(Luận văn thạc sĩ) Tứ giác điều hòa và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.62 MB, 61 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–
NGUYỄN THỊ THU TRANG
TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên, 10/2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–
NGUYỄN THỊ THU TRANG
TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số:
8460113
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. TRẦN VIỆT CƯỜNG
Thái Nguyên, 10/2018
i
Mục lục
Danh sách ký hiệu
ii
Danh sách hình vẽ
iv
Mở đầu
Chương 1. Một số vấn đề về tứ giác điều hòa
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . .
1.1.1 Hàng điểm điều hòa . . . . . . . . .
1.1.2 Chùm điều hòa . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Đường đối trung . . . . . . . . . . .
1.1.4 Đường tròn Apollonius . . . . . . . .
1.1.5 Một số định lý cơ bản . . . . . . . .
1.2 Tứ giác điều hòa . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Chương 2. Một số ứng dụng của tứ giác điều hòa
2.1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng . . . . . . . .
2.2 Chứng minh đồng quy . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định .
2.4 Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau . . . . .
2.5 Chứng minh hai góc bằng nhau . . . . . . . . .
2.6 Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
5
6
11
12
14
14
15
.
.
.
.
.
.
23
23
28
32
37
45
49
Kết luận
53
Tài liệu tham khảo
54
ii
Danh sách ký hiệu
∠AOB
Góc AOB
CA
−→
Độ dài đại số của vécto CA
(A, B, C, D) = −1
A, B, C, D là hàng điểm điều hòa
(OA, OB, OC, OD) = −1 OA, OB, OC, OD là chùm điều hòa
(O)
Đường tròn tâm O
ABC
ABC ∼
Tam giác ABC
BP M
Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BP M
AB ⊥ CD
Đoạn AB vuông góc CD
const
Hằng số
I(O, r2 )
Phép nghịch đảo tâm O tỉ số r2
iii
Danh sách hình vẽ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
A, B, C, D là hàng điểm điều hòa. . . . . . .
I là trung điểm đoạn AB. . . . . . . . . . .
OD là phân giác ngoài của ∠AOB. . . . . .
I là trung điểm của EF . . . . . . . . . . . .
OA, OB, OC, OD là một chùm điều hòa. . .
E, F, G, K là hàng điểm điều hòa. . . . . . .
AQ là đường đối trung . . . . . . . . . . . .
Đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A
Định lý Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . .
Định lý Menelaus . . . . . . . . . . . . . . .
AP BQ là tứ giác điều hòa. . . . . . . . . . .
E, G, D, C là hàng điểm điều hòa. . . . . . .
BK là đường đối trung của tam giác ABC .
ABCD là tứ giác điều hòa . . . . . . . . . .
DP và BP giao nhau trên đường thẳng AC
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
4
4
4
5
5
9
11
13
13
14
15
17
19
20
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
K, M, N thẳng hàng . . . . . . . . .
A, E, F, C thẳng thàng . . . . . . . .
A, R, S, L thẳng hàng . . . . . . . . .
A, H, S thẳng hàng. . . . . . . . . . .
K, F, B, D thẳng hàng. . . . . . . . .
EN, F M, AO đồng quy. . . . . . . .
BY, CZ và AD đồng quy. . . . . . .
M D, N E, P F đồng quy. . . . . . . .
KN luôn đi qua một điểm I cố định
M N đi qua J cố định . . . . . . . . .
P Q luôn đi qua một điểm cố định I.
T là điểm cố định khi A thay đổi. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
24
25
26
27
28
29
30
32
33
34
35
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
iv
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
2.26
2.27
2.28
2.29
I là trung điểm AH. . . . . . . .
B là trung điểm GH. . . . . . . .
T B = T C. . . . . . . . . . . . . .
D1 E1 = D2 E2 . . . . . . . . . . .
CF = F G. . . . . . . . . . . . . .
Q là trung điểm KV . . . . . . . .
DH = HK. . . . . . . . . . . . .
P Q = QR. . . . . . . . . . . . . .
P C đi qua trung điểm BD. . . .
K là trung điểm của BD. . . . .
T H là phân giác của góc M HN .
∠BP A = ∠CP M . . . . . . . . .
∠BAQ = ∠CAP . . . . . . . . . .
IB là phân giác góc AIC. . . . .
BM CN là tứ giác điều hòa . . .
