Hàm suy rộng tăng chậm phân rã ở vô tận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGOAN

HÀM SUY RỘNG
TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VÔ TẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGOAN

HÀM SUY RỘNG
TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VÔ TẬN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. BÙI KIÊN CƯỜNG

Hà Nội - 2018

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư
Phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường. Thầy đã
nhiệt tình hướng dẫn và cho tác giả những lời khuyên quý báu trong học
tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ tác giả cố
gắng và vươn lên trong học tập. Tác giả bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính
trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư Phạm
Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy
cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành chương trình cao
học và luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD và ĐT Hà Nội, ban Giám hiệu
trường THPT Đông Anh, tổ Toán trường THPT Đông Anh, Hà Nội. Tác
giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã tạo mọi điều
kiện để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn.
Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về
thời gian thực hiện nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác
giả kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn đồng
nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, tháng 7 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Thị Ngoan


LỜI CAM ĐOAN
Tác giả cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giả
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Bùi Kiên Cường. Luận văn không

trùng lặp với các đề tài khác.
Trong quá trình nghiên cứu tác giả đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 7 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Thị Ngoan


Mục lục
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU

4

BẢNG KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT

6

1 KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM

8

1.1

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm . . . . . . . . . .

8

1.2

Đạo hàm của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3

Tích chập và phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . 15

2 LỚP HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VÔ
TẬN

26

2.1

Các không gian con của các hàm suy rộng ôn hòa . . . . . . 26

2.2

Lớp biểu trưng tổng quát (SG-symbols) và các toán tử . . . 28

2.3

Lớp hàm suy rộng tăng chậm phân rã ở vô tận . . . . . . . 32
2.3.1

Hàm suy rộng giảm nhanh . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.2

Hàm suy rộng s−giảm, s ∈ R . . . . . . . . . . . . . 42

KẾT LUẬN

51

Tài liệu tham khảo

52

3


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong phân tích các phương trình đạo hàm riêng, lớp hàm suy rộng
tăng chậm S (Rd ) và các kỹ thuật cơ bản dựa trên phép biến đổi Fourier
đã được sử dụng rộng rãi. Tuy nhiên, một số bài toán kiểu toàn cục trong
biến không gian, ở đó cần thiết phải biết dáng điệu của nghiệm bài toán
Cauchy khi |x| → ∞, ta cần phải xét các hàm suy rộng được phỏng đoán
là triệt tiêu ở vô cực. Điều này thực ra đã tác động đến một số tác giả,
trong khi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với một số lớp
phương trình vi phân ngẫu nhiên kiểu hypebolic, với (t, x)− phụ thuộc các
hệ số chấp nhận dáng điệu đa thức đối với x khi |x| → ∞.
Trong bài báo [3], các tác giả Alessia Ascanelli, Sandro Coriasco và
André S¨
uß đã nghiên cứu một lớp con của một hàm suy rộng tăng chậm
có tính chất phân rã ở vô tận, đặc trưng của các phần tử thuộc lớp này và
nghiên cứu tính chất của phép biến đổi tích phân Fourier SG đối với các

phần tử thuộc không gian hàm này.
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về lớp không gian hàm suy rộng
tăng chậm phân rã ở vô tận, dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường,
tôi lựa chọn đề tài: "Hàm suy rộng tăng chậm phân rã ở vô tận"
để nghiên cứu và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Với nội dung nghiên cứu này, ngoài phần lời mở đầu, kết luận và tài
liệu tham khảo, luận văn được chia thành 2 chương. Kết quả chính tập
trung trong Chương 2.
Chương 1 trình bày một số khái niệm, định nghĩa và các kết quả cần
thiết về lý thuyết các hàm suy rộng như không gian các hàm suy rộng
4


MỞ ĐẦU

tăng chậm, không gian các hàm giảm nhanh, đạo hàm của hàm suy rộng
và phép biến đổi Fourier.
Chương 2 luận văn trình bày một số định nghĩa cơ bản về các không
gian con DLp (Rd ), p ∈ (1, +∞], không gian các hàm suy rộng ôn hòa và
các lớp SG-biểu trưng, cùng với các phép tính của giả vi phân và các toán
tử tích phân Fourier tương ứng của chúng. Sau đó, luận văn sẽ trình bày
các đặc trưng của S (Rd )∞ và S (Rd )s theo nghĩa của tích chập.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa lớp không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rd ).
Trình bày về một lớp con của không gian các hàm suy rộng tăng chậm
phân rã ở vô tận cùng với tính chất của phép biến đổi tích phân Fourier

SG các lớp hàm đó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Làm một báo cáo tổng quan thể hiện đầy đủ mục đích nghiên cứu, nội

dung và phương pháp nghiên cứu.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Không gian các hàm suy rộng tăng chậm

S (R), không gian các hàm suy rộng tăng chậm phân rã ở vô tận,.... phép
biến đổi tích phân Fourier SG
Đặc trưng của S (Rd )∞ và S (Rd )s theo nghĩa của tích chập và cấu
trúc kết quả.
Phạm vi nghiên cứu : Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước
liên quan đến các đối tượng nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm, phương pháp
nghiên cứu lý thuyết để tiếp cận vấn đề.
Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các tài liệu
trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới.

