Đề & Lời giải đầy đủ Thi vào lớp 10, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2009 - 2010

Giáo viên: Lơng Ngọc Thông Đơn vị: trờng thcs ng lộc - hậu lộc-t.hóa
sở giáo dục và đào tạo
thanh hóa
kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
năm học 2009 2010
Môn thi: Toán
Ngày thi: 30 tháng 6 năm 2009
Thời gian làm bài: 120 phút.
Bài 1 (1,5 điểm)
Cho phơng trình: x
2
- 4x + p = 0 (1) với p là tham số.
1. Giải phơng trình (1) khi p = 3.
2. Tìm p để phơng trình (1) có nghiệm.
Bài 2 (1,5 điểm)
Giải hệ phơng trình:
x + 2y = 5
2x + y = 4



Bài 3 (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x
2
và điểm C(0; 1).
1. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm C(0; 1) và có hệ số góc k.
2. Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A
và B với mọi k..
3. Gọi hoành độ của hai điểm A và B lần lợt là x
1
và x

2
. Chứng minh rằng: x
1
.x
2
=
- 1, từ đó suy ra tam giác AOB là tam giác vuông.
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm H
(khác với điểm A). Từ các điểm H, A và B kẻ các tiếp tuyến với nửa đờng tròn
(O). Tiếp tuyến kẻ từ điểm H cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B lần lợt tại C và
D.
1. Gọi P là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm H tới nửa đờng tròn (O). Chứng
minh tứ giác ACPO nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
2. Chứng minh tam giác AHC đồng dạng với tam giác BHD, từ đó suy ra
DP CP
=
DH CH
.
3. Đặt
ã
AOC
= . Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và . Chứng tỏ
rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc vào R, không phụ thuộc vào .
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: b
2
+ bc + c
2
= 1 -

2
3a
2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = a + b + c .
Hết
Họ và tên thí sinh:........................................................Số báo danh:................. .
Chữ ký của giám thị số 1: Chữ ký của giám thị số 2:
Đề thi và Lời giải: Thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa - môn Toán
Trang 1
Đề chính thức
đề c
Giáo viên: Lơng Ngọc Thông Đơn vị: trờng thcs ng lộc - hậu lộc-t.hóa
Đề xuất lời giải
Bài 1 (1,5 điểm)
Từ phơng trình: x
2
- 4x + p = 0 (1) với p là tham số.
Tính : = 2
2
p = 4 - p (*)
1. Khi p = 3, ta có phơng trình : x
2
- 4x + 3 = 0 (2)
Giải phơng trình (2) :
(2) có dạng : a + b + c = 1 + (- 4) + 3 = 0
Do đó phơng trình (2) có 2 nghiệm: x
1
= 1; x
2
=

3
= 3
1
2. Phơng trình (1) có nghiệm, khi và chỉ khi: 0 4 p 0 p 4
Bài 2 (1,5 điểm) Từ hệ phơng trình:
x + 2y = 5
2x + y = 4



, ta có:

x + 2(4 - 2x) = 5
y = 4 - 2x




x - 4x = 5 - 8
y = 4 - 2x




- 3x = - 3
y = 4 - 2x

x = 1
y = 4 - 2.1 = 2



Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x = 1; y = 2)
Bài 3 (2,5 điểm)
1. Phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm C(0; 1) và có hệ số góc k, có dạng:
y = kx + b
thay x = 0, y = 1 vào, ta đợc: b = 1
khi đó ta đợc hàm số cần viết là: y = kx + 1.
2. Phơng trình hoành độ điểm chung của đờng thẳng (d): y = kx + 1 và parabol
(P): y = x
2
là :
x
2
= kx + 1
x
2
- kx - 1 = 0 (**)
Tính : = k
2
+ 4 4 > 0, k
Suy ra : (**) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Gọi hai giao điểm của đờng thẳng (d): y = kx + 1 và parabol (P): y = x
2
là A và B,
ta luôn đợc : đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B với
mọi k.

3. Gọi hoành độ của hai điểm A và B lần lợt là x
1
và x
2
, áp dụng hệ thức Vi-et cho
phơng trình (**), ta có đợc:
x
1
.x
2
=
c - 1
= = - 1
a 1
(đpcm)
Gọi tung độ của 2 giao điểm A, B là y
1
, y
2

Ta có : y
1
= x
1
2
, y
2
= x
2
2

Gọi hình chiếu vuông góc của điểm A lên
các trục Ox, Oy lần lợt là M, P.
Gọi hình chiếu vuông góc của điểm B lên các
trục Ox, Oy và đoạn AM lần lợt là N, Q và
H.
Xét tam giác vuông OAM, ta đợc:
OA
2
= OM
2
+ AM
2
(định lý Pitago)
OA
2
=
2 2
1 1
x + y
=
2 4
1 1
x + x
Xét tam giác vuông OBN, ta đợc: OB
2
= ON
2
+ BN
2

(định lý Pitago)
Đề thi và Lời giải: Thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa - môn Toán
Trang 2
y
2
x
2
Q
B
1
A
y
1
H
y
P
x
2
y = x
2
y = kx + 1
O
x
x
1
N
M
Giáo viên: Lơng Ngọc Thông Đơn vị: trờng thcs ng lộc - hậu lộc-t.hóa
OB
2

=
2 2
2 2
x + y
=
2 4
2 2
x + x
OA
2
+ OB
2
=
2 4
1 1
x + x
+
2 4
2 2
x + x
(a)
Xét tam giác vuông ABH, ta đợc: AB
2
= AH
2
+ BH
2
(định lý Pitago)
AB
2

=
( )
( )
2
2
1 2 1 2
y - y + x + x
=
( )
2
2 2 2 2
1 2 1 1 2 2
x - x + x + 2 x .x + x
AB
2
=
( )
2
4 4 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
x - 2 x .x + x + x + 2 x .x + x
Vì : x
1
.x
2
= - 1, nên suy ra:
AB
2
=
( )

2
4 4 2 2
1 2 1 2
x - 2. 1 + x + x + 2. 1 + x

=
4 4 2 2
1 2 1 2
x + x + x + x
(b)
Kết hợp (a) và (b), ta suy ra: AB
2
= OA
2
+ OB
2
Suy ra tam giác AOB là tam giác vuông tại O (định lý Pitago đảo).
Bài 4 (3,5 điểm)

c
d
p
x
b
h a
r
r o
GT
Nửa (O; R); AB = 2R
H tia đối tia AB

Ax AB = A
By AB = B
HP OP = P
HP Ax = C
HP Ay = D
ã
AOC
=
KL
1. ACPO nội tiếp.
2.

AHC
:

BHD

DP CP
=
DH CH
3. AC? BD?(theoR,)
AC.BD phụ thuộcR
1. Do CA là tiếp tuyến của nửa đờng tròn (O) nên:
ã
CAO
= 90
0
Do HD là tiếp tuyến của nửa đờng tròn (O) nên:
ã
CPO

= 90
0
ã
ã
0
CPO + CAO = 180

Suy ra : tứ giác ACPO nội tiếp (có tổng sđ hai góc đối bằng 180
0
)
2. Xét tam giác AHC và tam giác BHD có :

à
à
0
A = B = 90
;
ã
AHC
chung



AHC
:

BHD (g.g)

DB CA
=

DH CH

(theo Ta-let)
Mà : DB = DP; CA = CP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

DP CP
=
DH CH

(đpcm).
3. * Tính AC theo R và :
Xét tam giác OAC vuông tại A có:
AC
= tg AC = R.tg
R


* Tính BD theo R và :
Đề thi và Lời giải: Thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa - môn Toán
Trang 3
Giáo viên: Lơng Ngọc Thông Đơn vị: trờng thcs ng lộc - hậu lộc-t.hóa
Xét tam giác OBD vuông tại B có:
ã ã
BOD BOD
BD
= tg BD = R.tg
R

Mà, ta có : OC và OD là hai tia phân giác của hai góc kề bù AOP và BOP
(theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

OC OD, hay :
ã
0
COD = 90

ã ã
0 0 0 0
BOD = 180 - (COD + ) = 180 - (90 + ) = 90 -

ã
BOD
tg
= tg(90
0
- ) = cotg =
1
tg
R
BD =
tg

* Xét tích AC.BD : AC.BD = R.tg.
R
tg
= R
2
Điều đó chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc vào R, không phụ thuộc
vào .
Bài 5 (1,0 điểm)
* Cách 1:

Ta có: b
2
+ bc + c
2
= 1 -
2
3a
2

2 2 2
2(b + 2bc + c ) + 3a = 2

2 2 2 2 2 2 2
a + b + c + (a + b ) + (a + c ) + 2bc = 2

Mặt khác, ta có:
2 2
a + b 2ab, a, b

R
;
2 2
a + c 2ac, a, c R
; dấu =
xảy ra khi : a = b = c
Do đó:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a + b + c + (a + b ) + (a + c ) + 2bc a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc

Hay :

( )
2
2
a + b + c 2 2 - 2 2

C C
Vậy biểu thức: C = a + b + c, đạt giá trị lớn nhất:
C
max
=
2


a = b = c =
3
max
C
=
2
3
và đạt giá trị nhỏ nhất: C
min
= -
2


a = b = c =
3
min
C

=
2
3

* Cách 2: Ta có: b
2
+ bc + c
2
= 1 -
2
3a
2

(a + b + c)
2
+ (a - c)
2
+ (b - c)
2
= 2

2 - (a + b + c)
2
= (a - c)
2
+ (b - c)
2


0, a, b, c R

( )
2
2
a + b + c 2 2 - 2 2

C C
, a, b, c R
Dấu = xảy ra khi : a = b = c.
Vậy biểu thức: C = a + b + c, đạt giá trị lớn nhất:
C
max
=
2


a = b = c =
3
max
C
=
2
3
và đạt giá trị nhỏ nhất: C
min
= -
2


a = b = c =
3

min
C
=
2
3

Đề thi và Lời giải: Thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa - môn Toán
Trang 4