Bài báo cáo NCKH nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SINH VIÊN

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC MA TRẬN VÀ
ỨNG DỤNG
MÃ SỐ ĐỀ TÀI: S2018.480.03

Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên(TN)

Bình Định, 04/2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SINH VIÊN

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC MA TRẬN VÀ
ỨNG DỤNG
MÃ SỐ ĐỀ TÀI: S2018.480.03

Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên(TN)
Sinh viên thực hiện:

Nguyễn Vũ Trung Thịnh, Nam
Lưu Mỹ Thùy Lam, Nữ
Hồ Quốc Tuấn,

Nam

Dân tộc: Kinh
Lớp: Sư phạm Toán K40

Năm thứ: 2/4

Sư phạm Toán K40

Năm thứ: 2/4

Sư phạm Toán K40

Năm thứ: 2/4

Khoa: Toán
Ngành học: Sư phạm Toán
Giảng viên hướng dẫn: TS. Lê Công Trình

Bình Định, 04/2019


THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
1. Thông tin chung
- Tên đề tài: Một số bất đẳng thức ma trận và ứng dụng
- Mã số đề tài: S2018.480.03.
- Nhóm sinh viên thực hiện: Nguyễn Vũ Trung Thịnh
Lưu Mỹ Thùy Lam
Hồ Quốc Tuấn

- Lớp: Sư phạm Toán K40, Khoa Toán

Năm thứ: 2/4

Sư phạm Toán K40, Khoa Toán

Năm thứ: 2/4

Sư phạm Toán K40, Khoa Toán

Năm thứ: 2/4

- Giảng viên hướng dẫn: TS. Lê Công Trình
2. Mục tiêu của đề tài
- Nghiên cứu một số bất đẳng thức ma trận liên quan đến giá trị riêng và giá trị kỳ dị;
- Nghiên cứu một số bất đẳng thức liên quan đến chuẩn của ma trận;
3. Tính mới và sáng tạo
Giải tích ma trận là một trong những hướng nghiên cứu cơ bản và có nhiều ứng dụng
trong các lĩnh vực khác nhau. Bất đẳng thức ma trận, đặc biệt, bất đẳng thức ma trận tuyến
tính (LMI), là một trong những nội dung quan trọng trong Giải tích ma trận, với nhiều ứng
dụng, chẳng hạn như trong tính toán khoa học, lý thuyết điều khiển, vật lý toán, thống kê,
kinh tế, đặc biệt trong lĩnh vực Lý thuyết thông tin lượng tử.
Đề tài thực hiện nhằm nghiên cứu một số bất đẳng thức ma trận đã biết, đồng thời
cố gắng đề xuất một số bất đẳng thức ma trận mới cũng như tìm hiểu một số ứng dụng của
chúng.
4. Kết quả nghiên cứu
Đề tài đã trình bày một số kết quả tiêu biểu trong cuốn sách của X. Zhan về một số bất
đẳng thức cho ma trận. Cụ thể, đề tài đã đạt được các kết quả sau đây:
(1) Trình bày được một số bất đẳng thức ma trận đối với quan hệ thứ tự L¨owner.
(2) Trình bày được một số bất đẳng thức ma trận liên quan đến sự làm trội hóa, trong đó

chúng tôi chứng minh hai định lí về giá trị riêng của tích Hadmard của các ma trận nửa
xác định dương, tổng quát hóa cho bất đẳng thức Oppenhem.
(3) Trình bày được một số bất đẳng thức liên quan đến các giá trị kỳ dị của ma trận.
(4) Trình bày được các bất đẳng thức liên quan đến chuẩn của ma trận, trong đó có bất đẳng
thức chuẩn cho hàm đơn điệu toán tử và dạng ma trận của bất đẳng thức trung bình số
học - hình học.


5. Đóng góp về mặt kinh tế - xã hội, giáo dục và đào tạo, an ninh quốc phòng
và khả năng áp dụng của đề tài
6. Công bố khoa học của sinh viên từ kết quả nghiên cứu của đề tài
Bình Định, tháng 04 năm 2019
Sinh viên chịu trách nhiệm chính
thực hiện đề tài

Nguyễn Vũ Trung Thịnh

2


Nhận xét của người hướng dẫn về những đóng góp khoa học của nhóm sinh
viên thực hiện đề tài:
Bình Định, tháng 04 năm 2019
Xác nhận của Khoa Toán

Giảng viên hướng dẫn

PGS. TS. Thái Thuần Quang

TS. Lê Công Trình

THÔNG TIN VỀ SINH VIÊN CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN
ĐỀ TÀI

I. SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN
Họ và tên: Nguyễn Vũ Trung Thịnh
Ngày sinh: 9/11/1999
Nơi sinh: Pleiku - Gia Lai
Lớp: Sư phạm Toán K40

Khóa: 40

Khoa: Toán học
Địa chỉ liên hệ: 26 Lê Văn Hùng, phường Quang Trung, thành phố Quy Nhơn, tỉnh Bình Định
Điện thoại: 0359750144

Email:

II. QUÁ TRÌNH HỌC TẬP
* Năm thứ 1:
Ngành học: Sư phạm Toán

Khoa: Toán học

Kết quả xếp loại học tập: Khá
Sơ lược thành tích: Điểm trung bình tích lũy (Hệ 10) : 7.54
Điểm trung bình tích lũy (Hệ 4) : 3.05
Xếp loại rèn luyện sinh viên : Xuất sắc.
* Năm thứ 2:

Ngành học: Sư phạm Toán

Khoa: Toán học

Kết quả xếp loại học tập: Khá
Sơ lược thành tích: Điểm trung bình tích lũy (Hệ 10) : 7.75
Điểm trung bình tích lũy (Hệ 4) : 3.07
Xếp loại rèn luyện sinh viên : Xuất sắc.
Bình Định, tháng 04 năm 2019
Xác nhận của Khoa Toán