C1 P song song với AA1 . . . . . .
F D·HK
F H·DK = 3. . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
38
39
39
40
41
42
43
44
44
45
46
47
48
49
50
51
1
Mở đầu
Từ xưa đến nay hình học luôn được xem là một môn học thú vị bởi những
khám phá mới mẻ từ những định lý, tính chất và những ứng dụng đẹp của nó.
Hình học là một phân môn quan trọng trong toán học, đã gắn bó với chúng ta
trong quá trình học toán từ bậc tiểu học đến trung học phổ thông. Sự kì diệu
của hình học nằm trong cả phát biểu của định lý, tính chất cũng như những
chứng minh của chúng, tiềm ẩn những thử thách sâu sắc để thách thức trí tuệ
của con người.
Tứ giác điều hòa là một tứ giác đẹp và có nhiều ứng dụng trong hình học
phẳng. Các bài toán liên quan đến tứ giác điều hòa là những bài toán hay và
khó. Nó có ứng dụng khá lớn trong các bài toán như chứng minh thẳng hàng,
đồng quy, song song, vuông góc, trung điểm, chứng minh đi qua điểm cố định
và các bài toán về chứng minh hệ thức hình học...
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của tứ giác điều hòa, tôi lựa
chọn đề tài nghiên cứu “Tứ giác điều hòa và ứng dụng” dưới sự hướng dẫn của
PGS. TS. Trần Việt Cường.
Để giải quyết được vấn đề này, trước tiên chúng tôi tìm hiểu về định nghĩa
cũng như những tính chất của tứ giác điều hòa. Tiếp đó, chúng tôi tìm hiểu
việc vận dụng các tính chất của tứ giác điều hòa vào việc giải một số dạng toán
cụ thể trong hình học phẳng.
Nội dung của đề tài luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Một số vấn đề về tứ giác điều hòa. Trong chương này, ngoài trình
bày một số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến đề tài, chúng tôi trình bày định
nghĩa và tính chất về tứ giác điều hòa. Các nội dung của chương được tổng
hợp từ các tài liệu [1, 3, 11].
Chương 2. Một số ứng dụng của tứ giác điều hòa. Trong chương này, chúng
tôi áp dụng các tính chất của tứ giác điều hòa vào giải một số dạng toán trong
2
hình học phẳng như: chứng minh thẳng hàng, chứng minh đồng quy, chứng
minh song song, chứng minh vuông góc, chứng minh hệ thức trong hình học,
chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định... Các nội dung của chương sẽ
tham khảo từ các tài liệu [4, 9, 10].
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trần Việt Cường, người
thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, các thầy
cô giáo giảng dạy chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, Trường Đại học
Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập
tại trường.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học K10Q Trường Đại học Khoa
học, Đại học Thái Nguyên đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
làm luận văn này.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã
tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018
Người viết luận văn
Nguyễn Thị Thu Trang
3
Chương 1
Một số vấn đề về tứ giác điều hòa
Trong chương này, ngoài trình bày một số kiến thức chuẩn bị có liên quan
đến đề tài, chúng tôi trình bày định nghĩa và tính chất về tứ giác điều hòa.
Các nội dung của chương được tổng hợp từ các tài liệu [1, 3, 11].
1.1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1.1
Hàng điểm điều hòa
Định nghĩa 1.1.1 ([3]). Trên một đường thẳng lấy bốn điểm A, B, C, D. Khi
đó, A, B, C, D được gọi là hàng điểm điều hòa nếu chúng thỏa mãn hệ thức
CA
DA
=−
.
CB
DB
(1.1)
Ký hiệu là (A, B, C, D) = −1.
Hình 1.1: A, B, C, D là hàng điểm điều hòa.
Nhận xét 1.1.2. Từ hệ thức (1.1), ta suy ra ngay trong hai điểm C và D phải
có một điểm nằm bên trong đoạn thẳng AB và điểm còn lại nằm ngoài đoạn
thẳng AB.
Tính chất 1.1.3 ([3]). Bốn điểm được gọi là hàng điểm điều hòa khi và chỉ
khi một trong các hệ thức sau được thỏa mãn:
4
1.
1
1
2
=
+
(hệ thức Descarter).
