NĂNG LƯỢNG TRONG DAO ĐỘNG điều hòa của CON lắc lò XO

NĂNG LƯỢNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CỦA CON LẮC LÒ XO
1. Năng lượng trong dao động điều hòa: Xét 1 con lắc lò xo gồm vật treo nhỏ có khối lượng m và độ cứng
lò
xo là k. Phương trình dao động x = Acos(t + ) và biểu thức vận tốc là v = -Asin(t + ). Khi đó năng
lượng dao động của con lắc lò xo gồm thế năng đàn hồi (bỏ qua thế năng hấp dẫn) và động năng chuyển
động.
Chọn mốc thế năng đàn hồi ở vị trí cân bằng của vật ta có:
a. Thế năng đàn hồi: Et = cos ( ) 2

1
2
1 2 2 2 kx  kA t   Etmax =

2
2
1
kA (Khi vật ở vị trí biên x =  A)













2

1 cos(2 2 )
2
2 kA t  Et    cos(2 2 ) 4 4

1 cos(2 2 ) 4
2 2 2        t  

kA kA
t

kA Et Gọi ’, T’, f’, ’ lần lượt là tần số góc, chu kì, pha ban đầu của thế năng ta có:

’ = 2; T’ = T

2
; f’ = 2f, ’ = 2

b. Động năng chuyển động: Eđ =

1
2
mv2 với v = -Asin(t+) và 2 =


k
m
 sin ( ) 2

sin ( ) 2

2
2

2
22



t

kA
t

mA
Eđ
 Eđ max =
2max 2
1


mv =
2()2
1
mv A =

1
2
kA2 (Khi vật qua VTCB)

Dùng phương pháp hạ bậc ta có:











2
1 cos(2 2 )
2
2 kA t  Eđ cos( ' 2 ) 4 4


cos(2 2 ) 4 4
2 2 2 2         t   

kA kA
t

kA kA

Gọi ’, T’, f’, ’ lần lượt là tần số góc, chu kì, pha ban đầu của động năng ta có:

’ = 2; T’ = T

2
; f’ = 2f, ’ = 2    Eđ ngược pha với Et

c. Cơ năng E: Là năng lượng cơ học của vật nó bao gồm tổng của động năng và thế năng.
E = Et + Eđ = sin ( ) 2

cos ( ) 2

2
2

2
2
   t 


kA
t
kA

= cos ( ) sin ( )
2
22
2
t   t 
kA

=2
2 kA

Vậy: Et =
2
2

1
kx ; Eđ =

2
2
1
mv = E - Et = ( ) 2


122kAx

E = Et + Eđ =

2
2
1
kx +

2
2
1
mv = Et max =

2
2
1
kA = Eđ max =
2max 2
1
mv =

22
2
1
m A


Từ các ý trên ta có thể kết luận sau:
* Trong quá trình dao của con lắc luôn có sự biến đổi năng lượng qua lại giữa động năng và thế năng
nhưng tổng của chúng tức cơ năng luôn bảo toàn v tỉ lệ với A

2

. (Đơn vị k là N/m, m là kg, của A, x là mét, của vận tốc là m/s thì đơn vị E là jun).
* T công th c E =

2
2
1
kA ta thấy cơ năng chỉ phụ thuộc vào độ cứng lò xo (đặc tính của hệ) và biên độ

(cường độ kích thích ban đầu) mà không phụ thuộc vào khối lượng vật treo.
* Trong dao động điều hòa của vật Eđ và Et biến thiên tuần hoàn nhưng ngược pha nhau với chu kì bằng
nửa chu kì dao động của vật và tần số bằng 2 lần tần số dao động của vật.

* Trong dao động điều hòa của vật Eđ và Et biến thiên tuần hoàn quanh giá trị trung bình 2

4
1
kA và luôn có

giá trs dɵɳng (biːn thiên t giá trs 0 đːn E =

2
2
1
kA ).

