Phân tích, mô hình hóa và tổng hợp thiết kế bộ điều khiển cho hệ thống ball beam

LỜI TỰA
Mô hình quả bóng và thanh đỡ được sử dụng trong các thí nghiệm về điều
khiển ở hầu hết các trường đại học kỹ thuật vì nó là một mô hình dễ xây dựng và
là một ví dụ điển hình về kỹ thuật điều khiển. Hệ thống gồm có một quả bóng,
một thanh đỡ, một động cơ và một số sensor. Một tay quay được gắn vào một
đầu của thanh đỡ, đầu còn lại được gắn vào động cơ. Khi động cơ quay một góc
teta (), thông qua tay quay sẽ làm thanh đỡ quay một góc anpha (α). Khi thanh
đỡ thay đổi góc từ vị trí cân bằng, dưới tác dụng của trọng lực sẽ làm cho quả
bóng lăn tự do trên thanh đỡ. Công việc của người điều khiển là phải thiết kế
một bộ điều khiển để kiểm soát được vị trí của quả bóng trên thanh đỡ. Bằng
cách sử dụng các sensor, thông tin về vị trí của quả bóng được gửi về và được so
sánh với giá trị đặt vào trong bộ điều khiển, từ đó bộ điều khiển sẽ gửi tín hiệu
để điều khiển góc quay của động sao cho quả bóng sẽ đạt đúng vị trí mong
muốn trên thanh đỡ. Mô hình toán học của hệ thống thuộc loại phi tuyến, tuy
nhiên ta có thể coi hệ thống là hệ tuyến tính quanh khoảng nằm ngang. Mô hình
tuyến tính đơn giản này vẫn được áp dụng cho rất nhiều các hệ thực như hệ
thống cân bằng máy bay theo phương nằm ngang khi hạ cánh dưới ảnh hưởng
của các dòng khí chuyển động hỗn loạn.
Trong đồ án sử dụng các định luật vật lý và phương pháp xấp xỉ tuyến tính
để phân tích mô hình vật lý của hệ bóng và thanh đỡ. Từ đó, ta xác định được
hàm truyền của hệ thống, đó là cơ sở để khảo sát tính ổn định của hệ thống hở.
Bộ điều khiển được tổng hợp và thiết kế cũng dựa trên các kết quả thu được. Tất
cả các công đoạn mô hình hóa và tổng hợp bộ điều khiển đều sử dụng phầm
mềm MATLAB & SIMULINK.


CHƯƠNG 1
GIỚI THIỆU
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Hệ quả bóng và thanh đỡ còn được gọi là “hệ cân bằng của quả bóng trên
thanh đỡ”. Hệ thống này được sử dụng như một bài thí nghiệm ở hầu hết các

trường đại học kỹ thuật trên thế giới vì nó khá gần gũi với các hệ thống điều
khiển thực như việc ổn định hệ thống cân bằng máy bay theo phương ngang khi
hạ cánh dưới tác động hỗn loạn của các dòng khí. Mục đích của hệ thống là điều
khiển vị trí của quả bóng trên thanh đỡ sao cho nó đạt đúng giá trị mong muốn
dưới các ảnh hưởng từ nhiễu bên ngoài như lực đẩy từ tay chúng ta. Tín hiệu
điều khiển có thể nhận được từ tín hiệu phản hồ vị trí của quả bóng qua các bộ
sensor. Tín hiệu điều khiển (điện áp) được đưa tới động cơ một chiều DC thông
qua bộ khuyếch đại công suất sẽ điều khiển chính xác góc quay của động cơ. Từ
đó, quả bóng sẽ đạt đến đúng vị ví mong muốn.
Một điều tất nhiên là hệ thống của chúng ta là hệ hở, phi tuyến và không ổn
định. Để giải quyết vấn đề không ổn định, ta cần sử dụng một mạch phản hồi.
Ngoài ra, ta có thể xem hệ sẽ tuyến tính nếu thanh đỡ chỉ dao động với một góc
anpha (α) tương đối nhỏ (-300≤α≤300). Nếu góc anpha lớn hơn giá trị trên thì kết
quả thu được từ phương pháp xấp xỉ tuyến tính sẽ không còn chính xác. Trong
trường hợp đó bắt buộc ta phải dùng đến các phương pháp điều khiển phi tuyến.
2. CÁC ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU VỀ HỆ THỐNG
Hệ “quả bóng và thanh dầm” đã được rất nhiều các cá nhân và tổ chức trên
thế giới nghiên cứu và đã có những thành công nhất định. Sau đây sẽ là một số
ví dụ điển hình:
Vào năm 2005, Arroyo đã xây dựng một hệ thống có tên “Quả bóng cân
bằng trên thanh đỡ” như hình 1.1. Hệ thống sử dụng một cảm biến điện trở dây
để xác định vị trí của quả bóng. Tín hiệu từ cảm biến được xử lý trong một bộ
DSP và xuất tín hiệu điều khiển động cơ một chiều với hộp giảm tốc. Hệ thống
này sử dụng luật điều khiển PD.