PGS. TS. Thái Thuần Quang

Sinh viên

Nguyễn Vũ Trung Thịnh


Mở đầu
Giải tích ma trận là một trong những hướng nghiên cứu cơ bản và có nhiều ứng dụng trong
các lĩnh vực khác nhau. Đặc biệt, các bất đẳng thức ma trận nói chung cũng như bất đẳng
thức ma trận tuyến tính (LMI) nói riêng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như tính toán
khoa học, lý thuyết điều khiển, vật lý toán, thống kê, kinh tế, thông tin lượng tử, ...
Đề tài được thực hiện nhằm tìm hiểu các bất đẳng thức cho các ma trận phức. Cụ thể,
đề tài đã nghiên cứu các bất đẳng thức ma trận đối với quan hệ thứ tự L¨owner, các bất
đẳng thức ma trận liên quan đến giá trị riêng, giá trị kỳ dị; sự làm trội trong các bất đẳng
thức, các bất đẳng thức về lũy thừa ma trận, bất đẳng thức liên quan đến chuẩn của ma trận, ...
Đề tài chọn lọc trình bày lại một số kết quả tiêu biểu trong cuốn sách "Matrix inequalities"
của tác giả Xingzi Zhan xuất bản năm 2002 [1].
Trong quá trình thực hiện và hoàn thành đề tài “Một số bất đẳng thức ma trận và ứng

dụng”, nhóm sinh viên thực hiện đề tài chúng tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, tạo điều
kiện của lãnh đạo Nhà trường cũng như quý thầy cô Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn.
Chúng tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành về sự giúp đỡ đó.
Nhóm sinh viên thực hiện đề tài xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Lê Công Trình – người
trực tiếp hướng dẫn khoa học, đã luôn dành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn nhóm trong
suốt quá trình thực hiện nghiên cứu và hoàn thành đề tài.
Cuối cùng, nhóm thực hiện cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, người thân đã
động viên, khích lệ và giúp đỡ chúng tôi trong quá trình hoàn thiện đề tài này.
Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế, đề tài không thể tránh khỏi những thiếu
sót nhất định. Chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô, bạn bè để
cải tiến và hoàn thiện hơn các kết quả mà chúng tôi đạt được.
NHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1


Mục lục
Mở đầu

1

1 Một số bất đẳng thức đối với quan hệ thứ tự L¨
owner

3

1.1

Bất đẳng thức L¨owner - Heinz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Ánh xạ trên không gian ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Các bất đẳng thức đối với lũy thừa ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Kỹ thuật ma trận khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Sự làm trội hóa và giá trị riêng

10

2.1

Sự làm trội hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2

Giá trị riêng của tích Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3 Các bất đẳng thức đối với giá trị kỳ dị

19

3.1

Bất đẳng thức Young ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.2

Giá trị kì dị của tích Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.3

Bất đẳng thức giữa các giá trị kỳ dị và hệ tử của ma trận . . . . . . . . . . . .

21

4 Các bất đẳng thức liên quan đến chuẩn ma trận

23

4.1

Hàm đơn điệu toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

4.2

Bất đẳng thức trung bình số học - hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Kết luận

32

2


Chương 1
Một số bất đẳng thức đối với quan hệ
thứ tự L¨
owner
Trong chương này chúng tôi trình bày một số bất đẳng thức trên tập hợp Mn các ma trận
phức cấp n đối với quan hệ thứ tự L¨owner giữa các ma trận. Trước hết chúng tôi giới thiệu
một số khái niệm và ký hiệu được dùng trong toàn bộ đề tài. Các khái niệm và kết quả trong
toàn bộ đề tài được chúng tôi trình bày lại từ cuốn sách của Zhan ([1]).
Cho A = (aij ) ∈ Mn . Ma trận liên hợp của A được định nghĩa bởi A∗ := (¯

aji ). Ma trận A
được gọi là Hermite nếu A∗ = A. Ma trận đường chéo trong Mn với các phần tử trên đường
chéo chính là a1 , . . . , an ∈ C được ký hiệu bởi diag(a1 , . . . , an ).
Tích vô hướng của hai vectơ x = (xi ), y = (yi ) ∈ Cn được định nghĩa bởi
n

x, y :=

xi y¯i .
i=1

Độ dài Euclide của vectơ x ∈ Cn được định nghĩa bởi x :=

x, x .

Một ma trận Hermite A ∈ Mn được gọi là nửa xác định dương (ký hiệu A ≥ 0) nếu
Ax, x ≥ 0 với mọi x ∈ Cn . A được gọi là xác định dương (ký hiệu A > 0) nếu Ax, x > 0
với mọi x ∈ Cn , x = 0.
A nửa xác định dương nếu và chỉ nếu mọi giá trị riêng của A đều không âm. A xác định
dương nếu và chỉ nếu mọi giá trị riêng của A đều dương.
Với hai ma trận Hermite A, B, ta định nghĩa A ≤ B (hay B ≥ A) nếu B − A ≥ 0. Quan
hệ thứ tự "≤" định nghĩa như trên được gọi là quan hệ thứ tự L¨owner, là một quan hệ thứ tự
bộ phận trên tập hợp con gồm các ma trận Hermite của Mn .
Cho f : Ω ⊆ R −→ R là một hàm số liên tục. Cho H ∈ Mn là một ma trận Hermite với giá trị riêng trong Ω. Khi đó tồn tại một ma trận unita U trong Mn sao cho
H = U diag(λ1 , . . . , λn )U ∗ . Ta gọi biểu diễn này là sự phân tích phổ của H. Khi đó ta định
nghĩa
f (H) := U diag(f (λ1 ), . . . , f (λn ))U ∗ .

3

Đặc biệt, với f (t) = tr , t ∈ Ω, r ∈ R, với A là một ma trận Hermite có giá trị riêng trong Ω,
lũy thừa Ar của ma trận A được định nghĩa như trên.
Chuẩn phổ (hay chuẩn toán tử ) của A ∈ Mn được định nghĩa bởi
A

:=

∞

max

Ax .

x∈Cn , x =1

Chuẩn phổ thỏa mãn tính chất dưới nhân tính:
AB

≤ A

∞

B

∞

∞.

