Bài giảng điều khiển tự động - Chương 2

Tài liệu bài giảng Điều khiển tự động dành cho các sinh viên chuyên ngành kỹ thuật tham khảo với các nội dung như: Tổng quan về điều khiển tự động, mô tả toán học phần tử và hệ thống điều kh

GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 11BaBàøi giai giảûngngmôn homôn họïccĐĐieiềàu Khieu Khiểån Tn TựựĐĐoộängngGV: Nguyễn ThếHùng 01/200901/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 2Chương 2: Mơ tả tốn học Phần tử vàhệthống liên tục2.1 Phương trình vi phân2.2 Phép biến đổi Laplace2.3 Hàm truyền2.4 Sơ đồ khối2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình2.6 Graph tín hiệu2.7 Phương trình trạng thái GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 201/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 32.1 Phương trình vi phânai, bi: thông số của hệ thống (khối lượng, ma sát, R,L,C,…)r(t) : tín hiệu vào y(t) : tín hiệu ra n = bậc của hệ thống = bậc ph.trình vi phân Với hệ thống thực tế : m ≤ n (nguyên lý nhân quả)11101011nnmmnnmmnnmmdydydrdraa .ay(t)bb .br(t)dtdtdtdt−−−−−−+++=+++Tổng quát, quan hệ giữa tín hiệu vào, tín hiệu ra của một hệ thốngliên tục tuyến tính bất biến SISO cóthể mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng:01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 4Vídụ2.1: Hệ lò xo –khối lượng –giảm chấnm : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : độ cứng lo xo, [N/m] n Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t), [N]n Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m]22==−−∑imslxdymFF(t)FFdtÁp dụng Định luật II Newton :22dydymbky(t)F(t)dtdt++=⇒=msdyFbdt=lxFky(t)Lực giảm chấn :Lực lò xo :F(t)FmsFlxm (+) GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 301/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 5Vídụ2.2: Mạch điện RLC nối tiếpTheo định luật Kirchhoff :⇒Tín hiệu vào: điện áp uTín hiệu ra: điện áp uc++=RLCuuuu=LdiuLdt1=∫CuidtC=RuRi22CCCduduLCRCuudtdt++=Trong đó:⇒=CduiCdt=CduRCdt22=CduLCdt01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 6Vídụ2.3: Đặc tính động học vận tốc xe ôtô +=dvmbv(t)f(t)dtm : khối lượng xeb : hệ số cản (ma sát nhớt)n Tín hiệu vào: Lực đẩy của động cơ, f(t)n Tín hiệu ra: vận tốc của xe , v(t)f(t)bv(t) GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 401/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 7Vídụ2.4: Bộ giảm xóc của xe ôtô, xe máym : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : độ cứng lo xo, [N/m] n Tín hiệu vào: lượng di động r(t), [m]n Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m]22dydydrmbky(t)bkr(t)dtdtdt++=+01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 8Vídụ2.5: Mạch điện RLC2CCCduduRLCLRuRudtdt++=2CCCdududuRLCLRuLdtdtdt++=ii2++=dididuLCRCiCdtdtdt GV. NGUYN TH HNG 501/2009 GV. NGUYN TH HNG 92.2 Phộp bin i LaplaceNghieọm y(t)Nghieọm Y(s)01/2009 GV. NGUYN TH HNG 102.2 Phộp bin i Laplace2.2.1 nh nghan Cho