CHUYEN DE DA THUC CASIO

CHƯƠNG II: ĐA THỨC
1. Định lý Bezout
Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a)
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a
Dạng 1. Tính giá trị của đa thức
Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x0, y = y0; …
Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính.
Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)
Viết P(x) = a0xn + a1xn−1 + ... + an dưới dạng P(x) = (...(a0x + a1)x + a2)x + ...)x + an
Vậy P(x0 ) = (...(a0x0 + a1)x0 + a2 )x0 + ...)x0 + an .
Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; …; bn = bn-1x0 + an. Suy ra: P(x0) = bn.
Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1.
Giải trên máy: - Gán giá x0 vào biến nhớm M.
- Thực hiện dãy lặp: bk-1 ALPHA M + ak
Ví dụ 1.1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính A =

3x5 − 2x4 + 3x2 − x
khi x = 1,8165
4x3 − x2 + 3x + 5

Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans
Aán phím: 1 . 8165 =
( 3Ans ^5 − 2 Ans ^4 + 3Ans x2 − Ans + 1)
÷ ( 4 Ans ^3 − Ans x2 + 3Ans + 5) =

Kết quả: 1.498465582
Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X
Aán phím: 1 . 8165 SHIFT STO X
( 3ALPHA X ^5 − 2 ALPHA X ^4 + 3ALPHA X x2 − ALPHA X + 1)
÷ ( 4 ALPHA X ^3 − ALPHA X x2 + 3ALPHA X + 5) =

Kết

quả:

1.498465582
Nhận xét:  Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy fx-220
và fx-500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp tính
trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể thế các giá trị của
biến x nhanh bằng cách bấm CALC , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x
ấn phím là = xong. Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x 0 vào
một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị.
Ví dụ 1.2: Tính A =

3x5 − 2x4 + 3x2 − x
khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321
4x3 − x2 + 3x + 5

Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X:
( −) . 235678 SHIFT STO X

Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím = là xong.
 Trong các kỳ thi dạng toán này luôn có, chiếm 1 đến 5 điểm trong bài thi. Khả năng
tính toán dẫn đến sai số thường thì không nhiều nhưng nếu biểu thức quá phức tạp nên
tìm cách chia nhỏ bài toán tránh vượt quá giới hạn bộ nhớ của máy tính sẽ dẫn đến sai
1
Nguồn: />

kết quả (máy tính vẫn tính nhưng kết quả thu được là kết quả gần đúng, có trường hợp
sai hẳn).
Dạng 2: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x)

cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó r
là một số (không chứa biến x). Thế x = −

b
b
ta được P( − ) = r.
a
a
b
a

Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P( − ), lúc
này dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1.
Ví dụ 2.1: (Sở GD TPHCM, 1998)
x14 − x9 − x5 + x4 + x2 + x − 723
Tìm số dư trong phép chia:P=
x − 1,624

Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 1. 624SHIFT STO X
ALPHA X ^14 − ALPHA X ^9 − ALPHA X ^5
+ ALPHA X ^4 + ALPHA X ^2 + ALPHA X − 723 =

Kết quả: r = 85,92136979
Dạng 3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m
chia hết cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được
P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r. Muốn P(x) chia hết cho ax +b thì m + r = 0

b
a

hay m = -r = - P( − ). Như vậy bài toán trở về dạng toán 1.
Ví dụ 3.1: Xác định tham số
(Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000).
Tìm a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x+6.- Giải 2
4
3
Số dư a = − (−6) + 7(−6) + 2( −6) + 13( −6) 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: (−) 6 SHIFT STO X
( −) ( ALPHA X ^ 4 + 7 ALPHA X x3 + 2 ALPHA X x2 + 13 ALPHA X ) =

Kết quả: a = -222
Ví dụ 3.2: (Sở GD Khánh Hòa, 2001)
Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625. Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3?
-- Giải –
3
Số dư a2 = - 3( −3) + 17( −3) − 625 => a = ± − 3( −3) + 17( −3) − 625
3

2
Nguồn: />

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
(−) ( 3 ( (−) 3 ) x3 + 17 ( (−) 3 ) − 625 ) =

Kết quả: a = ± 27,51363298
Chú ý: Để ý ta thấy rằng P(x) = 3x3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757.

Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) thì a2 = 757 => a = 27,51363298 và a = - 27,51363298
Vi du3.3
Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hết cho

Q(x) = 3x

+2
H.Dẫn:
- Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m. Khi đó:
P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + 2 khi và chỉ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)




Ta có: P1  −  + m = 0 ⇒ m = − P1  − 
 3
 3
2

2

Tính trên máy giá trị của đa thức P1(x) tại x = −

2
ta được m =
3

Vi du3.4:
Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n
Tìm m, n để hai đa thức trên có nghiệm chung x0 =

1
2

H.Dẫn:
x0 =

1
1
là nghiệm của P(x) thì m = − P1   , với P1(x) = 3x2 - 4x + 5
2
2

x0 =

1
1
là nghiệm của Q(x) thì n= −Q1   với Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7.
2
2

 
Tính trên máy ta được: m = − P1   =
2
1

 
;n = −Q1   =
2
1

Vi du3.5:
Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m;Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n.
a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2)
b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x). Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ rằng đa thức R(x)
chỉ có duy nhất một nghiệm.
H.Dẫn:
3
Nguồn: />

a) Giải tương tự VD 3.4, ta có: m =

;n =

b) P(x) M(x - 2) và Q(x) M(x - 2) ⇒ R(x) M(x - 2)
Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - 6 = (x - 2)(x 2 + x + 3), vì x2 + x + 3 > 0 với mọi x nên R(x)
chỉ có một nghiệm x = 2.
Ví dụ 3.6
Cho đa thức f(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x .
1. Tim giá trị của m để f(x) + m
chia hết cho x+6
2. Với m vừa tìm được ở câu 1. T ính giá trị của đa thức P(x) = f(x) + m khi cho:
1+

x=

3
2

3

1+ 1+
2

1−

+

3
2

1− 1−

3
2

Giải:
1. f(x) + m
chia hết cho x+6 nên f(x) + m viết được dưới
d ạng
f(x) + m = Q(x)(x+6)
do đ ó f(-6) + m = 0 ⇔ m = - f(-6)
HS lập quy trình tính đ úng k ết quả
⇔ m = - f(-6) = - (- 642)= 642
2. Với m = 642
ta được đa thức P(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x + 642
Học sinh tính được x = 1.
Thay x = 1 vào và tính đ úng P(1) = 665
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số của P ( x ) thỏa mãn một điều kiện nào đó:
Ví dụ 4.1: (5 điểm) Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c
a) Tìm a, b, c biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thì P(x) có giá trị

tương ứng là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653
b) Tìm số dư r của phép chia đa thức P(x) cho 12x – 1
c) Tìm giá trị của x khi P(x) có giá trị là 1989
Giải:
a) Thay lần lượt các giá trị x = 1,2 ; x =2,5 ; x=3,7 vào đa thức P(x) = x3+ax2 + c
1,44a + 1,2b + c = 1993

ta được hệ 6,25a + 2,5b + c = 2045
13,69a + 3,7b + c = 2123


4
Nguồn: />

Giải hệ phương trình ta được a =10 ; b =3 ; c = 1975
b) Số dư của phép chia P(x) =x3+10x2+3x+1975 cho 2x+5 chính là giá trị P(-2,5)
của đa thức P(x) tại x=-2,5. ĐS ; 2014,375
c) Giải phương trình P(x) =x3+10x2+3x+1975= 1989 hay x3+10x2+3x-14 =0
x=1 ; x= - 9,531128874 ; x= -1,468871126
Ví dụ 4.2:Cho P(x) = x3 + ax2 + bx - 1
1) Xác định số hữu tỉ a và b để x =