Ma trận A được gọi là một phép co rút (contraction) nếu A

∞

≤ 1.

Với A ∈ Mn , đại lượng
ρ(A) := max{|λ|, λ ∈ C là giá trị riêng của A}
được gọi là bán kính phổ của A. Chú ý rằng
ρ(AB) = ρ(BA), and ρ(A) ≤ A

1.1

∞.

Bất đẳng thức L¨
owner - Heinz

Trong phần này chúng tôi trình bày bất đẳng thức L¨owner-Heinz cho các ma trận nửa xác
định dương.
Định lý 1.1. Cho A, B ∈ Mn thỏa mãn A ≥ B ≥ 0 và 0 ≤ r ≤ 1. Khi đó
Ar ≥ B r .

(1.1)

Chứng minh. Ký hiệu ∆ là tập hợp các số mũ r ∈ [0, 1] sao cho bất đẳng thức (1.1) thỏa mãn.
Rõ ràng 0, 1 ∈ ∆ và ∆ là một tập đóng. Ta sẽ chứng minh rằng ∆ lồi. Thật vậy, giả sử A > 0
và s, t ∈ ∆. Khi đó
A

−s

2

BsA

−s
2

−t

A 2 BtA

≤ I,

−t
2

≤ I.

Một cách tương đương
s

B2A

−s
2

t

∞

≤ 1, B 2 A

−t
2

≤ 1.

∞

Do đó
A

−(s+t)
4

B

s+t
2

A

−(s+t)
4

∞

=ρ A

−(s+t)

4

=ρ A

−s
2

= A
=

−s
2

B

B

s
2

B A
s
2

≤ B A

B

(s+t)
2

s+t
2
−s
2

−s
2

s+t
2

A

A

A
−t
2

∗

∞

−(s+t)
4

−t
2

∞
t
2

B A

−t
2

t
2

−t
2

B A

∞
∞

≤ 1.
Vì vậy A

−(s+t)
4

B

s+t
2

A

−(s+t)
4

≤ I, suy ra B

s+t
2

≤A

s+t
2

, tức là

lồi. Từ đó suy ra ∆ = [0, 1]. Định lí được chứng minh xong.
4

s+t
∈ ∆. Suy ra ∆ là một tập
2


Chú ý rằng trong trường hợp r > 1, bất đẳng thức (1.1) không còn đúng. Thật vậy, xét các
2 1
1 0
4 3

ma trận A =
,B=
. Khi đó A2 − B 2 =
. Do đó A ≥ B ≥ 0
A2 ≥ B 2 .
1 1
0 0
3 2

1.2

Ánh xạ trên không gian ma trận

Hàm số f : Ω ⊆ R −→ R được gọi là một hàm đơn điệu toán tử (operator monotone) nếu với
mọi ma trận Hermite A, B với giá trị riêng trong Ω,
A ≤ B suy ra f (A) ≤ f (B).
f được gọi là một hàm lồi toán tử (operator convex ) nếu với bất kỳ 0 < λ < 1 và với mọi
ma trận Hermite A, B với giá trị riêng trong Ω,
f (λA + (1 − λ)B) ≤ λf (A) + (1 − λ)f (B).
f được gọi là một hàm lõm toán tử (operator concave) nếu −f là một hàm lồi toán tử.
Do đó, bất đẳng thức L¨owner-Heinz nói rằng hàm f (t) = tr , 0 < r ≤ 1, là hàm đơn điệu
toán tử trên [0, ∞). Một ví dụ khác về đơn điệu toán tử là hàm hàm log t trên (0, ∞). Một ví
dụ về hàm lồi toán tử là hàm g(t) = tr trên (0, ∞) với −1 ≤ r ≤ 0 hoặc 1 ≤ r ≤ 2.
Định lý sau đưa ra một cách biểu diễn cho các hàm đơn điệu toán tử.
Định lý 1.2 ([1, Theorem 1.3]). Nếu f là một hàm đơn điệu toán tử trên [0, ∞) thì tồn tại
một độ đo dương µ trên [0, ∞) sao cho
∞

f (t) = α + βt +
0

st
dµ(s),
s+t

(1.2)

trong đó α là một số thực và β ≥ 0.
Nếu g là một hàm lồi toán tử trên [0, ∞) thì tồn tại một độ đo dương µ trên [0, ∞) sao cho
∞

g(t) = α + βt + γt2 +
0

st2
dµ(s),
s+t

(1.3)

trong đó α, β là các số thực và γ ≥ 0.
Chú ý rằng ba khái niệm: Hàm đơn điệu toán tử, lồi toán tử và lõm toán tử có liên quan
mật thiết với nhau. Chẳng hạn, một hàm liên tục không âm trên [0, ∞) là đơn điệu toán tử
khi và chỉ khi nó là một hàm lõm toán tử.
Ánh xạ: φ : Mm → Mn được gọi là dương nếu
A ≥ 0 ⇒ φ(A) ≥ 0.
Ký hiệu In là ma trận đơn vị trong Mn . φ được gọi là đơn vị nếu φ (Im ) = In .
Bổ đề sau cho ta một đặc trưng cho tính nửa xác định dương của một ma trận khối.
5

Bổ đề 1.3. Cho A > 0. Khi đó
A

B

B∗ C

≥0

khi và chỉ khi phần bù Schur C − B ∗ A−1 B ≥ 0.
Bổ đề 1.4. Cho φ là một ánh xạ tuyến tính đơn vị dương từ Mm đến Mn . Khi đó
φ A2 ≥ Φ(A)2

(A ≥ 0)

φ A−1 ≥ Φ(A)−1

(A > 0)

(1.4)
(1.5)

Định lý 1.5. Cho φ là một ánh xạ tuyến tính dương đơn vị từ Mm đến Mn và f là một hàm
đơn điệu toán tử trên [0, ∞). Khi đó với mọi Ageq0,
f (φ(A)) ≥ φ(f (A)).
Định lý 1.6. Cho φ là một ánh xạ tuyến tính dương đơn vị từ Mm đến Mn và g là một hàm
lồi toán tử trên [0, ∞). Khi đó với mọi Ageq0,
g(φ(A)) ≤ φ(g(A)).
Hệ quả 1.7. Cho φ là một ánh xạ tuyến tính dương đơn vị từ Mm đến Mn . Khi đó

φ (Ar ) ≤ φ(A)r ,
φ (Ar ) ≥ Φ(A)r ,

A > 0,

A ≥ 0,

0 < r ≤ 1;

−1 ≤ r ≤ 0 hoặc 1 ≤ r ≤ 2;

Φ(log A) ≤ log(φ(A)),

A > 0.