Hình 1.1: “Quả bóng cân bằng trên thanh dầm” được xây dựng bởi Berkeley
Robotics Laboratory (Arroyo 2005)
Hệ thống trên tương đối dễ thực hiện và bộ điều khiển PD cũng khá đơn
giản. Thực tế, mặc dù vị trí của quả bóng được điều khiển bằng bộ điều khiển

PD, tuy vậy góc nghiêng của thanh dầm lại không được đo và điều khiển. Do đó,
hệ thống hoạt động chưa hoàn toàn ổn định.
Năm 2006, Quanser tạo ra mẫu “quả bóng và thanh dầm” mang tính thương
mại đầu tiên như trong hình 1.2. Mẫu “quả bóng và thanh dầm” này cũng gồm
có một cảm biến điện trở dây để xác định vị trí quả bóng, một động cơ servo với
hộp giảm tốc. Hệ thống được điều khiển bằng bộ PID. So với mẫu “quả bóng
cân bằng trên thanh dầm” ở trên thì mẫu này đã hoàn thiện hơn rất nhiều.


Hình 1.2: Mẫu “quả bóng và thanh dầm” do Quanser chế tạo (năm 2006)
Ngoài những mẫu điển hình trên còn có rất nhiều những mẫu tương tự như
vậy, chúng chỉ khác nhau ở loại cảm biến được sử dụng, cách điều khiển (có thể
là điều khiển qua góc quay theta của động cơ hoặc điều khiển bằng mômen quay
của thanh đỡ khi gắn trục đọc cơ vào tâm thanh đỡ đó).
3. NHIỆM VỤ CỦA ĐỒ ÁN
Mục đích chính của đồ án là phân tích, mô hình hóa và tổng hợp thiết kế bộ
điều khiển cho hệ thống “quả bóng và thanh dầm”. Cụ thể:
- Xây dựng phương trình vi phân chuyển động và thiết lập hàm truyền của hệ
thống.
- Khảo sát tính ổn định của hệ thống hở
- Tổng hợp bộ điều khiển (đạt được các giá trị đáp ứng mong muốn) bằng
phương pháp đáp ứng tần số.
- Kết luận và hướng phát triển của đồ án.
4. GIẢ THIẾT CHO BÀI TOÁN
Để đơn giản hóa mà vẫn mang tính khách quan, ta có thể giả sử các điều
kiện sau đây cho mô hình:
- Quả bóng lăn không trượt trên thanh đỡ.
- Góc quay của thanh đỡ -300≤α≤300.

5. KẾT LUẬN
Chương 1 đã giới thiệu tổng quan về đồ án “quả bóng và thanh dầm”, các
công trình liên quan đến đồ án này cũng như mục tiêu, nhiệm vụ và các điều
kiện cần thiết của đồ án.
Trong chương 2 sẽ giới thiệu về cách thiết lập mô hình toán của hệ thống,
phân tích hệ thống hở theo phương pháp đáp ứng tần số.


