Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh trong dạy học môn Toán

CH09182023_Võ Thị Bích Tiền
RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
TOÁN

Câu 1.
a) Bản chất của tư duy biện chứng; Mối quan hệ giữa tư duy biện chứng và tư duy
hình thức trong dạy học toán?
Bản chất của tư duy biện chứng là quá trình vận động tư tưởng theo các quy luật biện
chứng để suy nghĩ được khách quan, toàn diện, lịch sử cụ thể. Tư duy biện biện chứng
được phân tích dựa trên logic biện chứng để nghiên cứu những quy luật chung nhất của
sự phát sinh và phát triển của tư duy, giúp chúng ta nắm vững được sự vật. Tư duy biện
chứng vận động theo quy luật của phép biện chứng, của nhận thức và quy luật đặc thù
của bản thân nó. Tư duy biện chứng, suy từ hình thức này ra hình thức khác; xác định
mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng, chứ không phối hợp chúng với nhau; nó phát
triển những hình thức cao từ những hình thức thấp. Tóm lại, tư duy biện chứng phải xét
sự vật trong sự phát triển, trong sự vận động của chính nó.
Mối quan hệ giữa tư duy biện chứng và tư duy hình thức trong dạy học toán:
Tư duy hình thức và tư duy biện chứng là hai phương thức tư duy khác biệt nha, có
những nguyên tắc căn bản khác nhau.
Tư duy hình thức là loại tư duy dựa vào logic hình thức. Tư duy hình thức dựa trên
nguyên tắc đồng nhất trừu tượng. Trong giả định đối tượng là đứng im, không vận động
biến đổi. Đối tượng chỉ có thể là chính nó chứ thể đồng thời là cái khác. Tư duy hình thức
phản ánh đối tượng ở một thời điểm xác định, trong mối quan hệ xác định với một
phẩmchất nhất định. Các nguyên lý cơ bản của tư duy hình hức là cô lập và bất biến. Các
quy luật cơ bản là đồng nhất, phi mâu thuẫn và bài trung, có lý do đầy đủ, phản đảo.
Tư duy biện chứng là loại tư duy dựa vào logic biện chứng. Tư duy biện chứng dựa trên
nguyên tác đồng nhất cụ thể. Tức là nguyên tắc xem xét đối tượng một cách hiện thực.
Đối tượng có quá trình phát sinh, biến đổi chuyển chuyển hóa- nó vừa là nó, nó vừa là cái
khác. Tư duy biện chứng phản ánh đối tượng trong mối liên hệ phổ biến của hiện thực.
Nguyên lý cơ bản của tư duy biện chứng liên hệ và biến hóa. Quy luật cơ bản là thống
nhất mâu thuẫn, lượng đổi dẫn đến chất đổi và ngược lại, phủ định của phủ định.

Sự khác nhau gữa tư duy biện chứng và tư duy hình thức không có ý nghĩa tuyệt đối. Vì
trước khi nghiên cứu đối tượng thì tư duy cần tách đối tượng nghiên cứu ra khỏi lớp các
đối tượng khác đã biết, đồng thời phải xem xét một quan hệ xác định cụ thể rồi mới có
thể xem xét đối tượng trong các mối quan hệ khác. Tư duy hình thức chỉ là một trường
1


CH09182023_Võ Thị Bích Tiền
RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
TOÁN
hợp đặc biệt của tư duy biện chứng- nghiên cứu đối tượng trong trạng thái cân bằng động,
khi đối tượng chưa chuyển hóa sang sản phẩm khác.
Ta có thể tóm tắt lại một số điều cơ bản như sau:
Tư duy hình thức

Tư duy biện chứng

Phân loại

Dựa vào logic hình thức

Dựa vào logic biện chứng

Nguyên lý
cơ bản

Cô lập

Liên hệ

Bất biến

Biến hóa

Quy luật
cơ bản

Đồng nhất

Thống nhất mâu thuẫn

Phi mâu thuẫn

Lượng đổi dẫn đến chất đổivà ngược lại

Bài trung

Phủ định của phủ định

Có lý do đầy đủ
Phản đảo
b) Cho một ví dụ về phát triển tư duy biện chứng cho học sinh trong dạy học toán?
Cho bốn điểm , , , . Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
Phân tích:
Học sinh đã biết cách viết phương trình tổng quát của mặt phẳng trong trường hợp đi qua
3 điểm. Giáo viên hướng dẫn để học sinh nhận ra nếu 4 điểm không đồng phẳng thì 4
điểm tạo thành một tứ diện. Từ đó, học sinh rút ra cách chứng minh A, B, C, D là bốn
đỉnh của một tứ diện. Ta cần chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng.
Có 3 cách để chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng:
Cách 1: Viết phương trình rồi chứng minh

Cách 2: Viết phương trình rồi chứng minh
2


CH09182023_Võ Thị Bích Tiền
RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
TOÁN
Cách 3: Chứng minh không đồng phẳng.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: ,

Phương trình mặt phẳng (BCD) đi qua và có là vecto pháp tuyến:

(1)
Cách 1:
Thay tọa độ của vào phương trình (1) ta được
vô lý,
Suy ra
Suy ra 4 điểm A, B, C không thuộc cùng mặt phẳng
Vậy 4 điểm A, B, C là 4 đỉnh của một tứ diện.
Cách 2:
Ta có:
Suy ra
Suy ra 4 điểm A, B, C không thuộc cùng mặt phẳng
Vậy 4 điểm A, B, C là 4 đỉnh của một tứ diện.
Cách 3:
Ta có: , ,
Không tồn tại m,n để
3

CH09182023_Võ Thị Bích Tiền
RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
TOÁN
Suy ra không đồng phẳng
Suy ra 4 điểm A, B, C không thuộc cùng mặt phẳng
Vậy 4 điểm A, B, C là 4 đỉnh của một tứ diện.
a) Mối quan hệ giữa trừu tượng hoá và tư duy trừu tượng. Để phát triển tư duy trừu
tượng cho học sinh trong dạy học toán, người giáo viên phải làm gì? Cho ví dụ
minh hoạ.
Mối quan hệ giữa trừu tượng hoá và tư duy trừu tượng
Tư duy trừu tượng là tư duy đặc trưng bởi kĩ năng trừu xuất khỏi nội dung
cụ thể của đối tượng nghiên cứu, nhằm làm nổi bật các tính chất chung của nó,
mà các tính chất này là chủ thể của sự nghiên cứu. Mà trừu trượng hóa là là quá trình
dùng trí ốc gặt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu,
không cần thiết và chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho tư duy. Tư
duy trừu tượng là tư duy mà các thao tác tư duy (trong đó có trừu
tượng hóa) là hình thức cơ bản của hoạt động tư duy. Do đó tư duy trừu
tượng và trừu tượng hóa có mối quan hệ mật thiết với nhau. Tư duy trừu
tượng hóa liên hệ chặt chẽ với các thao tác tư duy gọi là sự trừu tượng hóa.
Ví dụ về tư duy trừu tượng: Tất cả các hình chóp có đủ màu sắc, kích thước, chất liệu
khác nhau. Giáo viên yêu cầu học sinh tìm ra đặc điểm chung của các hình chóp này. Để
có thể đưa ra khái niệm về hình chóp: “Hình chóp có mặt đáy là một đa giác và các mặt
bên là những tam giác có chung một đỉnh”.
Để phát triển tư duy trừu tượng cho học sinh trong dạy học toán, người giáo viên:
-

Trước hết phải hiểu được tư duy trừu tượng là gì? Tư duy trừu tượng trong toán như
thế nào?
4

CH09182023_Võ Thị Bích Tiền
RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
TOÁN
-

Rèn luyện và phát triển tư duy phân tích, tư duy logic, tư duy không gian có thể từ bài
giảng hoặc từ thực tế

-

Rèn luyện và phát triển các năng lực lập luận, dự đoán kết quả, khái quát hóa tổng
quát hóa được kết quả thu được