hm thi gian f(t) xỏc nh vi mi t 0, bin i Laplace ca f(t) l:s : bin Laplace (bin s phc)L : toỏn t bin i LaplaceF(s): bin i Laplce hay nh Laplace ca f(t)Bin i Laplace tn ti khi tớch phõn trong biu thc nh ngha trờn lhi t (hu hn).st0F(s)L[f(t)]f(t)edt== GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 601/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 112.2 Phép biến đổi Laplacen Cho hàm phức F(s), biến đổi Laplace ngược của F(s) làmột hàm thời gian f(t) xác định bởi:Trong đó:q C là đường cong kín được lựa chọn trong miền s q j làsốảo đơn vị (j2 =-1) 1tsc1f(t)L[F(s)]F(s)eds2j−==π∫Ñt ≥ 001/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 122.2.2 Tính chất1) Tuyến tính2) Ảnh của đạo hàmGiải phương trình vi phân bậc n cần n điều kiện đầu: 2.2 Phép biến đổi Laplace(n1)f(0),f(0),f(0), .,f(0)−&&&L [f1(t) ± f2(t)] = F1(s) ± F2(s)L[kf(t)] = kF(s)0y()&là vận tốc ban đầu (tại t=0).2 điều kiện đầu: y(0) là vị trí ban đầu (tại t=0)300520100++=&&&y(t)y(t)y(t)Vídụ: Giải ph.trình vi phân mô tả chuyển động bậc hai: GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 701/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 132a) Nếu các điều kiện đầu khác 02.2 Phép biến đổi Laplace()(1)1[()]()(0)−−=−=∑nnnniiiLftsFssf2300520100sY(s)sY(s)Y(s)R(s)++=2300520100(ss)Y(s)R(s)++=2L[f(t)]sF(s)sf(0)f(0)=−−&&&(3)32L[f(t)]sF(s)sf(0)sf(0)f(0)=−−−&&&300520100y(t)y(t)y(t)r(t)++=&&&Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 ta được:Vídụ, xét ptvp:()[()]()=nnLftsFs2b) Nếu các điều kiện đầu = 001/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 143) Ảnh của tích phân 2.2 Phép biến đổi Laplace0()()=∫tFsLftdts4) Ảnh của hàm trễf(t-T) = f(t) khi t≥ T= 0 khi t<TTsL[f(tT)]eF(s)−−=5) Ảnh của tích chậptt12121200f(t)*f(t)f().f(t)df(t).f()dÑN=τ−ττ=−τττ∫∫1212L[f(t)*f(t)]F(s).F(s)= GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 801/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 156)Nhân hàm f(t) với e- αt2.2 Phép biến đổi Laplace0[()]()[()]()∞−α−α−==+α=+α∫ttstLefteftedtLftFs8) Định lý giátrị đầut0sf(0)limf(t)lim[s.F(s)]→→∞==Nhân f(t) với e-αt⇔ thay s bằng (s+α) trong ảnh Laplace.7) Định lý giátrị cuốits0f()limf(t)lim[s.F(s)]→∞→∞==01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 162.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản1) Hàm bậc thang (hàm bước) đơn vị2.2 Phép biến đổi LaplaceXét hàm bậc thang K(t)=K.1(t):stst00111L[1(t)]edt.e(01)sss∞∞−−==−=−−=∫KL[K.1(t)]K.L[1(t)]s== GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 901/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 172) Hàm xung đơn vị (xung Dirac)2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản00st0000(t)edt(t)edt(t)dt1∞++−−δ=δ=δ=∫∫∫3) Hàm mũ e -αt(α <0)tst(s)t00eedtedt∞∞−α−−+α=∫∫(s)t0e1ss−+α∞=−=+α+αtL[e]−α=L[(t)]δ=t δ(t)0t01∞a→0ah01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 184) Hàm dốc đơn