CHƯƠNG 2
PHÂN TÍCH VÀ XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN
Hình vẽ 2.1 thể hiện chi tiết mô hình của bài toán:

Hình 2.1: Mô hình “quả bóng và thanh dầm”.
Với bài toán này, các tham số và các biến được cho trong bảng sau:
Bảng 2.1: Các tham số của hệ thống
Thứ tự

Tham số

Kí hiệu

Đơn vị

Giá trị

1

Trọng lượng bóng

m

kg

0,11

2

Bán kính bóng

r

m

0,005

3

Mômen quán tính

I

kg.m2

9,9.10-6

4

Chiều dài cánh tay đòn

l

m

1

5

Khoảng cách

d

m

0,15

6

Tọa độ của bóng

P

m

7

Tọa độ góc của thanh đỡ

α

rad

8

Góc quay của động cơ



rad

Mục tiêu điều khiển được cho trong bảng sau:


Bảng 2.2: Mục tiêu điều khiển của hệ thống
Thứ tự

Tham số cần điều khiển

Giá trị

1

Thời gian quá độ

≤ 3 (s)

2

Độ quá điều chỉnh

≤ 5 (%)

1. PHÂN TÍCH MÔ HÌNH HỆ THỐNG
a. Phân tích mô hình quả bóng trên thanh đỡ
Xét chuyển động của quả bóng trên thanh đỡ.

0

mgsi
n

r

Fqt

x



mgco
s

mg
Hình 2.2: Các lực tác dụng lên quả bóng
Hoạt lực tác dụng lên hệ chỉ gồm có trọng lực P của quả bóng (trọng lực của
thanh đỡ không đáng kể). Trọng lực P là lực có thế. Chọ hệ tọa độ suy rộng đủ
của hệ là q1=x, q2=  (hình 2.2). Ta thấy hệ có 2 bậc tự do và phương trình
Lagrange có thể viết dưới dạng:

�
d ��

T
dt ��q.
� i

�
T
�

� �

� qi
�
qi
�

Trong đó:
-

T = động năng của hệ.

-

qi= tọa độ suy rộng tương ứng i= (1,2).

(2.1)


-

π= thế năng của hệ ứng với P.

Thế năng của hệ:

 ( P)  mg sin    x  C

(2.2)

Suy ra:

�

 mg sin   
�
x
�

 mg cos( ) x
�


(2.3)

Động năng của hệ bao gồm động năng của bóng và động năng của thanh đỡ:
Động năng của quả bóng vừa chuyển động quay vừa chuyển động tịnh tiến
nên ta có:

T1 

1 2 1 2
mv1  I 1
2

2

(2.4)

Động năng của thanh đỡ chỉ bao gồm chuyển động quay nên ta có:

T2 

1
I thanh22
2

(2.5)

Thay (2.4) và (2.5) vào biểu thức động năng của hệ ta được:

T  T1  T2

�T 

1 2 1 2 1
mv1  I 1  I thanh22
2
2
2
2

2
�. �
.

1 � � 1 �x � 1
�. �
� T  m �x � I
 I thanh �
�
2 � � 2 �r � 2
��
��
2

Suy ra:

(2.6)


�
T
.

.

 m x,

�x

�
T
.

�

.

 I thanh  ,

�
T
�
T
 0,
 0.
�
x
�


..

..
d ��
T � ..
x d ��
T�
� . � m x  I 2 , � . � I thanh 
�
�
dt �
r dt �
��x �
�� �

Phương trình vi phân chuyển động của hệ của hệ Lagrange loại 2 nhận được
là:
..

x
 mg sin( )
2
r
�.. �
I thanh �
 � mg cos( ) x
��
..

m x I

(2.7)

Góc quay của thanh đỡ (  ) tỷ lệ với góc quay của động cơ (  ) theo biểu
thức sau:

d
 
l

(2.7)

Thay (2.7) vào phương trình (2.6) ta có phương trình chuyển động là hàm vị
trí của quả bóng (x) và góc quay của động cơ (  ):

d
�I
�..
� 2  m �x  mg 
l
�r
�

(2.8)

b. Phân tích mô hình động cơ DC
Động cơ là thiết bị biến đổi năng lượng điện thành năng lượng cơ dưới dạng
chuyển động quay hay tịnh tiến. Động cơ là một phần không thể thiếu trong hệ
thống quả bóng và thanh đỡ.
Trên thị trường hiện nay có rất nhiều chủng loại động cơ: động cơ có hộp
giảm tốc, động cơ bước, động cơ servo, động cơ xoay chiều một, hai hay ba pha.
Tất cả các động cơ kể trên đều có thể được sử dụng trong hệ thống “quả bóng và
thanh dầm”. Tuy nhiên, trong rất nhiều các ứng dụng thực tế, người ta thường
lựa chọn động cơ một chiều bởi kết cấu đơn giản và dễ điều khiển.