5


BẢNG KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT

N:

Tập hợp các số tự nhiên.

N∗ :

Tập hợp các số nguyên dương.

|α| :

Bậc của đa chỉ số α,
d

αi , α = (α1 , . . . , αd ) ∈ N∗ .

|α| =
i=1

R:

Tập hợp các số thực.

Rd :

Không gian Euclide d-chiều.

C:

Tập hợp các số phức.

Zd+ :

Zd+ = {z = (z1 , . . . , zd ) | zj ∈ Z+ , j = 1, 2, . . . , d}.

C∞ :

Không gian các hàm khả vi vô hạn.

C0∞ (Ω) :

Tập hợp các hàm khả vi vô hạn giá compact.

C0 (Rn ) :

Không gian các hàm liên tục có giá compact.

D(Ω) :

Không gian các hàm cơ bản.

S (Rd ) :

Không gian các hàm giảm nhanh.

S (Rd ) :

Không gian các hàm tăng chậm.

(f ∗ g)(x) : Tích chập của f và g ,
(f ∗ g)(x) =

Rd

f (y)g(y − x)dy.

f , F(f ) :
Biến đổi Fourier của hàm f .
F −1 (f ), fˇ : Biến đổi Fourier ngược của hàm f .
F, fˆ :

Liên hợp của biến đổi Fourier của hàm f.
X α f (x) :

Toán tử nhân, X α f (x) = xα f (x).

Lp :

Không gian các hàm đo được Lebesgue, có chuẩn Lp hữu hạn,
6


BẢNG KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT

f

Lp (Ω)

p

|f (x)| dx

=

1
p

.

Ω

H t,τ (Rd ) :

Không gian Sobolev-Kato.

Dα f :

Đạo hàm cấp α của f, Dα f = (−1)|α| Dα f.

7


Chương 1
KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY
RỘNG TĂNG CHẬM
Trong chương này, luận văn sẽ trình bày một số khái niệm, định nghĩa
và các kết quả cần thiết về lý thuyết các hàm suy rộng và phép biến đổi
Fourier. Tài liệu tham khảo chính của chương này là [1],[2]và [17]

1.1

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm

Cho N = {1, 2, . . .} là tập hợp các số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, . . .} là
tập hợp các số nguyên không âm, R là tập hợp các số thực, C là tập hợp
√
các số phức. Đơn vị ảo −1 = i.
Trong toàn bộ luận văn, với mọi số tự nhiên d ∈ N, tập Rd là không
gian Euclide d-chiều. Chuẩn Euclide với x = (x1 , x2 , . . . , xd ) ∈ Rd
1/2

d

x2k

x =
k=1

và tích vô hướng
d

xy =

x k yk .
k=1

Ký hiệu tập Zd+ = {z = (z1 , . . . , zd )|zj ∈ Z+ , j = 1, 2, . . . , d}; C là tập
√
hợp các số phức với đơn vị ảo −1 = i.

8


Chương 1. KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM

Với mỗi k ∈ Z+ , và tập mở Ω ⊂ Rd ta ký hiệu

C k (Ω) = {f : Ω −→ C | f là khả vi liên tục tới cấp k};
C0k (Ω) = {f : Ω −→ C | Ω ∈ C k (Ω), suppf là tập compact};
k
∞

∞
k
C ∞ (Ω) = ∩∞
k=1 C (Ω); C0 (Ω) = ∩k=1 C0 (Ω).

trong đó giá của hàm liên tục suppf = {x ∈ Ω | f (x) = 0}.
Ta ký hiệu
1/p
p

d

L (R ) =

d

f : R −→ C : f

p

p

|f (x)| dx

=

< +∞ ,

Rd

với mỗi số thực 1 ≤ p < ∞ và

L∞ (Rd ) = {f : Rd −→ C | f

∞

= ess sup |f (x)| < +∞}.
x∈Rd

trong đó

ess sup |u(x)| = inf{M > 0 | µ{x ∈ Rd ||u(x)| > M } = 0.
x∈Rd

Ký hiệu F là phép biến đổi Fourier, f (hay Ff ) là ảnh Fourier của hàm

f , suppf là giá của ảnh Fourier (gọi là phổ) của hàm f .
Định nghĩa 1.1. Ta đặt

S (Rd ) = {f ∈ C ∞ (Rd ) : sup |xα Dβ f (x)| < ∞ ∀α, β ∈ Zd+ }.
x∈Rd

Với f ∈ S (Rd ), ta có

lim xα Dβ f (x) = 0

x →∞

∀α, β ∈ Zd+ .

