ra với mọi n = 1, 2, ..., ta có
1
d(x, y) − d(x, xn ) ≤ d(xn , y) ≤ sd(xn , x) + sd(x, y).
s
Mặt khác, vì xn → x nên với mọi c ∈ intP , tồn tại n0 ∈ N sao cho d(xn , x)

c
s

với mọi n ≥ n0 . Do đó, với với mọi n ≥ n0 , ta có
1
c
1
1

d(x, y) − c ≤ d(x, y) −
d(x, y) − d(x, xn ) ≤ d(xn , y) ≤ c + sd(x, y).
s
s
s
s
Như vậy
1
d(x, y) − c ≤ d(xn , y) ≤ sd(x, y) + c, ∀n ≥ n0 .
s
1.3.6 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric và f : X → X .
i) Ánh xạ f được gọi là liên tục nếu mọi dãy {xn } trong X mà xn → x ta
có f xn → f x.
Ở đây và sau này ta viết f x thay cho f (x) với mọi x ∈ X .
ii) Ánh xạ f được gọi là hội tụ dãy nếu với mọi dãy {xn } trong X mà {f xn }
hội tụ thì dãy {xn } hội tụ.
iii) Ánh xạ f được gọi là hội tụ dãy con nếu với mọi dãy {xn } trong X mà
{f xn } hội tụ suy ra tồn tại dãy con {xnk } của {xn } mà {xnk } hội tụ.
iv) Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f x = x.

16


Chương 2
Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy
rộng trong không gian b-mêtric nón

Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các
ánh xạ T -co suy rộng trong không gian b-mêtric nón.

2.1

Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng
trong không gian b-mêtric

Mục này dành cho việc trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động
của các ánh xạ co và T -co suy rộng trong không gian b-mêtric.
2.1.1 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric f và T : X → X là
hai ánh xạ
1
i) Ánh xạ f được gọi là T -co nếu tồn tại hằng số α ∈ [0, ) sao cho
s
d(T f x, T f y) ≤ αd(T x, T y), ∀x, y ∈ X .

ii) Ánh xạ f được gọi là T -co suy rộng nếu tồn tại các hằng số α1 , α2 , α3 ,
1
α4 , α5 ∈ [0, ) sao cho
s
d(T f x, T f y) ≤ α1 d(T x, T y) + α2 d(T x, T f y) + α3 d(T y, T f x)
+ α4 d(T x, T f x) + α5 d(T y, T f y), ∀x, y ∈ X.

Ta thấy ánh xạ T -co là trường hợp riêng của ánh xạ T -co suy rộng khi
α2 = α3 = α4 = α5 = 0.
17


Ta kí hiệu

Φ1 = {ϕ : [0, +∞) → [0, +∞)| ϕ liên tục, không giảm và
ϕ(t) = 0 ⇔ t = 0}.

2.1.2 Định lí. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ với tham số
s ≥ 1, f và T : X → X là hai ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau:
i) T đơn ánh và liên tục;
ii) Tồn tại ϕ ∈ Φ1 sao cho với mọi x, y ∈ X , ta có
d(T f x, T f y) ≤ α1 sd(T x, T y) + α2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)]
+α3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] − ϕ(d(T x, T y)),

(2.1)

trong đó α1 , α2 , α3 là các hằng số không âm sao cho
1
α1 + 2α2 + 2α3 ≤ ,
s
1
α2 + α3 < 2 ,
s
1
α1 + 2α2 ≤ 2 .
s

(2.2)
(2.3)
(2.4)

Khi đó,
1) Với mỗi x0 ∈ X , dãy {T f n x0 } hội tụ;
2) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy con thì f có một điểm bất động duy nhất;
3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy thì với mỗi x0 ∈ X , dãy {f n x0 } hội tụ tới
điểm bất động của f .

Chứng minh. 1). Lấy x0 ∈ X và xác định dãy {xn } bởi
xn+1 = f xn = f n x0 , ∀n = 0, 1, 2, ...

Đặt yn = T xn , với mọi n = 0, 1, 2, ... Đầu tiên, ta chứng minh d(yn , yn+1 ) → 0
khi n → ∞.

