SLIDE CHƯƠNG 4 LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG : Phân tích đáp ứng thời gian của hệ thống

CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

Chương 4:
Phân tích đáp ứng thời gian của hệ thống

3/18/2019
Automatic Control Systems

1

1


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

Nội dung
4.1 Đáp ứng thời gian của hệ thống liên tục
4.2 Đáp ứng bước và các đặc tính trong miền thời gian
4.3 Sai lệch xác lập
4.4 Đặc tính thời gian của hệ bậc 1
4.5 Đặc tính thời gian của hệ bậc 2
4.6 Ảnh hưởng của việc thêm điểm cực và điểm không và
hàm truyền đạt của hệ thống
4.7 Các điểm cực và điểm không trội

3/18/2019
Automatic Control Systems

2

CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.1 Đáp ứng thời gian của hệ thống
Phân biệt đáp ứng quá độ và đáp ứng xác lập
Định nghĩa : Đáp ứng thời gian (Time response) là hàm theo thời gian thể hiện
đáp ứng đầu ra của hệ thống với tín hiệu đầu vào tương ứng.
No pt vi phân: y (t )  yt (t )  y ss (t ), t  0

yt(t): đáp ứng quá độ
yss(t): đáp ứng xác lập

Đáp ứng quá độ (Transient response), yt(t)
 Trạng thái của hệ thống trong hoảng thời gian ngắn ngay khi có sự thay đổi
đầu vào tác động lên hệ thống
 Thể hiện đặc tính động của hệ thống
 Chỉ phụ thuộc vào các điểm cực của hệ thống, không phụ thuộc vào dạng tín
hiệu đầu vào
 Đối với hệ thống ổn định: lim yt (t )  0
t 

3/18/2019
Automatic Control Systems

3


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.1 Đáp ứng thời gian của hệ thống
Phân biệt đáp ứng quá độ và đáp ứng xác lập

Định nghĩa : Đáp ứng thời gian (Time response) là hàm theo thời gian thể hiện
đáp ứng đầu ra của hệ thống với tín hiệu đầu tương ứng.
No pt vi phân: y (t )  yt (t )  y ss (t ), t  0

yt(t): đáp ứng quá độ
yss(t): đáp ứng xác lập

Đáp ứng xác lập (Steady-state response), yss(t):
 Trạng thái đạt được ngay khi quá trình quá độ kết thúc
 Thể hiện độ chính xác của hệ thống
 Nếu đáp ứng xác lập không bằng với giá trị đặt ở đầu vào  giá trị sai lêch
xác lập (sai lệch tĩnh)

3/18/2019
Automatic Control Systems

4


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.1 Đáp ứng thời gian của hệ thống
Các tín hiệu thử nghiệm đặc trưng
Hàm bước đơn vị (Unit-step), us(t)

1 t  0
1
 L us (t ) 
 us (t )  
s

0 t  0
 Đánh giá sự nhanh chóng của hệ thống đáp ứng với thay đổi tức thời của đầu
vào
Hàm xung đơn vị (Unit-impulse), δ(t)
  (t ) 

du s  t  0

 L (t )  1
dt  0 t  0

 Đáp ứng xung = L-1 hàm truyền đạt của hệ thống

3/18/2019
Automatic Control Systems

5


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.1 Đáp ứng thời gian của hệ thống
Các tín hiệu thử nghiệm đặc trưng
Hàm bước (step function)

 r (t )  Rtus (t )
 Có khả năng kiểm tra hệ thống có đáp ứng tốt
với tín hiệu thay đổi tuyến tính theo thời gian
không

r(t )  Rus (t )

R

r(
t)

Đầu vào hàm dốc (Ramp function)



Rt
us

(t)

r (t )  Ru s (t )

us (t)

1

r (t ) 

0

Rt 2
u s (t )
2

t

Đầu vào hàm parabol (Parabolic function)
Rt 2
r (t ) 
u s (t )
2

3/18/2019
Automatic Control Systems

6


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.2 Đáp ứng bước đơn vị và các đặc tính miền thời gian
4.2.1 Đáp ứng bước đơn vị (Unit-step response)
 Định nghĩa : Đáp ứng của hệ thống với đầu vào bước đơn vị (bỏ qua các điều
kiện ban đầu)

H ( s )  G ( s )U s ( s) 

G ( s)
 G( s) 
 h(t )  L1 

s
 s 

Ex. 4.1. Tìm đáp ứng bước của các hệ thống sau

G (s) 

Go ( s )
1
 2
1  KGo ( s ) s  5s  6


1
h(t )  L 
L  2

s
(
s

5
s

6)
 s 


1  G ( s ) 

1 

1/ 6 3 / 6 2 / 6  1

2 t
3t
h(t )  L1 


  1  3e  2e
s  2 s  3 6
 s



3/18/2019
Automatic Control Systems

G0 (s) 



1
s 2  5s  3

K 3
7


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.2 Đáp ứng bước đơn vị và các đặc tính miền thời gian
4.2.1 Đáp ứng bước (Unit-step response)
Ex. 4.1. (cont’d)

Code Matlab để biểu diễn đồ thị của đáp ứng bước của hệ thống trên
Step Response

0.16
0.14
0.12
Amplitude

clear all
%Step-unit response
K=3;
Go=tf([1],[1 5 3]);
G=feedback(Go,K);
step(G);
xlabel('Time');
ylabel('Amplitude');

0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Time (sec)

3/18/2019
Automatic Control Systems

8


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.2 Đáp ứng bước đơn vị và các đặc tính miền thời gian
4.2.2 Đặc tính miền thời gian
 Độ quá điều chỉnh (Over shoot)
- Độ quá điều chỉnh lớn nhất:
Δm = ymax – yss
- Độ quá điều chỉnh lớn nhất (%) (PO)
y  yss


PO  max
100%  m 100%
yss
y ss
- Đo lường độ ổn định tương đối
 Thời gian trễ (Time delay), td : Thời gian cần để đáp ứng bước đạt đến 50% giá
trị cuối cùng (giá trị xác lập)
 Thời gian tăng (Rise time), tr : Thời gian để đáp ứng bước tăng từ 10% - 90%
giá trị cuối cùng (giá trị xác lập)
3/18/2019
Automatic Control Systems

9


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.2 Đáp ứng bước đơn vị và các đặc tính miền thời gian
4.2.2 Đặc tính miền thời gian
 Thời gian đáp ứng (Settling time), ts :
Thời gian để đáp ứng bước của hệ thống
đạt đến và giữ trong khoảng ± ε% (ε = 2
or 5) giá trị cuối cùng.

 Sai số xác lập (Steady-state error), ess
ess  limr (t )  y (t )  lim e(t )
t 

3/18/2019
Automatic Control Systems

t 

10


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.3 Sai số xác lập
4.3.1 Khái niệm chung
Định nghĩa : Sai số xác lập là sự khác nhau giữa tín hiệu đầu ra và giá trị đặt đầu
vào (đầu ra mong muốn) ở trạng thái xác lập
Giả sử mục tiêu điều khiển đặt ra là tín hiệu đầu ra y(t) bám tín hiệu đặt đầu vào
r(t), khi đó:
ess  limr (t )  y (t )  lim e(t )
t 

t 

e(t): sai lệch của hệ thống

 Nếu hệ thống kín không ổn định, ess không xác định
 Nếu hệ thống kín ổn định,
ess  lim e(t )  lim sE ( s )
t 

3/18/2019
Automatic Control Systems

s 0

11


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.3 Sai lệch xác lập
4.3.1 Khái niệm chung
 If H(s) = 1 (phản hồi đơn vị)
E ( s )  R ( s )  Y ( s )  R ( s )1  M ( s )
G (s)
R( s)
 R( s) 
R(s) 
1  G (s)
1  G( s)

M(s): hàm truyền đạt của hệ kín

 If H(s) # 1 (phản hồi không đơn vị):
G (s)
1  G (s) H ( s)  G ( s)

E ( s)  R( s)  Y ( s)  R( s) 