Nghĩa là khi x → ∞ thì hàm f (x) giảm về 0 nhanh hơn bất kỳ đa thức
nào, vì thế ta gọi S (Rd ) là không gian các hàm giảm nhanh.
Nhận xét 1.1. Giả sử ta có hàm f ∈ C0∞ (Rd ). Đặt

suppf = K, với K là tập compact trong Rd .
9


Chương 1. KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM

Với mọi x ∈
/ K, ta có

Dβ f (x) = 0 ∀β ∈ Zd+ .
Điều này dẫn đến

sup |xα Dβ f (x)| = sup |xα Dβ f (x)| < ∞ ∀α, β ∈ Zd+ .
x∈K

x∈Rd

Từ đó ta có hàm f ∈ S (Rd ). Thành thử, C0∞ (Rd ) là không gian con của
không gian các hàm giảm nhanh S (Rd ).
Dưới đây là một ví dụ về hàm số thuộc không gian các hàm giảm nhanh.
Ví dụ 1.1.1. Với mọi x ∈ Rd , xét hàm f (x) = e−

x

2

2

x

. Ta có

= x21 + x22 + . . . + x2d ,

suy ra

e−

x

2

2

2

2

= e−x1 .e−x2 . . . e−xd ,

x ∈ Rd .

Hơn nữa, ta có
2

2

2

Dβ f (x) = (Dβ1 e−x1 )(Dβ2 e−x2 ) . . . (Dβd e−xd )
2

2

2

= e−x1 .e−x2 . . . e−xd P (x1 , x2 , . . . , xd )
= e−

x

2

P (x1 , x2 , . . . , xd ) ∀β ∈ Zd+ , x ∈ Rd ,

Trong đó P (x1 , x2 , . . . , xd ) là hàm chứa các lũy thừa của x1 , x2 , . . . , xd .
Cho nên

xα Dβ f (x) = xα P (x1 , x2 , . . . , xd )e−

x

2

∀α, β ∈ Zd+ .

Mặt khác, với m ∈ R, ta có
2

lim λm e−|λ| = 0.

λ→∞

Do đó

lim xα P (x1 , x2 , . . . , xd )e−

x →∞

x

2

=0

∀α ∈ Zd+ .

Thành thử

sup |xα Dβ f (x)| < ∞
x∈Rd

∀α, β ∈ Zd+ .

Điều này kéo theo hàm f thuộc vào không gian các hàm giảm nhanh

S (Rd ).
10


Chương 1. KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM
d
Định nghĩa 1.2. Dãy hàm {fk }∞
k=1 trong không gian S (R ) được gọi là

hội tụ đến hàm f ∈ S (Rd ) nếu

lim sup |xα (Dβ fk (x) − Dβ f (x))| = 0

k→∞ x∈Rd

∀α, β ∈ Zd+ .

Khi đó, ta ký hiệu S _ lim fk = f .
k→∞

Mệnh đề 1.1. Không gian các hàm giảm nhanh S (Rd ) là không gian con
của không gian Lp (Rd ) với 1 ≤ p ≤ ∞.
Chứng minh. Lấy hàm f ∈ S (Rd ). Hiển nhiên hàm f ∈ L∞ (Rd ). Nên ta
chỉ cần xét 1 ≤ p < ∞. Theo định nghĩa, ta có

|f (x1 , x2 , . . . , xd )|p dx1 . . . dxd
Rd

=
Rd

|f (x1 , x2 , . . . , xd )|p (1 + x21 ) . . . (1 + x2d )

1
dx1 . . . dxd
(1 + x21 ) . . . (1 + x2d )

≤ sup |f (x1 , x2 , . . . , xd )|p (1 + x21 )(1 + x22 ) . . . (1 + x2d )
x∈Rd

Rd

1
dx1 . . . dxd .
(1 + x21 ) . . . (1 + x2d )

Mặt khác

1
2
2
2 dx1 . . . dxd
Rd (1 + x1 )(1 + x2 ) . . . (1 + xd )
+∞
+∞
+∞
dx1
dx2
dxd
=

.
.
.
= πd.
2
2
2
−∞ (1 + x1 ) −∞ (1 + x2 )
−∞ (1 + xn )
Do đó, ta có

|f (x1 , x2 , . . . , xd )|p dx1 . . . dxd
Rd
d

≤ π sup |f (x1 , x2 , . . . , xd )|p (1 + x21 )(1 + x22 ) . . . (1 + x2d ).
x∈Rd

Do hàm f ∈ S (Rd ), suy ra

sup {|f (x1 , x2 , . . . , xd )|p (1 + x21 )(1 + x22 ) . . . (1 + x2d )} < ∞.

