Chuyên đề rút gọn phân thức đại số

Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591

Chuyên đề 1:
RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I – Phương pháp giải:
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu có) để tìm nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
II – Các dạng bài toán thường gặp:
1- Rút gọn phân thức.
( x  a)2  x 2
a 2  4 x 2  4ax
( x  a  x)( x  a  x)

(a  2 x) 2
a (2 x  a )

(2 x  a ) 2
a

2x  a

Câu1: a )

c)

a 4  3a 2  1
a 4  a 2  2a  1
a 4  3a 2  1
 4
a  (a 2  2a  1)

Câu : b)



a 4  2a 2  1  a 2
a 4  (a  1) 2



(a 2  1) 2  a 2
a 4  (a  1) 2



(a 2  1  a )(a 2  1  a )
(a 2  a  1)( a 2  a  1)



(a 2  a  1)
(a 2  a  1)

2 y2  5 y  2
2 y 3  9 y 2  12 y  4
(2 y 2  4 y )  ( y  2)

(2 y 3  4 y 2 )  (5 y 2  10 y )  (2 y  4)
2 y ( y  2)  ( y  2)
 2
2 y ( y  2)  5 y ( y  2)  2( y  2)

( y  2)(2 y  1)

( y  2)(2 y 2  5 y  2)
(2 y  1)

(2 y  1)( y  2)
1

y2
1
Với: y  -2 và y  2

2- Chứng minh.

1


Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591

Câu2 : a) Hãy chứng minh:
Giải:

a 3  4a 2  a  4
a 1

3
2
a  7a  14a  8 a  2

a 3  4a 2  a  4

a 3  7 a 2  14a  8
(a 3  a )  (4a 2  4)
 3
(a  8)  (7 a 2  14a)


a (a 2  1)  4(a 2  1)
(a  2)(a 2  2a  4)  7a (a  2)

(a  4)(a 2  1)
(a  2)(a 2  5a  4)
(a  4)(a  1)(a  1)

(a  2)(a  4)(a  1)
a 1

a2



Câu2 : b) Chứng minh phân thức sau không phụ thuộc vào x:
( x 2  a)(1  a)  a 2 x 2  1
( x 2  a)(1  a)  a 2 x 2  1

Giải:

( x 2  a )(1  a )  a 2 x 2  1
( x 2  a )(1  a )  a 2 x 2  1
x2  x2 a  a  a2  a2 x2  1
 2

x  x2 a  a  a2  a2 x2  1
x2  x2 a  a2 x2  a2  a  1
 2
x  x2 a  a2 x2  a2  a  1
x 2 (1  a  a 2 )  (1  a  a 2 )
 2
x (1  a  a 2 )  (1  a  a 2 )


( x 2  1)(1  a  a 2 )
( x 2  1)(1  a  a 2 )



1  a  a2
1  a  a2

Vậy: Phân thức không phụ thuộc vào x.
Câu2: c) Chứng minh rằng nếu

1 1 1
1
thì trong ba số x, y, z ít nhất
  
x y z x yz

cũng có một cặp số đối nhau .
Giải:
2

Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591

1 1 1
1
  
x y z x yz
yz  xz  xy
1
Ta có:

xyz
x yz
Từ đó ta có: ( x  y  z)( yz  xz  xy)  xyz

Từ:

Hay ( x  y  z)( yz  xz  xy)  xyz  0
Biến đổi vế trái:
( x  y  z )( yz  xz  xy )  xyz

 xyz  x 2 z  x 2 y  y 2 z  xyz  xy 2  yz 2  xz 2  xyz  xyz
 ( xyz  xz 2  y 2 z  yz 2 )  ( x 2 y  x 2 z  xy 2  xyz )
 z ( xy  xz  y 2  yz )  x( xy  xz  y 2  yz )
 ( xy  xz  y 2  yz )( x  z )
 ( x  y )( y  z )( x  z )

Vậy: ( x  y)( y  z)( x  z)  0
Tích ba nhân tử bằng 0 chứng tỏ rằng ít nhất phải có một nhân tử bằng
0, từ đó suy ra ít nhất có một cặp đối nhau.

3- Tính giá trị.
Câu3 : a) Tính giá trị của phân thức C =

x3  x 2  6 x
với x = 2008
x3  4 x

Giải: C = x3  x 2  6 x
x3  4 x
x( x 2  x  6)

x( x 2  4)
x 2  2 x  3x  6
( x  2)( x  2)
x( x  2)  3( x  2)

( x  2)( x  2)
x3

x2
2011
Với x = 2008 thì C =
2010


Câu 3: b) Cho a+b+c = 5. Tính giá trị của phân thức
a3  b3  c3  3abc
a 2  b2  c 2  ab  bc  ac
Ta có:a3  b3  c3  3abc

 a 3  b3  c3  3a 2 b  3ab 2  3a 2 b  3ab 2  3abc
 a 3  3a 2 b  3ab 2  b3  c 3  3a 2 b  3ab 2  3abc
 (a  b)3  c3  3ab(a  b  c)
 (a  b  c)[(a  b) 2  (a  b)c  c 2 ]  3ab(a  b  c)

3


Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591

Vậy:

a3  b3  c3  3abc
(a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac )

 abc 5
a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac
(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac)

Câu3: c) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn
Tính:

a b c
x y z
  0
   1 và
a b c
x y z

x2 y 2 z 2



a 2 b2 c 2

Giải:
x y z
  1
a b c
x y z
 (   )2  1
a b c
x 2 y 2 z 2 2 xy 2 xz 2 yz
 2  2  2 


1
ab
ac
bc
a
b
c
x 2 y 2 z 2 2 xyz c b a
 2  2  2 
(   ) 1
abc z y x
a
b
c
x 2 y 2 z 2 2 xyz a b c


 
(   ) 1
a 2 b 2 c 2 abc x y z
a b c
Mà:    0
x y z


Vậy:

x2 y 2 z 2


1
a 2 b2 c 2

4- Tổng hợp
Câu4 : a) Cho biểu thức A =

mn2  n2 (n2  m)  1
m 2 n 4  2n 4  m 2  2

a1) Rút gọn A.
a2) Chứng minh rằng A dương.
a3) Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị lớn nhất?
Giải:
2
2
2

a1) A = mn2 4 n (n4  m2)  1

m n  2n  m  2
mn 2  n 4  mn 2  1
 2 4
m n  m 2  2n 4  2
n4  1
 4
(n  1)(m 2  2)
1
 2
m 2

4


Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591

a2) Ta có: m2  0,  m.
Nên: m2 + 2 > 0,  m.
1
> 0,  m.
m 2
Vậy: A > 0,  m.

Do đó:

2

a3) Ta có: m2  0,  m.

Nên: m2 + 2  2,  m.
1
1
 ,  m.
m 2 2
1
Hay: A  ,  m.
2

Do đó:

2

Vậy: A đạt giá trị lớn nhất khi A =

1
2

Suy ra: m2 + 2 = 2 hay m = 0
2
2
x2
 2  4 x 3x  x  1

 3 :

Câu4: b) Cho M = 
.
x 1  x 1
3x

 3x

b1) Rút gọn biểu thức M.
b2) Tìm giá trị của M với x = 2008.
b3) Với giá trị nào của x thì M < 0 ?
b4) Với giá trị nào của x thì M nhận giá trị nguyên?
Giải:
b1) Điều kiện: x  0, x  -1, x 

1
2

2
2
x2
 2  4 x 3x  x  1


3
:

M =  3x x  1  x  1
3x

 ( x  2)( x  1)  2.3 x  3.3 x.( x  1)  x  1 3x  x 2  1

 . 2  4x 
3 x.( x  1)
3x



 x 2  3x  2  6 x  9 x 2  9 x  x  1 3x  x 2  1

 . 2  4x 
3 x.( x  1)
3x


(8 x 2  2)( x  1) 3 x  x 2  1


3 x.( x  1)(2  4 x)
3x


2(1  2 x)(1  2 x) 3 x  x 2  1

2.3x.(1  2 x)
3x

1  2 x  3x  x 2  1
3x
x( x  1)

3x
x 1

3



5


Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591

b2) Với x = 2008.
M=

2008  1
 669
3

b3) M < 0 khi x – 1 < 0 tức là x < 1. Kết hợp với điều kiện.
Vậy: M nhận giá trị âm với mọi x < 1 trừ các giá trị 0, -1,
b4) M nhận giá trị nguyên khi (x-1) 3 hay x -1 = 3k
Vậy: x = 3k +1 (k  Z)

1
.
2

(k  Z)