3/18/2019
Automatic Control Systems

G(s)
1  G ( s )H ( s )  1

R(s) 
R(s)
1  G(s) H (s)
1  G( s) H ( s)
12


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.3 Sai lệch xác lập
4.3.1 Khái niệm chung
Ghi chú !
 Trong thực tế, tín hiệu r(t) thường là tín hiệu thử nghiệm đặc trưng (hàm bước,
hàm dốc, hàm parabol …) nhưng có thể không phải là tín hiệu đặt thực tế. Khi
đó, các tính toán giá trị sai lệch này không phù hợp
 Nếu lim H ( s )  H (0)  K H tín hiệu đặt được định nghĩa là R( s )
s0
KH
 Nếu H(s) có điểm không bậc N tại s = 0 (sN) tín hiệu đặt được định nghĩa

3/18/2019
Automatic Control Systems

R( s)
KH sN

13


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.3 Sai lệch xác lập
4.3.2 Sai lệch xác lập của hệ thống có phản hồi đơn vị
sR ( s )
s 0 1  G ( s )

ess  lim sE ( s )  lim
s 0

ess Phụ thuộc đặc tính của G(s) và loại tín hiệu vào R(s)
 Loại hệ thống
Một cách tổng quát, hàm truyền đạt của hệ thống có thể biểu diễn như sau:
M

K  s  si 
G (s) 

i 1
P

s N  s  s j 

e Td s , M  N  P; si , s j  0; K , Td  R

j 1

N – số điểm cực của G(s) tại s = 0  loại hệ thống tương ứng là N

3/18/2019
Automatic Control Systems

14


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.3 Sai lệch xác lập
Ví dụ:
G (s) 

K (1  0.5s )
s (1  s )(1  2 s )(1  s  s 2 )

Hệ thống loại 1

G (s) 

K (1  2s )
s 3 (1  s )

Hệ thống loại 3

3/18/2019
Automatic Control Systems

15


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.3 Sai lệch xác lập
Ví dụ: Xác định loại hệ thống kín nếu hệ thống hở có hàm truyền đạt
G (s) 

K
(1  s )(1  10s)(1  20s)

10e0.2 s
G (s) 
(1  s )(1  10s)(1  20s)

G (s) 

10(s  1)
s 4 (s  5)(s  6)

3/18/2019
Automatic Control Systems

16


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.3 Sai lệch xác lập
4.3.2 Sai lệch xác lập của hệ thống có phản hồi đơn vị

sR( s )
ess  lim sE ( s )  lim
s 0

s 0 1  G ( s )

3/18/2019
Automatic Control Systems

17


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.3 Sai lệch xác lập
4.3.2 Sai lệch xác lập của hệ thống có phản hồi đơn vị
 Nếu r(t) = Rus(t):
ess 

( )=

R
R

1  lim G ( s ) 1  K p

e ss 

R
1 K p

s 0

- N = 0 (type 0): Kp = const. ess = const.

- N ≥ 1:

3/18/2019
Automatic Control Systems

Kp = ∞

Kp – hằng số sai lệch bước

ess = 0.

18


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.3 Sai lệch xác lập
4.3.2 Sai lệch xác lập của hệ thống có phản hồi đơn vị
 Nếu r(t) = Rtus(t):

R
R (s)  2
s
ess 

R
R
R



s 0 s  sG ( s )
lim sG ( s ) K v

R
Kv

ess  lim

s 0

- N = 0 (type 0): Kv = 0,

ess = ∞

Kv – hằng số sai lệch dốc

- N = 1 (type 1): Kv = const. ess = const.
- N ≥ 2:

Kv = ∞

3/18/2019
Automatic Control Systems

ess = 0.