Sau đây chúng tôi trình bày các bất đẳng thức đối với tích Hadamard của hai ma trận
trong Mn .
Định nghĩa 1.8. Cho A = (aij ) , B = (bij ) ∈ Mn . Tích Hadamard của A và B được định
nghĩa bởi
A ◦ B := (aij bij ) ∈ Mn .
Tích Kronecker (hay tích tensơ) của A và B được định nghĩa bởi


a11 B . . . a1n B
 .
.. 
..
A ⊗ B := 
. 


 ∈ Mn2 .
an1 B . . . ann B
Với A ∈ Mn và với một tập con α của tập hợp {1, . . . , n}, ta ký hiệu A[α] là ma trận con
chính của A với chỉ số được đánh số bởi α.
Bổ đề 1.9. Với mọi A, B ∈ Mn , A ◦ B = (A ⊗ B)[α], trong đó α = {1, n + 2, 2n + 3, . . . , n2 }.
Từ đó, tồn tại một ánh xạ tuyến tính dương đơn vị từ Mn2 đến Mn sao cho
φ(A ⊗ B) = A ◦ B, ∀A, B ∈ Mn .
6


Bổ đề trên cho chúng ta hệ quả sau, được gọi là Định lý tích Schur.
Định lý 1.10. Cho A, B ∈ Mn . Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 (tương ứng, A > 0 và B > 0), thì
A ◦ B ≥ 0 (tương ứng, A ◦ B > 0.
Chứng minh. Chú ý rằng nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 (tương ứng, A > 0 và B > 0), thì A ⊗ B ≥ 0
(tương ứng, A × B > 0. Do A ◦ B là một ma trận con chính của A ⊗ B nên từ Bổ đề 1.9 ta
có chứng minh của định lý.
Từ các kết quả trên ta có các bất đẳng thức sau giữa các tích Hadamard của ma trận.
Hệ quả 1.11.
Ar ◦ B r ≤ (A ◦ B)r ,
Ar ◦ B r ≥ (A ◦ B)r ,

A, B ≥ 0,

A, B > 0,

0 < r ≤ 1;

(1.6)

−1 ≤ r ≤ 0 or 1 ≤ r ≤ 2;

(1.7)

(log A + log B) ◦ I ≤ log(A ◦ B),
Hệ quả 1.12. Với A, B ≥ 0, hàm f (t) = (At ◦ B t )

1/t
1
t

1

(As ◦ B s ) s ≤ At ◦ B t
Hệ quả 1.13. Cho A, B, C, D ≥ 0 và p, q > 1 với

A, B > 0.

(1.8)

là một hàm tăng trên [1, ∞), tức là
,

1 ≤ s < t.

1 1
+ = 1. Khi đó
p q
1

1

A ◦ B + C ◦ D ≤ (Ap + C p ) p ◦ (B q + Dq ) q .
Định lý 1.14. Với A, B ≥ 0, p, q > 1 thỏa mãn

1 1
+ = 1. Khi đó
p q
1

1

A ◦ B ≤ (Ap ◦ I) p (B q ◦ I) q

Chúng tôi sẽ áp dụng kết quả sau trong các chương sau của đề tài.
Định lý 1.15. Cho f là một hàm đơn điệu toán tử trên [0, ∞), g là một hàm lồi toán tử trên
[0, ∞) với g(0) ≤ 0. Khi đó, với mỗi ma trận co rút C ∈ Mn , tức là, C

∞

≤ 1, và với mọi

A ≥ 0, ta có

1.3

f (C ∗ AC) ≥ C ∗ f (A)C;

(1.9)

g (C ∗ AC) ≤ C ∗ g(A)C.

(1.10)

Các bất đẳng thức đối với lũy thừa ma trận

Định lý 1.16 ([1, Theorem 1.16]). Nếu A ≥ B ≥ 0 thì
1

(B r Ap B r ) q ≥ B

(p+2r)
q

(1.11)

và
A

(p+2r)
q

1

≥ (Ar B p Ar ) q ,

với r ≥ 0, p ≥ 0, q ≥ 1 với (1 + 2r)q ≥ p + 2r.
7

(1.12)

Trong trường hợp đặc biệt, khi p = q ≥ 1, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.17. Nếu A ≥ B ≥ 0 thì
1

(B r Ap B r ) p ≥ B
A

(p+2r)
p

(p+2r)
p

;

1

≥ (Ar B p Ar ) p ,

với mọi r ≥ 0 và p ≥ 1.
Đặc biệt hơn nữa, với p = 2, r = 1, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.18. Nếu A ≥ B ≥ 0 thì
BA2 B

1
2

≥ B2

và
A2 ≥ AB 2 A

1
2

.

Chú ý rằng, với hai số dương a ≥ b, ta có
a2 ≥ ba2 b

1
2

≥ b2 .

Xem xét các bất đẳng thức số này cho ma trận, nói chung không đúng. Thật vậy, với A, B ∈ Mn ,
A ≥ B ≥ 0, nói chung ta không suy ra được A2 ≥ B 2 . Tuy nhiên, Hệ quả 1.18 khẳng định
1

rằng dạng ma trận của bất đẳng thức (ba2 b) 2 ≥ b2 vẫn còn đúng.

