Tuyen sinh 10 Amsterdam. Ha Noi

Sở giáo dục và đào tạo
hà nội
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên THPT
Năm học `2008 -2009
Môn Toán Ngày thi 19/6/2008 Thời gian 150 phút
Bài 1 : (2 điểm)Cho hệ phơng trình
( )
( )





+=++
+=++
12008619
12008619
xmxy
ymyx
1) Giải hệ phơng trình khi m = 2008.
2) Chứmh minh hệ phơng trình đã cho có không quá một nghiệm khi m 2008.
Bài 2 : (2 điểm)
Với mỗi số tự nhiên n đặt a
n
= 3n
2
+ 6n + 13.
1) Chứng minh : Nếu hai số a
i
, a
k

không chia hết cho 5 và chia cho 5 có số d
khác nhau thì a
i
+ a
k
chia hết cho 5.
2) Tìm số tự nhiên n lẻ để a
n
là số chính phơng.
Bài 3 : (2 điểm)
Cho a là số thay đổi thoả mãn -1 a 1, tìm giá trị lớn nhất của b sao cho bất
đẳng thức sau luôn đúng:
( )
(
)
0411112
224
+++
baaba
Bài 4 : (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ hai đ ờng tròn (O
1
) và (O
2
) lần lợt có đờng kính
AB và AC, gọi H là giao điểm thứ hai của (O
1
) và (O
2
). Đờng thẳng d thay đổi đi

qua A cắt đờng tròn (O
1
) và (O
2
) lần lợt tại D, E sao cho A nằm giữa D và E.
1) Chứng minh đờng trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định
khi đờng thẳng d thay đổi.
2) Xác định vị trí của đờng thẳng d để diện tích tứ giác BDEC đạt giá trị lớn
nhất,tính giá trị lớn nhất đó theo b và c, với b = AC, c = AB.
3) Đờng thẳng đi qua trung điểm của đoạn DE và vuông góc với BC cắt BC tại
K. Chứng minh KB
2
= BD
2
+ KH
2
Bài 5 : (1 điểm)
Su tầm:
Nguyễn Đức Trờng- THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội
Cho A là tập hợp gồm 6 phần tử bất kì của tập hợp {0; 1; 2; ....; 14}. Chứng minh
tồn tại hai tập hợp con B
1
và B
2
của tập hợp A ( B
1
, B
2
khác nhau và khác rỗng) sao
cho tổng tất cả các phần tử của tập hợp B

1
bằng tổng tất cả các phần tử của tập hợp
B
2
.
Sở giáo dục và đào tạo
hà nội
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên THPT
Năm học `2008 -2009
Môn Toán Ngày thi 25/6/2009 Thời gian 150 phút
Bài 1 : (3 điểm)
1. Tìm các số nguyên dơng n để có giá trị là số nguyên d-
ơng.
2. Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn đẳng thức : x
2
+ y(y
2
+ y 3x) = 0.
Bài 2 : (2 điểm)
Giải hệ phơng trình (x, y, z là ẩn):
Bài 3 : (3 điểm)
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đ ờng tròn (O). Gọi BD và CE là hai đờng cao
của ABC.
1. Chứng minh AD.AC = AE.AB.
2. Tia AO cắt BC tại A
1
và cắt cung nhỏ BC tại A
2
. Tia BO cắt AC tại B
1

và cắt
cung nhỏ AC tại B
2
. Tia CO cắt AB tại C
1
và cắt cung nhỏ AB tại C
2
.
Chứng minh .
3. Từ A vẽ tia Ax vuông góc với DE. Cho cạnh BC cố định, đỉnh A di động trên
cung lớn BC sao cho ABC có ba góc nhọn. Chứng minh tia Ax luôn đi qua
một điểm cố định.
Bài 4 : (1 điểm)
Cho đa thức P(x) = x
4
+ a x
3
+ b x
2
+ c x + d ( a, b, c, d là các hằng số). Biết rằng :
P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30. Tính giá trị của biểu thức :
Su tầm:
Nguyễn Đức Trờng- THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội
( )
5
488
2
+

=

n
n
A
( )
( )
( )





=+
=+
=+
22
22
22
21
21
21
zxz
yzy
xyx
1
1
21
1
21
1
21

=++
CC
CC
BB
BB
AA
AA
25
10
)8()12(
+
+
PP
Bài 5 : (1 điểm)
Chứng minh rằng : Nếu ba điểm A, B, C không có điểm nào nằm bên ngoài đ ờng
tròn (O) sao cho ABC có ba góc nhọn thì chu vi của đ ờng tròn ngoại tiếp ABC
không lớn hơn chu vi của đ ờng tròn (O).
Su tầm:
Nguyễn Đức Trờng- THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội