HSG Tỉnh Nghệ An 07-08 bảng B

Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007-2008
Môn thi: toán lớp 9 - bảng B
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5,0 điểm)
a. Tìm các số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng: số đó là số chẵn, chia hết cho 11 và
tổng các chữ số của số đó cũng chia hết cho 11.
b. Chứng tỏ rằng:
3 3
7 50 7 50 + +
là số tự nhiên.
Bài 2: (3,0 điểm) Giải phơng trình:
2 2
4x 5x 1 3 2 x x 1 9x+ + + = + +
Bài 3: (3,0 điểm) Cho a, b là các số thực không âm thoả mãn: a
2
+ b
2
= 1.
Chứng minh : 1 a + b
2
Bài 4: (3,0 điểm) Cho 3 số thực x, y, z thoả mãn xyz = 1.
Chứng minh rằng: Nếu x + y + z >
1 1 1
x y z
+ +

thì trong ba số x, y, z có duy nhất một số lớn hơn 1.
Bài 5: (6,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và dây cung CD (C, D không
trùng với A, B). Gọi M là giao điểm các tiếp tuyến của đờng tròn tại C, D; N
là giao điểm các dây cung AC, BD. Đờng thẳng qua N vuông góc với NO cắt

AD, BC lần lợt tại E, F. Chứng minh:
a. MN vuông góc với AB.
b. NE = NF.
---------Hết---------
Họ và tên:...........................................................................Số báo danh:.........................
Đề chính thức
Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007-2008
Hớng dẫn chấm và biểu điểm đề chính thức
Môn: toán lớp 9 - bảng B
Nội dung Điểm
Bài 1 5,0
a,
2.5
Gọi số cần tìm là
abc
(a, b, c N; a, b, c 9, a 0) (1)
Theo bài ra ta có:
+ +


+ +



M
M
100a 10b c 11 (2)
a b c 11 (3)
c chẵn (4)

0.5
Từ (2) , (3) 101a + 11b + 2c
M
11 2(a + c)
M
11
mà 1 a+ c 18 và (2; 11) = 1 a + c = 11 (5)
0.5
Từ (3) , (5) b = 0
0.5
do c chẵn và a + c = 11 (a; c) = (9; 2), (7;4), (5; 6), (3; 8)
0.5
Vậy các số cần tìm là 902; 704; 506; 308 0.5
b
2.5
Đặt X =
3 3
7 50 7 50 + +
X
3
= 14 3X 0.5
X
3
+ 3X 14 = 0 (X-2)(X
2
+ 2X + 7) = 0
0.5
Do: X
2
+ 2X + 7 >0 0.5

X-2 = 0 X=2
0.5
Nên:
3 3
7 50 7 50 + +
=2 hay
3 3
7 50 7 50 + +
là số tự nhiên 0.5
Bài 2:
3.0
Điều kiện xác định: {x -1 hoặc
1
x
4

}
Đặt
2
2
4x 5x 1 a, (a 0)
2 x x 1 b, (b 0)

+ + =

+ =


2 2
2 2

4x 5x 1 a
4x 4x 4 b
+ + =


+ =

0.5
a
2
b
2
= a - b (a-b)(a+b-1) =0
0.5
Do b =
2
4x 4x 4 +
b
3

0.5
a + b 1 > 0 a b =0
0,5
Từ a b =0 9x 3 = 0
1
x
3
=

0.5

Với
1
x
3
=
thoả mãn bài ra, nên nghiệm phơng trình là:
1
x
3
=
0.5
Bài 3
3.0
Với x, y là 2 số bất kỳ ta luôn có (x + y)
2
2(x
2
+ y
2
)
0.5
Nên a, b 0 và a
2
+ b
2
=1 (a+b)
2
2
0.5
a+b

2
(dấu = khi a=b=
1
2
)
0.5
Mặt khác (a+b)
2
= a
2
+ b
2
+2ab = 1+ 2ab (a + b)
2
1
0.5
Mà a, b 0 a+ b 1 (dấu = xẩy ra khi (a, b) = (1,0) hoặc (0,1))
0.5
Vậy ta luôn có 1 a+b
2
0.5
Bài 4
3.0
Xét tích
(x 1) (y - 1)(z 1) = xyz xy yz zx + x + y + z 1
= x + y + z -
1 1 1
x y z

0.5

mà x + y + z >
1 1 1
x y z
+ +
(x 1)(y 1)(z 1) >0
0.5
nếu cả 3 thừa số (x 1), (y 1), (z 1) đều dơng xyz > 1 (loại)
0.5
nếu cả 3 thừa số (x 1), (y 1), (z 1) đều âm (x 1)(y 1)(z
1)<0
Nếu 2 thừa số dơng, 1 thừa số âm (x 1)(y 1)(z 1)<0 (loại)
0.5
Nên phải có 2 thừa số âm, 1 thừa số dơng trong 3 số x, y, z có hai số bé
hơn 1. Còn một số lớn hơn 1.
0.5
Vậy trong 3 số x, y, z luôn có duy nhất một số lớn hơn 1.
0.5
Bài 5 6.0
0.5
a
Gọi P là giao điểm của AD và BC N là trực tâm của tam giác PAB PN AB
0.5
Gọi giao điểm của tiếp tuyến tại D với PN là M . Do góc PDM = góc ABD (1/2 số đo
cung AD)
ã
ã
PDM' DPM'=

0.5
Tam giác MPD cân tại M

0.5
MP = MD M là trung điểm đoạn PN
0.5
Tơng tự tiếp tuyến tại C cũng cắt PN tại M
0.5
Do đó M trùng M MN AB
0.5
Q
P
C
M
B
O
N
E
H
D
A
F
b.
Trên tia đối của tia DB lấy điểm Q sao cho DQ=DB QA//NO
0.5
QA NE A là trực tâm tam giác QEN
0.5
NA QE (tại H)
0.5
HNQ = CNB NH = NC
0.5
HNE = CNF NE=NF
0.5

Chú ý:
- Tổng điểm toàn bài là: 20,0 điểm.
- Các cách giải khác cũng đợc cho điểm tơng đơng
- Bài 5 không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm.