Đề thi thi vào 10 chuyên toán bình thuận có đáp án

ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO BÌNH THUẬN 2015 1
1.

ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN TRẦN
HƯNG ĐẠO 2015
1. BÀI 1 (2 điểm). Giải phương trình:

bằng) là x  y  z  2 . Kiểm tra lại ta
thấy khi x  y  z  2 thì mỗi số hạng
của
vế
trái
bằng
1
1
1
1


 , tổng của ba
x  3x  5x 
8x 2 2x 2 4

x  8  2 x  9  x  20 ĐS: x = 25
GIẢI


x  8  2 x  9  x  20



x  9  1  x  20

�
�x �21

�
x  9  x  21
2
�x  9   x  21
�x �21
�x �21
�
x  25  x = 25
 ��
�2
�x  43x  450  0
��
x  18
��




2. BÀI 2 (2 điểm). Một bác nông dân
đem trứng ra chợ bán. Tổng số trứng
bán ra được tính như sau:
Ngày thứ nhất bán được 8 trứng và
1/8 số trứng còn lại.
Ngày thứ hai bán được 16 trứng và 1/8
số trứng còn lại.

Ngày thứ ba bán được 24 trứng và 1/8
số trứng còn lại.
…
Cứ như vậy cho đến ngày cuối cùng
thì bán hết trứng. Nhưng thật thú vò,
số trứng bán được trong mỗi ngày
đều bằng nhau. Hỏi tổng số trứng
bán được là bao nhiêu và bán hết
trong mấy ngày? ĐS: 392 trứng, 7
ngày
GIẢI
 Gọi x là tổng số trứng bán được (x 
N*) thì :
 Số trứng bán được trong ngày thứ
nhất là:
x 8
8
8
 Số trứng bán được trong ngày thứ hai
là:
x 8 �
�
x �
16  8 
�
8 �
�
16 
8
 Theo đề toán ta có phương trình:

x 8 �
�
x �
16  8 
�
x 8
8 �
�
8
 16 
8
8
 Giải phương trình ta được x = 392
 Vậy tổng số trứng bán được là 392
trứng.
 Số trứng bán được trong mỗi ngày là
x 8
8
 56
8
 Số ngày là 392 : 56 = 7 (ngày)
3. BÀI 3 (2đ). Cho các số thực dương x,y,z
thỏa x  y  z  3 2 . Chứng minh rằng:
1
x  3y  5z 




1

y  3z  5x 



1

3
�
z  3x  5y  4

GIẢI
Dự đoán điểm rơi (điểm xảy ra dấu

số hạng đúng bằng 3/4 .






Mỗi số hạng của vế trái có dạng

1

ab
nên ta liên tưởng đến bất đẳng thức
1
2
�
(nghòch đảo của trung bình

ab a  b
nhân  nghòch đảo của trung bình cộng
suy ra từ bất đẳng thức Cô-si:
ab
ab �
). Dấu = xảy ra khi a = b .
2
Trong phân thức thứ nhất của vế trái,
khi dấu = xảy ra thì 3y + 5z = 8x nên ta
nhân tử và mẫu với 8  2 2 để làm
xuất hiện 8x trong dấu căn, nghóa là:
1
2 2
4 2

�
(1)
x  3y  5z 
8x  3x  5y  8x  3y  5z
Tương tự ta có:
1

4 2
�
 2
y  3z  5x  8y  3z  5x
1

4 2
�

 3
8z

3z  5y
z  3x  5y 


Cộng từng vế các bất đẳng thức
cùng chiều (1), (2), (3) ta được:
�
�
1
1
1
VT �4 2 �


�(*)
�8x  3y  5z 8y  3z  5x 8z  3x  5y �



Biểu thức trong dấu ngoặc có dạng
1 1 1
 
ta liên tưởng đến bất đẳng
a b c
1 1 1
9
thức   �

chứng minh như sau:
a b c abc
 Theo bất đẳng thức Cô-si áp dụng cho
ba số không âm ta có:
�
a  b  c �3 3 abc
�
�1 1 1 �
�1 1 1
1   a  b  c  �a  b  c ��9 
3
�
�
�   �3
abc
�a b c
1 1 1
9
  �
. Dấu = xảy ra  a = b = c
a b c abc
1 1 1
9
 Áp dụng bất đẳng thức   �
a b c abc
vào
(*)
ta
được
9

9
3
VT �4 2.
 4 2.