18


Sử dụng điều kiện (2.1), ta có
d(yn+1 , yn ) = d(T f xn , T f xn−1 ) ≤ α1 sd(yn , yn−1 ) + α2 [d(yn , yn ) + d(yn−1 , yn+1 )]
+ α3 s[d(yn , yn+1 ) + d(yn−1 , yn )] − ϕ(d(yn , yn−1 ))
≤ α1 sd(yn , yn−1 ) + α2 s[d(yn−1 , yn ) + d(yn , yn+1 )]
+ α3 s[d(yn , yn+1 ) + d(yn , yn−1 )] − ϕ(d(yn , yn−1 ))
= s(α1 + α2 + α3 )d(yn , yn−1 )
+ s(α2 + α3 )d(yn+1 , yn ) − ϕ(d(yn , yn−1 )),
(2.5)

với mọi n = 1, 2, ...
Từ (2.2), ta có
s(α1 + α2 + α3 )
≤ 1.
1 − s(α2 + α3 )

Do đó
s(α1 + α2 + α3 )
d(yn , yn−1 )
1 − s(α2 + α3 )
≤ d(yn , yn−1 ), ∀n = 1, 2, ...

d(yn+1 , yn ) ≤

Như vậy {d(yn+1 , yn )} là dãy các số không âm, giảm. Do đó tồn tại
limn→∞ d(yn+1 , yn ) = r ≥ 0.

Từ (2.5) và tính liên tục của hàm ϕ, suy ra
r ≤ s(α1 + 2α2 + 2α3 )r − ϕ(r).

Kết hợp với s(α1 + 2α2 + 2α3 ) ≤ 1, suy ra ϕ(r) = 0. Theo tính chất của ϕ thì
r = 0, tức limn→∞ d(yn+1 , yn ) = 0.
Tiếp theo, ta chứng minh {yn } là dãy Cauchy.
Với mọi ε > 0, vì limn→∞ d(yn+1 , yn ) = 0 nên tồn tại số tự nhiên nε sao cho
với mọi n ≥ nε , ta có
d(yn+1 , yn ) < min{

ε
s
ε
,
ϕ(
)}.
3(s + 1) 2(s + 1) 3(s + 1)

(2.6)

Bây giờ, ta chứng minh khẳng định sau
(A) Nếu với mọi n0 ≥ nε mà d(yn , yn0 ) < ε, với n > nε thì d(yn+1 , yn0 ) < ε.
19

Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức tam giác và điều kiện (2.1), ta có
d(yn+1 , yn0 ) = d(T f xn , T f xn0 −1 )
≤ sd(T f xn , T f xn0 ) + sd(T f xn0 , T f xn0 −1 )
≤ sd(yn0 +1 , yn0 ) + s2 α1 d(yn , yn0 ) + sα2 [d(yn , yn0 +1 ) + d(yn0 , yn+1 )]
+ s2 α3 [d(yn , yn+1 ) + d(yn0 , yn0 +1 )] − sϕ(d(yn , yn0 ))
≤ s(1 + sα3 )d(yn0 +1 , yn0 ) + s2 α1 d(yn , yn0 )
+ s2 α2 [d(yn , yn0 ) + d(yn0 , yn0 +1 ) + d(yn0 , yn ) + d(yn , yn+1 )]
+ s2 α3 d(yn , yn+1 ) − sϕ(d(yn , yn0 ))
= s(1 + sα2 + sα3 )d(yn0 , yn0 +1 ) + s2 (α1 + 2α2 )d(yn , yn0 )
+ s2 (α2 + α3 )d(yn , yn+1 ) − sϕ(d(yn , yn0 ))
≤ (s + 1)d(yn0 , yn0 +1 ) + d(yn , yn0 ) + d(yn , yn+1 ) − sϕ(d(yn , yn0 )).
(2.7)
ε
. Khi đó, từ (2.6) suy ra
3(s + 1)
ε
ε
ε
d(yn+1 , yn0 ) ≤ +
+
< ε.
3 3(s + 1) 3(s + 1)
ε
≤ d(yn , yn0 ) < ε. Khi đó, từ (2.7) và tính
Trường hợp 2: Giả sử
3(s + 1)
không giảm của ϕ suy ra
s
ε
s

ε
ε
d(yn+1 , yn0 ) < ε + ϕ(
)+
ϕ(
) − sϕ(
) < ε.
2 3(s + 1)
2(s + 1) 3(s + 1)
3(s + 1)

Trường hợp 1: Giả sử d(yn , yn0 ) <

Như vậy khẳng định (A) được chứng minh.
Bây giờ, ta chứng minh {yn } là dãy Cauchy.
Cố định n0 ≥ nε . Khi đó, từ (2.6) và khẳng định (A) suy ra d(yn0 +2 , yn0 ) < ε.
Sử dụng tiếp khẳng định (A) ta suy ra d(yn0 +3 , yn0 ) < ε. Tiếp tục lý luận
tương tự ta có
d(yn , yn0 ) < ε, ∀n ≥ n0 .