AB
CA DA
2. IA2 = IB 2 = IC · ID (với I là trung điểm AB) (hệ thức Newton).
Hình 1.2: I là trung điểm đoạn AB.
3. Gọi J là trung điểm CD, ta có AC · AD = AB · AJ (hệ thức Maclaurin).
Hệ thức (1.1) và hệ thức Newton là hai dấu diện phổ biến nhất để chứng
minh bốn điểm là một hàng điểm điều hòa.
Định lý 1.1.4 ([3]). Cho (A, B, C, D) = −1 và điểm O sao cho OC là phân
giác góc trong của ∠AOB thì OD là phân giác ngoài của ∠AOB.
Hình 1.3: OD là phân giác ngoài của ∠AOB.
Định lý 1.1.5 ([3]). Cho (A, B, C, D) = −1 và điểm O nằm ngoài hàng điểm
điều hòa trên. Một đường thẳng d cắt ba tia OC, OB và OD lần lượt tại E, I
và F . Khi đó, I là trung điểm của EF khi và chỉ khi d song song với OA.
Hình 1.4: I là trung điểm của EF .
5
1.1.2
Chùm điều hòa
Định nghĩa 1.1.6 ([3]). Cho hàng điểm điều hòa (A, B, C, D) = −1 và O nằm
ngoài hàng điểm điều hòa trên. Khi đó, ta gọi bốn tia OA, OB, OC, OD là một
chùm điều hòa và kí hiệu (OA, OB, OC, OD) = −1.
Hình 1.5: OA, OB, OC, OD là một chùm điều hòa.
Định lý 1.1.7 ([3]). Cho (OA, OB, OC, OD) = −1. Một đường thẳng d bất kì
cắt các cạnh OA, OB, OC, OD lần lượt tại E, F, G, K. Khi đó, ta có (F, F, G, K) =
−1.
Hình 1.6: E, F, G, K là hàng điểm điều hòa.
Nhận xét 1.1.8. Qua định lí trên chúng ta có thể thấy từ một hàng điểm
điều hòa ban đầu sẽ “có” vô số chùm điều hòa xung quanh (cứ một điểm ngoài
hàng điểm điều hòa nói trên sẽ cho ta một chùm điều hòa tương ứng). Và cứ
mỗi chùm điều hòa như vậy lại cho ta vô số hàng điểm điều hòa.
Hệ quả 1.1.9 ([3]). Cho chùm điều hòa (Ox, Oy, Oz, Ot) = −1. Khi đó nếu
góc zOt = 90◦ thì Oz là phân giác trong của góc xOy và Ot là phân giác ngoài
xOy.
6
Nhận xét 1.1.10. Từ Hệ quả 1.1.9, ta có nếu Oz là phân giác trong hoặc
Ot là phân giác ngoài thì góc zOt = 90◦ . Mặt khác nếu 4 tia Ox, Oy, Oz, Ot
bất kì mà có góc zOt = 90◦ và Oz, Ot lần lượt là phân giác trong và phân
giác ngoài của xOy thì (Ox, Oy, Oz, Ot) = −1. Đây là dấu hiệu quan trọng để
chứng minh 4 tia xuất phát từ một đỉnh là một chùm điều hòa.
Hệ quả 1.1.11 ([3]). Cho chùm điều hòa (Ox, Oy, Oz, Ot) = −1 và một đường
thẳng d bất kì cắt Oz, Ot, Oy lần lượt tại A, B, I. Khi đó d song song Ox khi
và chỉ khi I là trung điểm của AB.
Nhận xét 1.1.12. Từ Hệ quả 1.1.11 ta có nếu d song song Ox và I là trung
điểm của AB thì đây cũng là một dấu hiệu quan trọng để chứng minh 4 tia
xuất phát từ một đỉnh là một chùm điều hòa.
1.1.3
Đường đối trung
Định nghĩa 1.1.13 ([1]). Cho góc ∠xOy. Ta nói hai đường thẳng d1 và d2 là
các đường đẳng giác trong góc đã cho nếu chúng cùng đi qua đỉnh O và đối
xứng với nhau qua phân giác của góc đó.
Ví dụ 1.1.14. Một trường hợp tầm thường là đường phân giác là đường đẳng
giác với chính nó.
Định nghĩa 1.1.15 ([1]). Trong một tam giác, đường thẳng đẳng giác với
trung tuyến xuất phát từ một đỉnh được gọi là đường đối trung của tam giác.