* Thời gian liên tiếp để động năng bằng thế năng trong 1 chu kì là t0 = T/4 (T là chu kì dao động của vật)
* Thời điểm đầu tiên để động năng bằng thế năng khi vật xuất phát từ VTCB hoặc vị trí biên là t0 = T/8
* Thời gian liên tiếp để động năng (hoặc thế năng) đạt cực đại là T/2.
Bài toán 1: Vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos(t + ) với A,  là những hằng số đã biết.
Tìm
vị trí của vật mà tại đó động năng bằng n lần thế năng (với n > 0 ).

Bài làm

Ta có: Cơ năng E = Et + Eđ = 2
2 kA

Theo bài nra: Eđ = n.Et  E = Et + Eđ = Et + n.Et = (n+1)Et 

2
2 kA =(n+1) 2

2 kx
 x = 1




n
A

Vậy tại những vị trí x = 1


n
A
ta có động năng bằng n lần thế năng.
Tương tự khi Eđ = n.Et ta cũng có tỉ lệ về độ lớn: a = 1

max n 
a
; Fph = 1
max n 
Fph
;v=1
1
max
n
v

Bài toán 2 (Bài toán kích thích dao động bằng va chạm): Vật m gắn vào lò xo có
phương ngang và m đang đứng yên, ta cho vật m0 có vận tốc v0 va chạm với m


theo phương của lò xo thì:
a. Nếu m đang đứng yên ở vị trí cân bằng thì vận tốc của m ngay sau va
chạm là vật tốc dao động cực đại vmax của m:
* Nếu va chạm đàn hồi: vm = vmax =

0
200
mm
mv

; vật m0 có vận tốc sau va chạm 0

0
,0
0v
mm
mm
v



  biên độ dao động của m sau va chạm là: A = 

mv
với ω = m


k

* Nếu va chạm mềm và 2 vật dính liền sau va chạm thì vận tốc hệ (m + m0): v = vmax = m m
mv
0
00

 biên độ dao động của hệ (m + m0) sau va chạm là: A = 

mv
với ω = m m0

k


b. Nếu m đang ở vị trí biên độ A thì vận tốc của m ngay sau va chạm là vm và biên độ của m sau va
chạm là A’:
* Nếu va chạm đàn hồi: vm = vmax =

0
200
mm
mv



; vật m0 có vận tốc sau va chạm 0

0
,0
0v
mm
mm
v



  biên độ dao động của m sau va chạm là: A’ = 2

2
2

mv A  với ω = m

k

* Nếu va chạm mềm và 2 vật dính liền sau va chạm thì vận tốc hệ (m + m0): v = vmax = m m
mv
0
00


 biên độ dao động của hệ (m + m0) sau va chạm là: A’ = 2

2
2

v A  với ω

2 = m m0
k


Bài toán 3: Gắn một vật có khối lượng m = 200g vào 1 lò xo có độ cứng k = 80
N/m. Một đầu của lò xo được cố định, kéo m khỏi vị trí O (vị trí lò xo có độ dài
bằng độ dài tự nhiên) đoạn 10cm dọc theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao
động. Biết hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng ngang là  = 0,1 (g = 10m/s2).

a. Tìm chiều dài quãng đường mà vật đi được cho tới lúc dùng.
b. Chứng minh độ giảm biên độ dao động sau mỗi chu kì là không đổi.

c. Tìm số dao động vật thực hiện được đến lúc dừng lại.
d. Tính thời gian dao động của vật.
e. Vật dừng lại tại vị trí cách vị trí O đoạn xa nhất lmax bằng bao nhiêu?
f. Tìm tốc độ lớn nhất mà vật đạt được trong quá trình dao động?