7− 5
7+ 5

là nghiệm của P(x);

2) Với giá trị a, b tìm được hãy tìm các nghiệm còn lại của P(x).
Giải:
x = 6- 35 ⇒ b =

1
− x 2 − ax =6+ 35 -(6- 35 )2 - a(6- 35 )
x

(a+13) = b+6a+65 = 0 ⇒ a = -13 ; b =13 ⇒ P(x) =x3-13x2+13x-1
(x-1)(x2-12x+1) = 0 ⇒ x = 1 ; x ≈ 0,08392 và x ≈ 11,916
Ví dụ 4.3:Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để
sao cho P(x) chia hết cho (x – 13) có số dư là 2 và chia cho (x – 14) có số dư là 3.
Hướng dẫn:
Ta có : P(x) = Q(x)(x – a) + r ⇒ P(a) = r
Vậy P(13) = a.133 + b.132 + c.13 – 2007 = 1
P(3) = a.33 + b.32 + c.3 – 2007 = 2
P(14) = a.143 + b.142 + c.14 – 2007 = 3
 2197.a + 169b + 13.c = 2008

Tính trên máy và rút gọn ta được hệ ba phương trình : 27a + 9b + 3c = 2009
 2744 + 196b + 14c = 2010


Tính trên máy được :a = 3,693672994 ≈ 3,69
b = –110,6192807 ≈ –110,62
c = 968,2814519 ≈ 968,28
Dạng 5. Tìm đa thức thương khi chia đa thức
cho đơn thức
3
Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta sẽ được thương là một
đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 và số dư r. Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x
+ b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c). Ta lại có công thức truy hồi
Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3.

Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi
chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát.
: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b)
Cách giải:
- Để tìm dư: ta giải như bài toán 1

5
Nguồn: />

- Để tìm hệ số của đa thức thương: dùng lược đồ Hoocner để tìm thương trong phép
b
a

chia đa thức P(x) cho (x + )
Ví dụ 5.1
Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5.
-- Giải -Ta có: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
(−) 5SHIFT STO M 1 × ALPHA M + 0 = (-5)
× ALPHA M − 2 = (23)
× ALPHA M + (−) 3 = (-118)
× ALPHA M + 0 = (590)
× ALPHA M + 0 = (-2950)
× ALPHA M + 1 = (14751)
× ALPHA M + (−)1 = (-73756)

Vậy x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 =
= (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756.
Ví dụ5.2: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 cho (x + 5)
H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có:

1
1

0
-5

-2 -3
0
-5
2
590
3 118
* Tính trên máy tính các giá trị trên như sau:
( −) 5 SHIFT

STO

1 × ANPHA

M

+ 0 =
+

0
-2950

1
14751

-1
73756

M

(-5) :

ghi ra giấy

-5

(23) :

ghi ra giấy

23

×

ANPHA

M

×

ANPHA

M

- 3 =

(-118) :

ghi ra giấy -118

×

ANPHA

M

+ 0 =

(590) :

ghi ra giấy

×

ANPHA

M

+ 0 =

(-2950) :

×

ANPHA

M

+ 1 =

(14751) : ghi ra giấy 14751

×

ANPHA

M

-

(-73756) : ghi ra giấy -73756

- 2 =

1 =

590

ghi ra giấy -2950

x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 =
= (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) – 73756
Vi du5.3: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1)
6
Nguồn: />

Vi du 5.4:
Chia x8 cho x + 0,5 được thương q1(x) dư r1. Chia q1(x) cho x + 0,5 được thương q2(x)
dư r2. Tìm r2 ?
H.Dẫn:
- Ta phân tích: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1
q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2
- Dùng lược đồ Hoocner, ta tính được hệ số của các đa thức q1(x), q2(x) và các số
dư r1, r2:
1

0

0

0

0

0

0

0

−

1
2

1

−

1
2

1
4

−

1
8

1
16

−

1
32

1
64

−

−

1
2

1

-1

3
4

−

1
2

5
16

−

3
16

7
64

−

VËy: r2 = −

1
128

0
1
256

1
16

1
16

Dạng 6. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức
Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c:
P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n.
Ví dụ6.1 Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3.
-- Giải -Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q 1(x) và r0.
Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:
1 -3 0 1 -2 x4-3x2+x-2
3 1 0 0 1 1 q1(x)=x3+1, r0 = 1
3 1 3 9 28
q2(x)=x3+3x+1,r1=28
3 1 6 27
q3(x)=x+6, r0 = 27
3 1 9
q4(x)=1=a0, r0 = 9
4
3
2

Vậy x – 3x + x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3) + 9(x-3)3 + (x-3)4.
Dạng 7. Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức
Nếu trong phân tích P(x) = r0 + r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n ta có ri ≥ 0 với mọi i
= 0, 1, …, n thì mọi nghiệm thực của P(x) đều không lớn hơn c.
Ví dụ 7.1: Cận trên của các nghiệm dương của đa thức x 4 – 3x3 + x – 2 là c = 3. (Đa
thức có hai nghiệm thực gần đúng là 2,962980452 và -0,9061277259)
Nhận xét:  Các dạng toán 2.4 đến 2.6 là dạng toán mới (chưa thấy xuất hiện trong
các kỳ thi) nhưng dựa vào những dạng toán này có thể giải các dạng toán khác như phân
tích đa thức ra thừa số, giải gần đúng phương trình đa thức, ….
 Vận dụng linh hoạt các phương pháp giải kết hợp với máy tính có thể
giải được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không được
hoặc sử dụng công thức Cardano quá phức tạp. Do đó yêu cầu phải nắm vững phương
pháp và vận dụng một cách khéo léo hợp lí trong các bài làm.
7
Nguồn: />

Dạng.8. tính giá trị của đa thức khi biết
một số giá trị khác của đa thức
Ví dụ 8.1
Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25.
Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:
Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho:
+ Bậc H(x) nhỏ hơn bậc của P(x)
+ Bậc của H(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ hơn 5,
nghĩa là:
Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e
Bước 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là:
 a1 + b1 + c1 + d1 + e1 + 1 = 0

16a + 8b + 4c + 2d + e + 4 = 0
1
1
1
1
 1
81a1 + 27b1 + 9c1 + 3d1 + e1 + 9 = 0
⇒ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1
 256a + 64b + 16c + 4d + e + 16 = 0
1
1
1
1
1

625a1 + 125b1 + 25c1 + 5d1 + e1 + 25 = 0

Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2
Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 là nghiệm của Q(x), mà bậc của Q(x) bằng 5 có
hệ số của x5 bằng 1 nên:
Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)
⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2.
Từ đó tính được: P(6) =

; P(7) =

; P(8) =

; P(9) =

Ví dụ 8.2 Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9;

P(4) = 11.

Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:
- Giải tương tự bài 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3). Từ đó tính
được: P(5) =

; P(6) =

; P(7) =

; P(8) =

Ví dụ 8.3 Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6;

P(4) = 10.

8
Nguồn: />
; P(9) =


Tính A =

P (5) − 2 P(6)
=?

P (7)

H.Dẫn:
- Giải tương tự bài 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) +
được: A =

x( x + 1)
. Từ đó tính
2

P (5) − 2 P(6)
=
P (7)

Ví dụ 8.4 Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số của bậc cao nhất là 1 và thoả mãn:
f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ?
H.Dẫn:
- Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0

⇒

a, b, c là nghiệm của hệ phương trình:
a + b + c + 3 = 0

9a + 3b + c + 11 = 0
 25a + 5b + c + 27 = 0


a = −1


⇒ bằng MTBT ta giải được: b = 0
c = −2


⇒ g(x) = f(x) - x2 - 2
Vì f(x) bậc 4 nên g(x) cũng có bậc là 4 và g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do
vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)⇒ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)+ x2 + 2.
Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) =
Ví dụ 8.4 Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.
Tìm f(10) = ?

(Đề thi HSG CHDC Đức)

H.Dẫn:
- Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1

nên:

d =10
a + b + c + d =12


8a + 4b + 2c + d = 4

27 a + 9b +3c + d =1

9
Nguồn: />

lấy 3 phương trình cuối lần lượt trừ cho phương trình đầu và giải hệ gồm 3 phương

5
2

trình ẩn a, b, c trên MTBT cho ta kết quả: a = ; b = −
f ( x) =

25
; c = 12; d = 10
2

⇒

5 3 25 2
x − x + 12 x + 10 ⇒ f (10) =
2
2

Ví dụ8.5:
Chođa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2),(x - 3) đều được dư là 6
và f(-1) =-18 .Tính f(2005) = ?
H.Dẫn:
- Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18
- Giải tương tự như bài 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x
Từ đó tính được f(2005) =
Ví dụ 8.6 Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức.
Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007
Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45.
Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là
9, 21, 33, 45
Giải:

Tính giá trị của P(x) tại x = 1, 2, 3, 4 ta được kết quả là :
1+a-b+c+d-2007=9
a-b+c+d=2015
32+16a-8b+4c+2d-2007=21
16a-8b+4c+2d=1996


⇔


 243+81a-27b+9c+3d-2007=33
81a-27b+9c+3d=1797
1024+256a-64b+16c+4d-2007=45
256a-64b+16c+4d=1028

(1)
(2)
(3)
(4)

Lấy hai vế của phương trình (1) lần lượt nhân với 2, 3, 4 rồi trừ lần lượt vế đối vế với
phương trình (2), phương trình (3), phương trình (4), ta được hệ phương trình bậc nhất 3
ẩn :
-14a+6b-2c=2034

-78a+24b+6c=4248
-252a+60b-12c=7032


Tính trên máy được a = -93,5 ; b = -870 ; c = -2972,5 và d = 4211

Ta có P(x)=x5 – 93,5x4 + 870x3 -2972,5x2+ 4211x – 2007
Q(1,15) = 66,15927281 ≈ 66,16
Q(1,25) = 86,21777344 ≈ 86,22
Q(1,35) = 94,91819906 ≈ 94,92
10
Nguồn: />

Q(1,45) = 94,66489969 ≈ 94,66
Ví dụ 8.7:
Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f .
Biết P(1) = 1 , P(2) = 4 , P(3) = 9 , P(4) = 16 , P(5) = 25 .
Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9)
Giải:
Ta có P(1) = 1 = 12; P(2) = 4 = 22 ; P(3) = 9 = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52
Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2.
Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0.
Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x).
Vì hệ số của x5 bằng 1 nên Q(x) có dạng:
Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5).
Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62
Hay P(6) = 5! + 62 = 156.
Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72
Hay P(7) = 6! + 72 = 769

BÀI TẬP
Dạng 1. Tính giá trị của đa
Bài tập 1.1Cho P(x) = x5-14x4+85x3-224x2+274x-110
a) Lập quy trình bấm phím tính giá trị của biểu thức tại x=a
b) Tính P tại x=5,9; 20,11; 22,12; 14,2; 27,2; 26,3; 30,4.
Bài tập1.2(Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức:

a. Tính x4 + 5x3 − 3x2 + x − 1 khi x = 1,35627
b. Tính P(x) = 17x5 − 5x4 + 8x3 + 13x2 − 11x − 357 khi x = 2,18567
Bài tập1.3 Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1
3

Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( 1 4 )
H.Dẫn:
- Lập công thức P(x)
- Tính giá trị của đa thức tại các điểm: dùng chức năng CALC
- Kết quả:
P(1,25)
=
; P(4,327) =
P(-5,1289) =

3

; P(1 4 )

=

Bài tập:1.4Tính giá trị của các biểu thức sau:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 tại x = 0,53241
11
Nguồn: />

Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10

tại x = -2,1345

H.Dẫn:
- Áp dụng hằng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1). Ta có:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 =

( x − 1)(1 + x + x 2 + ... + x 9 ) x10 − 1
=
x −1
x −1

Từ đó tính P(0,53241) =
Tương tự:
Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 +...+ x8) = x 2

x9 − 1
x −1

Từ đó tính Q(-2,1345) =
Bài tập1.5:Cho đa thức P( x) =

1 9 1 7 13 5 82 3 32
x − x + x − x + x
630
21
30
63
35

a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên
Giải:

a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 thì (tính trên máy) P(x) = 0
b) Do 630 = 2.5.7.9 và x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x) nên
P( x) =

1
( x − 4)( x − 3)( x − 2)( x −1) x ( x + 1)( x + 2)( x + 3( x + 4)
2.5.7.9

Vì giữa 9 só nguyên liên tiếp luôn tìm được các số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên với mọi x
nguyên thì tích: ( x − 4)( x − 3)( x − 2)( x − 1) x( x + 1)( x + 2)( x + 3( x + 4) chia hết cho 2.5.7.9 (tích của
các số nguyên tố cùng nhau). Chứng tỏ P(x) là số nguyên với mọi x nguyên.
Bài tập1.6:Cho P ( x ) =

