Nghiệm thông lượng hạn chế và ràng buộc trạng thái của phương trình hàm hamilton jacobi tựa lồi trong miền đa chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————–o0o——————–

NGUYỄN ĐĂNG KHOA

NGHIỆM THÔNG LƯỢNG HẠN CHẾ VÀ RÀNG
BUỘC TRẠNG THÁI CỦA PHƯƠNG TRÌNH
HAMILTON - JACOBI TỰA LỒI TRONG MIỀN
ĐA CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————–o0o——————–

NGUYỄN ĐĂNG KHOA

NGHIỆM THÔNG LƯỢNG HẠN CHẾ VÀ
RÀNG BUỘC TRẠNG THÁI CỦA PHƯƠNG
TRÌNH HAMILTON - JACOBI TỰA LỒI
TRONG MIỀN ĐA CHIỀU

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 8 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. TRẦN VĂN BẰNG
Hà Nội - 2018


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Trần Văn Bằng, người
đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền
tảng để tôi hoàn thành bài khóa luận này. Thầy cũng là người đã giúp
tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian
được làm việc cùng thầy.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại Khoa
Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy, cô khác đã trực
tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên
môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thân
còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong
nhận được những ý kiến đóng góp từ các thầy cô, các bạn sinh viên để
khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, ngày tháng 6 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Đăng Khoa


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan những nội dung mà tôi trình bày trong khóa luận
này là kết quả quá trình nghiên cứu nghiêm túc của bản thân dưới sự

hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo, đặc biệt là thầy Trần
Văn Bằng.

Hà Nội, ngày tháng 6 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Đăng Khoa


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

3

Nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêng cấp
một

1.2

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Phương trình Hamilton-Jacobi và bài toán ràng buộc trạng
thái

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2 Nghiệm thông lượng hạn chế và ràng buộc trạng thái
của phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi trong miền đa
chiều

9

2.1

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2

Định lý chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3

Định nghĩa nghiệm thông lượng hạn chế . . . . . . . . .

14

2.4

Lớp hàm thử thu gọn trong trường hợp miền C 1 . . . . .

16

2.5

Chứng minh của Định lý 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.6

Một số trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.6.1

Đối với nghiệm trên . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.6.2

Trường hợp dừng: Tính hữu hạn của độ dốc tới
hạn trong Bổ đề 2.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33


1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình Hamilton-Jacobi là lớp phương trình xuất hiện trong
Cơ học, Lý thuyết điều khiển tối ưu, Lý thuyết trò chơi vi phân,. . . Lớp
phương trình lồi với các điều kiện biên cơ bản đã được nghiên cứu khá
đầy đủ (xem [1], [2] và các tài liệu trong đó). Tuy nhiên lớp phương trình
không lồi và điều kiện biên có ràng buộc trạng thái vẫn còn rất nhiều vấn
đề cần được nghiên cứu. Những năm gần đây, C. Imbert,R. Monneau
[3]-[4], Y. Achdou, F. Camilli [10]-[11] and J. Guerand [12]-[13] đã đạt
được một số kết quả quan trọng cho lớp phương trình này, trong đó kết
quả chính là việc giới thiệu nghiệm thông lượng hạn chế cho phương
trình Hamilton-Jacobi với điều kiện biên ràng buộc trạng thái cùng một
số kết quả liên quan tới loại nghiệm này.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, được sự hướng dẫn
của TS.Trần Văn Bằng, tôi đã chọn đề tài: “Nghiệm thông lượng
hạn chế và ràng buộc trạng thái của phương trình Hamilton
– Jacobi tựa lồi trong miền đa chiều” để thực hiện luận văn của
mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về nghiệm thông lượng hạn chế và các tính chất có thể của
phương trình Hamilton - Jacobi tựa lồi với ràng buộc trạng thái trong

2

trường hợp nhiều chiều.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về:
• Nghiệm nhớt liên tục của phương trình Hamilton - Jacobi.
• Nghiệm thông lượng hạn chế và nghiệm ràng buộc trạng thái đối
với phương trình Hamilton - Jacobi tựa lồi.

4. Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu là: nghiệm thông lượng hạn chế của phương
trình Hamilton – Jacobi;
• Phạm vi nghiên cứu là: lớp phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi
trong miền đa chiều.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm và của lý thuyết nghiệm
nhớt.

6. Dự kiến đóng góp của đề tài
Xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan về đề tài nghiên cứu.


3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo
hàm riêng cấp một

Cho Ω ⊂ RN là một tập mở, F : Ω × R × RN → R là một hàm liên
tục của ba biến (x, r, p). Ta cũng sử dụng các kí hiệu thông thường sau
đây:
C(Ω) là không gian tất cả các hàm thực liên tục trên Ω;
C k (Ω), k = 1, 2, .. là không gian tất cả các hàm thuộc C(Ω) có các
đạo hàm riêng đến cấp k liên tục trên Ω.
Với một hàm u ∈ C 1 (Ω), thì Du(x) là gradient của u tại x ∈ Ω.
Xét phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một
F (x, u(x), Du(x)) = 0,

x ∈ Ω.

(HJ)

Ban đầu khái niệm nghiệm nhớt của (HJ) được xét trong lớp các hàm
liên tục như sau:
Định nghĩa 1.1.1 ([1]). Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm dưới nhớt của
phương trình (HJ) nếu với mọi ϕ ∈ C 1 (Ω) ta có:
F (x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) ≤ 0
tại mọi điểm cực đại địa phương x0 ∈ Ω của u − ϕ.

(1.1)


4

Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm trên nhớt của phương trình (HJ) nếu

với mọi ϕ ∈ C 1 (Ω) ta có:
F (x1 , u(x1 ), Dϕ(x1 )) ≥ 0

(1.2)

tại mọi điểm cực tiểu địa phương x1 ∈ Ω của u − ϕ.
Hàm u là một nghiệm nhớt nếu nó vừa là nghiệm trên nhớt vừa là
nghiệm dưới nhớt của phương trình đó.
Hàm ϕ(x) trong định nghĩa trên thường được gọi là hàm thử.
Ví dụ 1.1.1. Hàm số u(x) = |x| là một nghiệm nhớt của phương trình:
− |u (x)| + 1 = 0,

x ∈ (−1, 1).

Thật vậy, ta xét hai trường hợp: nếu x = 0 là một cực trị địa phương
của u − ϕ thì ϕ (x) = u (x) = ±1. Vì vậy tại những điểm này điều kiện
nghiệm trên nhớt, nghiệm dưới nhớt được thỏa mãn.
Nếu 0 là cực tiểu địa phương của u − ϕ, thì ta tính được |ϕ (0)| ≤ 1
nên điều kiện nghiệm trên nhớt vẫn đúng. Bây giờ ta chứng minh 0
không thể là cực đại địa phương của u − ϕ với ϕ ∈ C 1 (−1, 1). Thật vậy,
nếu 0 là cực đại địa phương của u − ϕ thì ta có (u − ϕ)(0) ≥ (u − ϕ)(x)
trong một lân cận của 0, hay ϕ(x) − ϕ(0) ≥ u(x) trong một lân cận của
0, từ đó ta có:
ϕ (0) = lim+
x→0

u(x)
ϕ(x) − ϕ(0)
≥ lim+
=1

x→0
x−0
x

và
ϕ(x) − ϕ(0)
u(x)
≤ lim+ −
= −1.
x→0
x→0
x−0
x
Vô lý, vậy 0 không thể là cực đại địa phương của u − ϕ.
ϕ (0) = lim−

Để ý rằng, hàm số u(x) = |x| không phải là nghiệm nhớt của phương
trình:
|u (x)| − 1 = 0,

x ∈ (−1, 1)


5

vì điều kiện nghiệm trên không thỏa mãn tại x0 = 0 là điểm cực tiểu địa
phương của |x| − (−x2 ).
Đối với các phương trình tiến hóa có dạng:
(t, y) ∈ (0, T ) × D

ut (t, y) + H(t, y, u(t, y), Dy u(t, y)) = 0,

thì ta chỉ việc đặt x = (t, y) ∈ Ω = (0, T ) × D, q = (q1 , ..., qN , qN +1 ) và
F (x, r, p) = qN +1 + H(x, r, q1 , ...., qN ).
Mệnh đề sau đây sẽ thể hiện những đặc trưng cơ bản của nghiệm
nhớt và mối quan hệ của nó với nghiệm cổ điển:
Mệnh đề 1.1.1 ([2]). (a) Nếu hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt của
(HJ) trong Ω, thì u là nghiệm nhớt của (HJ) trong Ω , với mọi tập con
mở Ω ⊂ Ω;
(b) Giả sử hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm cổ điển của (HJ), tức là u khả
vi tại mọi điểm x ∈ Ω và:
F (x, u(x), Du(x)) = 0,

∀x ∈ Ω.

(1.3)

Khi đó u là nghiệm nhớt của (HJ);
(c) Nếu hàm u ∈ C 1 (Ω) là một nghiệm nhớt của (HJ), thì u là nghiệm
cổ điển của phương trình đó.
Nhiều tính chất thú vị về nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo
hàm riêng cấp một cũng như của các bài toán Dirichlet, bài toán Cauchy
đã được đề cập khá chi tiết và đầy đủ trong [2]. Trong phần tiếp theo của
Luận văn này chúng ta sẽ thảo luận bài toán đối với một phương trình
đạo hàm riêng cấp một phi tuyến thỏa mãn ra đến biên theo một nghĩa
riêng nào đó, nói cách khác ràng buộc trên biên xác định bởi chính ràng
buộc của phương trình đó. Bài toán này thường được gọi là bài toán với
ràng buộc trạng thái. Với các bài toán này khái niệm nghiệm nhớt cũng
được mở rộng xét trong lớp các hàm không nhất thiết liên tục (Mục 2.3)