Bài giải


a. Chiều dài quãng đường đo được khi có ma sát, vật dao động tắt dần cho đến lúc dừng lại. Ở đây cơ
năng
bằng công cản E =

2
2
1
kA = Fma sát.S = .mg.S  S = 2

1.0,1.0,2.10
80.0,1

2
2 2   mg
kA


m

b. Độ giảm biên độ: Giả sử tại 1 thời điểm vật đang đứng ở vị trí biên có độ lớn A1 sau 1/2 chu kì vật đến
vị
trí biên có độ lớn A2. Sự giảm biên độ là do công của lực ma sát trên đoạn đường (A1 + A2) là (A1 - A2)
 . . .( ) 2

1
2


1

12

2
2

2 kA1  kA   m g A  A  A1 - A2 = k

2mg

Sau 1/2 chu kì nữa vật đến vị trí biên có biên độ lớn A3 thì A2 - A3 = k

2mg
Vậy độ giảm biên độ trong cả chu kì là: A =

4.mg
k = const

c. Số dao động thực hiện được đến lúc dừng lại:
Tính ΔA =

4.0,1.0,2.10
80 = 0,01m = 1 cm
Vậy số dao động thực hiện được đến lúc dừng lại N = A


A
= 10 chu kỳ

d. Thời gian dao động là: t = N.T = 3,14 (s).
e. Vật dừng lại tại vị trí cách vị trí cân bằng O đoạn xa nhất Δlmax bằng:
Vật dừng lại khi Fđàn hồi  Fma sát  k.Δl  .mg  Δl mg

k
 Δlmax= mg
k = 2,5 mm

f. Tốc độ lớn nhất mà vật đạt được là lúc hợp lực tác dụng lên vật bằng 0. Nếu vật dao động điều hòa thì
tốc
độ lớn nhất mà vật đạt được là khi vật qua vị trí cân bằng, nhưng trong trường hợp này vì có lực cản nên
tốc
độ lớn nhất mà vật đạt được là thời điểm đầu tiên hợp lực tác dụng lên vật bằng 0 (thời điểm đầu tiên
Fđàn hồi =
Fma sát).
Vị trí đó có tọa độ x = Δlmax thỏa: Fđàn hồi = Fma sát k.Δlmax = .mg  Δlmax= mg
k = 2,5 mm

Cơ năng còn lại: E = ( ) 2 2 2

2 2 max

2max mg A l k l mv kA





 [Với μ.m.g(A - Δl) là công cản]

 2 ( ) max

2max

2 2 max mv  kA  kl  mg A l = 1,95(m/s) (khi không có ma sát thì vmax = A.ω = 2m/s)
Vậy từ bài toán trên ta có kết luận:
* Một con lắc lò xo dao động tắt dần với biên độ A, hệ số ma sát khô μ. Quãng đường vật đi được đến
lúc
dừng lại là: S = g
A
F
kA
mg
kA

can 


2 2 2
2 2 2 2   (Nếu bài toán cho lực cản thì Fcản = μ.m.g)
* Một vật dao động tắt dần thì độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ là: ΔA =

4.mg
k=2
44

g
k
Fcan  =const

* Số dao động thực hiện được đến lúc dừng lại là: N = g
A
F
Ak
mg
Ak
A
A

can 


4 4 4
2

 Fcan = Ak


4N
* Thời gian từ lúc bắt đầu dao động đến lúc dừng lại là: Δt = N.T = g

A
F
AkT
mg
AkT

can 


4 4 2  

* Vật dừng lại tại vị trí cách vị trí O đoạn xa nhất Δl max bằng: Δlmax = mg

k

* Tốc độ lớn nhất của vật trong quá trình dao động thỏa mãn: 2 ( ) max

2max

2 2 max mv  kA  kl  mg A l

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM


Câu 139 . Tìm phát biểu sai. A. Cơ năng của hệ biến thiên điều hòa.

B. Động năng là dạng năng lượng phụ thuộc vào vận tốc.
C. Thế năng là dạng năng lượng phụ thuộc vào vị trí. D. Cơ năng của hệ bằng tổng động năng và thế
năng.
Câu 140 . Tìm đáp án sai: Cơ năng của một vật dao động điều hòa bằng