35 x 2 − 37 x + 60080
x 3 − 10 x 2 + 2007 x − 20070

và Q ( x ) =

a
bx + c
+ 2
x − 10 x + 2007

a) Với giá trị nào của a, b, c thì P(x) = Q(x) đúng với mọi x thuộc tập xác định .
b) Tính giá trị của P(x) khi x =
P ( x)

−13
.
5

2
Tính n để T ( x) = x − 10 x2 + 2007 − n chia hết cho x + 3
(
)(
)
4
Bài tập1.7:Cho đa thức P(x) = x +5x3 - 3x2 + x - 1. Tính giá trị của P(1,35627).
Giải:
P(1,35627) = 10,69558718

Bài tập1.8:Cho đa thức P(x) = x8 + 4x7 + 6x6 + 4x5 + x4
1. T ính giá trị của P(x) và (làm tròn đến 0,0001) khi cho x nhận các giá trị :
- 2, π

2 , 1, -

1
.
2

Bài tập1.9:Cho đa thức f(x) =

1 5 1 3
7
x + x + x + 2008
5
3
15
1

2

1. Tính giá trị của f(x) khi cho x nhận các giá trị: 2 ; -1 ; 3; - ;
12
Nguồn: />
2 .


2. Chứng minh rằng: f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Giải:
2. f(x) =

1 5 1 3
7
x + x + x + 2008
5
3
15

Đặt A =

1 5 1 3
7
x + x + x
5
3
15

Ta CM:

A là một số nguyên với mọi x nguyên dương từ đó f(x) là một số nguyên.

1 5 1 3
7
1
1
8x
x + x +
= x5 + x3 + x 5
3
15
5
3
15
1
1
1
1
= x5 + x3 + x - x - x
5
3
5
3
5
3
x −x
x −x
+x
5
3

Thật vậy: A =

Ta CM x5 - x Chia hết cho 5; x3 - x chia hết cho 3.
thật vậy: x5 - x = x(x4 - 1)= x(x2 - 1)(x2 + 1)
=x(x2 - 1)(x2 - 4 + 5)
= x(x2 - 1)(x2 - 4) + 5x(x2 - 1)
=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) + 5(x-1)x(x+1)
(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5.
x5 − x
nên
nguyên5(x-1)x(x+1) chi hết cho 5
5
x3 − x
x - x = x(x -1) = (x-1)x(x+1) chia hết cho 3 nên
nguyên
3
3

2

Vậy bài toán CM xong.
Dạng 2. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x)
cho nhị thức ax + b
Bài tập: 2.1(Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư trong phép chia
x5 − 6,723x3 + 1,857x2 − 6,458x + 4,319
x + 2,318

Bài tập2.2: (Sở GD Cần Thơ, 2003)
4

4
2
Cho P( x) = x + 5x − 4x + 3x − 50. Tìm phần dư r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 và x-3. Tìm
BCNN(r1,r2)?
Bài tập2.3:Tìm dư trong phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho (2x - 5)
Giải:
5

5

5

- Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r ⇒ P   = 0.Q   + r ⇒ r = P  
2
2
2
 
Tính trên máy ta được: r = P   =
2
5

x5 − 6,723x3 + 1,857x2 − 6,458x + 4,319
Bài tập2.4:Tính số dư r trong phép chia
x + 2,318

Bài tập2.5:: Tìm số dư trong các phép chia sau:
13
Nguồn: />

a) x3 – 9x2 – 35x + 7 cho x – 12.

b) x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617.
Bài tập2.6:Cho f(x) = 2x6-4x5+7x4-11x3-8x2+5x-2007. Gọi r1 và r2 lần lượt là số dư của
phép chia f(x) cho x-1,12357 và x+0,94578.
Tính B=0,(2006)r1-3,(2007)r2.
Dạng 3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m
chia hết cho nhị thức ax + b
Bài tập3.1: a)Viết phương trình ấn phím để:
Tìm m để đa thức x5 + 5x4 + 3x3 − 5x2 + 17x + m− 1395 chiahết cho ( x + 3)
b) Với giá trị nào của m thì đa thức 4x5 + 9x4 − 11x2 + 29x − 4 + 3mchia hết cho 6x + 9
Bài tập3.2:Tìm m để đa thức x5 + 5x4 + 3x3 − 5x2 + 17x + m− 1395
chia hết cho ( x − 3)
Bài tập3.3:Cho đa thức P ( x) = x − 3x + 4x − 5x + 6x + m
a) Tìm số dư r trong phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) khi m = 2005
b) Tìm giá trị m1 để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5
c) Tìm giá trị m2 để đa thức P(x) có nghiệm x = 3
Bài tập3.4:Cho đa thức P(x) = x4 + x3 + x2 + x + m.
5

4

3

2

a) Tìm m để P(x) chia hết cho Q(x) = x + 10.
Kết quả
m = -9090
b) Tìm các nghiệm của đa thức P(x) với giá trị vừa tìm được của m.
Kết quả

x1

=

-10,

x2

≈

(2,5đ)
9,49672

(2,5đ)
Bài tập3.5:Cho ®a thøc P(x) = x4 - 4x3 - 19x2 + 106x + m.
a)T×m m ®Ó ®a thøc P(x) chia hÕt cho x + 5.
b) Víi m t×m ®îc ë c©u a), h·y t×m sè d r khi chia ®a thøc P(x) cho x
– 3.
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số của P ( x )
thỏa mãn một điều kiện nào đó:
Bài tập4.1:
Cho biết đa thức P(x) = x4 + mx3 – 55x2 + nx – 156 chia hết cho x – 2 và chia
hết cho x – 3. Hãy tìm giá trị của m, n rồi tính tất cả các nghiệm của đa thức
Bài tập4.2:Đa thức P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có giá trị bằng 5, 4, 3, 1, -2 lần lượt
tại
x = 1, 2, 3, 4, 5. Tính giá trị của a, b, c, d, e và tính gần đúng các nghiệm của đa thức đó
14
Nguồn: />

Bài tập4.3:Xác định các hệ số a , b ,c của đa thức P( x) = ax 3 + bx 2 + cx − 2007 để sao cho

