Đề thi và Đ/án chuyên Ngữ Hà Nội-09-10

Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2009
Môn Thi : Toán
(Thời gian làm bài 120 phút)
Ngày thi 07-06-2009
Câu 1: (2điểm)
Cho biểu thức

3
3
2
3 2
3
3
3
3
3 2
3
2
4
.
2
2
2
2:
2
8
xx
x
x
x
x

x
x
x
x
A
+










++








+
+
+

=

(
)0;8;8

xxx
Chứng minh A không phụ thuộc biến số
Câu 2 : ( 2 điểm)
Cho phơng trình bậc 2 : x
2
-2(m+1)x+4m-m
2
=0 ( tham số m)
a-Chứng minh PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
2-Gọi x
1
;x
2
là 2 nghiệm của phơng trình .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

21
xxM
=
Câu 3: ( 2 điểm)
Giải hệ phơng trình






=+++

=++++
0424
0)(2
22
22
yxyx
xyyxyx
Câu 4:(3 điểm)
Trên (O;R) lấy 2 điểm A;B tuỳ ý ;C thuộc đoạn AB (C khác A;B)
.Kẻ đờng kính AD Cát tuyến đi qua C vuông góc với AD tại H,cắt (O) tại M;N
.Đờng thẳng đi Qua Mvà D cắt AB tại E.Kẻ EG vuông góc với AD tại G
a- Chứng minh tứ giác BDHC,AMEG nội tiếp.
b- Chứng minh AM
2
=AC.AB
c- Chứng minh AE.AB+DE.DM=4R
2
Câu 5: ( 1 điểm)
Với x,y là số thực thoả mãn x+y+xy=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x
2
+y
2
--------------Hết------------
Hớng dẫn
Câu 1: (2điểm)

xxxA
xx
xx

x
xx
x
xx
x
xxx
A
=+=
+
+









+
+








+

++
+
++
=
22
)2(
)2)(2(
.
2
222
2
24
:
2
)24)(2(
33
3
3
33
3
3
3
3 2
3
3 2
3
3
3 2
33

Câu 2 : ( 2 điểm)
a-
mmmmmmm
>++=+=++=
0
2
1
)
2
1
(21224)1(
2222/
b- M
2
=(x
1
-x
2
)
2
=( x
1
+x
2
)
2
-4x
1
.x
2

=4(m+1)
2
- 4(4m-m
2
)=4m
2
+8m+4-16m+4m
2
M
2
=8m
2
-8m+4=2(2m-1)
2
+2

2 nên
2

M

vậy Min(M)=
2
khi
2
1
=
m
Câu 3: ( 2 điểm)

=+++
=++++
)2(0424
)1(0)(2
22
22
yxyx
xyyxyx
(1)
02)1(2
22
=++++
yyxyx
coi là phơng trình bậc 2 ẩn x tham số y
12)1(
22/
=+=
yyy
>0 PT có 2 nghiệm phân biệt
x
1
=-y; x
2
=-y-2
Với x=-y thay vào PT (2) ta đợc PT : y
2

-3y+2=0 nhẩm a+b+c=0 ta có y=1 hoặc y=2
Với x=-2-y thay vào PT (2) ta đợc PT : y
2
-y=0 ta có y=0 hoặc y=1
Vậy hệ có 4 nghiệm (x;y)=(-1;1);(-2;2);(-2;0);(-3;1)
Câu 4:(3 điểm)
H
G
E
N
M
O
A
D
B
C
Câu 5: ( 1 điểm)
Với x,y là số thực thoả mãn x+y+xy=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x
2
+y
2
a-

CHD+

CBD=180
0
nên tứ giác BHDC nội tiếp

AGE+

AME=180
0
nên tứ giác AMEG nội tiếp
b-

AME đ d

ABM (gg) nên AM
2
=AC.AB
c-

AGE đ d ABD (gg) nên AE.AB=AG.AD (1)

DAM đ d DEG (gg) nên DE.DM=DG.AD (2)
Từ (1) và (2) ta có
AE.AB+DE.DM=AD(AG+GD)=AD
2
=4R
2
C¸ch 1: 3P=3x
2
+3y
2
=(x
2
+4)+(y
2

+4)+ 2(x
2
+y
2
)-8
≥
4x+4y+4xy-8=32-8=24
VËy
8243
≥⇔≥
PP
Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P=8 khi x=y=2
C¸ch 2: 3P-4(x+y+xy)= 3x
2
+3y
2
-4x-4y-4xy=(x-2)
2
+(y-2)
2
+2(x-y)
2
-8
8
−≥
Hay
82438323
≥⇔≥⇔−≥−
PPP
T«i cßn 1 c¸ch n÷a