x∈Rd

Từ đây, ta thu được
1/p
p

|f (x1 , x2 , . . . , xd )| dx1 . . . dxd
Rd

điều này cho ta hàm f ∈ Lp (Rd ).
11

< ∞,


Chương 1. KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM

Chú ý 1.1. Nếu hàm a(·) ∈ C ∞ (Rd ) sao cho với mỗi α ∈ Zd+ có một số
thực m = m(α), và một số dương c = c(α) có |Dα a(x)| < c(1 + x )m ,
khi đó ánh xạ biến mỗi hàm ϕ thành hàm aϕ là ánh xạ tuyến tính liên
tục từ không gian các hàm giảm nhanh S (Rd ) vào chính nó.
Mệnh đề 1.2. Không gian các hàm giảm nhanh S (Rd ) là không gian đầy
đủ.
Tiếp theo, ta sẽ đến với định nghĩa về không gian các hàm suy rộng
tăng chậm.
Định nghĩa 1.3. Ta nói rằng f là một hàm suy rộng tăng chậm nếu f là
một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian S (Rd ).
Hàm suy rộng tăng chậm f tác động lên mỗi hàm ϕ ∈ S (Rd ) được
viết là f, ϕ . Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rd ) là tập hợp
tất cả các hàm suy rộng tăng chậm.
Trên không gian các hàm suy rộng tăng chậm S (Rd ) có thể xây dựng
một cấu trúc không gian vectơ trên Rd , nghĩa là ta có thể định nghĩa các
phép toán tuyến tính như sau.
(1) Phép cộng: Với các hàm f1 , f2 ∈ S (Rd ) tổng các hàm f1 + f2 được
xác định như sau:

(f1 + f2 ) : ϕ −→ f1 + f2 , ϕ = f1 , ϕ + f2 , ϕ

∀ϕ ∈ S (Rd ).

(2) Phép nhân với vô hướng: Với hàm f ∈ S (Rd ), λ ∈ Cd tích λf được
xác định như sau:

λf : ϕ −→ λf, ϕ = λ f, ϕ

∀ϕ ∈ S (Rd ).

Hơn thế, ta có thể định nghĩa phép nhân của hàm suy rộng tăng chậm

f với một đa thức P (x) như sau:
P (x)f : ϕ −→ f, P ϕ
Khi đó P (x)f ∈ S (Rd ).
Ví dụ 1.1.2. Ta có các ví dụ sau đây.
12

∀ϕ ∈ S (Rd ).


Chương 1. KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM

(1)

Với 1 ≤ p ≤ ∞, không gian Lp (Rd ) là không gian con của không
gian các hàm tăng chậm S (Rd ), tức là mỗi hàm f ∈ Lp (Rd ) thì hàm
suy rộng

f : ϕ → f, ϕ =
Rd

f (x)ϕ(x)dx ∀ϕ ∈ S (Rd )

là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian S (Rd ).
(2)

Hàm Dirac δa tại a là phiếm hàm xác định như sau

δ, ϕ = ϕ(−a)

∀ϕ ∈ S (Rd ).

Khi đó δa là hàm suy rộng tăng chậm. Thật vậy, ta thấy hàm Dirac
tại a là một phiếm hàm tuyến tính, vì với mọi α, β ∈ R thì

δa , αϕ + βψ = (αϕ + βψ)(−a) = αϕ(−a) + βψ(−a)
= α δa , ϕ + β δa , ψ

∀α, ψ ∈ S (Rd ).

d
Xét {ϕk }∞
k=1 là dãy hàm trong không gian các hàm giảm nhanh S (R )

hội tụ đến hàm ϕ ∈ S (Rd ). Do đó

lim sup |ϕk (x) − ϕ(x)| = 0 ∀ϕ ∈ S (Rd ).

k→∞ x∈Rd

Nên

∀ϕ ∈ S (Rd ).

lim |ϕk (−a) − ϕ(−a)| = 0

k→∞

Theo định nghĩa hàm Dirac tại a, ta có

δa , ϕk = ϕ(−a)

ϕ ∈ S (Rd ),

δa , ϕk = ϕk (−a) ∀ϕ ∈ S (Rd ), k = 1, 2, . . . .
Nên ta nhận được

lim δa , ϕk = δa , ϕ

k→∞

Vậy δa là hàm suy rộng tăng chậm.

13

∀ϕ ∈ S (Rd ).


Chương 1. KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM

1.2

Đạo hàm của hàm suy rộng

Định nghĩa 1.4. Cho hàm suy rộng f ∈ S (Rd ), α = (α1 , . . . , αd ) ∈ Zd+ .
Đạo hàm suy rộng cấp α của hàm suy rộng tăng chậm f , ký hiệu là Dα f ,
là ánh xạ xác định trên không gian S (Rd ) bởi

Dα f, ϕ := (−1)|α| f, Dα ϕ

∀ϕ ∈ S (Rd ).

Với mỗi hàm suy rộng f ∈ S (Rd ), α ∈ Zd+ đạo hàm suy rộng cấp α của
hàm suy rộng tăng chậm f cũng là một hàm suy rộng tăng chậm. Nói cách
khác, đạo hàm suy rộng Dα f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không
gian S (Rd ). Do đó, đạo hàm Dα f là một hàm suy rộng thuộc không gian
các hàm tăng chậm S (Rd ). Hơn nữa, hàm suy rộng tăng chậm có đạo
hàm mọi cấp và không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm.
Ví dụ 1.2.1. Cho hàm θ(x) được xác định như sau:

θ(x) = 1 nếu x > 0 và θ(x) = 0 nếu x ≤ 0.
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm suy rộng, ta có

θ , ϕ = − θ, ϕ

∀ϕ ∈ S (R),

rõ ràng
+∞

θ, ϕ =

θ(x)ϕ (x)dx
−∞
+∞

ϕ (x)dx

=
−∞

= −ϕ(0) = − δ0 , ϕ

∀ϕ ∈ S (R).

