Đề&Đáp án môn TOÁN khối A (ĐH 2009)

Bộ giáo dục và đào tạo
Đề chính thức
Đề thi tuyển sinh đại học năm 2009
Môn thi: toán; Khối A
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số
32
2
+
+
=
x
x
y
(1)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành,
trục tung lần lợt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phơng trình:
( )
( )( )
3
sin1sin21
cossin21
=
+

xx

xx
2. Giải phơng trình:
08563232
3
=+
xx
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân
( )

=
2
0
23
.cos1cos

xdxxI
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD
=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết
hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích hình chóp
S.ABCD theo a.
Câu V (1,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực dơng x, y, z thoả mãn x(x + y + z)=3yz, ta có:
(x + y)
3
+ (x + z)
3

+ 3(x + y)(x + z)(y + z) 5(y + z)
3
Phần riêng (3,0 điểm): Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chơng trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao
điểm của hai đờng chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đờng thẳng AB và trung điểm E
của cạnh CD thuộc đờng thẳng :
05
=+
yx
. Viết phơng trình đờng thẳng AB.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
0422
=
zyx
và mặt cầu
(S):
011642
222
=++
zyxzyx
. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo
một đờng tròn. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đờng tròn đó.
Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi z
1
và z
2

là hai nghiệm phức của phơng trình
0102
2
=++
zz
. Tính giá trị của biểu thức:
2
2
2
1
zzA
+=
B. Theo chơng trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C):
0644
22
=+++++
yxyx
và đờng
thẳng :
032
=++
mmyx
, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đờng tròn (C). Tìm m
để cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
0122
=+
zyx

và hai đờng
thẳng
1
:
6
9
11
1
+
==
+
zyx
,
2
:
2
1
1
3
2
1

+
=

=

zyx
. Xác định toạ độ điểm M thuộc đờng
thẳng

1
sao cho khoảng cách từ M đến đờng thẳng
2
và khoảng cách từ M đến mặt
phẳng (P) bằng nhau.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải hệ phơng trình
( )
( )





=
+=+
+
813
log1log
32
2
22
2
yxyx
xyxx
(x, y R)
--- Hết ---
Huớng dẫn chấm thi
Câu Đáp án Điểm
Phần chung cho tất cả các thí sinh

7
điểm
2
C©u I a)
Kh¶o s¸t hµm sè
32
2
+
+
=
x
x
y
1.00
a/ TËp x¸c ®Þnh:






−=
2
3
\RD
0.25
b/ Sù biÕn thiªn cđa hµm sè
• Giíi h¹n v« cùc, giíi h¹n t¹i v« cùc vµ c¸c ®êng tiƯm cËn

3 3

2 2
lim , lim
x x
y y
− +
− −
→ →
= −∞ = +∞
, nªn ®êng th¼ng
2
3
−=
x
lµ tiƯm cËn ®øng

2
1
lim
=
+∞→
y
x
,
2
1
lim
=
−∞→
y
x

, nªn ®êng th¼ng
2
1
=
y
lµ tiƯm cËn ngang
• B¶ng biÕn thiªn :
( )
2
3
;0
32
1
'
2
−≠∀<
+
−
=
x
x
y
Hµm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng






−∞−

2
3
;
vµ






+∞−
;
2
3
0.25
0.25
c/ §å thÞ:
§å thÞ c¾t trơc tung t¹i ®iĨm






3
2
;0
vµ C¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm
( )
0;2

−
NhËn xÐt : §å thÞ nhËn giao ®iĨm






−=
2
1
;
2
3
I
cđa hai ®êng tiƯm cËn lµm
t©m ®èi xøng.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-2
2
4
x
y
0.25
b)
ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun
1.00
* Tam giác OAB cân tại O nên tiếp tuyến song song với một trong hai

đường thẳng y = x hoặc y = -x. Mµ y’ < 0, nªn:

2
0
1
1
(2x 3)
−
= −
+
⇒
0 0
0 0
x 1 y 1
x 2 y 0
= − ⇒ =


= − ⇒ =


0.50
* ∆
1
: y – 1 = -1(x + 1) ⇔ y = -x (loại)
0.25
* ∆
2
: y – 0 = -1(x + 2) ⇔ y = -x – 2
0.25

C©u II 2.00
3
a)
Giải phơng trình
1.00
* K:
1
sin
2
x


, sinx 1
( ) ( ) ( )
( )
2
1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin
cos 2sin cos 3 1 sin 2sin
cos 3sin sin2 3cos2
= +
= +
= +
Pt x x x x
x x x x x
x x x x

0.50
*
cos cos 2
3 6

x x


+ =
ữ ữ

2
2
= x k


(loaùi)
2
18 3
= +x k

, k Z (thoả mãn)
0.50
b)
Giải phơng trình
3
2 3x 2 3 6 5x 8 0 + =
1.00
* Đặt
xvxu 56,23
3
==
với
0

v
Ta đợc
835
23
=+
vu
0.25
* Phơng trình đã cho tơng đơng với Hpt






=+
=+
0
825
832
23
v
vu
vu
0.25
* Giải hệ phơng trình ta đợc



=
=

4
2
v
u
0.25
* Do đó
2
456
223
3
=



=

x
x
x
. Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x =
-2
0.25
Câu 3
Tính tích phân
1.00
* Ta có
( )
21
2
0

2
2
0
5
2
0
23
coscoscos1cos IIxdxxdxxdxxI
===


0.25
* Tính
( )
( )
15
8
sin
5
1
sin
3
2
sinsinsin1cos
2
0
5
2
0
3

2
0
2
0
2
2
2
0
5
1
=+===




xxxxdxxdxI
0.25
* Tính
( )
4
2sin
2
1
.
2
1
2
1
2cos1
2

1
cos
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2



=+=+==

xxdxxxdxI
0.25
* Vậy
415
8
21

==
III
0.25
Câu 4
Tính thể tích của hình chóp
4

A
B
D
C
S
I
H
J

* Vì các mp(SBI) và mp(SCI) cùnh vuông góc với mp(ABCD), nên SI là
đờng cao của hình chóp
Gọi H là hình chiếu của I trên BC thì góc SHI là góc giữa 2 mp(SBC) và
mp(ABCD). Hay góc SHI = 60
0
0.25
* Đáy ABCD có diện tích là:
( )
2
3.
2
1
aADCDABS
d
=+=
0.25
* Tam giác IBC có diện tích
2
3
2

a
SSSS
ICDIABdIBC
==
Suy ra:
5
3
2.
a
IHSBCIH
IBC
==
vì với trung điểm M của AB thì tam
giác MBC vuông cân ,nên
5aBC
=
0.25
* Xét tam giác vuông SIH :
5
153
60tan.
0
a
IHSI
==
. Vởy thể tích của
hình chóp là :
5
153
..

3
1
3
a
SSIV
d
==

0.25
Câu 5
Chứng minh bất đẳng thức
1.00
* Vì x,y,z >0 nên x(x+y+z) = 3yz
1 3
y z y z
x x x x
+ + =
t
0, 0, 0
y z
u v t u v
x x
= > = > = + >
.Tađợc:
( ) ( )
2
2
2
1 3 3 3 3 4 4 0 2 3 2 0 2
2 4

+

+ = = +
ữ

u v t
t uv t t t t t
0.25
* Chia hai v cho x
3
bt ng thc cn chng minh a v
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 3 1 1 5u v u v u v u v+ + + + + + + +
0.25
*
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2 2
3
3 3
3 3
3
3 3 2
2 3 1 1 3 1 1 3 1 1 5
2 6 1 1 5 2 6(1 ) 5
1
2 6 1 5 4 6 4 0 2 1 2 0
3

+ + + + + + + +
+ + + + + + +
+

+ + + +
ữ

t u v u v u v t t
t u v t t u v uv t
t
t t t t t t t t t
0.50
* Lại do
2

t
,nên bất đẳng thức luôn đúng. Vậy ta có ĐPCM
5