P(x) chia cho (x – 13) có số dư là 1 , chia cho (x – 3) có số dư là 2 và chia cho (x - 14)
có số dư là 3. ( Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân )
Giải:
Lập luận đưa đến hệ 2 điểm; tìm được a,b,c đúng mỗi ý cho 1 điểm
Đáp số: : a = 3,69 ; b = -110,62 ; c = 968,28
Bài tập4.4Cho hai đa thức sau:
f(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + a
g(x) = -3x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + b
a)Tìm điều kiện của a và b để hai đa thức f(x) và g(x) có nghiệm chung
x = 0,25 ?
b) Cho đa thức:Q(x) =5x5 - x4 - 6x3 + 27x2 - 54x + 32
Sử dụng các phím nhớ. Lập quy trình tìm số dư trong phép chia đa thức Q(x) cho 2x +
3?
c)Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6
d)Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625
+ Tính P(2 2 )
+ Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3
Bài tập4.5:Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức
Q(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx – 2007 tại các giá trị của
x = 1,15; 1,25; 1,35; 1,45
Bài tập4.6:Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c.
Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9.
a) Tìm số dư khi chia P(x) cho x – 4 ?
b) Tìm số dư khi chia P(x) cho 2x + 3 ?’
Bài tập4.7:Biết đa thức Q(x) = x4 + mx3 - 44x2 + nx - 186 chia hết cho x + 2 và nhận x
= 3 là nghiệm. Hãy tính giá trị của m và n rồi tìm tất cả các nghiệm còn lại của Q(x).
Giải
Tõ gi¶ thiÕt => Q(-2) = Q(3) = 0 =>
m = 6; n = -11
t×m m, n

x2 = -2
Tõ gi¶ thiÕt => Q(x) cã 2 nghiÖm
nguyªn
x3 ≈
2
=> Q(x) = (x+2)(x-3)(x +7x-31)
3,076473219
Dïng m¸y gi¶i ph/tr bËc 2 => 2
x4 ≈
nghiÖm cßn l¹i.
-10,076473219
Bài tập4.8:Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức.
Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007
Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45.
Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là
9, 21, 33, 45(Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân)
Bài tập4.8:Biết rằng số dư trong phép chia đa thức
x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 – ax + 7 cho (x + 5) bằng 2007. Tìm a.
Dạng 5: Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho đơn thức
15
Nguồn: />

Bài tập5.1: Khi chia đa thức 2x4 +8x3 -7x2 +8x -12 cho đa thức x – 2 ta được thương là
đa thức Q(x) có bậc là 3 . Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x) ?
Bài tập5.2:Cho P(x) =

2 4
x − 2 x3 + 5 x + 7 .
3

a)Tìm biểu thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5.
b)Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân.
Bài tập5.3:Tìm số dư trong phép chia đa thức
x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho x – 2,652.
Tìm hệ số của x2 trong đ thức thương của phép chia trên.
Dạng 6. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức
Dạng 7. Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức
Dạng8. tính giá trị của đa thức khi biết một số giá trị khác của đa thức
5
4
3
2
Bài tập8.1: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + dx + e
và cho biết P(1) = 1 , P(2) = 7 , P(3) = 17 , P(4) = 31 , P(5) = 49 .
Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) và P(11) ?
Bài tập8.2:Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005
Biết rằng khi x lần lượt nhận giá trị 1, 2, 3, 4 thì giá trị tương ứng của đa thức P(x) lần
lượt là 8, 11, 14, 17. Tính giá trị của đa thức P(x) với x = 11, 12, 13, 14, 15.
Bài tập8.3:Cho P(x) = x3 + ax2 + bx + c; P(1)=1; P(2)=4; P(3)=9. viết quy trình để tính
P(9) và P(10) ?
Bài tập8.4:Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c.
Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9.
a) Tìm số dư khi chia P(x) cho x - 4 ?
b) Tìm số dư khi chia P(x) cho 2x + 3 ?
Bài tập8.5:Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007
Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45.
Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là 9,
21, 33, 45
(Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân)
Bài tập8.6:Cho P(x) =ax17 + bx16 + cx15 +. . . + m

P(1) = 1; P(2) = 2; . . . . .; P(17) = 17. Tính P(18)
Bài tập8.7: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
Biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9, P(4) = 11.

(H(x) = x )

(H(x) = 2x +3)

a. Tìm a, b, c, d
b. Tính A =

P ( 15 ) + P ( −12 )
+ 15 .
20

Giải:
a, C1: P(x) = (x – 1)(x – 2)(x - 3)(x – 4) +
2x + 3
Suy ra a, b, c, d
C2: Giải hệ phương trình , suy ra a, b, c,
d

a. a = - 10, b =
35
c = - 48, d =
27

16
Nguồn: />

b, Nhập P(x) = x4 - 10x3 + 35x2 - 48x + 27
vào máy
b. 3400.8000
Dùng lệnh Calc nhập 15 Shift Sto A ;
Calc nhập (-)12 shift Sto B; Nhập ( Alpha
A + Alpha B ) : 20 + 15 =
4
3
2
Bài tập8.8:
Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d
biết P(1) = 4 , P(-2) = 7 , P(3) = 24 , P(-4) = 29
Tính giá trị của a , b , c , d và P(40) , P(2008) ?
4
3
2
Bài tập8.9:
Cho P ( x) = x + ax + bx + cx + d
biết P(1) = 0,5 , P(2) = 2 , P(3) = 4,5 , P(4) = 8 . (H(x) =1/2 x2)
Tính giá trị của a , b , c , d và P(8) , P(2007) ?
Bài tập7.10: Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q .
Biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 , Q(4) = 11 .
(H(x) = 2x +3)
Tính các giá trị của Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13)
Hướng dẫn
Q(1) = 5 = 2.1 + 3; Q(2) = 7 = 2.2 + 3; Q(3) = 9 = 2.3 + 3 ;
Q(4) = 11 = 2.4 + 3
Xét đa thức Q1(x) = Q(x) – (2x + 3)
(H(x) = 2x +3)
5

4
3
2
Bài tập8.12: Cho P(x) = x + ax + bx + cx + dx + e .
Biết P(1) = 3 , P(2) = 9 , P(3) = 19 , P(4) = 33 , P(5) = 51 . (H(x) = 2x2 +1)
Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) , P(11) .
Bài tập8.13: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c.
Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9. Hãy viết quy trình để tính P(9) và P(10) ? (H(x) = x2)
Bài tập8.14: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
Có P(1) = 0,5 ; P(2) = 2 ; P(3) = 4,5 ; P(4) = 8. Tính P(2002), P(2003)
(H(x) =1/2 x2)
Bài tập8.15: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50.
Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8)
Bài tập8.16: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
Biết P(1) = 0; P(2) = 4 ; P(3) = 18 ; P(4) = 48. Tính P(2007)
(H(x) =x3-x2)
Bài tập8.17: Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c .
1
 3