Từ đó, ta có θ = δ0 . Khi đó, đạo hàm của hàm suy rộng θ chính là hàm
Dirac δ0 .
Sau đây, ta sẽ nói về giá của hàm suy rộng.
Định nghĩa 1.5. Cho x ∈ Rd , các hàm suy rộng f, g ∈ S (Rd ). Ta nói
rằng hàm suy rộng f = g tại x nếu tồn tại một lân cận mở ω ∈ Rd của x
để

f, ϕ = g, ϕ

∀ϕ ∈ S (Rd ), suppϕ ⊂ ω.
14


Chương 1. KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM

Từ định nghĩa trên, ta thấy rằng hàm suy rộng f = g tại x ∈ Rd ,
nếu với mọi lân cận mở ω ⊂ Rd của điểm x đều tồn tại một hàm ϕ ∈

C0∞ (Rd ), suppϕ ⊂ ω sao cho
f, ϕ = g, ϕ .
Định nghĩa 1.6. Cho hàm suy rộng f ∈ S (Rd ). Giá của hàm suy rộng

f được xác định như sau
suppf = {x ∈ Rd : f = 0 tại x}.
Hàm suy rộng f được gọi là có giá compact nếu giá của hàm suy rộng

suppf là tập compact.
Ví dụ 1.2.2. Xét hàm suy rộng tăng chậm Dirac δ0

δ0 , ϕ = ϕ(0) ∀ϕ ∈ S (R).
Khi đó, giá của hàm suy rộng δ0 là suppδ0 = {0}. Thật vậy, ta xét σ = 0.
Khi đó, với mọi hàm ϕ ∈ S (R) thỏa mãn

suppϕ ∈ B σ,

|σ|
,
2

ta luôn có hàm ϕ(0) = 0. Do đó,

δ0 , ϕ = ϕ(0) = 0 ∀ϕ ∈ S (R).
Điều này dẫn đến σ ∈
/ suppδ0 . Ta thấy 0 ∈ suppδ0 . Vậy nên ta có

suppδ0 = {0}.

1.3

Tích chập và phép biến đổi Fourier

Dưới đây, ta đưa ra khái niệm tích chập của hai hàm khả tích trên Rd ,
nhằm xác định quy tắc lấy tích chập giữa chúng.
Định nghĩa 1.7. Cho f, g là các hàm khả tích địa phương trên Rd . Nếu
tích phân

f (x − y)g(y)dy
Rd

15


Chương 1. KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM

xác định với hầu hết x ∈ Rd (nghĩa là tập các giá trị x ∈ Rd để tích phân
trên không tồn tại là tập có độ đo không) thì hàm khả tích địa phương
trên Rd biến x thành

f (x − y)g(y)dy
Rd

được gọi là tích chập của hàm f và hàm g , ký hiệu là f ∗ g . Như vậy

(f ∗ g)(x) =

f (x − y)g(y)dy =
Rd

f (y)g(x − y) = (g ∗ f )(x)dy.
Rd

Ta gọi f ∗ g là tích chập của hàm f và hàm g . Rõ ràng trong trường hợp
này tích chập của hàm f và hàm g , và tích chập của hàm g và hàm f là
như nhau. Điều này có nghĩa là tích chập có tính giao hoán f ∗ g = g ∗ f .
Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Young). Cho 1 ≤ p ≤ ∞ và các hàm f ∈

L1 (Rd ), g ∈ Lp (Rd ). Khi đó tích chập của hàm g và hàm f là f ∗g tồn tại và
tích chập f ∗g ∈ Lp (Rd ), đồng thời ta có bất đẳng thức f ∗g

p

≤ f

1

g p.

Mệnh đề 1.3. Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rd ), ta có ϕ∗ψ = ψ∗ϕ ∈ C ∞ (Rd ),
và

Dα (ϕ ∗ ψ)(x) = ((Dα ϕ) ∗ ψ)(x) = (ϕ ∗ (Dα ψ))(x) ∀x ∈ Rd , α ∈ Zd+ .
Hơn nữa, ta có ánh xạ biến mỗi hàm ϕ ∈ S (Rd ) thành ϕ ∗ ψ = ψ ∗ ϕ là
ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian S (Rd ) vào chính nó.
Sau đây ta sẽ nói về phép biến đổi Fourier của những hàm thuộc không
gian các hàm giảm nhanh S (Rd ), không gian các hàm tăng chậm S (Rd ),

không giam hàm suy rộng với giá compact E (Rd ). Ký hiệu F là phép biến
đổi Fourier, f (hay Ff ) là ảnh Fourier của hàm f , suppf là giá của ảnh
Fourier (gọi là phổ) của hàm f .
Định nghĩa 1.8. Cho hàm f ∈ S (Rd ). Ảnh Fourier của hàm f ký hiệu
là f (ξ) hay F(f )(ξ), là hàm được xác định bởi

F(f )(ξ) = f (ξ) = (2π)−d/2

e−ixξ f (x)dx
Rd

trong đó x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rd , ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ∈ Rd .
16


Chương 1. KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM

Định nghĩa 1.9. Ảnh Fourier ngược của hàm f ∈ S (Rd ) là hàm được
xác định bởi

F −1 (f )(x) = fˇ(x) = (2π)−d/2

eixξ f (ξ)dξ
Rd

trong đó x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rd , ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ∈ Rd . Bây giờ ta
xét các tính chất ảnh Fourier, ảnh Fourier ngược của hàm thuộc không
gian các hàm giảm nhanh S (Rd ). Bằng cách đi nghiên cứu kỹ hơn các
mệnh đề sau đây, dựa trên tài liệu (xem [1], [17]).
Mệnh đề 1.4. Cho hàm ϕ ∈ S (Rd ). Khi đó Fϕ, F −1 ϕ ∈ S (Rd ) và

Dα Fϕ(ξ) = (−i)|α| F(xα ϕ(x))(ξ),
Dα F −1 ϕ(ξ) = i|α| F −1 (xα ϕ(x))(ξ),
ξ α Fϕ(ξ) = (−i)|α| F(Dα ϕ(x))(ξ),
ξ α F −1 ϕ(ξ) = i|α| F −1 (Dα ϕ(x))(ξ).
Chứng minh. Theo định nghĩa phép biến đổi Fourier của hàm ϕ thuộc
không gian các hàm giảm nhanh S (Rd ), có
d

e−ixξ ϕ(x)dx.

(Fϕ)(ξ) = (2π)− 2

(1.1)

Rd

Áp dụng định lý về tính khả vi các tích phân phụ thuộc tham số, ta có
đạo hàm Dξα (Fϕ)(ξ) với mọi α ∈ Zd+ và

Dξα (Fϕ)(ξ) =Dξα (2π)−d/2
=(2π)−d/2

e−ixξ ϕ(x)dx
Rd

(−ix)α e−ixξ ϕ(x)dx
Rd

=(−i)|α| (2π)−d/2

e−ixξ xα ϕ(x)dx
Rd

=(−i)|α| F(xα ϕ(x))(ξ) ∀ϕ ∈ S (Rd ),
do tích phân
Rd

e−ixξ xα ϕ(x)dx ∀ϕ ∈ S (Rd )
17

(1.2)


Chương 1. KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM

hội tụ tuyệt đối và đều theo ξ trong Rd và mọi α ∈ Zd+ . Vì

|e−ixξ xα ϕ(x)| ≤ |x|α |ϕ(x)| ∀ϕ ∈ S (Rd ).
Do hàm ϕ ∈ S (Rd ), nên dẫn đến
Rd

|x|α |ϕ(x)|dx ∀α ∈ Zd+

hội tụ tuyệt đối và đều theo ξ trong Rd . Do đó, tồn tại đạo hàm Dξα (Fϕ)(ξ),
dẫn đến Fϕ ∈ C ∞ (Rd ).
Vì thế, mỗi ξ ∈ Rd , β, γ ∈ Zd+ , có

lim ξ β Dxγ (e−ixξ ϕ(x)) = 0 ∀ϕ ∈ S (Rd ).

x −→∞

Sử dụng phép tích phân từng phần |β| lần cho (1.2), ta được

Dξα (Fϕ)(ξ) = ξ −β (2π)−d/2

e−ixξ (−iDx )β ((−ix)α ϕ(x))dx,
Rd

Như vậy, với mỗi α, β ∈ Zd+ , có

ξ β Dξα (Fϕ)(ξ) = (2π)−d/2

e−ixξ (−iDx )β ((−ix)α ϕ(x))dx,

(1.3)

Rd

nhận thấy rằng

e−ixξ (−iDx )β ((−ix)α ϕ(x))dx
Rd

≤ sup Dxβ ((−x)α ϕ(x)) (1 + x )d+1
x∈Rd

Rd

dx

.
(1 + x )d+1

Kết hợp (1.3) và (1.4), ta nhận được

sup ξ β Dξα Fϕ(ξ)

ξ∈Rd

≤(2π)−d/2 sup Dxβ ((−x)α ϕ(x)) (1 + x )d+1
x∈Rd

≤C sup (1 + x 2 )d+1+|α|
x∈Rd

|Dγ ϕ(x)|

Rd

dx
(1 + x )d+1

∀α, β ∈ Zd+ .

γ≤β

Do ϕ ∈ S (Rd ) nên

sup (1 + x 2 )d+1+|α|
x∈Rd

|Dγ ϕ(x)| < ∞ ∀α, β ∈ Zd+ .
γ≤β

18

(1.4)


Chương 1. KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM

Điều này dẫn đến Fϕ ∈ S (Rd ).
Từ công thức (1.2), cho α = 0, β ∈ Zd+ ta nhận được

ξ β Fϕ(ξ) = (2π)−d/2

(−iDx )β e−ixξ ϕ(x)dx
Rd

= (2π)−d/2

e−ixξ (−iDx )β ϕ(x)dx
Rd
β

= (−i)|β| F(D ϕ(x))(ξ) ∀ϕ ∈ S (Rd ).
Vậy phép biến đổi Fourier là ánh xạ tuyến tính liên tục trên không gian
các hàm giảm nhanh S (Rd ).
Đối với phép biến đổi Fourier ngược F −1 ta chứng minh tương tự.
Chứng minh được hoàn thành.