Chú ý 1.1.16. Trong tam giác vuông, đường cao xuất phát từ đỉnh chính là
đường đối trung.
Ta có một cách đơn giản để tìm đường đối trung của tam giác thông qua
tìm giao điểm của hai tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp như sau.
Bổ đề 1.1.17 ([1]). Cho tam giác ABC và (O) là đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC có tâm O. Cho D là giao điểm của hai đường tiếp tuyến của (O) tại
điểm B và C. Khi đó AD trùng với đường đối trung của tam giác ABC.
Chứng minh. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và ký
hiệu ω là đường tròn có tâm tại D với bán kính BD. Gọi P và Q lần lượt là
giao điểm của AB và AC với ω. Trong tam giác ABQ, do ∠P BQ là góc ngoài
của ∠ABQ nên ta có
∠P BQ = ∠BQC + ∠BAC.
7
Mặt khác, ta có
1
1
∠BQC = ∠BDC, và ∠BAC = ∠BOC.
2
2
Từ đó, ta có
1
∠P BQ = ∠BQC + ∠BAC = (∠BDC + ∠BOC) = 90◦ .
2
Do P Q là đường kính của ω nên P Q đi qua D. Ta có P BCQ là tứ giác nội
tiếp đường tròn tâm D, có tổng các góc bằng 360◦ . Do P BD, DBC, CDQ là
các tam giác cân tại D nên ta có
∠DP B = ∠P BD, ∠DBC = ∠BCD, ∠DCQ = ∠CQD.
Từ đó, ta có
360◦ = ∠DP B + ∠P BC + ∠BCQ + ∠CQD
= ∠DP B + ∠P BD + ∠DBC + ∠BCD + ∠DCQ + ∠CQD
= 2∠P BD + 2∠DBC + 2∠CQD.
Vậy, ta có
∠P BC + ∠AQP = ∠P BD + ∠DBC + ∠CQD = 180◦ .
(1.2)
Mặt khác, ∠P BC là góc ngoài của tam giác ABC tại B nên ta có
∠ABC + ∠P BC = 180◦ .
(1.3)
8
Từ (1.2) và (1.3), suy ra
∠ABC = ∠AQP.
Tương tự, ta có
∠ACB = ∠AP Q.
Do đó, ta có hai tam giác ABC và AQP đồng dạng. Nếu M là trung điểm của
BC, vì D là trung điểm của QP , tính đồng dạng kéo theo ∠BAM = ∠QAD,
từ đó suy ra AM là phản xạ của AD qua đường phân giác. Nói cách khác, AM
và AD đẳng giác.
Định lý 1.1.18 ([1]). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và D là
điểm thuộc cạnh BC. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
i) AD là đường đối trung kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
DB
AB 2
ii)
=
.
DC
AC 2
AB
sin ∠DAB
=
.
iii)
sin ∠DAC
AC
DH
AB
iv)
=
(H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC).
DK
AC
v) A, D, P thẳng hàng, trong đó P là giao điểm của các tiếp tuyến kẻ từ các
đỉnh B và C của đường tròn (O).
Chứng minh. Tính chất ii) phát biểu rằng đường đối trung chia trong cạnh đối
diện thành những phần tỉ lệ với bình phương các cạnh kề. Áp dụng định lý
Steiner cho trường hợp E là trung điểm của BC ta suy ra sự tương đương của
i) và ii).
Áp dụng định lý sin, ta có
sin ∠DAB
sin ∠ABD
sin ∠ABC
=
=
,
DB
AD
AD
và
sin ∠DAC
sin ∠ACD
sin ∠ACB
=
=
.
DC
AD
AD
Chia hai hệ thức trên cho nhau ta được
sin ∠DAB
sin ∠ABC DB
=
sin ∠DAC
sin ∠ACB DC
AC DB
AC AB 2
AB
=
=
=
.
2
AB DC
AB AC
AC
9
Ta suy ra sự tương đương của ii) và iii).
Với H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC, ta có
sin ∠DAB =
DH
,
AD
sin ∠DAC =
DK
.
AD
Suy ra
DH
sin ∠DAB
AB
=
=
.
DK
sin ∠DAC
AC
Vậy iii) và iv) là tương đương nhau.