6

1.2

Phương trình Hamilton-Jacobi và bài toán ràng
buộc trạng thái

Phương trình Hamilton-Jacobi với ràng buộc trạng thái xuất hiện
một cách tự nhiên trong các bài toán điều khiển tối ưu khi quỹ đạo bị
hạn chế trong bao đóng của miền Ω. Bằng việc giới thiệu nghiệm thông
lượng hạn chế, Imbert và Monneau đã nghiên cứu một lớp điều kiện biên
tổng quát trong [3] (tương ứng, [4]) cho trường hợp một chiều (tương
ứng, nhiều chiều) không gian. Họ đã chứng minh các kết quả về sự tồn
tại và duy nhất cho miền khớp nối và cho các hàm Hamilton tựa lồi. Gần
đây, Lions và Songanidis đã nhận được nguyên lý so sánh cho trường hợp
Hamilton không lồi trong [6]-[7].
Loại bài toán này đã được đề cập từ những năm 1986, bởi Soner [8][9]. Trong đó tác giả xét bài toán ràng buộc trạng thái (SC) cụ thể, với
khái niệm nghiệm được hiểu theo nghĩa: hàm u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt
của bài toán (SC) nếu nó thỏa mãn
u + H (∇u) = 0 trong Ω
u + H (∇u) ≥ 0 trên ∂Ω

(1.4)

theo nghĩa nhớt.
Định nghĩa này dường như không liên quan tới dáng điệu biên của u
khi nó là nghiệm dưới. Tuy nhiên, trong [8], Soner đã chứng minh được
tính duy nhất nghiệm của (1.4) trong lớp hàm liên tục đều, bị chặn, đối
với hàm Hamilton lồi. Capuzzo-Dolcetta và Lions cũng đã chứng minh

được tính duy nhất của nghiệm liên tục của (1.4) đối với hàm Hamilton
không nhất thiết phải lồi trong [2]. Trong trường hợp Hamilton H lồi,
Ishii và Koike [5] đã chỉ ra tính duy nhất của nghiệm trong lớp hàm
có thể không liên tục của bài toán (1.4) với sự bổ sung thêm một bất


7

phương trình cho nghiệm dưới,

 u + H (∇u) = 0
u + H (∇u) ≥ 0

u + Hin (∇u) ≤ 0

trong Ω
trên ∂Ω
trên ∂Ω,

(1.5)

ở đó Hin là "Hamilton hướng trong" [5].
Trong [3], với một hàm Hamilton H tựa lồi, cưỡng bức, liên tục và Ω
là khoảng bị chặn (miền một chiều), Imbert và Monneau đã chứng minh
rằng bài toán (SC) (1.4) tương đương với

 u + H (∇u) = 0
u + H − (∇u) ≥ 0

u + H − (∇u) ≤ 0

bài toán thông lượng hạn chế,
trong Ω
trên ∂Ω
trên ∂Ω,

(1.6)

ở đó H − là phần không tăng của hàm Hamilton dọc theo véc tơ pháp
tuyến trong được xác định Định nghĩa 2.1.2. Hàm H − giống với hàm
Hin trong [5] nếu H là lồi và cưỡng bức. Imbert và Monneau cũng chứng
minh được kết quả tương tự cho phương trình dạng tiến hóa. Luận văn
này tìm hiểu về sự mở rộng tương tự của Jessica Guerand [12] cho trường
hợp nhiều chiều, cụ thể là với một tập Ω mở, bị chặn thuộc lớp C 1 của
Rd .

Thực tế cho thấy rằng: nghiệm của (1.6) cũng là nghiệm của (1.5) và
cũng là nghiệm của (1.4). Khi miền không gian là khoảng mở (miền một
chiều) và với cùng giả thiết trên H, Imbert và Monneau đã chỉ ra rằng
một hàm là nghiệm của (1.4) nếu và chỉ nếu nó là nghiệm của (1.6). Với
kết quả của J. Guerand cho trường hợp nhiều chiều, ta có tính duy nhất
thu được bởi Ishii và Koike cho bài toán (1.5) kéo theo tính duy nhất
nghiệm của (1.4) trong lớp hàm có thể gián đoạn. Tuy nhiên điều này
đòi hỏi thêm các hạn chế: miền C 1 , điều kiện hàm Hamilton cưỡng bức
và tính liên tục yếu của nghiệm dưới.
Một kết quả hữu ích về nghiệm thông lượng hạn chế trong trường hợp
nhiều chiều là định lý về việc thu hẹp lớp hàm thử thành lớp hàm chỉ có


8

một độ dốc theo biến không gian. Từ đây ta có khẳng định, điều kiện
biên tổng quát tương đương với điều kiện biên thông lượng hạn chế.