A. Động năng ở vị trí cân bằng.
B. Động năng vào thời điểm ban đầu.
C. Thế năng ở vị trí biên.
D. Tổng động năng và thế năng ở một thời điểm bất kỳ. Câu 141 . Nhận xét nào dưới đây là sai về sự biến
đổi năng lượng trong dao động điều hòa:
A. Độ biến thiên động năng sau một khỏang thời gian bằng và trái dấu với độ biến thiên thế năng trong
cùng
khoảng thời gian đó. B. Động năng và thế năng chuyển hóa lẫn nhau nhưng tổng năng lượng của chúng
thì không thay đổi.
C. Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn với cùng tần số góc của dao động điều hòa.
D. Trong một chu kỳ dao của dao động có bốn lần động năng và thế năng có cùng một giá trị. Câu 142 .
Kết luận nào dưới đây là đúng về năng lượng của vật dao động điều hòa.
A. Năng lượng của vật dao động tuần hoàn tỉ lệ với biên độ của vật dao động.
B. Năng lượng của vật dao động tuần hoàn chỉ phụ thuộc vào đặc điểm riêng của hệ dao động.
C. Năng lượng của vật dao động tuần hoàn tỉ lệ với bình phương của biên độ dao động.
D. Năng lượng của vật dao động tuần hoàn biến thiên tuần hoàn theo thời gian.
Câu 143 . Điều nào sau đây là sai khi nói về dao động điều hoà của vật?
A. Cơ năng của vật được bảo toàn.
B. Thế năng là dạng năng lượng phụ thuộc vào vị trí của vật.
C. Động năng biến thiên tuần hoàn và luôn 0
D. Động năng biến thiên tuần hoàn quanh giá trị = 0


Câu 144 . Trong dao động điều hoà của một vật thì tập hợp ba đại lượng nào sau đây là không thay đổi
theo
thời gian?
A. Lực; vận tốc; năng lượng toàn phần. B. Biên độ; tần số góc; gia tốc.
C. Động năng; tần số; lực. D. Biên độ; tần số góc; năng lượng toàn phần.
Câu 145 . Cơ năng của con lắc lò xo có độ cứng k là: E = 2

2 2 m A
. Nếu khối lượng m của vật tăng lên gấp

đôi và biên độ dao động không đổi thì:
A. Cơ năng con lắc không thay đổi. B. Cơ năng con lắc tăng lên gấp đôi
C. Cơ năng con lắc giảm 2 lần. D. Cơ năng con lắc tăng gấp 4 lần.
Câu 146 . Một chất điểm có khối lượng m dao động điều hoà xung quanh vị cân bằng với biên độ A. Gọi
vmax, amax, Wđmax lần lượt là độ lớn vận tốc cực đại, gia tốc cực đại và động năng cực đại của chất
điểm. Tại thời
điểm t chất điểm có ly độ x và vận tốc là v. Công thức nào sau đây là không dùng để tính chu kì dao động
điều hoà của chất điểm?
A. T = 2π.A
2Wđ max m

B. T = 2π max v

A

C. T = 2π. amax A


D. T = 2 2 2 A x
v



Câu 147 . Năng lượng của một vật dao động điều hoà là E. Khi li độ bằng một nửa biên độ thì động năng
của
nó bằng.
A. E/4. B. E/2. C. 3E/2. D. 3E/4.

Câu 148 . Một con lắc lò xo, nếu tần số tăng bốn lần và biên độ giảm hai lần thì năng lượng của nó:
A. Không đổi B. Giảm 2 lần C. Giảm 4 lần D. Tăng 4 lần
Câu 149 . Một vật năng 500g dao động điều hoà trên quỹ đạo dài 20cm và trong khoảng thời gian 3 phút
vật
thực hiện 540 dao động. Cho 

2 = 10. Cơ năng của vật là:

A. 2025J B. 0,9J C. 900J D. 2,025J
Câu 150 . Một vật nặng 200g treo vào lò xo làm nó dãn ra 2cm. Trong quá trình vật dao động thì chiều dài
của lò xo biến thiên từ 25cm đến 35cm. Lấy g = 10m/s2

. Cơ năng của vật là:
A. 1250J. B. 0,125J. C. 12,5J. D. 125J.
Câu 151 . Một vật nặng gắn vào lò xo có độ cứng k = 20N/m dao động với biên độ A = 5cm. Khi vật nặng
cách vị trí biên 4cm có động năng là:
A. 0,024J B. 0,0016J C. 0,009J D. 0,041J