7
3
89
 1
1
; f−  = − ; f  =
.
108
5

500
 2
5
2
Tính giá trị đúng và gần đúng của f   .
3

Biết : f   =

(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a,b,c)
4
3
2
Bài tập8.18:- Bài tập8.16: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d
biết P(1) = 0 , P(2) = 4 , P(3) = 18 , P(4) = 48 . Tính P(2007) ? (H(x) =x3-x2)
Bài tập8.19: Cho đa thức f ( x ) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d .
Biết rằng f (1) = 6; f ( 2) = 11; f ( 3) = 16; f ( 4) = 21 . (H(x) = 5x +1)
a) Hãy tính đúng giá trị của f ( 5); f ( 6); f ( 7 ) ; f ( 8); f ( 9) ( trình bày vắn tắt lời giải)
b) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho f ( n ) chia hết cho 24. ( trình bày vắn tắt lời
giải)
Giải
17
Nguồn: />

f ( x ) = 5 x + 1 tại x = 1;2;3;4;5 ⇒ g ( x ) = f ( x ) − ( 5 x + 1) có 5 nghiệm là 1; 2; 3; 4; 5
⇒ g ( x ) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4 ) hay f ( x ) = ( x − 1)( x − 2 )( x − 3)( x − 4 ) + ( 5 x + 1) . Thay x = 5; 6;
7; 8; 9 ta được f ( 5) = 50; f ( 6) = 151; f ( 7 ) = 396; f ( 8) = 881; f ( 9) = 1726

Bài tập8.20:

Cho đa thức P(x) có bậc 4 thoả mãn:

P(1) = -1, P(2) = 2, P(3) = 7, P(4) = 14, P(5) = 24.
Tính P(26), P(27), P(28), P(29), P(30).
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=1/24;,b = -5/12;c =59/24; d= -25/12; e=-1)
Kết quả

P(26) = 13.324, P(27) = 15.677, P(28) = 18.332,

P(29) = 21.314, P(30) = 24.649
(5đ)
3
2
Bài tập8.21:
Cho đa thức P(x) = x + ax + bx + c
Biết rằng: P(1945) = 1945 ; P(1954) = 1954 ; P(1975) = 1975. (H(x) = x )
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=-5874;,b = 11501055,19;c =-7506045115)
a) Tính P(2005).
b) Đặt Q(x) = P(x) + m. Tìm giá trị của m để đa thức Q(x) chia hết cho (x - 2005,05)
(chính xác đến 5 chữ số thập phân).
Bài tập8.22:

Cho P( x) = x 4 + ax3 + bx 2 + cx + d

Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11 Tính

P (20) − P (10)
2

(H(x) = 2x +3)

Bài tập8.23:

Đa thức P( x) = x 6 + ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f

có giá trị là 3; 0; 3; 12; 27; 48 khi x lần lượt nhận giác trị là 1; 2; 3; 4; 5; 6
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;f=)
a) Xác định các hệ số a, b, c, d, e, f của P(x)
b) Tính giá trị của P(x) với x = 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20
5
4
3
2
Bài tập8.24: Cho ña thöùc P ( x) = x + ax + bx + cx + dx + e
bieát P(1) = 1 , P(2) = 7 , P(3) = 17 , P(4) = 31 , P(5) = 49 .
(H(x) = 2x2 -1)
Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) vaø P(11) ?
5
4
3
2
Bài tập8.25: Cho ña thöùc P ( x) = x + ax + bx + cx + dx + e
vaø cho bieát P(-1) = -2 , P(2) = 4 , P(3) = 10 , P(-4) = 10 , P(5) =
28 .
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;)
Tính P(38) vaø P(40) ?
4
3
2
Bài tập8.26: Cho ña thöùc P ( x) = x + ax + bx + cx + d
18

Nguồn: />

biết P(1) = 0,5 , P(2) = 2 , P(3) = 4,5 , P(4) = 8 .
Tính giá trò của a , b , c , d và P(8) , P(2007)
?
4
3
2
Bài tập8.27: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d
biết P(1) = 4 , P(-2) = 7 , P(3) = 24 , P(-4) = 29 .
Tính giá trò của a , b , c , d và P(40) , P(2008)
?
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)
Bài tập8.28: Cho P( x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d
có P(0) = 12,P(1) = 12, P(2) = 0, P(4) = 60
a)Xác đònh các hệ số a, b, c, d của P( x )
b)Tính P(66)
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)

(H(x) =1/2 x2)

Bài tập tổng hợp
Bài tập1: : (Thi khu vực 2001, lớp 8)
Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m.
a. Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3.
b. Với m vừa tìm được ở câu a hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x-2 và phân tích P(x)
ra tích các thừa số bậc nhất.
c. Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x-2.
d. Với n vừa tìm được phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
Bài tập2: : (Thi khu vực 2002, lớp 9)

a. Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f.
Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15.
Tính P(6), P(7), P(8), P(9).
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;e=)
Bài tập3: Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q.
Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11.
(H(x) = 2x +3)
Tính Q(10), Q(11), Q(12), Q(13).
Bài tập4: (Thi khu vực 2002, lớp 9)
Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n.
a. Tìm giá trị của m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2.
b. Với giá trị m, n vừa tìm được chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một
nghiệm duy nhất.
Bài tập5: : (Thi khu vực, 2003, lớp 9)
a. Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m.
1. Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003
2. Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5
3. P(x) có nghiệm x = 2. Tìm m?
b. Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33,
P(5) = 51. Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11). (H(x) = 2x2 +1)
Bài tập6: (Sở SG Cần Thơ 2002)
Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c.
1
3

Biết f( ) =

7
1
3 1

89
;f(− ) = − ;f( ) =
.
108
2
8 5 500

19
Nguồn: />

2
3

Tính giá trị đúng và gần đúng của f( ) ?
Bài tập7: (Thi vào lớp 10 chuyên toán cấp III của Bộ GD, 1975)
1. Phân tích biểu thức sau ra ba thừa số: a4 – 6a3 + 27a2 – 54a + 32.
2. Từ kết quả câu trên suy ra rằng biểu thức n4 – 6n3 + 272 – 54n + 32 luôn là số chẵn
với mọi số nguyên n.
Bài tập11: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1984)
Có chính xác đúng 4 số nguyên dương n để

(n + 1)2
là một số nguyên.
n + 23

Hãy tính số lớn nhất.
Bài tập12: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1988)
Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + 1 cho x – 1 được số dư là 5. Chia P(x) cho x –
2 được số dư là -4.
Hãy tìm cặp (M,N) biết rằng Q(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + Mx + N chia hết cho (x-1)

(x-2)
Bài tập13: (Thi khảo sát vòng tỉnh trường THCS Đồng Nai –Cát Tiên, 2004)
Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m.
a. Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm là 0,3648
b. Với m vừa tìm được, tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức (x -23,55)
c. Với m vừa tìm được hãy điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
x

-2,53

4,72149

5

1
34

3

6,15

5

6+ 7 7

P(x)
Bài tập14: (Phòng GD huyện Bảo Lâm - Lâm Đồng, 2004)
1.Tính E=7x 5 -12x 4 +3x 3 -5x-7,17 với x= -7,1254
7x 5 y-x 4 y3 +3x 3 y+10xy4 -9
2.Cho x=2,1835 và y= -7,0216. Tính F=