Động cơ một chiều của hãng “Harmonic Driver” như hình 2.3 được sử dụng
làm bộ phận dẫn động trong đồ án. Từ hình vẽ ta có thể dễ dàng nhận thấy các
bộ phận của nó, bao gồm: hộp giảm tốc, rotor và stato, enconder. Tất cả được lắp
ghép lại thành một chiếc động cơ hoàn chỉnh.

Hình 2.3: Động cơ một chiều Harmonic Driver
Sơ đồ mạch tương đương của động cơ có dạng:

Hình 2.4: Sơ đồ mạch tương đương của động cơ điện một chiều
Các tham số của động cơ gồm có:
Bảng 2.3: Tham số động cơ Harmonic Driver
Thứ tự

Tham số

Ký hiệu

Đơn vị

Giá trị


1

Mô men quán tính của rotor

J

m2
s2

0,043

2

Tỷ số giảm chấn

b

Nms

1,5279

3

Điện trở rotor

R

Ohm

4,7

4

Điện cảm rotor

L

H

0,016

5

Hằng số sức điện động phản
hồi

K

Nm
A

4,91

6

Đầu vào điện áp

V

Volt

(-20÷20)

7

Góc quay theta



rad

kg

Mô men T của động cơ tỷ lệ với dòng điện phần ứng I theo hằng số Kt và
sức điện động phản hồi tỷ lệ với vận tốc góc của rotor theo hằng số Ke. Ta có
biểu thức:

T  Kt i

(2.9)

.

e  Ke 

Từ sơ đồ mạch tương đương hình 2.4, theo định luật Kirchoff 2 ta có:
..

.

J   b  Kt i
.
di
L  Ri  V  K e 
dt

(2.10)

Mặt khác ta có:

Kt  Ke

(2.11)

Thay (2.11) vào (2.10) ta có:
..

.

J   b   Ki
.
di
L  Ri  V  K 
dt

(2.12)


2. XÂY DỰNG HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỐNG
Biến đổi Laplace các phương trình (2.8) và (2.12), ta được:
-

Hàm truyền giữa vị trí của quả bóng trên thanh đỡ và góc quay của động cơ:

d
�I
�
Y ( s ) s 2  mg X ( s )
�2  m �
l
�r
�
� G ( s) 

-

Y ( s)

mgd
1

X (s)
�I
�s 2
l �2  m �
�r
�

(2.13)

Hàm truyền của động cơ DC (giữa điện áp đạt vào và góc quay):

s( Js  b)( s)  KI ( s)
( Ls  R ) I ( s )  V  Ks( s )
Thu gọn ta được:

H ( s) 
-

( s )
K

V ( s) s(( Js  b)( Ls  R )  K 2 )

(2.14)

Hàm truyền của cả hệ thống chính là hàm truyền của động cơ được “mắc”
nối tiếp với thanh đỡ qua tay đòn d. Gọi T(s) là hàm truyền của hệ thống, ta

có:

T ( s )  H ( s )G ( s )

Kmgdr 2
� T ( s)  3
s (( Js  b)( Ls  R )  K 2 )(lI  m)
Kmgdr 2
� T (s ) 
( JLlI  JLm) s 5  ( JRlI  JRm  bLlI  bLM ) s 4  (bRlI  bRm  K 2lI  K 2m)s 3
3. KHẢO SÁT ĐÁP ỨNG CỦA HỆ THỐNG HỞ
Với hàm truyền thu được và các tham số đã cho, sử dụng phần mềm
MATLAB ta có thể xây dựng đường đặc tính hở của hệ thống bằng m-file (xem
Phụ lục 1). Hàm truyền cuối cùng của hệ thống có dạng:
Transfer function:


1.985e-005
---------------------------------------7.569e-005 s^5 + 0.02492 s^4 + 3.442 s^3
Và đặc tính của hệ hở theo thời gian trên hình 2.5:

Hình 2.5: Đặc tính theo thời gian của hệ hở