1.4

Kỹ thuật ma trận khối

Định lý 1.19 ([1, Theorem 1.19]). Gọi A, B, X, Y là các ma trận với A, B xác định dương và
X, Y tùy ý. Khi đó
X ∗ A−1 X ◦ Y ∗ B −1 Y ≥ (X ◦ Y )∗ (A ◦ B)−1 (X ◦ Y )

(1.13)

X ∗ A−1 X + Y ∗ B −1 Y ≥ (X + Y )∗ (A + B)−1 (X + Y ).

(1.14)

và

Trong một số trường hợp đặc biệt của X, Y , A, B, ta có các hệ quả sau.
Đầu tiên, trong (1.13) chọn A = B = I, trong (1.14) chọn X = Y = I, ta có được
Hệ quả 1.20. Với mọi ma trận X, Y và với mọi ma trận xác định dương A, B, ta có
(X ∗ X) ◦ (Y ∗ Y ) ≥ (X ◦ Y )∗ (X ◦ Y )

(1.15)

A−1 ◦ B −1 ≥ (A ◦ B)−1 .

(1.16)

và

8


Chú ý thêm rằng, trong (1.16), đặt B = A−1 ta được
A ◦ A−1 ≥ A ◦ A−1

−1

,

hoặc tương đương, với A > 0 ta có
A ◦ A−1 ≥ I.

(1.17)

(1.17) là một bất đẳng thức nổi tiếng, bất đẳng thức Fiedler.
Lưu ý rằng cả bất đẳng thức (1.13) và bất đẳng thức (1.14) đều có thể mở rộng cho trường
hợp hữu hạn ma trận bằng cách chứng minh tương tự. Chẳng hạn, chúng ta có
Hệ quả 1.21.
k

∗

k

Xj∗ A−1
j Xj

≥

j=1

−1

k

Xj

k

Aj

j=1

Xj

j=1

j=1

với mọi Xj và Aj > 0, j = 1, . . . , k.
Chúng tôi xét hai trường hợp đặc biệt thú vị sau đây.
k

k

∗

k

Xj∗ Xj

≥

Xj

j=1

Xj

j=1
k

≥k

−1

2

j=1

;

j=1
k

A−1
j

k

Aj

,

j=1

với mỗi Aj > 0.
Kết quả sau đây cho một điều kiện cần và đủ để một ma trận khối nửa xác định dương.

Bổ đề 1.22.
A

B

B∗ C

≥0

(1.18)
1

1

khi và chỉ khi A ≥ 0, C ≥ 0 và tồn tại một ma trận co rút W sao cho B = A 2 W C 2 .

9


Chương 2
Sự làm trội hóa và giá trị riêng
Sự làm trội hóa (majorization) là một trong những kĩ thuật mạnh mẽ để sáng tạo các bất đẳng
thức. Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm được làm trội, các ví dụ minh họa đối
với ma trận, cũng như trình bày một số nguyên lý làm trội. Chúng tôi chứng minh hai định lí
về giá trị riêng của tích Hadmard của các ma trận nửa xác định dương, tổng quát hóa cho bất
đẳng thức Oppenhem. Toàn bộ khái niệm và kết quả trong chương này được chúng tôi trình
bày lại từ cuốn sách của X. Zhan [1].

2.1

Sự làm trội hóa

Cho một vectơ thực x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn . Khi đó chúng ta sắp xếp lại các thành phần
của nó như sau
x[1] ≥ x[2] ≥ · · · ≥ x[n] .
Định nghĩa 2.1. Với x = (x1 , . . . , xn ) , y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn , nếu
k

k

x[i] ≤
i=1

y[i] ,

k = 1, 2, . . . , n

i=1

ta nói rằng x được làm trội yếu bởi y (weakly majorized) và được ký hiệu bởi x ≺ω y.
n

Nếu x ≺ω y,
x ≺ y.

n

xi =
r=1

yi , chúng ta nói rằng x được làm trội bởi y (majorized) và viết
i=1
n

Ví dụ, nếu mỗi ai ≥ 0,

ai = 1 khi đó:
1

1
1
, ...,
n
n

≺ (a1 , ..., an ) ≺ (1, ..., 0).

10


Định nghĩa 2.2. Ta gọi một ma trận là không âm nếu tất cả các hệ tử của nó là không âm.
Một ma trận không âm được gọi là ngẫu nhiên kép (doubly stochastic) nếu tổng tất cả các
hàng và cột của nó bằng 1.
Cho x, y ∈ Rn . Định lý Hardy-Littlewood-Pólya khẳng định rằng
x ≺ y khi và chỉ khi tồn tại một ma trận ngẫu nhiên kép A sao cho x = Ay.
Định lý sau được gọi là Định lý Schur.
Định lý 2.3 (Schur). Nếu H là một ma trận Hermite với các hạng tử trên đường chéo
h1 , . . . , hn và các giá trị riêng λ1 , . . . , λn , khi đó
(h1 , . . . , hn ) ≺ λ1 , . . . , λn .

(2.1)

Hệ quả, nếu các giá trị riêng của ma trận H đều là số thực, chúng ta luôn luôn sắp xếp
chúng theo thứ tự giảm dần:
λ1 (H) ≥ λ2 (H) ≥ · · · ≥ λn (H)
và ký hiệu λ(H) := (λ1 (H), . . . , λn (H)).
Nếu G, H là các ma trận Hermite và λ(G) ≺ λ(H), chúng ta chỉ viết đơn giản G ≺ H.
Tương tự chúng ta viết G ≺ω H để chỉ λ(G) ≺ω λ(H). Chẳng hạn, Định lý 2.1 có thể được
viết là
H ◦ I ≺ H.