5x 3 -8x 2 y 2 +y3
x 5 -6,723x 4 +1,658x 2 -9,134
3.Tìm số dư r của phép chia :
x-3,281
7
6
5
4
3
2
4.Cho P(x)=5x +2x -4x +9x -2x +x +10x-m . Tìm m để P(x) chia hết cho đa thức x+2

Bài tập15: : (Sở GD Lâm Đồng, 2005)
a. Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13)
biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7
c. Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f
biết P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107.
Tính P(12)?
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;f=)
Bài tập16: (Sở GD Phú Thọ, 2004)
Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33.
Biết P(N) = N + 51. Tính N?
Bài tập17: : (Thi khu vực 2004)
Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d.
Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. Tính:
20
Nguồn: />

a. Các hệ số b, c, d của đa thức P(x).
b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x – 4.

c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 2x +3.
Bài tập18: : (Sở GD Hải Phòng, 2004)
Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c.
Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41. Tính:
a. Các hệ số a, b, c của đa thức P(x).
b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x + 4.
c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 5x +7.
d. Tìm số dư r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7).
4
3
2
Bài tập19: Cho đa thức: P( x) = x + a. x + b x + c.x + d .
a) Tính giá trị của đa thức P(x) tại x = -2 với a = c = -2007 và b = d = 2008.
b) Với giá trị nào của d thì đa thức P(x)  ( x -2 ) với a = 2; b = -3; c = 4.
c) Tìm số dư và hệ số x2 của phép chia đa thức P(x) cho x - 5 với a = d = -2; b = c= 2.
d) Cho biết: { P (1) = 5 P(2) = 8 P (3) = 11 P (4) = 14

(H(x) = 3x +2)

1) Tính P(5) đến P(10).
2) Tính: A =

1
.( P(8) − P(6) ) − 2007
2008

3) Tìm các hệ số a, b, c, d, của đa thức P(x).
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)
Bài tập20: (Sở GD Thái Nguyên, 2003)
a. Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d.

Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48. Tính P(2002)?
(HDgiải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)
b. Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đa
thức Q(x) có bậc 3. Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x)?
Bài tập21:

Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là k, k ∈ Z thoả mãn:

f(1999) = 2000; f(2000) = 2001.Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) là hợp số.
H.Dẫn:
* Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b).
Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0
1999a + b + 2000 = 0
a = −1
⇔
⇔
2000a + b + 2001 = 0
b = −1

⇒ g(x) = f(x) - x - 1

* Tính giá trị của f(x):
- Do bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và g(x) chia hết cho:
(x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0)
21
Nguồn: />

⇒ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + 1.
Từ đó tính được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) là hợp số.
Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x – 7 )64.

Bài tập22:

Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị.
Giải:
Tổng các hệ số của đa thức Q(x) chính là giá trị của đa thức tại x = 1.
Gọi tổng các hệ số của đa thức là A ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7)64 = 264.
2
Để ý rằng : 264 = ( 232 ) = 42949672962 .
Đặt 42949 = X ; 67296 = Y Ta có : A = ( X.105 +Y)2 = X 2 .1010 + 2XY.105 + Y 2
Tính trên máy kết hợp với giấy ta có:
X2.101
0
=
2XY.1
05 =
Y2
=
A
=

1 8 446 1 6 6 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0
5 7 8 0 5 9 1 8 08 0 0 0 0 0
4 5 2 87 5 1 6 1 6
1 8 446 7 4 4 0 7 3 7 0 95 5 1 6 1 6
Vậy A = 18446744073709551616
Cho x + y = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244
Tính A = x3000 + y3000
1000

Bài tập23:

1000

Giải:
Đặt a = x1000, b = y1000. Ta có: a + b = 6,912; a2 + b2 = 33,76244
3

3

3

3

Khi đó : a + b = (a + b) - 3ab(a + b) = (a + b) - 3.

( a + b)

2

− ( a 2 + b2 )
2

Đáp số : A = 184,9360067
Bài tập24: Cho: P(x) =ax17 + bx16 + cx15 + . . . + m
biết: P(1) = 1; P(2) = 2; . . . . . . ; P(17) = 17.
Tính P(18)
Bài tập25: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:
a) 3x3 + 2,435x2 + 4,29x + 0,58 = 0
b) 3x3+2,735x2+4,49x+0,98 = 0

x = 0,145

x = 0,245

Bài tập26: Tìm nghiệm của phương trình:
a) x 2 − 2 x + 5 − x 2 + 2 x + 10 = 29
b)

x 2 − 4 x + 5 − x 2 − 10 x + 50 = 5

x = 0,20

x = 0,25

22
Nguồn: />
⋅ ( a + b)


Bài tập27:
3
2
3
2
Cho P ( x ) = 2 x − 15 x + 16 x + m và Q ( x ) = 9 x − 81x + 182 x + n

a)Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 1 ?
b)Với m vừa tìm được , Tính số dư r khi chia P(x) cho x – 2 và phân tích đa thức P(x)
thành tích các thừa số bậc nhất ?
c) Tìm n để 1 nghiệm của P(x) cũng là 1 nghiệm của Q(x) , biết nghiệm đó phải khác –

0,5 và 2 ? Phân tích đa thức Q(x) thành tích các thừa số bậc nhất ?
4
3
2
Bài tập28:
Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d
biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9,P(4) = 11
(H(x) = 2x +3)
a) Tìm các hệ số a , b, c , d của đa thức P(x) .
b) Tính các giá trị của P(10) , P(11) , P(12) , P(13) .
c) Viết lại P(x) với hệ số là các số nguyên
d) Tìm số dư r1 trong phép chia P(x) cho (2x + 5) ( chính xác đến 2 chữ số ở phần
thập phân )
4
3
2
Bài tập29: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d
biết P(1) = - 5 , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = 1
(H(x) = 2x -7)
a)Tìm các hệ số a , b, c , d của đa thức P(x) .
b)Tính các giá trị của P(22) , P(23) , P(24) , P(25) .
c)Viết lại P(x) với hệ số là các số nguyên
d)Tìm số dư r1 trong phép chia P(x) cho (7x -5) ( chính xác đến 5 chữ số ở phần thập
phân ) . Hãy điền các kết quả tính được vào ô vuông .
5
4
3
2
Bài tập30: Cho P ( x) = x + ax + bx + cx + dx + e
biết P(1)=1, P(-2) = 4, P(3) =9, P(-4) =16, P(5)=25