vị2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bảntr(t)t.1(t)0==khi t ≥ 0khi t < 0steut;vs−==−22ststst000tee11L[t.1(t)]tedtdt0ssss∞∞−−∞−==+=+=−∫∫t20L[1(t)]1L[t.1(t)]L1(t)dts s===∫Lấy tích phân từngphầnCũng cóthể dùng tính chất ảnh của tích phân:udvuvvdu=−∫∫Theo cách tương tự, ta tính được ảnh của t2, t3, tn…t.1(t)t0 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1001/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 195) Hàm lượng giác sinωt, cosωt, …2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bảnjtjtcostjsintecostjsinteω−ωω+ω=ω−ω=( )( ) ( )( )sjtsjtjtjtst0011eeedtL[cost] eedt22∞∞−−ω−+ωω−ω−+=+ω=∫∫Công thức Euler:( ) ( )jtjtjtjt11costee;sintee22jω−ωω−ω⇒ω=+ω=−111 .2jsL[sinsjt]j=−−ω+ωω=1112sjsj=+−ω+ω22ss=+ω22s=ω+ω01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 20Một số biến đổi Laplace thường dùng (trang 20)17189831(t)1F(s)f(t)TT22s(s)+α+α+ω22(s)ω+α+ωtecost−αωtesint−αω1n(s)+α1s +α21(s)+α1/ste−αtte−αn1tte(n1)!−−α− [...]... HÙNG 46 23 2. 4 .2 Đại số sơ đồ khối 7) Chuyển bộ tổng ra sau một khối: => Thêm khối (G) U1 G Y=(U1-U2 )G U1 Y= U1G-U2G G U2 U2 G 8) Đảo vị trí, tách, nhập hai bộ tổng liền nhau: được phép U1 U1 Y U2 U3 Y U3 Y=U1-U2+U3 U1 U2 U3 Y U2 Y=U1+U3-U2 01 /20 09 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 47 2. 4 .2 Đại số sơ đồ khối L Lưu ý : Œ Không được đảo vị trí điểm rẽ và bộ tổng U3=U1 U3=U1-U2=U4 U1 U4=U1-U2 U1 U4=U1-U2 U2 U2 • Không... 6s + 25 ) s s + 6s + 25 2 (A + C1 )s 2 + (6A + 3C1 + 4C2 )s + 25 A s(s 2 + 6s + 25 ) So sánh với Y(s) đã cho, ta được: A = 1/ 5 25 A = 5 C1 = −1/ 5 A + C1 = 0 ⇒ 6A + 3C1 + 4C2 = 2 C2 = 7 / 20 Y(s) = 01 /20 09 GV NGUYỄN THẾ HÙNG GV NGUYỄN THẾ HÙNG 32 16 2. 2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược 1 7 1 7 − (s + 3) + (4) − (s + 3) ( 4) 1 1 5 20 5 20 Y(s) = + = + + 5s s 2 + 6s + 25 5s (s + 3) 2 + 4 2 (s + 3) 2 + 42 y(t)... G1G4 + G2 H1 + G2 G3 H2 + G4 H2 G1G 2 G 3 + G1G4 1 + G1G 2 G3 + G1G4 + G1 G2 H1 + G2 G3 H2 + G4 H2 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 54 27 Bài tập 3_ Tìm hàm truyền tương đương G td = G1G 2 G3 G 4 1 + G1G 2 + G3 G4 + G1 G2 G3 G4 − G2 G3 H1 1/G1 R G1 01 /20 09 H1 G2 1/G4 G3 G4 GV NGUYỄN THẾ HÙNG Y 55 Bài tập 4_ Tìm hàm truyền tương đương G td = 01 /20 09 GV NGUYỄN THẾ HÙNG G1G 2 G 3 G4 1 + G1G 2 G 3 G4 − G1G2 G3 + G2 G3...  α 2 + 2  α 2 + 2   = α 2 + 2 ( sin ω t cos ϕ ± cos ωtsin ϕ) = α 2 + 2 sin(ω t ± ϕ) Trong đó : ϕ = arccos 01 /20 09 α α +β 2 2 = arc sin β α + 2 2 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 31 2. 2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược Ví dụ: Tìm y(t) biết Y(s) = 2s + 5 s(s + 6s + 25 ) 2 Giải Mẫu số của Y(s) có một nghiệm đơn s=0 và hai nghiệm phức p1 ,2 =-3 ± 4j nên có thể phân tích : Y(s) = 2s + 5 A C (s + 3) + 4C 2 = + 12 s(s... được đảo vị trí 2 bộ tổng nếu giữa hai bộ tổng có điểm rẽ U4=U1+U3 U4=U1-U2 U1 U1 U2 01 /20 09 GV NGUYỄN THẾ HÙNG U3 U5 GV NGUYỄN THẾ HÙNG U5 U3 U2 48 24 Ví dụ 2. 