(2.2)

Trong phần tiếp theo chúng tôi trình bày hai nguyên tắc làm trội hóa quan trọng. Giả sử
rằng f (t) và g(t) là các hàm xác định trên các khoảng chứa các thành phần của x = (x1 , . . . , xn )
và y = (y1 , . . . , yn ) .
Định lý 2.4 ([1, Theorem 2.2]). Cho f (t) là một hàm lồi. Khi đó
x ≺ω suy ra (f (x1 ) , . . . , f (xn )) ≺ω (f (y1 ) , . . . , f (yn )) .
Định lý 2.5 ([1, Theorem 2.3]). Cho g(t) là một hàm lồi tăng. Khi đó
x ≺ω y suy ra (g (x1 ) , . . . , g (xn )) ≺ω (g (y1 ) , . . . , g (yn )) .
Để minh họa sức mạnh của Định lý 2.4, giả sử trong Định lý 2.3, H > 0 và không mất tính
tổng quát, h1 ≥ · · · ≥ hn , λ1 ≥ · · · ≥ λn . Áp dụng Định lý 2.4 đối với hàm số f (t) = − log t
cho sự làm trội (2.1) ta nhận được
n

n

hi ≥
i=k

λi ,

k = 1, 2, . . . , n.

(2.3)

i=k

Tất nhiên điều kiện H >0 có thể được nới lỏng thành H ≥ 0 do tính liên tục. Chú ý rằng
n

với trường hợp đặc biệt k = 1 của (2.3), ta có det(H) ≤

hi , được gọi là Bất đẳng thức
1

Hadamard.
11


Định nghĩa 2.6. Cho các bộ không âm x = (x1 , . . . , xn ) và y = (y1 , . . . , yn ). Nếu
k

k

x[i] ≤
i=1

y[i] ,

k = 1, 2, . . . , n

i=1

ta nói rằng x được làm trội logarit yếu bởi y và ký hiệu x ≺ωlog y.
n

Nếu x ≺ωlog y và

n

xi =
i=1

yi , thì ta nói rằng x được làm trội logarit bởi y và ký hiệu
i=1

bởi x ≺log y.
Giá trị tuyệt đối của ma trận A ∈ Mn được định nghĩa bởi
1

|A| := (A∗ A) 2 .
Giá trị kỳ dị (singular values) của A được định nghĩa là giá trị riêng của ma trận |A|. Do đó,
giá trị kỳ dị của A là căn bậc hai của các giá trị riêng của A∗ A.
Chú ý rằng, đối với các ma trận nửa xác định dương, giá trị kỳ dị và giá trị riêng trùng
nhau.
Chúng ta sắp xếp các giá trị kỳ dị của A theo thứ tự giảm dần như sau
s1 (A) ≥ · · · ≥ sn (A),
và ký hiệu s(A) := (s1 (A), . . . , sn (A)).
Chú ý rằng, chuẩn phổ của A, A

∞,

bằng s1 (A).

Ta viết {xi } cho vectơ (x1 , . . . , xn ).
Các định lý sau trong Lý thuyết ma trận cho chúng ta các quan hệ trội hóa cơ bản.
Định lý 2.7 (H.Weyl). Cho λ1 (A), . . . , λn (A) là các giá trị riêng của ma trận A sao cho
|λ1 (A)| ≥ · · · ≥ |λn (A)|. Khi đó
{|λi (A)|} ≺log s(A).
Định lý 2.8 (A.Horn). Với các ma trận A, B bất kỳ, ta có
s(A ◦ B) ≺log {si (A)si (B)}.
Định lý 2.9. Với các ma trận A, B bất kỳ, ta có
s(A ◦ B) ≺ω {si (A)si (B)}.
Chú ý rằng giá trị riêng của tích hai ma trận nửa xác định dương là không âm, vì λ(AB) =
1

1

λ A 2 BA 2 .
Nếu A, B là nửa xác định dương, theo Định lý 2.7 và Định lý 2.8, ta có
λ(AB) ≺log s(AB) ≺log {λi (A)λi (B)}.
Vì thế
A, B ≥ 0 ⇒ λ(AB) ≺log {λi (A)λi (B)}.
12

(2.4)


Ta nhận xét rằng đối với các vectơ không âm, sự làm trội hóa logarit yếu là mạnh hơn sự

làm trội yếu. Điều này có được bằng việc áp dụng Định lý 2.5 cho hàm số g(t) = et và được
thể hiện ở kết quả sau.
Định lý 2.10. Giả sử rằng các thành phần của các vectơ x, y ∈ Rn là không âm. Khi đó
x ≺ωlog y
suy ra
x ≺ω y.
Áp dụng Định lý 2.10 cho Định lý 2.7 và Định lý 2.8, ta có các kết quả sau.
Hệ quả 2.11. Cho bất kỳ A, B ∈ Mn . Khi đó
n

| tr A| ≤

si (A);
i=1

s(AB) ≺ω {si (A)si (B)}.
Kết quả sau đây được dùng để chứng minh cho Định lý 2.13 dưới đây.
Định lý 2.12 ([1, Theorem 2.9]). Cho A, B ≥ 0. Nếu 0 < s < t thì
1

λjs (As B s ) ≺ω

1

λjt At B t

.

Theo định lý này, nếu A, B ≥ 0 và m ≥ 1 thì
m m

λm
j (AB) ≺log {λj (A B )} .

Mặt khác, do sự làm trội hóa logarit yếu là mạnh hơn sự làm trội yếu, ta có
m m
λm
j (AB) ≺ω {λj (A B )} .
m
Hơn nữa, nếu m là một số nguyên dương, ta có λm
j (AB) = λj [(AB) ]. Do đó

{λj [(AB)m ]} ≺ω {λj (Am B m )} .
Đặc biệt chúng ta có
tr(AB)m ≤ tr Am B m .
Định lý 2.13. Gọi G, H là các ma trận Hermite. Khi đó
λ eG+H ≺log λ eG eH .
Chứng minh. Cố định G, H ∈ Mn và 1 ≤ k ≤ n. Áp dụng Định lý ánh xạ phổ và Định lý 2.12,
với mọi số nguyên dương m, ta có
k

λj
j=1

G
m

e e

H
m

k

m

k

λm
j

=
j=1

G
m

e e

H
m

λ j eG eH .

≤
j=1

13

(2.5)

Theo Công thức tích Lie, với hai ma trận X, Y bất kỳ, ta có
lim

m→∞

X

Y

em em

m

= eX+Y .