Do P là giao điểm của các tiếp tuyến kẻ từ các đỉnh B và C của đường tròn
ngoại tiếp (O) nên theo Bổ đề 1.1.17, ta có AP trùng với đường đối trung của
tam giác. AD cũng là đường đối trung của tam giác. Tức là hai đường thẳng
này trùng nhau. Suy ra A, D, P thẳng hàng.
Chú ý 1.1.19 ([1]). Cho tam giác ABC. Đường đối trung AE chia trong cạnh
EB
AB 2
BC theo tỉ số
=
. Tiếp tuyến AD của đường tròn ngoại tiếp ABC
EC
AC 2
chia ngoài cạnh BC cũng theo tỉ số đó, nên ta gọi AD là một đường đối trung
ngoài của tam giác ABC.
Nhận xét 1.1.20. Cho tam giác ABC, gọi AE, AD lần lượt là đường đối
trung và đường đối trung ngoài của tam giác với E, D nằm trên cạnh BC. Khi
đó suy ra (C, B, E, D) = −1.
Mệnh đề 1.1.21 ([9]). Đường đối trung là quỹ tích các điểm mà khoảng cách
đến hai cạnh của một tam giác tỉ lệ với các cạnh đó.
Hình 1.7: AQ là đường đối trung
10
Chứng minh. Gọi P là một điểm của quỹ tích, tức là một điểm mà các khoảng
cách P I, P H đến hai cạnh AB, AC thỏa mãn điều kiện
PI
c
= .
PH
b
Gọi Q là giao điểm của AP với BC. Từ Q kẻ những đường thẳng QM vuông
góc với AB, QN vuông góc với AC. Ta có
QM
PI
c
=
=
QN
PH
b
nên
SABQ
AB · QM
c2
=
= 2.
SAQC
AC · QN
b
Mặt khác, ta có
SABQ
BQ
.
=
SAQC
QC
Vậy, ta có
BQ c2
= 2.
QC
b
Điều này chứng tỏ AQ là một đường đối trung.
Đảo lại, lấy một điểm P bất kì trên đường đối trung AQ. Kẻ P I ⊥ AB
và P H ⊥ AC. Ta phải chứng minh
c
PI
= .
PH
b
Thật vậy, vì AQ là một đường đối trung, nên ta có
BQ c2
= 2
QC
b
và
SABQ
BQ c2
=
= 2.
SAQC
QC
b
Mặt khác,
SABQ
AB · QM
=
SAQC
AC · QN
nên
AB · QM
c · QM
c2
=
= 2.
AC · QN
b · QN
b
11
Từ đó, suy ra
QM
c
= .
QN
b
Do đó, ta có
QM
c
PI
=
= .
PH
QN
b
1.1.4
Đường tròn Apollonius
Định nghĩa 1.1.22 ([9]). Đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A của
tam giác ABC là đường tròn đường kính DE, trong đó D và E tương ứng là
chân đường phân giác trong và chân đường phân giác ngoài của góc BAC.
Hình 1.8: Đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A
Nhận xét 1.1.23. Nếu tam giác ABC là tam giác cân với AB = AC, thì
đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A không xác định.
Mệnh đề 1.1.24 ([9]). Đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A của tam
giác ABC có tâm là chân đường đối trung ngoài của đỉnh A.
Chứng minh. Gọi Oa là giao điểm của đường đối trung ngoài của tam giác ABC
1
với cạnh BC. Giả sử ∠ABC > ∠ACB, ta được ∠EAB = (∠ABC + ∠ACB).
2
1
Vì AOa là tiếp tuyến nên ∠Oa AB = ∠ACB. Hơn nữa, ∠EAOa = (∠ABC −
2
1
∠ACB) và ∠AEOa = (∠ABC − ∠ACB) . Suy ra
2
Oa E = Oa A,
12
cùng với EAD là tam giác vuông tại A, ta thu được
Oa A = Oa D.
Do đó Oa là tâm của đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A.
Mệnh đề 1.1.25 ([9]). Đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A của tam
giác ABC giao với đường tròn ngoại tiếp tam giác theo đường đối trung từ đỉnh
A.