Câu 152 . Một lò xo bị dãn 1cm khi chịu tác dụng một lực là 1N. Nếu kéo dãn lò xo khỏi vị trí cân bằng 1

đoạn 2cm thì thế năng của lò xo này là:
A. 0,02J B. 1J C. 0,4J D. 0,04J
Câu 153 . Một chất điểm khối lượng m = 100g, dao động điều điều hoà dọc theo trục Ox với phương
trình x =
4cos(2t)cm. Cơ năng trong dao động điều hoà của chất điểm là:
A. 3200 J. B. 3,2 J. C. 0,32 J. D. 0,32 mJ.
Câu 154 . Một vật có khối lượng 800g được treo vào lò xo có độ cứng k và làm lò xo bị giãn 4cm. Vật
được
kéo theo phương thẳng đứng sao cho lò xo bị giãn 10cm rồi thả nhẹ cho dao động. Lấy g = 10 m/s2

. Năng

lượng dao động của vật là:
A. 1J B. 0,36J C. 0,16J D. 1,96J
Câu 155 . Một con lắc treo thẳng đứng, k = 100N/m. Ở vị trí cân bằng lò xo dãn 4cm, truyền cho vật một
năng lượng 0,125J. Cho g = 10m/s2
, lấy 
2 = 10. Chu kỳ và biên độ dao động của vật là:

A. T = 0,4s; A = 5cm B. T = 0,2s; A = 2cm C. T = s; A = 4cm D. T = s; A = 5cm
Câu 156 . Một vật dao động điều hòa với biên độ A. Khi li độ x = A/2 thì:
A. Eđ = Et B. Eđ = 2Et C. Eđ = 4Et D. Eđ = 3Et
Câu 157 . Con lắc lò xo dao động với biên độ 6cm. Xác định li độ khi cơ năng của lò xo bằng 2 động năng:
A.  3 2 cm B.  3cm C.  2 2 cm D.  2 2 cm
Câu 158 . Một vật đang dao động điều hoà. Tại vị trí động năng bằng hai lần thế năng, gia tốc của vật có
độ


lớn nhỏ hơn gia tốc cực đại:
A. 2 lần B. 2 lần. C. 3 lần D. 3 lần.
Câu 159 . Vật dao động điều hòa. Hãy xác định tỉ lệ giữa tốc độ cực đại và tốc độ ở thời điểm động năng
bằng
n lần thế năng.
A. n B.
n
1
1 1 C. n + 1 D. n 1
Câu 160 . Hai lò xo 1, 2 có hệ số đàn hồi tương ứng k1, k2 với k1 = 4k2. Mắc hai lò xo nối tiếp với nhau
theo
phương ngang rồi kéo hai đầu tự do cho chúng giãn ra. Thế năng của lò xo nào lớn hơn và lớn gấp bao

nhiêu
lần so với lò xo còn lại?
A. Thế năng lò xo 1 lớn gấp 4 lần thế năng lò xo 2. B. Thế năng lò xo 1 lớn gấp 2 lần thế năng lò xo 2.
C. Thế năng lò xo 2 lớn gấp 2 lần thế năng lò xo 1. D. Thế năng lò xo 2 lớn gấp 4 lần thế năng lò xo 1.
Câu 161 . Một vật nhỏ thực hiện dao động điều hoà theo phương trình x =10sin(4t + /2)(cm) với t tính
bằng
giây. Động năng của vật đó biến thiên với chu kỳ bằng:
A. 0,25 s. B. 0,50 s C. 1,00 s D. 1,50 s
Câu 162 . Vật dao động điều hòa với chu kì T thì thời gian liên tiếp ngắn nhất để động năng bằng thế
năng là:
A. T B. T/2 C. T/4 D. T/6.
Câu 163 . Hai con lắc lò xò (1) và (2) cùng dao động điều hoà với các biên độ A1 và A2 = 5cm. Độ cứng
của
lò xo k2 = 2k1. Năng lượng dao động của hai con lắc là như nhau. Biên độ A1 của con lắc (1) là:
A. 10 cm B. 2,5 cm C. 7,1 cm D. 5 cm