Trong (2.5) cho m → ∞, ta nhận được
λ eG+H ≺ωlog λ eG eH .
Cuối cùng, lưu ý rằng det eG+H = det eG eH . Định lý được chứng minh.
Lưu ý rằng Định lý (2.13) làm mạnh Bất đẳng thức Golden-Thompson: Với hai ma
trận Hermite G, ta có
tr eG+H ≤ tr eG eH .

2.2

Giá trị riêng của tích Hadamard

Cho A, B = (bij ) ∈ Mn là các ma trận nửa xác định dương. Bất đẳng thức Oppenheim phát
biểu rằng
n

det(A ◦ B) ≥ (det A)

bii .

(2.6)

i=1

Theo Bất đẳng thức Hadamard, (2.6) suy ra
det(A ◦ B) ≥ det(AB).

(2.7)

Trong phần này chúng tôi trình bày một sự tổng quát hóa cho bất đẳng thức (2.7), sử dụng
một số kết quả đạt được trước đó, và sau đó chúng tôi tổng quát hóa bất đẳng thức (2.6).
Cho x = {xi } , y = {yi } ∈ Rn với x1 ≥ · · · ≥ xn , y1 ≥ · · · ≥ yn . Chú ý rằng nếu x ≺ y thì
n

n

xi ≥
j=k

yi ,

k = 1, . . . , n.

i=k

Hơn nữa, nếu các thành phần của x và y là dương và x ≺log y thì
n

n

xi ≥
i=k

yi ,

k = 1, . . . , n.

i=k

Định lý 2.14. Cho A, B ∈ Mn là các ma trận xác định dương. Khi đó
n

n

λj (A ◦ B) ≥
j=k

λj (AB),

k = 1, 2, . . . , n.

j=k

Chứng minh. Theo (1.8) trong Hệ quả (1.11), ta có
log(A ◦ B) ≥ (log A + log B) ◦ I.

14

(2.8)


Tức là

n

n

n

λj (A ◦ B) =

log
j=k

λj [log(A ◦ B)] ≥

λj (log A + log B) ◦ I

j=k

j=k

với k = 1, 2, . . . , n. Theo Định lý Schur (xem (2.2))
(log A + log B) ◦ I < log A + log B.
Từ đó

n

n

λj [(log A + log B) ◦ I] ≥
j=k

λj (log A + log B)
j=k

với mọi k = 1, 2, . . . , n.
Mặt khác, áp dụng Định lý 2.13 cho G = log A, H = log B, ta nhận được
λ elog A+log B ≺log {λj (AB)} .
Vì λj elog A+log B = eλj (log A+log B) , nên sự làm trội hóa logarit này tương đương với sự làm trội
λ(log A + log B) ≺ {log λj (AB)} .
Tuy nhiên
1

1

λj (AB) = log λj A 2 BA 2

1

1

= λj log A 2 BA 2

,

vì vậy
1

1

log A + log B ≺ log A 2 BA 2 .
Do đó

n

n

n
1
2

λj (log A + log B) ≥

λj log A BA

1
2

= log

j=k

j=k

λj (AB)
j=k

với k = 1, 2, . . . , n. Kết hợp ba bất đẳng thức trên liên quan đến giá trị riêng, chúng ta nhận
được

n

n

λj (A ◦ B) ≥
j=k

λj (AB),

k = 1, 2, . . . , n.

j=k

Định lý được chứng minh.
Ký hiệu GT là chuyển vị của ma trận G. Do với B > 0 ta có log B T = (log B)T , suy ra
log B T ◦ I = (log B)T ◦ I = (log B) ◦ I.
Do đó, trong các chứng minh trên, chúng ta có thể thay thế (log A + log B) ◦ I bằng (log A +
log B T ) ◦ I. Từ đó chúng ta nhận được
Định lý 2.15. Cho A, B ∈ Mn là các ma trận xác định dương. Khi đó
n

n

λj AB T ,

λj (A ◦ B) ≥
j=k

j=k

15

k = 1, 2, . . . , n.

(2.9)


Lưu ý rằng trong trường hợp đặc biệt khi k = 1, từ bất đẳng thức (2.8) ta nhận được bất
đẳng thức (2.7).
Với các ma trận A, B > 0, do sự làm trội hóa logarit (2.4), ta nhận được
n

n

λj (AB) ≥
j=k

λj (A)λj (B),

k = 1, 2, . . . , n.

(2.10)

j=k

Kết hợp (2.8) và (2.10), chúng ta có được kết quả sau.
Hệ quả 2.16. Cho A, B ∈ Mn là các ma trận xác định dương. Khi đó
n

n

λj (A ◦ B) ≥
j=k

λj (A)λj (B),

k = 1, 2, . . . , n.

j=k

Trong phần tiếp theo chúng tôi trình bày một sự tổng quát hóa cho Bất đẳng thức Oppenheim (2.6).
Một ánh xạ tuyến tính φ: Mn → Mn được gọi là ngẫu nhiên kép (doubly stochastic) nếu
các điều sau đây thỏa mãn:
- φ dương: (A ≥ 0 ⇒ Φ(A) ≥ 0);
- đơn vị: φ(I) = I;
- bảo toàn hạng: tr (Φ(A)) = tr(A) với mọi A ∈ Mn .
Vì mỗi ma trận Hermite H được phân tích thành hiệu của hai ma trận nửa xác định dương
|H| + H |H| − H
−
,
2
2

H=

nên mỗi ánh xạ tuyến tính dương luôn bảo toàn tập hợp các ma trận Hermite.
Tích vô hướng Frobenius trên Mn được định nghĩa bởi
A, B := tr AB ∗ .
Bổ đề 2.17. Cho A ∈ Mn là một ma trận Hermite và Φ : Mn → Mn là một ánh xạ ngẫu nhiên
kép. Khi đó
P hi(A) ≺ A.
Chứng minh. Gọi
A = U diag (x1 , . . . , xn ) U ∗ , Φ(A) = W diag (y1 , . . . , yn ) W ∗
là các phân tích phổ, với U, W unita. Định nghĩa
Ψ(X) = W ∗ Φ (U XU ∗ ) W.
Khi đó Ψ là một ánh xạ ngẫu nhiên và
diag (y1 , . . . , yn ) = Ψ (diag (x1 , . . . , xn )) .
16