Chứng minh. Gọi S là giao điểm thứ hai của đường tròn Apollonius với đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do Oa A là tiếp tuyến của đường trong ngoại
tiếp tam giác ABC. Do tính đối xứng, Oa S cũng là tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp tam giác. Với tam giác ACS, Oa A và Oa S là đường đối trung ngoài
của tam giác. Suy ra COa là đường đối trung trong của tam giác ACS. Ngoài
ra, ta thu được tứ giác ABSC là tứ giác điều hòa. Do đó AS là đường đối
trung trong của tam giác ABC và mệnh đề được chứng minh.
Nhận xét 1.1.26. Từ đây, theo Hình 1.15 suy ra đường tròn tâm Q đi qua
A và C là đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A của tam giác ABD.
Đường tròn này (tâm Q, bán kính QC) cũng là đường tròn Apollonius tương
ứng với đỉnh C của tam giác BCD.
Tương tự, các đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh B và D của tam
giác ABC và ADC trùng nhau.
1.1.5
Một số định lý cơ bản
Định lý 1.1.27 (Định lý Ceva, [1]). Cho tam giác ABC và ba đường thẳng
AA , BB , CC xuất phát từ các đỉnh của tam giác và cắt đường thẳng chứa
cạnh đối diện tại A , B , C sao cho: hoặc cả ba điểm A , B , C đều nằm trên
ba cạnh của tam giác hoặc một trong ba điểm đó nằm trên một cạnh của tam
giác còn hai điểm kia nằm trên phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Điều kiện
cần và đủ để AA , BB , CC đồng quy hoặc song song với nhau là ta có hệ thức
AB CA BC
·
·
= 1.
BC AB CA
(1.4)
13
Hình 1.9: Định lý Ceva
Định lý 1.1.28 (Định lý Menelaus, [1]). Cho tam giác ABC và ba điểm
A , B , C trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB sao cho hoặc cả
ba điểm A , B , C đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh, hoặc một trong ba
điểm đó nằm trên phần kéo dài của một cạnh còn hai điểm kia nằm trên hai
cạnh của tam giác. Điều kiện cần và đủ để A , B , C thẳng hàng là ta có hệ
thức
AB CA BC
·
·
= 1.
(1.5)
BC AB CA
Hình 1.10: Định lý Menelaus
Định lý 1.1.29 (Định lý Pascal, [11]). Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F không
kể đến, thứ tự cùng thuộc một đường tròn. Xét đường gấp khúc khép kín
AB, BC, CD, DE, EF, F A. Gọi H, K, I lần lượt là giao điểm của các cặp đường
thẳng AB và ED, BC và EF, AF và CD. Khi đó H, K, I thẳng hàng.
Định lý 1.1.30 (Định lý Ptoleme, [11]). Nếu A, B, C và D là bốn đỉnh của tứ
giác nội tiếp đường tròn thì
AC · BD = AB · CD + BC · AD.
14
Định lý 1.1.31 (Đường thẳng Simson, [11]). Cho tam giác ABC nội tiếp trong
đường tròn tâm O. Giả sử S là một điểm nằm trên (O) sao cho S không trùng
với ba đỉnh của tam giác. Khi đó hình chiều vuông góc A0 , B0 , C0 của S lần
lượt trên BC, CA, AB cùng nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng này được
gọi là đường thẳng Simson của S đối với tam giác ABC.
Định lý 1.1.32 (Định lý Desargues, [11]). Trong mặt phẳng, cho hai tam giác
ABC và A B C . Đặt A1 = BC ∩ B C , B1 = CA ∩ C A và C1 = AB ∩ A B .
Các đường thẳng AA , BB , CC đồng qui khi và chỉ khi A1 , B1 , C1 thẳng hàng.
Định lý 1.1.33 (Định lý Braichon, [11]). Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp
đường tròn. Khi đó các đường chéo AD, BE, CF đồng quy.
1.2
Tứ giác điều hòa
1.2.1
Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1 ([3]). Tứ giác ABCD nội tiếp và thỏa mãn
CB
AB
=
AD
CD
được gọi là tứ giác điều hòa.
Định lý 1.2.2 ([4]). Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn.
M A và M B là tiếp tuyến vẽ từ M đến (O). Một cát tuyến qua M cắt (O) tại
P và Q. Khi đó AP BQ là tứ giác điều hòa (Hình 1.11).
Hình 1.11: AP BQ là tứ giác điều hòa.