8 Tìm hàm truyền tương đương Gtđ1 Gt 2 G tñ1 = G1 1 + G1K1 G t 2 = G tñ1G 2 G1G 2 = 1 + G tñ1G 2 K 2 1 + G1 K1 + G1 G2 K2 G tñ (s) = G tñ 2 G 3 G1G 2 G3 Y(s) = = R(s) 1 + G tñ 2 G 3 K 3 1 + G1 K1 + G1 G2 K2 + G1 G2 G3 K3 01 /20 09 GV NGUYỄN THẾ... 6s + 15 s(s + 1)(s 2 + 8s + 16) (5) Y(s) = s+5 s(s + 4s + 5) (6) Y(s) = 15s + 22 5 s(s + 18s + 22 5) 4 9 y(t) = 1 + e −9t − e−14t 5 5 2 17 3 y(t) = − e −3t + e−5t 3 12 4 2 2  π y(t) = 1 − 2e −2t sin  t +   4 2 2 01 /20 09 8 5 31 13 y(t) = - e−5t - te −3t + e −3t 9 4 6 36 15 3 1 y(t) = - e − t - te −4t + e −4t 16 4 16 1 y(t) = 1- e−9t cos12t + e −9t sin12t 2 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 35 2. 3 Hàm truyền 1)... A1es1 t + A2 es2 t + + An esn t i =1 01 /20 09 GV NGUYỄN THẾ HÙNG GV NGUYỄN THẾ HÙNG 22 11 2. 2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược Ví dụ : Tìm y(t) biết Y(s) = 5s + 3 s(2s + 14s + 20 ) 2 Giải Mẫu số của Y(s) có 3 nghiệm đơn s1 =0, s2 = -2 , s3 =-5 và hệ số an =2 Do đó có thể phân tích : 5s + 3 A A A Y(s) = = 1+ 2 + 3 2s(s + 2) (s + 5) s s + 2 s + 5 5s + 3 3 A1 = lim [s.Y(s)] = lim = s→0 s→ 0 2( s + 2) (s + 5) 20 5s +... Ví dụ 2. 9_ Cách giải 1 G5 R G2 G1 Gt 2 R Gtđ1 A G3 B G4 G5 G2 G1 G3 A G4 Y 1/G3 G tñ1 = G 2G 3 1 − G 2 G 3G 5 01 /20 09 GV NGUYỄN THẾ HÙNG G t 2 = G1G tñ1 G t 2 G 4 G tñ = 1 + G1G tñ1.(1/ G 3 ) 1 + G t 2 G 4 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 50 25 Ví dụ 2. 9_ Cách giải 2 G5 R Gt 2 G5 Gtđ1 R G2 1 − G 2G 3G 5 G t 2 = 01 /20 09 G3 B G4 Y G3 G2 G1 G tñ1 = A G2 G1 B G1G tñ1 1 + G1G tñ1 G3 G4 G tñ = Y G tñ2G 3G 4 1 + G tñ2G 3G... A 2 = lim [(s + 2) Y(s)] = lim = s→ 2 s→− 2 2s(s + 5) 12 5s + 3 22 11 =− =− A 3 = lim [(s + 5)Y(s)] = lim s→−5 2s(s + 2) s→−5 30 15 01 /20 09 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 23 2. 2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược 3 7 11 + − 20 s 12( s + 2) 15(s + 5) ⇒ Y(s) = ⇒ y(t) = 3 7 −2t 11 −5t + e − e 20 12 15 Nhận xét: y(0) = lim[y(t)] = 0 t →0 y(0) = lim[s.Y(s)] = 0 s→∞ y(∞ ) = lim[y(t)] = 3 / 20 t →∞ y(∞ ) = lim[s.Y(s)] = 3 / 20 ... − 2 )(s − p1 )(s − p 2 ) Q(s) = a n (s − s 1) (s − s n − 2 )[(s − a) 2 + 2 ] Y(s) = A1 A C (s − a) + C2 ω + + n − 2 + 1 2 s − s1 s − sn − 2 ( s − a ) + 2 Các hệ số Ai , C1 ,C2 xác định bằng : - Phương pháp đồng nhất hệ số đa thức, - hoặc Tính theo công thức: 01 /20 09 GV NGUYỄN THẾ HÙNG 29 2. 2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược A i = lim [(s − si )Y(s)] s → si 1 Im ω 1 C2 = Re ω C1 = Y(s) = (i=1,…,n -2 ) . y(t)= ?21 8s 126 Y(s)s(s23s 126 )+=++2s20Y(s)s(2s16s30)+=++(1) (2) (3)(4)(5)(6 )23 s40Y(s)s(s5)(s3)+=+ +26 s15Y(s)s(s1)(s8s16)+=+++2s5Y(s)s(s4s5)+=+ +21 5s 225 Y(s)s(s18s 225 )+=++9t14t49y(t)1ee55−−=+−9t9t1y(t)1ecos12tesin12t 2- . phức p1 ,2 =-3 ± 4j nên cóthể phân tích :22 s5Y(s)s(s6s25)+=+ +21 122 (AC)s(6A3C4C)s25AY(s)s(s6s25)+++++=+ +25 A5=1AC0+= 126 A3C4C2++=A1/5=1C1/5=−2C7 /20 =So sánh