9

Chương 2
Nghiệm thông lượng hạn chế và
ràng buộc trạng thái của phương
trình Hamilton-Jacobi tựa lồi trong
miền đa chiều
Như đã giới thiệu trong Chương 1, gần đây Imbert và Monneau đã giới
thiệu khái niệm nghiệm thông lượng hạn chế cho phương trình HamiltonJacobi không lồi trong trường hợp một chiều. Cụ thể hơn khi miền không
gian là khoảng bị chặn, họ đã chứng minh được rằng nghiệm đó tương
đương với một khái niệm nghiệm cổ điển hơn của H-M.Soner trong [8].
Trong chương này, chúng tôi trình bày kết quả tương tự của Jessica
Guerand [12] cho trường hợp miền trong không gian nhiều chiều trong
cả hai trường hợp dừng và tiến hóa.
Trước hết chúng ta cần tới một số khái niệm và ký hiệu sau:

2.1

Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 2.1.1 (Tính cưỡng bức và tựa lồi). Cho hàm f : Rn → R.
Ta nói hàm f là:
i) cưỡng bức nếu lim|p|→+∞ f (p) = +∞.

10

ii) tựa lồi nếu với mọi λ ∈ R, tập mức dưới {x : f (x) ≤ λ} là lồi.
Ví dụ 2.1.1. Từ Định nghĩa 2.1.1 ta thấy:
a) Hàm f (x) = |x|2 là hàm cưỡng bức trên Rn , nhưng hàm f (x) =
sin |x| không phải là hàm cưỡng bức.
b) Mọi hàm lồi trên Rn đều là hàm tựa lồi. Thật vậy với mọi λ ∈
R, 0 ≤ t ≤ 1, x, y thuộc tập mức dưới {f ≤ λ}. Sử dụng tính lồi của f

ta có
f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y) ≤ tλ + (1 − t)λ = λ.
Chứng tỏ tx + (1 − t)y thuộc tập mức dưới {f ≤ λ} hay tập mức dưới
là tập lồi. Vậy f tựa lồi.
c) Hàm f : R → R xác định bởi


nếu x ≤ 0,

x,
f (x) = 0,
nếu 0 < x < 1,


x − 1, nếu x ≥ 1
là hàm tựa lồi nhưng không là hàm lồi vì:


nếu λ < 0,

(−∞, λ),

{f ≤ λ} = (−∞, 1),
nếu λ = 0,


(−∞, λ + 1), nếu λ > 0
là tập lồi với mọi λ. Hơn nữa với x = −1, y = 1, t = 1/2 ta có
1
f (tx + (1 − t)y) = f (0) = 0 > − = tf (x) + (1 − t)f (y),
2
do đó f không là hàm lồi.
Nếu không nói gì thêm thì trong Luận văn này hàm Hamilton H luôn
được giả thiết là hàm H : Rd → R thỏa mãn giả thiết (A) sau:
(A): H liên tục, cưỡng bức và tựa lồi
Cho T là một số dương, Ω là tập mở bị chặn của Rd với biên thuộc
lớp C 1 .


11

Định nghĩa 2.1.2 (Phần không tăng/ không giảm). Giả sử hàm Hamilton H : Rd → R thỏa mãn giả thiết (A). Cho x ∈ ∂Ω, p ∈ Rd và nx là véc
tơ pháp tuyến ngoài đơn vị của ∂Ω tại x. Gọi thành phần của p trong
mặt phẳng tiếp xúc với ∂Ω tại x là p và thành phần dọc theo −nx = Nx
là pN , vì vậy pN = p. Nx và p = (p , pN ) ∈ Rd−1 × R. Theo cách tương
tự, gọi thành phần tiếp xúc của ∇u là ∇ u và ∂N u := ∇u · Nx . Giả sử
Hx : Rd → R là Hamilton xác định theo các thành phần đó, phụ thuộc
vào x ∈ ∂Ω. Gọi π 0 (p ) ∈ R là số sao cho
min Hx (p , pN ) = Hx p , π 0 (p ) .

pN ∈R

Khi đó phần không tăng (theo hướng pháp tuyến trong) của Hx được
định nghĩa bởi
Hx− (p

, pN ) =

Hx (p , pN )
nếu pN ≤ π 0 (p )
Hx p , π 0 (p ) nếu trái lại,

và phần không giảm (theo hướng pháp tuyến trong) của Hx được định
nghĩa bởi
Hx+ (p , pN ) =

Hx (p , pN )
nếu pN ≥ π 0 (p )
Hx p , π 0 (p ) nếu trái lại.