Mệnh đề 1.5. Cho hàm ϕ ∈ S (Rd ). Khi đó

F −1 Fϕ = FF −1 ϕ = ϕ.
Chứng minh. Với các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rd ) theo định nghĩa, ta có

eixξ (2π)−d/2
Rd

e−iyξ ϕ(y)dy Fψ(ξ)dξ
Rd

eixξ Fϕ(ξ)Fψ(ξ)dξ

=
Rd

eixξ Fϕ(ξ) (2π)−d/2

=
Rd

e−iyξ ψ(y)dy dξ.
Rd

Nên theo định lý Fubini, có

ϕ(y) (2π)−d/2

ei x−y,ξ Fψ(ξ)dξ dy

Rd

Rd

ψ(y) (2π)−d/2

=

ei x−y,ξ Fϕ(ξ)dξ dy,

Rd

Rd

từ đây, suy ra

ϕ(y)F −1 (Fψ)(x − y)dy =

ψ(y)F −1 (Fϕ)(x − y)dy.

Rd

(1.5)

Rd

Chọn hàm ψ(x) = (2π)−d/2 e−

x 2 /2

,

ψε (x) = ε−d ψ

Fψε (ξ) = F −1 ψ(ξ) = ψε (ξ).
19

x
, ε > 0, có
ε
(1.6)


Chương 1. KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM

Kết hợp (1.5) và (1.6), ta thu được

ψε F −1 (Fϕ)(x − y)dy.

ϕ(y)ψε (x − y)dy =
Rd

(1.7)

Rd

Áp dụng mệnh đề

S − lim+ ϕ ∗ ψε = ϕ ∀ϕ ∈ S (Rd ).
ε→0

Khi đó

ψ(x)dx =

ψε (x)dx = 1.

Rd

Rd

và

lim

ε→0+

√
x ≥R ε

ψε (x)dx = lim+

√
x ≥R/ ε

ε→0

ψ(x)dx = 0.

Do đó, cho ε −→ 0, thì (1.5) trở thành ϕ(x) = F −1 (Fϕ)(x).

Như vậy,

F −1 (Fϕ) = ϕ ∀ϕ ∈ S (Rd ).
Do đó, F là đẳng cấu tuyến tính trên không gian các hàm giảm nhanh

S (Rd ) với ánh xạ ngược F −1 .
Chứng minh được hoàn thành.
Mệnh đề 1.6. Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rd ). Khi đó,

ϕ(x)Fψ(x)dx =
Rd

ψ(ξ)Fϕ(ξ)dξ
Rd

và

|ϕ(x)|2 dx =
Rd

|Fϕ(ξ)|2 dξ.
Rd

Chứng minh. Sử dụng định nghĩa biến đổi Fourier cho hàm ψ(x) trong
không gian các hàm giảm nhanh S (Rd ), có

Fψ(x) = (2π)−d/2

e−ixξ ψ(ξ)dξ,
Rd

20


Chương 1. KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM

khi đó ϕ, ψ ∈ S (Rd ), ta có

ϕ(x) (2π)−d/2

e−ixξ ψ(ξ)dξ dx =

Rd

Rd

ϕ(x)Fψ(x)dx.

(1.8)

Rd

Tương tự, ta nhận được

Fϕ(ξ) = (2π)−d/2
Rd

e−ixξ ϕ(x)dx ∀ϕ ∈ S (Rd ),

với ϕ, ψ ∈ S (Rd ), nên

ψ(ξ) (2π)−d/2
Rd

e−ixξ ϕ(x)dx dξ =
Rd

ψ(ξ)(Fϕ)(ξ)dξ.

(1.9)

Rd

Mặt khác, với các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rd ) theo định lý Fubini, có

ϕ(x) (2π)−d/2
Rd

e−ixξ ψ(ξ)dξ dx
Rd

ψ(ξ) (2π)−d/2

=
Rd

e−ixξ ϕ(x)dx dξ.

(1.10)

Rd

Kết hợp (1.8), (1.9) và (1.10), ta đạt được

ϕ(x)Fψ(x)dx =
Rd

ψ(ξ)(Fϕ)(ξ)dξ.

(1.11)

Rd

Bằng cách cho hàm

ψ = F −1 ϕ
ta thấy rằng

F −1 ϕ = Fϕ,

ϕ = Fψ

và sử dụng (1.9), ta nhận được

|ϕ(x)|2 dx =
Rd

|Fϕ(ξ)|2 dξ
Rd

∀ϕ ∈ S (Rd ).