16  x  y  z 
16.3 2 4


Dấu
=
xảy
ra
8x  3y  5z
�
�
8y  3z  5x
�
�
8z  3x  5y
�
�
8x  3y  5z  8y  3z  5x  8z  3x  5y
�





ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO BÌNH THUẬN 2015 2

xyz

xyz 3 2

 2
3
3


ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO BÌNH THUẬN 2015 3
4. BÀI 4 (3đ). Cho đường tròn (O) đường
kính AB = 2R, điểm C di động sao cho
�  600 và các đoạn thẳng AC, BC lần
ACB
lượt cắt đường tròn (O) tại hai điểm D,
E.
a) Chứng minh rằng khi điểm C di động thì
đường thẳng DE luôn tiếp xúc với
một đường tròn cố đònh.
b) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông
góc của A, B trên đường thẳng DE.
Xác đònh vò trí điểm C để tích AM.BN đạt
giá trò lớn nhất.
GIẢI
C

5. BÀI 5 (2đ). Trên bảng viết các số
1
2
2014 2015

,
,...,
,
. Mỗi lần biến đổi,
2015 2015
2015 2015
xóa đi hai số a, b bất kỳ và thay bằng
số a + b – 5ab. Hỏi sau 2014 lần thực
hiện phép biến đổi trên bảng còn lại
số nào? ĐS: 1/5
GIẢI
 Mỗi lần biến đổi ta xóa đi hai số và
thêm lại một số nên tổng kết mỗi
lần biến đổi giảm đi một số. Sau 2014
lần biến đổi giảm đi 2014 số và còn
lại 01 số.
 Giả sử các số trên bảng đang là a1,
a2, …, ak tại một thời điểm bất kỳ.
 Cho tương ứng bảng số trên với tích
 5a1  1  5a 2  1 ...  5a k  1 .


N
E
H
D

= 5a  5b  25ab  1 =   5a  1  5b  1

M



A

a)

Sau mỗi lần biến đổi xóa đi hai số a, b
bất kỳ và thay bằng số a + b - 5ab thì
tích trên mất đi hai thừa số 5a  1 , 5b  1
nhưng được thêm thừa số 5  a  b  5ab   1

B

O









1
�  1 s�AB
�  DE
�
�
 600  1800  DE


s�ACB
2
2
�  600  DOE
�  600 mà OD = OE = R  
DE

R 3

2
R 3
DE tiếp xúc đường tròn (O,
) cố
2
đònh.
�  600  C di động trên hai cung chứa
b) ACB
góc 600 dựng trên đoạn AB giới hạn sao
cho các đoạn thẳng CA, CB phải cắt
đường tròn (O).
 OA = OB, OH//AM//BN (cùng vuông góc
với DE)  OH là đường trung bình của
hình thang ABNM  AM  BN  2OH  R 3
không đổi  tích AM.BN lớn nhất =
ODE đều cạnh R  đường cao OH 

2

2

�R 3 � 3R 2
�AM  BN �
=
�
�
�
�2 �
�  4  AM = BN  C
� 2
�
�
�
là điểm chính giữa của hai cung chứa
góc 600 dựng trên đoạn AB.

Như vậy sau mỗi lần biến đổi tích chỉ
đổi dấu.
Vì tích ban đầu bằng 0 (do bảng ban đầu
1 403
có thừa số 
nên thừa số tương
5 2015
1
ứng bằng 5.  1  0 ) nên sau 2014 lần
5
thực hiện phép biến đổi trên bảng số
và trên tích tương ứng thì số cuối
cùng x cũng phải cho tích bằng 0 tức
1
là 5x – 1 = 0  x 

5