Chú ý 2.1.1. Từ Định nghĩa 2.1.2 ta thấy:
i) Số π 0 (p ) có thể không duy nhất.
ii) Ta có thể chỉ ra rằng Hx phụ thuộc liên tục vào x ∈ ∂Ω, do biên
thuộc lớp C 1 . Để đơn giản hóa các ký hiệu, từ đây về sau ta sẽ sử dụng
H, H − và H + để thay thế cho Hx , Hx− và Hx+ , nhưng cần nhớ rằng H, H −
và H + phụ thuộc vào x ∈ ∂Ω.
Ví dụ 2.1.2. Cho Ω = B(0, 1) là hình cầu đơn vị trong R2 , H(p) = |p|.
Với x ∈ ∂Ω, ta có nx = x = (x1 , x2 ), Nx = −x. Không gian tiếp xúc
với ∂Ω tại x là một không gian véc tơ một chiều, với cơ sở trực chuẩn


12

Tx = (x2 , −x1 ). Với p = (p1 , p2 ) ∈ R2 ta có
p1 = p.Nx = −x1 p1 − x2 p2 ,

p = p.Tx = x2 p1 − x1 p2 .

Do đó
p1 = x2 p − x1 pN ,

p2 = −x1 p − x2 pN

và
Hx (p , pN ) =

(−x1 p1 − x2 p2 )2 + (x2 p1 − x1 p2 )2 =

(p )2 + p2N .

Từ đây ta có π 0 (p ) = 0 với mọi p . Do vậy, phần không tăng
Hx− (p , pN ) =

(p )2 + p2N , nếu pN ≤ 0,
|p |,

nếu pN > 0

và phần không giảm
Hx+ (p

, pN ) =

(p )2 + p2N , nếu pN ≥ 0,
|p |,

nếu pN < 0.

Định nghĩa 2.1.3 (Bao nửa liên tục). Bao nửa liên tục trên u∗ và bao
nửa liên tục dưới u∗ của một hàm bị chặn địa phương u xác định trên
[0, T ] × Ω, được định nghĩa lần lượt bởi:
u∗ (t, x) = lim sup u (s, y)

và u∗ (t, x) = lim inf u (s, y) .
(s,y)→(t,x)

(s,y)→(t,x)

Dễ thấy là, nếu u liên tục thì u∗ = u∗ = u.
Định nghĩa 2.1.4 (Tính liên tục yếu tại biên). Hàm u : [0, T ] × Ω → R
được gọi là liên tục yếu tại biên nếu
∀ (t, x) ∈ (0, T ) × ∂Ω,

u∗ (t, x) =

lim

y→x,s→t,y ∈∂Ω
/

ở đó u∗ là bao nửa liên tục trên của u.
Bây giờ ta trình bày các định lý chính.

u∗ (s, y) ,

(2.1)


13

2.2

Định lý chính

Định lý 2.2.1. (Thiết lập lại điều kiện ràng buộc trạng thái với bài toán
tiến hóa). Giả sử H : Rd → R thỏa mãn giả thiết (A) và u : (0, T ) × Ω →
R. Khi đó hàm u là nghiệm nhớt của

ut + H (∇u) ≥ 0
ut + H (∇u) ≤ 0

trong
trong

(0, T ) × Ω
(0, T ) × Ω

(2.2)

và thỏa mãn (2.1) nếu và chỉ nếu u là nghiệm nhớt của bài toán thông
lượng hạn chế
ut + H (∇u) = 0 trong

ut + H − (∇u) = 0 trên

(0, T ) × Ω
(0, T ) × ∂Ω,

(2.3)

ở đó H − là phần không tăng dọc theo véc tơ pháp tuyến trong.
Chú ý 2.2.1. Nếu không có giả thiết về tính "liên tục yếu" (2.1) cho
nghiệm dưới thì Định lý 2.2.1 không còn đúng. Thật vậy, hàm số
u (t, x) =

1
0

nếu x = 0
nếu trái lại,

thỏa mãn (2.2) nhưng không thỏa mãn (2.3) với H(p) = |p|. Tuy nhiên,
nếu u là nghiệm dưới của (2.3) thì u thỏa mãn (2.1), xem [3], Bổ đề 2.3
với FA0 = H − .
Đối với mô hình dừng ta có:
Định lý 2.2.2. (Thiết lập lại điều kiện ràng buộc trạng thái với bài toán
dừng).
Giả sử H : Rd → R thỏa mãn giả thiết (A) và u : Ω → R. Khi đó u là
nghiệm nhớt của
u + H (∇u) ≥ 0 trong Ω
u + H (∇u) ≤ 0 trong Ω.

(2.4)

14

và thỏa mãn (2.1) nếu và chỉ nếu u là nghiệm nhớt của bài toán thông
lượng hạn chế
u + H (∇u) = 0
trong Ω
−
u + H (∇u) = 0 trên ∂Ω.

(2.5)

Chú ý 2.2.2. Cũng như Chú ý 2.2.1 nếu u là nghiệm dưới của (2.5) thì
u thỏa mãn (2.1).