Chứng minh. Ta có QAM ∼ AP M vì ta có AM 2 = P M · M Q (theo định
nghĩa phương tích của đường tròn). Do đó, ta có
AQ
AM
=
.
AP
MP
(1.6)
15
Tương tự, ta có
QBM ∼
BP M vì ta có BM 2 = P M · M Q. Do đó, ta có
BQ BM
=
.
BP
MP
(1.7)
Vì M A và M B là tiếp tuyến kẻ từ M đến (O) nên ta có M A = M B. Do đó,
từ (1.6) và (1.7) ta có
AM
BM
BQ
AQ
=
=
=
.
AP
MP
MP
BP
Do đó, theo định nghĩa ta có AP BQ là tứ giác điều hòa.
Nhận xét 1.2.3. Định lý trên cho ta cách dựng tứ giác điều hòa một cách
dễ dàng. Để dựng một tứ giác điều hòa, ta vẽ một đường tròn, lấy một điểm
bên ngoài đường tròn. Từ điểm này xác định hai tiếp điểm với đường tròn và
vẽ một cát tuyến cắt đường tròn tại hai điểm. Khi đó bốn điểm thu được tạo
thành một tứ giác điều hòa. Ta cũng có điều ngược lại, tức là nếu AP BQ là tứ
giác điều hòa thì tiếp tuyến tại A, tiếp tuyến tại B và P Q đồng quy tại một
điểm. Ta sẽ chứng minh định lý đảo này ở phần sau.
1.2.2
Một số tính chất
Tính chất 1.2.4 ([3]). Cho tứ giác điều hòa BDF C nội tiếp đường tròn tâm
O (BF khác đường kính). Gọi G là giao điểm của hai đường chéo. Tiếp tuyến
tại B và F của (O) giao nhau tại E. Khi đó E, G, D, C là hàng điểm điều hòa.
Hình 1.12: E, G, D, C là hàng điểm điều hòa.
Chứng minh. Theo giả thiết BDF C là tứ giác điều hòa ta có E, G, D, C thẳng
hàng. Vì BGD đồng dạng với CGF nên ta có
CG : BG = CF : BD.
16
Tương tự, vì
BGC đồng dạng với
DGF nên ta có
BG : DG = BC : DF.
Chia hai hệ thức cho nhau ta được
CG
CG BG
CF BC
CF BC
=
·
=
·
=
·
.
DG BG DG BD DF
DF BD
Mặt khác,
BED đồng dạng với
CEB nên ta có
BC : BD = CE : BE.
Do
CF E đồng dạng với
(1.8)
(1.9)
F DE nên ta có
CF : DF = EF : DE.
(1.10)
Từ (1.8), (1.9) và (1.10) và chú ý rằng BE = EF , ta có
EF CE
CE
CG
=
·
=
,
DG DE BE
DE
hay
DE
CE
=
.
CG
DG
Vậy E, G, D, C là hàng điểm điều hòa.
Nhận xét 1.2.5. Từ tính chất trên ta thấy BE, BG, BD, BC là chùm điều
hòa, trong đó BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác điều hòa
BDF C, G là giao điểm của hai đường chéo.
Tính chất 1.2.6 ([3]). Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O), gọi M là
giao của hai tiếp tuyến của (O) tại B và D. Gọi I là giao điểm của OM và
BD. Khi đó IB là phân giác của góc AIC.
Chứng minh. Ta có AC cắt BD tại K thì (M, K, A, C) = −1. Ta có IM, IK,
IA, IC là chùm điều hòa và IM vuông góc IK nên IM, IK lần lượt là phân
giác trong và phân giác ngoài của góc ∠AKC.
Tính chất 1.2.7 ([3]). Cho ABCD là tứ giác điều hòa thì AC · BD = 2AB ·
CD = 2BC · AD.
Chứng minh. Tứ giác ABCD là điều hòa nên ta có
AB
CB
=
⇒ AB · CD = AD · CB.
AD
CD
17
Mặt khác, do ABCD nội tiếp nên theo định lý Ptoleme, ta có
AC · BD = AB · CD + AD · BC.
Do đó AC · BD = 2AB · CD = 2BC · AD.
Mệnh đề 1.2.8 ([9]). Trong tứ giác điều hòa, các đường chéo là đường đối
trung của tam giác xác định bởi các cạnh liên tiếp của tứ giác cùng với đường
chéo của nó.