Như vậy, phép biến đổi Fourier F là một đẳng cấu tuyến tính, tự liên
hợp, đẳng cự trên không gian các hàm giảm nhanh S (Rd ) với không gian
metric L2 (Rd ).
Mệnh đề 1.7. Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rd ). Khi đó,

F(ϕ ∗ ψ)(ξ) = (2π)d/2 Fϕ(ξ)Fψ(ξ),
F −1 (ϕ ∗ ψ)(ξ) = (2π)d/2 F −1 ϕ(ξ)F −1 ψ(ξ),
(2π)d/2 F(ϕ(x)ψ(x))(ξ) = Fϕ(ξ) ∗ Fψ(ξ),
(2π)d/2 F −1 (ϕ(x)ψ(x))(ξ) = F −1 ϕ(ξ) ∗ F −1 ψ(ξ).
21


Chương 1. KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM

Chứng minh. Áp dụng định nghĩa tích chập cho hàm ϕ, ψ ∈ S (Rd ), ta có

(ϕ ∗ ψ)(x) =

ϕ(y)ψ(x − y)dy.
Rd

Sử dụng định lý Fubini với các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rd ), có

(2π)−d/2

e−ixξ
Rd

ϕ(y)ψ(x − y)dy dx
Rd

e−iyξ ϕ(y) (2π)−d/2

=
Rd

e−i x−y,ξ ψ(x − y)dx dy,

(2π)−d/2

eixξ
Rd

ϕ(y)ψ(x − y)dy dx
Rd

eiyξ ϕ(y) (2π)−d/2

=

(1.12)

Rd

Rd

ei x−y,ξ ψ(x − y)dx dy,

(1.13)

Rd

Từ (1.12), ta có

F(ϕ ∗ ψ)(ξ) = (2π)d/2 Fϕ(ξ)Fψ(ξ) ∀ϕ, ψ ∈ S (Rd ).
Từ (1.13), ta có

F −1 (ϕ ∗ ψ)(ξ) = (2π)d/2 F −1 ϕ(ξ)F −1 ψ(ξ) ∀ϕ, ψ ∈ S (Rd ).
Điều này dẫn đến

(Fϕ ∗ Fψ)(ξ) = (2π)d/2 F(F −1 (Fϕ)F −1 (Fψ))(ξ)
= (2π)d/2 F(ϕψ)(ξ) ∀ϕ, ψ ∈ S (Rd ),
(F −1 ϕ ∗ F −1 ψ)(ξ) = (2π)d/2 F −1 (F(F −1 ϕ)F(F −1 ψ))(ξ)
= (2π)d/2 F −1 (ϕψ)(ξ) ∀ϕ, ψ ∈ S (Rd ),
Chứng minh được hoàn thành.
Dưới đây ta sẽ trình bày một số tính chất khác của phép biến đổi
Fourier, trong không gian các hàm giảm nhanh S (Rd ).
Mệnh đề 1.8. Cho hàm ϕ ∈ S (Rd ). Khi đó,
22


Chương 1. KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM

(i)

Fϕ(ξ − h) = F(eihx ϕ(x))(ξ),

ξ, h ∈ Rd .

(ii)

F(ϕ(x − h))(ξ) = e−ihξ Fϕ(ξ),

(iii)

F(ϕ(tx))(ξ) = t−d Fϕ(ξ/t),

ξ, h ∈ Rd .

t = 0, ξ ∈ Rd .

Chứng minh. (i) Từ định nghĩa của phép biến đổi Fourier, ta có

Fϕ(ξ − h) = (2π)−d/2

ϕ(x)e−i ξ−h x dx
Rd

= (2π)−d/2

ϕ(x)e−iξx eihx dx
Rd

= (2π)−d/2
Rd

(ϕ(x)eihx )e−iξx dx ∀ϕ ∈ S (Rd ), ξ, h ∈ Rd .

Do vậy, ta suy ra

Fϕ(ξ − h) = F(eihx ϕ(x))(ξ),

∀ϕ ∈ S (Rd ), ξ, h ∈ Rd .

(ii) Sử dụng định nghĩa khai triển Fourier cho hàm ϕ(x−h) với ξ, h ∈ Rd ,
ta thấy rằng

F(ϕ(x − h))(ξ) = (2π)−d/2

ϕ(x − h)e−iξx dx.

(1.14)

Rd

Đặt x − h = t hay x = t + h, thay vào (1.14), ta được

F(ϕ(x − h))(ξ) = (2π)−d/2

ϕ(t)e−iξ

t+h

dt

Rd

= (2π)−d/2 e−iξh

ϕ(t)e−iξx dt.

(1.15)

Rd

Ta lại có

(2π)−d/2 e−iξh

ϕ(t)e−iξx dt = e−iξh Fϕ(ξ).

(1.16)

Rd

Kết hợp (1.15) và (1.16), ta thu được

F(ϕ(x − h))(ξ) = e−ihξ Fϕ(ξ),

∀ϕ ∈ S (Rd ), ξ, h ∈ Rd .

(iii) Sử dụng định nghĩa khai triển Fourier cho hàm ϕ(tx), ta có

F(ϕ(tx))(ξ) = (2π)−d/2

ϕ(tx)e−iξx dx
Rd

= (2π)−d/2
23

1
ϕ(y)e−iξ/t dy,
t
Rd

(1.17)