2.3

Định nghĩa nghiệm thông lượng hạn chế

Nghiệm thông lượng hạn chế được hiểu là nghiệm nhớt của bài toán
thông lượng hạn chế. Khái niệm này được giới thiệu lần đầu trong [3].
Hàm hạn chế thông lượng A : Rd → R là hàm liên tục và tựa lồi. Với
hàm hạn chế thông lượng A đã cho, ta định nghĩa hàm FA bởi
FA (p) = max A (p ) , H − (p , pN ) .
Chú ý rằng FA phụ thuộc vào x ∈ ∂Ω. Ta đặt
A0 (p ) = min H (p , pN ) .
pN ∈R

Nhớ rằng u∗ và u∗ tương ứng là bao nửa liên tục trên và bao nửa liên

tục dưới của hàm u.
Định nghĩa 2.3.1. (Nghiệm nhớt). Cho H thỏa mãn giả thiết (A) và
u : (0, T ) × Ω → R là bị chặn địa phương. Ta nói rằng u là nghiệm
dưới nhớt (tương ứng, nghiệm trên nhớt) tại (t0 , x0 ) ∈ (0, T ) × Ω, của
ut − H (∇u) = 0, nếu với mọi ϕ ∈ C 1 (0, T ) × Ω sao cho u∗ ≤ ϕ (tương
ứng, u∗ ≥ ϕ) trong lân cận của (t0 , x0 ) ∈ (0, T ) × Ω với dấu bằng xảy ra
tại (t0 , x0 ) (ta nói rằng ϕ tiếp xúc với u∗ từ phía trên (tương ứng, với u∗
từ phía dưới) tại (t0 , x0 )), ta có
ϕt + H (∇ϕ) ≤ 0

tương ứng, ≥ 0 tại (t0 , x0 ) .


15

Khi đó, ta cũng nói rằng u thỏa mãn
ut + H (∇u) ≤ 0

tương ứng, ≥ 0

theo nghĩa nhớt tại (t0 , x0 ) ∈ (0, T ) × Ω.
Hơn nữa, ta nói rằng u là nghiệm nhớt tại (t0 , x0 ) ∈ (0, T ) × Ω, của
ut + H (∇u) = 0,
nếu u vừa là nghiệm trên nhớt vừa là nghiệm dưới nhớt tại (t0 , x0 ) .
Định nghĩa 2.3.2. (Nghiệm thông lượng hạn chế). Giả sử H thỏa mãn
giả thiết (A), u : (0, T ) × Ω → R là bị chặn địa phương và A : Rd → R
là hàm hạn chế thông lượng liên tục sao cho
∀p ∈ Rd , A (p ) ≥ A0 (p ) .

(2.6)

Ta nói rằng u là nghiệm dưới A - thông lượng hạn chế (tương ứng,
nghiệm trên A - thông lượng hạn chế ) trong (0, T ) × Ω nếu u là nghiệm
dưới nhớt (tương ứng, nghiệm trên nhớt) của
ut + H (∇u) = 0 trong (0, T ) × Ω
ut + FA (∇u) = 0 trên (0, T ) × ∂Ω.

(2.7)

Hơn nữa, ta nói rằng u là nghiệm thông lượng hạn chế của (2.7) nếu u
vừa là nghiệm dưới thông lượng hạn chế vừa là nghiệm trên thông lượng
hạn chế của phương trình đó.
Như đã giải thích trong Chú ý 2.2.1, nghiệm dưới A− thông lượng
hạn chế thỏa mãn (2.1).
∀ (t, x) ∈ (0, T ) × ∂Ω, u∗ (t, x) =

lim sup

u∗ (s, y) .

(2.8)

y→x,s→t,y ∈∂Ω
/

Chú ý 2.3.1. Ta định nghĩa nghiệm dừng bằng cách thay thế ut và φt
bằng u và bỏ qua sự phụ thuộc vào thời gian.