Từ đó suy ra rằng, với mọi n, m ≥ n0 , ta có
d(yn , ym ) ≤ s[d(yn , yn0 ) + d(yn0 , ym )] < 2sε.

20


Do đó limn,m→∞ d(yn , ym ) = 0. Như vậy {yn } là dãy Cauchy. Vì (X, d) đầy
đủ nên tồn tại y ∈ X sao cho yn → y , tức T f n x0 → y . Khẳng định 1) được
chứng minh.
2) Giả sử T là ánh xạ hội tụ dãy con. Khi đó, vì {T f xn } = {yn+1 } là dãy

hội tụ nên tồn tại dãy con {f xni } của {f xn } sao cho f xni → x ∈ X , tức
limni →∞ d(f xni , x) = 0.

Vì T liên tục nên T f xni → T x.
Mặt khác, T f xn → y và {f xni } là dãy con của {f xn } nên từ Bổ đề (1.3.5)
suy ra T x = y .
Ta chứng minh x là điểm bất động của f . Sử dụng điều kiện (2.1), ta có
d(T f x, T x) ≤ sd(T f x, T f xn ) + sd(T f xn , T x)
≤ sd(yn+1 , y) + s2 α1 d(yn , y) + sα2 [d(yn , yn+1 ) + d(yn , T f x)]
+ s2 α3 [d(y, T f x) + d(yn , yn+1 )] − sϕ(d(y, yn )
≤ s(1 + sα2 )d(yn+1 , y) + s2 α1 d(y, yn ) + s2 α2 [d(yn , y) + d(y, T f x)]
+ s2 α3 [d(y, T f x) + d(yn , yn+1 )] − sϕ(d(y, yn ))
= s(1 + α2 )d(yn+1 , y) + s2 (α1 + α2 )d(y, yn ) + s2 (α2 + α3 )d(y, T f x)
+ s2 α3 d(yn , yn+1 ) − sϕ(d(y, yn ), ∀n = 1, 2, ...

Cho n → ∞, ta được
d(y, T f x) ≤ s2 (α2 + α3 )d(y, T f x).

Kết hợp với điều kiện (2.3) suy ra d(y, T f x) = 0, tức y = T f x hay T x = T f x.
Vì T đơn ánh nên x = f x. Vậy x là điểm bất động của f .
Bây giờ, ta chứng minh x là điểm bất động duy nhất của f .
Giả sử x cũng là điểm bất động của f . Khi đó,
d(T x, T x ) = d(T f x, T f x )
≤ α1 sd(T x, T x ) + α2 [d(T x, T x ) + d(T x, T x )]
+ α3 s[d(T x, T x) + d(T x , T x )] − ϕ(d(T x, T x ))
= (sα1 + 2α2 )d(T x, T x ) − ϕ(d(T x, T x ))

21

Kết hợp với điều kiện (2.2) suy ra ϕ(d(T x, T x )) = 0. Do đó d(T x, T x )) = 0
nên T x = T x . Vì T đơn ánh tức x = x .
3) Giả sử T là ánh xạ hội tụ dãy. Khi đó, trong chứng minh 2), thay {f xni }
bởi {f xn }, ta có f xn → x.

2.1.3 Hệ quả. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ với hằng số
s ≥ 1 và ánh xạ f : X → X thỏa mãn
1
d(f x, f y) ≤ d(x, y) − ϕ(d(x, y)), ∀x, y ∈ X
s

trong đó ϕ ∈ Φ1 . Khi đó, f có duy nhất điểm bất động.
Chứng minh. Giả sử T : X → X là ánh xạ đồng nhất, tức T (x) = x, với mọi
1
x ∈ X . Đặt α1 = 2 , α2 = α3 = 0. Khi đó, các điều kiện của Định lí 2.1.2
s
được thỏa mãn. Do đó f có duy nhất điểm bất động.
2.1.4 Hệ quả. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ với tham số
s ≥ 1, f và T : X → X là hai ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau:
i) T đơn ánh và liên tục;
ii) Tồn tại ϕ ∈ Φ1 và các hằng số không âm α1 , α2 , α3 , sao cho với mọi
x, y ∈ X , ta có
d(T f x, T f y) ≤ α1 sd(T x, T y) + α2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)]
+ α3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] − ϕ(λd(T x, T y)), (2.8)

trong đó λ > 0 và
1
α1 + 2α2 + 2α3 ≤ ,
s
1

α2 + α3 < 2 ,
s
1
α1 + 2α2 ≤ 2 .
s

Khi đó,
22

(2.9)
(2.10)
(2.11)


