Gợi ý giải đề thi ĐH khối A năm 2009

GI í GII TON KHI A NM 2009
GV: Phm Quc Khỏnh
Trng THPT Lờ Quý ụn - Thỏi Bỡnh
Cõu 1:
Cho hm s:
2
2 3
x
y
x
+
=
+
1. Kho sỏt v v th
2. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s bit tip tuyn ny ct trc hong
v trc tung ti hai im AB sao cho tam giỏc OAB cõn.
HD:
1. T gii
2. Ta cú
2
1
'
(2 3)
y
x
-
=
+
Gi s im
( ; )M a b
l im nm trờn th hm s

2
2 3
a
b
a
+
ị =
+
Vy phng trỡnh tip tuyn ti M l d cú phng trỡnh:
2
1 2
( )
(2 3) 2 3
a
y x a
a a
+
=- - +
+ +
*
0A d x= ầ
. Vy to A tho món h:
2
2
1 2
( )
2 8 6
(2 3) 2 3
0
0

a
y x a
x a a
a a
y
y
ỡ
+
ù
ù
ỡ
=- - +
ù
= + +
ù
ù ù
+ +

ớ ớ
ù ù
=
ù ù
ợ
=
ù
ù
ợ
2
(2 8 6;0)A a aị + +

2
2 8 6OA a aị = + +
*
0B d y= ầ
. Vy to B tho món h:
( )
2
2
2
2 8 6
1 2
( )
(2 3) 2 3
2 3
0
0
a a
a
y
y x a
a a
a
x
x
ỡ
ỡ ù
+ +
+
ù
ù

ù
=
=- - +
ù
ù
ù ù
+ +

+
ớ ớ
ù ù
ù ù
=
ù ù
=
ù
ợ
ù
ợ
( )
2
2
2 8 6
0;
2 3
a a
B
a
ổ ử
+ +

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ị
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
+
ố ứ

2
2
2 8 6
(2 3)
a a
OB
a
+ +
ị =
+
Vỡ tam giỏc OAB cõn ti O nờn OA=OB
2
2 2
2
2 8 6
2 8 6 (2 3) 1

(2 3)
1
2
a a
a a a
a
a
a
+ +
+ + = + =
+
ộ
=-
ờ

ờ
=-
ở
Vi a=-1 ta cú OA=OB=0 (loi)
Vi a=-2 ta cú OA=OB=2 (t/m)
Vy a=-2.
Cõu 2: Gii cỏc phng trỡnh:
1.
(1 2sinx).cosx
3
(1 2sinx)(1-sinx)
-
=
+
2.

3
2 3 2 3 6 5 8 0x x- + - - =
Gii:
1. iu kin:
2
6
1
sinx -
7
2
2
6
sinx 1
2
2
x k
x k
x k
ỡ
p
ù
ù
ạ - + p
ù
ù
ù
ỡ
ù
ù
ù

ạ
p
ù
ù ù
ạ + p
ớ ớ
ù ù
ù ù
ạ
ù ù
ợ
ù
p
ù
ạ + p
ù
ù
ù
ợ
2
osx-sin2x= 3 3sinx-2 3sin
osx- 3sinx=sin2x+ 3 3(1 os2x)
cosx- 3sinx=sin2x+ 3 os2x
cos x+ os 2x-
3 6
2 2
2
6 3
2
( )

2
2 2
18 3
6 3
c x
c c
c
c
x x k
x k
k Z
x k
x x k
+
- -

ổ ử ổ ử
p p
ữ ữ
ỗ ỗ
=
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ộ
ộ
p p
p

- = + + pờ
ờ = + p
ờ
ờ
ẻ
ờ
ờ
p p
p p
ờ
ờ
=- +
- =- - + p
ờ
ờ
ởở
2. K:
6
5
x Ê
t:
3
3
2
15 10 5
3 2
18 15 3
6 5
0
x a

a x
x b
b x
b
ỡ
ù
- =
ù
ỡ
ù
ù
= -
ù
ù
ị - =
ớ ớ
ù ù
= -
ù ù
ợ

ù
ù
ợ
Vy ta cú h phng trỡnh:
3 2
2 3 8
5 3 8
a b
a b

ỡ
+ =
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ợ
3 2 3 2
2
8 2 8 2
3 3
5 3 8 15 4 32 40 0
8 2
3
( 2)(15 26 20) 0(1)
a a
b b
a b a a a
a
b
a a a
ỡ ỡ
- -
ù ù
ù ù
= =
ù ù

ớ ớ
ù ù
ù ù
+ = + - + =
ù ù
ợ ợ
ỡ
-
ù
ù
=
ù

ớ
ù
ù
+ - + =
ù
ợ
Xột
2
15 26 20 0a a- + =
cú
2
' 13 15.20 131 0D = - =- <
2
15 26 20 0a aị - + =
vụ nghim
Vậy
8 2

2
( / )
3
4
2
a
a
b
t m
b
a
ì
-
ï
ì
ï
=-
=
ï
ï ï
Û Û
í í
ï ï
=
ï
î
ï
=-
ï
î

Vậy ta có:
6 5 4 6 5 16 2x x x- = Û - = Û =-
Vậy phương trình có nghiệm x=-2
Câu 3: Tính
2
3 2
0
( os 1) osI c x c xdx
p
= -
ò
Ta có
2 2 2
3 2 5 2
0 0 0
(cos 1)cos cos cosI x xdx xdx xdx
p p p
= - = -
ò ò ò
2 2
2 2
0 0
2 2
2 4
0 0
2 2
3 5
0 0
1 cos2x
(1-sin x) cos

2
1
(1-2sin x+sin x) (sin ) (1 cos2x)
2
2 1 1 1
sinx- sin sin sin 2
3 5 2 2
2 1 1 8
1
3 5 2 2 15 4
xdx dx
d x dx
x x x x
p p
p p
p p
+
= -
= - +
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= + - +
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
æö
p p

÷
ç
= - + - = -
÷
ç
÷
ç
è ø
ò ò
ò ò
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D.
AB=AD=2a, CD=a. Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. I là trung
điểm AD. Biết (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích S.,ABCD
theo a.
K
I
A
B
D
C
S
H
Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SBI ABCD
SCI ABCD SI ABCD

SBI SCI SI
ì
^
ï
ï
ï
ï
^ Þ ^
í
ï
ï
Ç =
ï
ï
î
Ta có:
2 2
2 2
2 2
5
5
2
BC a
IB a
IC a
ì
ï
=
ï
ï

ï
=
í
ï
ï
ï
=
ï
î
·
2 2 2 2
2
8 4
cosIBC
2. . 10 5
IB BC IC a
IB BC a
+ -
Þ = = =
Hạ
IH BC^
·
·
0
16 3 5
sin 5. 1
25 5
60
SH BC
IH IB IBC a a

SHI
ì
^
ï
ï
ï
ï
ï
ï
Þ = = - =
í
ï
ï
ï
ï
=
ï
ï
î
0
3 15
.tan60
5
a
SI HIÞ = =
Và
2
1
( ). 3
2

ABCD
S AB CD AD a= + =
W
3
.
1 3 15
.
3 5
S ABCD ABCD
a
V S SIÞ = =
W
(đvtt)
Câu 5:
Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z dương thoả mãn x(x+y+z)=3yz, ta có:
3 3 3
( ) ( ) 3( )( )( ) 5( )x y x z x y x z y z y z+ + + + + + + £ +
HD:
2
( ) 3 x 4x x y z yz xy xz yz yz+ + = Û + + + =
( ) ( ) 4x x y z x y yzÛ + + + =
E
I
C
D
A
B
M
( )( ) 4x y y z yzÛ + + =
Đặt

u x y
v x z
ì
= +
ï
ï
í
ï
= +
ï
î
. 4u v yz
u v y z
ì
=
ï
ï
Þ
í
ï
- = -
ï
î
Ta có:
3 3 3 3 2 2
( ) ( ) ( )( )x y x z u v u v u uv v+ + + = + = + - +
Áp dụng BDT Bunhiacopsky ta có:
( )
2
2 2

(1 1)( )u v u v+ £ + +
Vậy :
2 2 2 2 2
( )( ) 2( ) ( )u v u uv v u v u v uv
é ù
+ - + £ + - +
ë û

( )
2 2
2
2
2 2
2 ( ) 2 ( )
2 ( ) 8 4
2 ( ) 4 ( )
u v uv u v uv
y z yz y z yz
y z yz y z
é ùé ù
£ - + - +
ë ûë û
é ù
é ù
£ - + - +
ê ú
ë û
ë û
é ù
£ + + +

ë û
Ta có:
2
2 ( )yz y z£ +
(Bất đẳng thức Côsi)
( )
2
2 2 2
( )( ) 4 ( )u v u uv v y z y z+ - + £ + +

3
2( )y z£ +
Vậy
3 3 3
( ) ( ) 2( )x y x z y z+ + + = +
( )
3
2
3( )( )( ) 3.4 ( ) 3.( ) ( ) 3x y x z y z yz y z y z y z y z+ + + = + £ + + = +
Vậy
3 3 3
( ) ( ) 3( )( )( ) 5( )x y x z x y x z y z y z+ + + + + + + £ +
Phần tự chọn:
Câu 6A.
1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2)
là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và
trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆: x+y-5=0. Viết phương trình đường
thẳng AB.
2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 và mặt
cầu (S):

2 2 2
2 4 6 11 0x y z x y z+ + - - - - =
. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt
mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Vì
: 5 0 ( ;5 )E x y E a aÎ D + - = Þ -
Gọi F là điểm đối xứng của E qua I ta có:
2 12
(12 ; 1)
2 1
F I E
F I E
x x x a
F a a
y x x a
ì
= - = -
ï
ï
Þ - -
í
ï
= - = -
ï
î
Vậy ta có:
( 11;6 )
( 6;3 )
FM a a
FI a a

ì
ï
= - -
ï
ï
í
ï
= - -
ï
ï
î
uuur
uur
Ta có:
. 0FM FI FM FI^ Û =
uuur uur