16

2.4

Lớp hàm thử thu gọn trong trường hợp miền C 1

Ta đưa ra các kết quả và chứng minh chỉ trong trường hợp tiến hóa,
vì trường hợp dừng được xử lý hoàn toàn tương tự.
Ta định nghĩa π + , π − : {(p , λ) : λ ≥ A0 (p )} → R như trong [4] bởi
π + (p , λ) = sup p ∈ R : H (p , p) = H + (p , p) = λ ,
và
π − (p , λ) = inf p ∈ R : H (p , p) = H − (p , p) = λ .
Lấy điểm cố định X0 ∈ ∂Ω. Với mọi X ∈ Ω, X = X , xN , trong đó
xN là thành phần trên NX0 và X là thành phần tiếp xúc. Ta cùng xét
các tính chất của hàm H − , H + , π − , π + và FA được sử dụng trong các
chứng minh.
Bổ đề 2.4.1. Cho H thỏa mãn giả thiết (A) và A : Rd → R là hàm hạn
chế thông lượng liên tục thỏa mãn (2.6) Ta có các tính chất sau.
1. H − (tương ứng H + ) là không tăng (tương ứng không giảm).
2. π − (p , λ) ≤ π + (p , λ) với p ∈ Rd và λ ≥ A0 (p ) .
3. H ± (p , π ± (p , λ)) = H (p , π ± (p , λ)) = λ với p ∈ Rd và λ ≥
A0 (p ) .
4. H ± (p , π ∓ (p , λ)) = A0 (p ) với p ∈ Rd và λ ≥ A0 (p ) .
5. H (p , pN ) ≤ A (p ) ⇔ π − (p , A (p )) ≤ pN ≤ π + (p , A (p )) .
6. pN → FA (p , pN ) không tăng với p ∈ Rd .
7. FA0 = H − .
8. FA (p , pN ) = A (p ) với pN ≥ π − (p , A (p )) .


17

Chứng minh. Các tính chất trên là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.
Dựa theo [3]-[4], ta đưa ra một định nghĩa tương đương của nghiệm
nhớt mà chỉ cần sử dụng lớp hàm thử thu gọn.
Định nghĩa 2.4.1. (Định nghĩa tương đương của nghiệm nhớt). Cho H
thỏa mãn giả thiết (A) và A : Rd → R là hàm hạn chế thông lượng liên
tục thỏa mãn (2.6). Giả sử u : (0, T ) × Ω → R là bị chặn địa phương.
1. Ta nói rằng u là nghiệm dưới thu gọn của (2.7) trong (0, T ) × Ω nếu
và chỉ nếu u∗ thỏa mãn (2.1) và u là nghiệm dưới trong (0, T )×Ω, và
∀ϕ ∈ C 1 (0, T ) × Ω sao cho u∗ ≤ ϕ trong một lân cận của (t0 , X0 )
trong (0, T ) × ∂Ω, với dấu bằng xảy ra tại (t0 , X0 ) , có dạng
ϕ t, X , xN = φ (t, X ) + φ0 xN ,

(2.9)

ở đó
φ ∈ C 1 (0, T ) × Rd
D φ (t0 , X 0 ) = p0 ,
và
φ0 ∈ C 1 (R)
φ0 xN
= π + (p0 , A (p0 ))
0
ta có
ϕt + FA (∇ϕ) ≤ 0 tại (t0 , X0 ) .
2. Ta nói rằng u là nghiệm trên thu gọn của (2.7) trong (0, T ) × Ω nếu
và chỉ nếu u là nghiệm trên trong (0, T )×Ω, và ∀ϕ ∈ C 1 (0, T ) × Ω
sao cho u∗ ≥ ϕ trong một lân cận của (t0 , X0 ) trong (0, T ) × ∂Ω,
với dấu bằng xảy ra tại (t0 , X0 ) , ta có
ϕt + FA (∇ϕ) ≥ 0 tại (t0 , X0 )
Mệnh đề 2.4.1. (a) Định nghĩa 2.3.2 và 2.4.1 là tương đương. Một

cách chính xác, ta có hai mệnh đề sau tương đương:


18

• Hàm số mà thỏa mãn (2.1) là nghiệm dưới thu gọn của (2.7)
nếu và chỉ nếu nó là nghiệm dưới nhớt của (2.7).
• Hàm số là nghiệm trên thu gọn của (2.7) nếu và chỉ nếu nó là
nghiệm trên nhớt của (2.7).
(b) Nếu u là nghiệm dưới của ut + H (∇u) ≥ 0 trong (0, T ) × Ω thỏa
mãn (2.1), thì nó là nghiệm dưới A0 −thông lượng hạn chế.
Để chứng minh mệnh đề này, ta nhớ lại bổ đề được lấy từ [3], [4] về
độ dốc tới hạn của nghiệm dưới và nghiệm trên. Với mục đích này, ta
xác định một tham số địa phương của miền trơn.
Ta xác định hàm số ψ N trong một lân cận của một điểm cố định
X0 ∈ ∂Ω, nó cho ta thành phần theo véc tơ pháp tuyến trong NX0 của
phép chiếu trên biên của điểm trong Ω (xem Hình 2.1).
Định nghĩa 2.4.2. (Hàm số ψ N ). Cho X0 trên ∂Ω. Vì Ω có biên C 1
nên tồn tại r0 > 0, ω là tập mở của mặt phẳng tiếp xúc TX0 tại X0 , và
ψ N ∈ C 1 (ω) sao cho
∂Ω ∩ B r0 (X0 ) =

X , xN ∈ ω × R, xN = ψ N (X ) .

Hình 2.1: Hàm số ψ N trong Định nghĩa 2.4.2

Chú ý 2.4.1. Chú ý rằng ∇ ψ N (X 0 ) = 0.