19


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.3 Sai lệch xác lập
4.3.2 Sai lệch xác lập của hệ thống phản hồi đơn vị
 Nếu

t2
R
r (t )  R u s (t )  R ( s )  3
2
s

R
R
R


s 0 s 2  s 2 G ( s )
lim s 2G ( s ) K a

 ess  lim

s 0

- N = 0 (loại 0): Ka = 0.

ess = ∞

- N = 1 (loại 1): Ka = 0.

ess = ∞

t2
R us
2

e ss 

R
Ka

- N = 2 (loại 2): Ka = const. ess = const.
- N ≥ 3:

3/18/2019
Automatic Control Systems

Ka = ∞.

ess = 0

Ka – hằng số sai lệch parabol

20


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.3 Sai lệch xác lập
Ví dụ: Xét hệ thống với hàm truyền đạt hệ hở là G(s), khâu phản hồi H(s).
Phân tích sai lệch xác lập ứng với các loại tín hiệu vào khác nhau. Biết

G ( s) 

K ( s  3.15)
, and H ( s )  1
s ( s  1.5)( s  0.5)

N = 1, hệ thống loại 1
- Đầu vào hàm bước :
- Đầu vào hàm dốc:
- Đầu vào hàm parabol:

3/18/2019
Automatic Control Systems

R
0
s 0
1 K p
R
R
K v  lim sG ( s )  4 . 2 K  e ss 

s0
K v 4 .2 K
R
K a  lim s 2G ( s )  0  ess 

s 0
Ka
K p  lim G ( s )    ess 

21


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.3 Sai lệch xác lập
4.3.2 Sai lệch xác lập của hệ thống phản hồi đơn vị
Ex. 4.2. (cont’d): Let K = 0.5 and R = 2
% Parabolic response
[y,t]=lsim(G,parabol,t);
figure(3)
plot(t,parabol'-y);
xlabel('Time');
ylabel('e(t)=r(t)-y(t)');
grid on

1.5

e(t)=r(t)-y(t)

1

0

-1
-1.5

0

20

40

60

80

100

Time

Ramp response error

Parabolic response error

100
80
e(t)=r(t)-y(t)

60
40
20

20

40

60
Time

3/18/2019
Automatic Control Systems

0.5

-0.5

e(t)=r(t)-y(t)

K=0.5;R=2;
t=0:0.1:100;
step=R*ones(size(t));
ramp=R*t;
parabol=R*t.^2/2;
Go=tf(K*[1 3.15],[1 2 0.75 0]);
G=feedback(Go,1);
% Step response
[y,t]=lsim(G,step,t);
figure(1)
plot(t,step'-y);
3
xlabel('Time');
ylabel('e(t)=r(t)-y(t)');
2.5
grid on
2
% Ramp response
1.5
[y,t]=lsim(G,ramp,t);

1
figure(2)
0.5
plot(t,ramp'-y);
xlabel('Time');
0
ylabel('e(t)=r(t)-y(t)')
-0.5
0
grid on

Step response error
2

80

100

0

0

20

40

60

80

100

Time

22


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.3 Sai lệch xác lập
Ví dụ: Xác định các hằng số bước (Kp), hằng số dốc (Kv), hằng số parabol (Ka)
của hệ thống kín phản hồi đơn vị. Biết hàm truyền đạt hệ hở như sau
a).

1000
G (s) 
(0.1s  1)(10s  1)

b).

100
G (s)  2
s(s  10s  100)

c).

K (1  2s)(1  4s)
G (s) 
s 2 (s 2  s  1)

3/18/2019
Automatic Control Systems

23


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.3 Sai lệch xác lập
4.3.2 Sai lệch xác lập của hệ thống có phản hồi có H(s) ≠ 1
 Nếu H (0)  lim H (s)  K H  1
s 0

Tín hiệu đặt: R (t) 

1
r (t)
KH

1
1
E (s) 
R( s)  Y ( s) 
1  K H Gc (s) R(s)
KH
KH

1
ess  lim sE ( s )  lim
1  K H Gc (s)  sR (s)


s 0
s 0 K H

3/18/2019
Automatic Control Systems

24


CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG THỜI GIAN CỦA HỆ THỐNG

4.3 Sai lệch xác lập
4.3.2 Sai lệch xác lập của hệ thống có phản hồi có H(s) ≠ 1
 Nếu r(t) = Rus(t):

R (s) 

R
s

1  a0  b0 K H
ess 

KH 
a0

3/18/2019
Automatic Control Systems


R


25