1) Với mỗi x0 ∈ X , dãy {T f n x0 } hội tụ;
2) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy con thì f có một điểm bất động duy nhất;
3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy thì với mỗi x0 ∈ X , dãy {f n x0 } hội tụ tới
điểm bất động của f .
Chứng minh. Ta xác định hàm ϕ1 : [0, ∞) → [0, ∞) bởi
ϕ1 (t) = ϕ(λt), ∀t ∈ [0, ∞).

Vì λ > 0 nên dễ dàng kiểm tra được ϕ1 ∈ Φ1 . Do đó sử dụng (2.8) và tính
chất của ϕ, ta có
d(T f x, T f y) ≤ α1 sd(T x, T y) + α2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)]
+ α3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] − ϕ(λd(T x, T y))
= α1 sd(T x, T y) + α2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)]
+ α3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] − ϕ1 (d(T x, T y)), ∀x, y ∈ X.

Vì ϕ1 ∈ Φ1 nên các khẳng định của Hệ quả được suy ra từ Định lí 2.1.2.
2.1.5 Hệ quả. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ với tham số

s ≥ 1, f và T : X → X là hai ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau:
i) T đơn ánh và liên tục;
ii) Tồn tại các hằng số không âm β1 , β2 , β3 sao cho
1
β1 + 2β2 + 2β3 < ,
s
1
β2 + β3 < 2 ,
s
1
β1 + 2β2 < 2
s

(2.12)
(2.13)
(2.14)

và với mọi x, y ∈ X , ta có
d(T f x, T f y) ≤ β1 sd(T x, T y) + β2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)]
+ β3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)].

Khi đó,
23

(2.15)


1) Với mỗi x0 ∈ X , dãy {T f n x0 } hội tụ;
2) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy con thì f có một điểm bất động duy nhất;
3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy thì với mỗi x0 ∈ X , dãy {f n x0 } hội tụ tới

điểm bất động của f .
Chứng minh. Từ các điều kiện (2.12), (2.13), (2.14) suy ra tồn tại các hằng
số không âm α1 ,α2 , α3 , sao cho βi < αi với i = 1, 2, 3 và các bất đẳng thức
(2.2), (2.3), (2.4) được thỏa mãn. Ta xác định hàm ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) bởi
ϕ(t) = t, ∀t ∈ [0, ∞).

Khi đó, ϕ ∈ Φ1 . Sử dụng (2.15), ta có
d(T f x, T f y) ≤ β1 sd(T x, T y) + β2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)]
+ β3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)]
= α1 sd(T x, T y) + α2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)]
+ α3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] − ϕ((α1 − β1 )sd(T x, T y)
+ (β2 − α2 )[d(T x, T f y) + d(T y, T f x)]
+ (β3 − α3 )s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)]
≤ α1 sd(T x, T y) + α2 [d(T x, T f y) + d(T y, T f x)]
+ α3 s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)]
− ϕ((α1 − β1 )sd(T x, T y), ∀x, y ∈ X.

Kết hợp với (α1 − β1 )s > 0, ta thấy các điều kiện của Hệ quả 2.1.4 được thỏa
mãn. Do đó điều cần chứng minh được suy ra từ việc áp dụng Hệ quả 2.1.4.

2.1.6 Hệ quả. Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ với tham số
s ≥ 1, f và T : X → X là hai ánh xạ. Khi đó, nếu T đơn ánh, liên tục và
hội tụ dãy con, còn f là ánh xạ T -co thì f có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh. Trong Hệ quả 2.1.5, nếu ta đặt α = β1 s và lấy β2 = β3 = 0 thì
điều kiện (2.15) trở thành
d(T f x, T f y) ≤ αd(T x, T y), ∀x, y ∈ X ,
24