19

Bổ đề 2.4.1. (Độ dốc tới hạn của nghiệm dưới). Cho u là một nghiệm
dưới nửa liên tục trên của ut + H (∇u) = 0 trên (0, T ) × Ω thỏa mãn
(2.1), và φ là một hàm thử tiếp xúc với u từ phía trên điểm (t0 , X0 ) , ở đó
t0 ∈ (0, T ) và X0 = X 0 , xN
∈ ∂Ω. Giả sử r0 được cho bởi Định nghĩa
0
2.4.2. Đặt
Bt0 ,X0 :=

p ∈ R : ∃r ∈ (0, r0 ] , ϕ (t, X) + p xN − ω N (X ) ≥ u (t, X) ,
∀ (t, X) ∈ (t0 − r, t0 × r) × Ω ∩ B r (X0 )

Khi đó độ dốc tới hạn được cho bởi
p = inf Bt0 ,X0
là hữu hạn, thỏa mãn p ≤ 0 và
ϕt (t0 , X0 ) + H (∇ ϕ (t0 , X0 ) , ∂N ϕ (t0 , X0 ) + p) ≤ 0.
Chứng minh. Theo lược đồ chứng minh trong [3], ta chứng minh rằng
p là hữu hạn trong trường hợp này.
Lấy p bất kỳ thuộc Bt0 ;X0 . Khi đó tồn tại r > 0 sao cho với mọi
(t, X) ∈ D = (t0 − r, t0 + r) × Ω ∩ B r (X0 ),
u(t, X) ≤ ϕ(t, X) + p xN − ψ N (X ) .
Chú ý rằng, bằng cách thay φ bởi φ + (t − t0 )2 + X − X0

2

nếu

cần thiết, ta có thể giả sử rằng nếu (t, X) = (t0 , X0 ), thì u(t, X) <
ϕ(t, X) + p xN + ψ N (X ) . Đặc biệt, tồn tại δ > 0 sao cho trên (t0 −

r, t0 + r) × ∂Br (X0 ) ∩ Ω, ta có
u(t, X) + δ ≤ φ(t, X) + p xN − ψ N (X ) .

(2.10)

Do u thỏa mãn (2.1) nên tồn tại (t , X ) → (t0 , X0 ) sao cho X ∈
/ ∂Ω
và u(t0 , X0 ) = lim →0 u (t , X ) . Chúng tôi giới thiệu hàm thử bị nhiễu
xN − ψ N (X )
Ψ (t, X) = ϕ (t, X) + p x − ψ (X ) +
.
xN − ψ (X )
N

N

.


20

Giả sử (s ; Y ) là giá trị nhỏ nhất của Ψ − u trong D. Sử dụng định
nghĩa của Ψ, ta thấy rằng Y ∈
/ ∂Ω. Đặc biệt,
ϕ (s , Y ) + p y N − ψ N (Y ) − u (s , Y )
≤Ψ (s , Y ) − u (s , Y )
≤Ψ (t , X ) − u (t , X ) .
Số hạng cuối của bất đẳng thức (??) tiến tới 0 khi

(2.11)

tiến tới 0. Sử dụng

(2.10), điều này suy ra (s , Y ) → (t0 , X0 ). Vì Ψ là hàm thử tại (s , Y )
nên
ϕt (s , Y ) +
+H

∇ϕ (s , Y ) +

−p∇ ψ N (Y )
p

−

xN − ψ (X )
(y N − ψ (Y ))2

−∇ψ N (Y )
1

·

≤0
Bây giờ, chuyển qua giới hạn → 0 trong bất đẳng thức trên ta có
ϕt (t0 , X0 ) + H ∇ϕ (t0 , X0 ) +
ở đó

0
p

− αp

0
1

≤ 0,

xN − ψ N (X )

∈ [0, +∞] .
(y N − ψ N (Y ))2
Từ bất đẳng thức trên và tính cưỡng bức của H ta suy ra p − αp là
αp = lim sup
→0

hữu hạn, vì vậy p bị chặn vì ϕt (t0 , X0 ) và ∇ϕ(t0 , X0 ) cố định. Vậy p hữu
hạn.
Bây giờ, ta chứng minh phần hai của bổ đề. Theo định nghĩa của p,
mọi > 0 đủ nhỏ, tồn tại δ = δ( ) ∈ (0, ) sao cho ∂Bδ (X0 ) có chính xác
hai giao điểm với δΩ thỏa mãn với mọi (t, X) ∈ (t0 −δ, t0 +δ)×B δ (X0 )∩Ω,
u(t, X) ≤ ϕ(t, X) + (p + ) xN − ψ N (X )
δ
δ
và tồn tại (t , X ) ∈ t0 − , t0 +
2
2

(2.12)

× B δ (X0 ) sao cho X ∈

/ ∂Ω và
2

u (t , X ) > ϕ (t , X ) + (p − ) xN − ψ N (X ) .