Hình 1.13: BK là đường đối trung của tam giác ABC
Chứng minh. Xét tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa và K là giao điểm của hai
đường chéo (Hình 1.13). Từ tính đồng dạng của tam giác ABK và DCK, ta
có
AB
AK
BK
=
=
.
(1.11)
DC
DK
CK
Từ tính đồng dạng của tam giác BCK và ADK, ta có
BC
CK
BK
=
=
.
AD
DK
AK
(1.12)
Lấy (1.11) chia vế với vế cho (1.12), ta thu được
AB AD
AK
·
=
.
BC DC
CK
(1.13)
Do ABCD là tứ giác điều hòa nên ta có
AB
AD
=
.
BC
DC
(1.14)
18
Thay (1.14) vào (1.13) ta có
AB
BC
2
=
AK
.
CK
Suy ra BK là đường đối trung của tam giác ABC. Tương tự, ta cũng chứng
minh được AK là đường đối trung của tam giác ABD, CK là đường đối trung
của tam giác BCD và DK là đường đối trung của tam giác ADC.
Mệnh đề 1.2.9 ([9]). Nếu trong một tứ giác nội tiếp, đường chéo là đường đối
trung của tam giác tạo bởi đường chéo còn lại và hai cạnh liên tiếp thì tứ giác
là tứ giác điều hòa.
Chứng minh. Xét tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và K là giao điểm của hai
đường chéo (Hình 1.13). Do BK là đường đối trung của tam giác ABC, ta có
AK
AB 2
=
.
KC
BC 2
(1.15)
Từ tính đồng dạng của tam giác ABK và DCK, ta có
AK
BK
AB
=
=
.
DC
DK
CK
(1.16)
Từ tính đồng dạng của tam giác BCK và ADK, ta có
CK
BK
BC
=
=
.
AD
DK
AK
(1.17)
Lấy (1.16) chia vế với vế cho (1.17), ta thu được
AB AD
AK
·
=
.
BC DC
CK
(1.18)
Kết hợp (1.15) và (1.18) ta được
AB AD
AB 2
=
·
BC 2
BC DC
hay
AB
AD
=
.
BC
DC
Vậy ABCD là tứ giác điều hòa.
Nhận xét 1.2.10. Từ Mệnh đề 1.2.8 và Mệnh đề 1.2.9, ta có thu được một
cách để dựng tứ giác điều hòa. Trong một hình tròn, cho ABC là tam giác nội
tiếp; ta xây dựng đường đối trung AK, ký hiệu D là giao của AK với đường
tròn. Khi đó, ABCD là tứ giác điều hòa.
19
Mệnh đề 1.2.11 ([9]). Trong tứ giác điều hòa, giao điểm của hai đường chéo
có khoảng cách đến hai cạnh của tứ giác tỉ lệ với độ dài hai cạnh đó.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.2.9, giao điểm của hai đường chéo nằm trên
đường đối trung. Áp dụng Mệnh đề 1.1.21 ta có khoảng cách từ giao điểm đến
hai cạnh của tứ giác tỉ lệ với độ dài hai cạnh đó.
Mệnh đề 1.2.12 ([9]). Giao điểm của hai đường chéo trong tứ giác điều hòa
cực tiểu tổng bình phương khoảng cách từ một điểm trong tứ giác đến các cạnh.
Hình 1.14: ABCD là tứ giác điều hòa
Chứng minh. Xét tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa và M là điểm bất kỳ bên
trong tứ giác. Ký hiệu x, y, z, u lần lượt là khoảng cách từ M tới các cạnh
AB, BC, CD, DA. Gọi a, b, c, d lần lượt là độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA
(Hình 1.14). Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD. Ta có
ax + by + cz + du = 2S.
Điều này đúng với mọi x, y, z, u và a, b, c, d là số thực.
Theo bất đẳng thức Cauchy - Buniakowski - Schwarz, ta được
(a2 + b2 + c2 + d2 )(x2 + y 2 + z 2 + u2 ) ≥ (ax + by + cz + du)2 ,
hay
4S 2
.
a2 + b2 + c2 + d2
Ta chú ý rằng giá trị cực tiểu của x2 + y 2 + z 2 + u2 là
x2 + y 2 + z 2 + u2 ≥
4S 2
= const.
a2 + b2 + c2 + d2