-

Giáo viên phải rèn luyện cho học cần rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, tổng
hợp, trừu tượng hóa, khái để làm cơ sở thực hiện các tư duy

-

Xây dựng được bài dạy và bài giảng phù hợp để phát huy được tư duy trừu tượng của
học sinh

b) Có thể rèn luyện tư duy không gian cho học sinh như thế nào khi hướng dẫn giải
bài toán “Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xác định
giao điểm G của AC' và mặt phẳng (BDA')”.
Câu 3: Rèn luyện tư duy phản biện cho học sinh khi hướng dẫn giải bài toán:
a) Cho có diện tích bằng 3/2. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh BC, CA, AB và ha,

hb, hc tương ứng là 3 đường cao kẻ từ A, B, C. Chứng minh

Phân tích:
Khi đứng trước bài toán này học sinh sẽ đặt câu hỏi diện tích của tam giác có liên quan
gì đến 3 đường cao và 3 cạnh của tam giác. Bất đẳng thức nào liện hệ ba cạnh trong tam
giác, ba đường cao trong tam giác. Công thức nào liên hệ các giả thiết đề bài đã cho. Từ
đó ta đưa về các đẳng thức, bất đẳng thức cơ bản đã học.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Suy ra

5


CH09182023_Võ Thị Bích Tiền
RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
TOÁN

Cộng theo vế ta được:

với p là nữa chu vi, r là bán kính đườn tròn nội tiếp
(1)
Theo bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương

(2)
Từ (1)(2)
(điều phải chứng minh)
b) Giải phương trình
Phân tích:

6


CH09182023_Võ Thị Bích Tiền
RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
TOÁN
Với phương trình phức tạp này học sinh giải theo cách bình thường như đặt ẩn phụ hay
đưa về phương trình mũ sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Bài này tuy sẽ khó nhận định được là
hàm đồng hay nghịch biến. Nhưng nếu quan sát kỹ sẽ thấy phần logarit có thể đưa về
phần mũ để có thể dễ dàng chứng minh hàm số đồng biến. Do đó ta sẽ dùng tính đơn điệu
của hàm đồng biến để giải quyết bài toán. Việc còn lại là nhẩm nghiệm của phương trình.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện x>0
Để đơn giảng phương trình ta đặt
Phương trình viết lại thành

Đặt
Điều kiện

Dễ thấy rằng là một hàm đồng biến trên và
Ta lại chỉ ra được rằng:
Nên phương trình =0 đã cho chỉ có hai nghiệm
Đến đây suy ra
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
Câu 4: Lựa chọn một định lý trong chương trình toán phổ thông. Tổ chức cho học
sinh học định lý theo định hướng phát triển tư duy toán học cho học sinh. (chú trọng
nội dung khai thác, vận dụng định lý)
Định lý:
7

CH09182023_Võ Thị Bích Tiền
RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
TOÁN
“Nếu là trọng tâm của thì với mọi ”
Bước 1: Phát biểu định lý: “Nếu là trọng tâm của thì với mọi ”
Bước 2: Phân biệt giả thiết và kết luận của định lý:
Giả thiết: là trọng tâm của
Kết luận: , với mọi
Bước 3: Trả lời câu hỏi tìm tòi phép chứng minh theo lược đồ
1. là trọng tâm của ta có được định lý nào đã học?
2. , làm sao để xuất hiện ?
3. Áp dụng quy tắc 3 điểmđể chèn điểm ,
Bước 4: Lập sơ đồ phép chứng minh
1. Giả thiết đề bài
là trọng tâm của
2. Định lý có thể suy ra từ giải thiết

3. Quy tắc 3 điểm (chèn điểm)

4. Biến đổi tương đương

5. Kết luận:
8


CH09182023_Võ Thị Bích Tiền
RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
TOÁN

6. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Chứng minh rằng: “Nếu O là tâm của hình bình hành ABCD thì
, với mọi ”
Bài 2: Chứng minh rằng: “Nếu thì , với mọi ”

9