(H(x) = x2 )
a)Tìm các hệ số a , b, c , d và f của đa thức P(x) .
b)Tính các giá trị của P(20) , P(21) , P(22) , .
c)Viết lại P(x) với hệ số là các số nguyên
d)Tìm số dư r1 trong phép chia P(x) cho (x + 3) .
4
3
2
Bài tập31: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d
biết P(1) = 1 , P(2) = 13 , P(3) = 33 , P(4) = 61
a)Tìm các hệ số a , b, c , d của đa thức P(x) .
b)Tính các giá trị của P(5) , P(6) , P(7) , P ( 8) .
c)Viết lại P(x) với hệ số là các số nguyên
d)Tìm số dư r1 trong phép chia P(x) cho (2x - 5) .
4
3
2
Bài tập32: a Cho P ( x) = x + ax + bx + cx + d
biết P(1)= 0, P(2)=4, P(3)=18, P(4)=48. Tính P(2007) ?
b) Cho đa thức P ( x) = x + 5x − 4x + 3x − 50 . Gọi r1 là phần dư của phép chia P(x) cho x 2 và r2 là phần dư của phép chia P(x) cho x - 3.
Tìm BCNN ( r1 , r2 ) ?
3
2
4
3
2
Bài tập33: Cho hai đa thức P ( x) = x + ax + bx + c ; Q ( x) = x − 10x + 40x − 125x − P ( −9)
4

3

2

2

1

39

3

407

1

561

 
 
 
 
; P  ÷=
a) Tính a, b , c và P  ÷, biết P  ÷ = ; P  ÷ =
 3
 2 8
 4  64
 5 125

23
Nguồn: />

b) Với a, b, c tìm được ở trên, Tìm thương T(x) và số dư G(x) của phép chia đa thức
Q(x) cho x – 11
c) Chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) + Q(x) luôn là số chẵn với mọi số nguyên x.
5
4
3
2
Bài tập34: a) Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + dx + e
biết P(-1) = -2 , P(2) = 4 ,P(3) = 10 , P(-4) = 10 , P(5) = 28 .
Tính P(38) và P(40) ?
b) Cho dãy số xác định bởi công thức xn+1 =

4xn3 + 3
( n∈ N , n ≥ 1)
xn2 + 1

biết x1 = 2. Tính x5 ?
4
3
2
c) Phân tích đa thức thành nhân tử : A = 5x − 4x − 11x + 4x + 5
5
4
2
Bài tập35: Cho đa thức P ( x) = 5x + 8x − 12x + 7x − 1+ 3m.
a) Tính số dư r trong phép chia P(x) cho x – 4,138 khi m = 2007 ?
b) Tính giá trị m1 để đa thức P(x) chia hết cho 3x + 2 ?
c) Muốn đa thức P(x) có nghiệm x = 3 thì m2 có giá trị bao nhiêu ?
Bài tập36: a) Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình : x9 + x – 7 = 0

b) Cho A = 532588 và B = 110708836 .
Tìm ƯCLN (A ,B ) và BCNN(A,B ) ?
c) Tìm các số tự nhiên thoả mãn phương trình x2 + 2y2 = 2377
Bài tập37:
Cho đa thức f(x) = 2x5 + x3 + bx2 + cx + d.
Biết f(1) = -18 ; f(2) = 49; f(3) = 480.
1. Tìm các hệ số b , c, d , của f(x).
2. Tìm hệ số của x2 trong phép chia f(x) cho x + 3
Giải
1. Theo bài ra ta có: f(1) = 2 + 1 + b + c + d = - 18
f(2) = 64 + 8 + 4b + 2c + d
f(3) = 486 + 27 + 9b + 3c + d
Tức là ta có hệ:
b + c + d = −16

4b + 2c + d = −23
9b + 3c + d + −36


Gi ải hệ pt trên ta được: b= -2; c=2; d=- 15
Vậy f(x) = 2x5 + x3 - 3x2 - 2x - 15
2. Dùng lược đồ hoocne chia f(x) cho x+3 ta đ ược:
F(x) = (x+3)(2x4 - x3 + x2 - 60x + 182) - 561
Vậy hệ số của x2 trong phép chia trên là 1.
Bài tập38: Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m .
a) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003 .
b) Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x – 2,5
c) P(x) có nghiệm x = 2 . Tìm m .
5
4

3
2
Bài tập39: Cho đa thức P ( x) = x − 3x + 4x − 5x + 6x + m
a)Tìm số dư r trong phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) khi m = 2005
b)Tìm giá trị m1 để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5
c) Tìm giá trị m2 để đa thức P(x) có nghiệm x = 3
24
Nguồn: />

Bài tập40: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m .
a)Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3
b)Với m tìm được ở câu a ) , hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x – 2 và phân tích P(x)
thành tích của các thừa số bậc nhất
Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x – 2 .
c)Với n tìm được ở trên , hãy phân tích Q(x) ra tích của các thừa số bậc nhất.
Bài tập41:
Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n .
a) Tìm các giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 .
b) Với giá trị của m và n tìm được , chứng tỏ rằng R(x) = P(x) – Q(x) chỉ
có một nghiệm duy nhất
Bài tập42: Cho các đa thức
F(x)= x4+5x3-4x2+3x+a G(x)=-3x4+4x3-3x2+2x+b; H(x)=5x5-x4-6x3+27x2-54x+32
a)Tìm a, b để F(x) và G(x) có nghiệm chung là x=0,25
b)Sử dụng các phím nhớ, lập quy trình bấm phím tìm số dư trong phép chia Q(x) cho
2x+3.
3
2
Bài tập43: Cho đa thức P ( x) = x + bx + cx + d
biết P(1) = - 15 , P(2) = - 15 , P(3) = - 9
a)Tìm các hệ số b, c , d của đa thức P(x) .

b)Tìm số dư r1 trong phép chia P(x) cho (x – 4)
c)Tìm số dư r2 trong phép chia P(x) cho (2x + 3) ( chính xác đến 2 chữ số ở phần
thập phân )
4
3
2
Bài tập44: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d
biết P(1) = - 5 , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = 1
a) Tìm các hệ số a , b, c , d của đa thức P(x) .
b) Tính các giá trị của P(22) , P(23) , P(24) , P(25) .
c) Viết lại P(x) với hệ số là các số nguyên
Tìm số dư r1 trong phép chia P(x) cho (7x -5) ( chính xác đến 5 chữ số ở phần thập
phân ) .
Bài tập45: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c
a)Tìm a , b , c biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thì P(x) có giá trị
tương ứng là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653
b)Tìm số dư r của phép chia đa thức P(x) cho 12x – 1
c)Tìm giá trị của x khi P(x) có giá trị là 1989
Bài tập46: Cho Q(x)=22x3+ 2x-2008.
a) Tính Q ( 14 2)
b) Tìm m để Q(x) + m3 chia hết cho x-5
Bài tập47: Cho đa thức f(x) .
Biết f(x) chia x-3 thì dư 7, chia x-2 dư 5, chia (x-2)(x-3) được thương là 3x và còn dư.
a) Tìm f(x)
b) Tính chính xác tổng f(2007)+f(2008)+f(2009)
4
3
2
Bài tập48: Cho ña thöùc P ( x) = x + ax + bx + cx + d
25

Nguồn: />