(2.11)


Đặt Pj ≡ ej eTj , phép trực giao lên không gian con một chiều sinh bởi cơ sở chính tắc ej , j =
1, . . . , n. Khi đó (2.11) suy ra
(y1 , . . . , yn )T = D (x1 , . . . , xn )T ,

(2.12)

trong đó D = (dij ) với dij = Ψ (Pj ) , Pi với mọi i và j. Do Ψ là một ánh xạ ngẫu nhiên kép, dễ
dàng suy ra rằng D là một ma trận ngẫu nhiên kép. Áp dụng Định lý Pólya Hardy-Littlewood,
quan hệ (2.12) suy ra
(y1 , . . . , yn ) ≺ (x1 , . . . , xn ) .
Bổ đề được chứng minh.
Một ma trận nửa xác định dương với tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng 1

được gọi là một ma trận tương quan (correlation matrix).
Cho C là một ma trận tương quan. Định nghĩa ΦC (X) = X ◦ C. Rõ ràng C là một ánh xạ
ngẫu nhiên kép trên Mn . Vì vậy, chúng ta có các kết quả sau.
Hệ quả 2.18. Nếu A là một ma trận Hermite và C là một ma trận tương quan. Khi đó
A ◦ C ≺ A.
Định lý 2.19. Cho A, B ∈ Mn là các ma trận xác định dương và β1 ≥ · · · ≥ βn là sự sắp xếp
lại các phần tử trên đường chéo chính của B. Khi đó với mọi 1 ≤ k ≤ n ta có
n

n

λj (A ◦ B) ≥

λj (A)βj .

j=k

(2.13)

j=k

Chứng minh. Cho B = (bij ). Định nghĩa hai ma trận C = (cij ) và H = (hij ) bởi
1

bij 2
cij =
,
(bii bjj )

1

hij = (bii bjj ) 2 .

Khi đó C là một ma trận tương quan và B = H ◦ C. Theo Hệ quả 2.18
A ◦ B = (A ◦ H) ≺ A ◦ H.
Áp dụng Định lý 2.4 với f (t) = − log t, ta có
n

n

λj (A ◦ B) ≥
j=k

λj (A ◦ H).

(2.14)

j=k

√

Lưu ý rằng A ◦ H = DAD, trong đó D ≡ diag

√
b11 , . . . , bnn và λj (D2 ) = βj , j = 1, . . . , n.

Do đó λ(A ◦ H) = λ(DAD) = λ (AD2 ). Theo sự làm trội logarit (2.4), ta có
n

n

λj (A ◦ H) =
j=k

n

λj AD
j=k

2

≥

n

λj (A)λj D
j=k

Kết hợp (2.14) và bất đẳng thức trên cho ta (2.13).

17

2

=

λj (A)βj .
j=k

Bất đẳng thức Oppenheim (2.6) là một trường hợp đặc biệt của (2.13) khi k = 1. Cũng
lưu ý thêm rằng, vì
n

n

βj ≥
j=k

λj (B)
j=k

nên Định lý 2.19 mạnh hơn hơn Hệ quả 2.16.
Chú ý rằng Định lý 2.19 và Định lý 2.14 không so sánh được với nhau. Thật vậy, cả
λn (AB) > λn (A)βn và λn (AB) < λn (A)βn đều có thể xảy ra. Chẳng hạn, xét các ma trận
A = diag(1, 2), và B = diag(2, 1), khi đó
λ2 (AB) − λ2 (A)β2 = 1,
trong khi
A = I2 ,
B=

2 1
1 2

λ2 (AB) − λ2 (A)β2 = −1.

18


Chương 3

Các bất đẳng thức đối với giá trị kỳ dị
Trong chương này chúng tôi trình bày các bất đẳng thức đối với giá trị kỳ dị của các ma trận
trong Mn . Các khái niệm và kết quả trong chương này được chúng tôi trình bày lại từ cuốn
sách của X. Zhan [1].
Các giá trị kỳ dị của ma trận A ∈ Mn được định nghĩa là giá trị riêng của giá trị tuyệt đối
|A| ≡ (A∗ A)1/2 của ma trận A, được ký hiệu bởi s(A) ≡ (s1 (A), . . . , sn (A)) với s1 (A) ≥ · · · ≥
sn (A) là các giá trị kỳ dị của A.
Chú ý rằng,
|A| ≤ |B| ⇒ sj (A) ≤ sj (B) với mỗi j ⇒ A ≤ B ,
trong đó

·

ký hiệu cho chuẩn bất biến unita trên Mn .

Chú ý thêm rằng các giá trị kỳ dị là một bất biến unita, tức là s(U AV ) = s(A) với mọi
A ∈ Mn và với mọi ma trận unita U, V .

3.1

Bất đẳng thức Young ma trận

Trong phần này chúng tôi trình bày một dạng ma trận của bất đẳng thức Young cổ điển đối
với các giá trị kỳ dị.
Định lý 3.1 ([1, Theorem 3.2]). Cho p, q > 1 với

1 1
+ = 1. Khi đó với các ma trận A, B ∈ Mn
p q

bất kỳ, ta có
sj (AB ∗ ) ≤ sj

|A|p |B|q
+
p
q

j = 1, 2, ..., n.

(3.1)

j = 1, 2, . . . , n.

(3.2)

Trong Định lý 3.1, cho p = q = 2, ta nhận được
Hệ quả 3.2. Với mọi X, Y ∈ Mn , ta có
sj (XY ∗ ) ≤ sj (X ∗ X + Y ∗ Y ) ,

Định lý 3.1 tương đương với phát biểu: Tồn tại một ma trận unita U, phụ thuộc vào A, B,
sao cho
U |AB ∗ | U ∗ ≤
19

|A|p |B|q
+
.
p
q