Câu5: a) Rút gọn biểu thức sau:
2
2
ab  ab
 a b


a
:
M =  a 

 2
2
a  b  a  b

 a b
2
2
Giải:
ab  ab

 a b
a


a
:
 2
2
M =  a  b 
 a  b
 a b

 a 2  ab  ab  ab  a 2  ab  a 2  b 2


. 2

2
ab
ab


 a b
a 4 a 2  b 2
 2
.
a  b2 a 2  b2
a 4
 2
a  b2

Câu5: b) Chứng tỏ:
a2  a  1 3
 ,
2
a2  1

a  R

Giải:
Ta có:  a  1  0  a 2  1  2a
(1)
Chia cả hai vế của (1) cho 2(a2+1), ta được:
2

1
a

 2
2 a 1
1
a
Do đó:  1  2  1
2
a 1
2
3 a  a 1
 
2
a2  1
a2  a  1 3
 ,
Vậy:
2
a2  1

a  R

6


Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591

Câu5: c) Tính giá trị của biểu thức sau:
ab
 x  a  x  2a  b
với x 
Q

 
2
 x  b  x  a  2b
3

Giải:

ab
, ta có:
2
ab
ba
xa 
a 
2
2
ab
a b
x b 
b 
2
2
xa ba 2


.
 1
x b
2 a b

Với x 

Ta lại có:

ab
3b  3a 3(b  a)
 2a  b 

2
2
2
ab
3a  3b 3(a  b)
x  a  2b 
 a  2b 

2
2
2
x  2a  b 3(b  a)
2


.
 1
x  a  2b
2
3(a  b)
x  2a  b 

Vậy: Q = (-1)3-(-1) = -1+1 = 0
Câu6: a) Rút gọn biểu thức sau:
A=

1
1
1


(a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b)

Với a, b, c đôi một khác nhau.
Giải:
A=

1
1
1


(a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b)
1
1
1



(a  b)(c  a ) (b  c)(a  b) (c  a )(b  c)
(b  c)  (c  a )  (a  b)


(a  b)(b  c)(c  a)
b  c  c  a  a  b

(a  b)(b  c)(c  a)
(a, b, c đôi một khác nhau)
0

Câu6: b) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc a, b, c.
7


Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591

B=

4a 2  1
4b2  1
4c 2  1


(a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b)

Với a, b, c đôi một khác nhau.
Giải:
B

4a 2  1
4b 2  1
4c 2  1



(a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b)



a2
b2
c2
 4. 



 (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b) 


1
1
1




 (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b) 


a 2
b 2
c 2
 4. 



0
 (a  b)(c  a ) (b  c)(a  b) (c  a)(b  c) 
 a 2 (b  c)  b 2 (c  a)  c 2 (a  b) 
 4. 

(a  b)(b  c)(c  a )


 a 2 b  a 2 c  b 2 c  ab 2  ac 2  bc 2 
 4. 

(a  b)(b  c)(c  a )


 a 2 c  b 2 c  ab 2  a 2 b  ac 2  bc 2 
 4. 

(a  b)(b  c)(c  a )


 c(a 2  b 2 )  ab(a  b)  c 2 (a  b) 
 4. 

(a  b)(b  c)(c  a )


 (a  b)[c(a  b)  ab  c 2 ] 
 4. 


 (a  b)(b  c)(c  a ) 
 (a  b)(cb  c 2  ab  ca ) 
 4. 

 (a  b)(b  c)(c  a ) 
 (a  b)(b  c)(c  a ) 
 4. 
4
 (a  b)(b  c)(c  a ) 

( a, b, c đôi một khác nhau )

Câu6: c) Tính giá trị của biểu thức sau:
P

x  2a x  2b
4ab
với x 

x  2a x  2b
ab

Giải:

8


Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591

x  2a x  2b


x  2a x  2b
( x  2a)( x  2b)  ( x  2a)( x  2b)

( x  2a )( x  2b)
P



x 2  2bx  2ax  4ab  x 2  2bx  2ax  4ab
x 2  2(a  b) x  4ab



2( x 2  4ab)
x 2  2(a  b) x  4ab

Thay x 

4ab
vào P ta có:
ab

 16a 2 b 2

2
 4ab 
2
( a  b)


P 2 2
16a b
 8ab  4ab
( a  b) 2
 16a 2 b 2

2
 4ab 
2
( a  b)

  2 2
 16a b

 4ab 

2
 ( a  b)

2

9


Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591

10