LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CÓ ĐÁP ÁN

Mục lục
Dạng
Dạng
Dạng
Dạng
Dạng
Dạng

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Biểu diễn véc-tơ . .
Ba điểm thẳng hàng
Quỹ tích . . . . . .
Tỷ lệ . . . . . . . .
Min - Max . . . . .
Tích vô hướng . . .

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

1

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

2
8
10
12
14
19


2

MỤC LỤC
Dạng 1. Biểu diễn véc-tơ

Câu 1. Cho tam giác ABC biết AB = 3, BC = 4, AC = 6, I là tâm đường tròn nội tiếp

#»
#»
#»
#»
tam giác ABC. Gọi x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xIA + y IB + z IC = 0 . Tính
x y z
P = + + .
y z x
41
3
23
2
A. P = .
B. P = .
C. P = .
D. P = .
12
4
12
3
(Vũ Ngọc Thà)

LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning

Câu 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam
# » #» # »
giác BCI. Đặt #»
a = AB, b = AD. Hãy tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau?
2 #»
5 #»

2 #»
#»
# » 5
# » 5
# »
# » 4
A. AG = #»
a + b . B. AG = #»
a + b.
C. AG = #»
a + b.
D. AG = #»
a + b.
6
3
6
6
3
3
(Nguyễn Thị Tiết Hạ)
Câu 3. Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b. Gọi
nội tiếp tam giác ABC. Đẳng thức nào sau đây đúng?
#»
#»
# » #»
#»
#»
#»
A. aIA + bIB + cIC = 0 .
B. bIA + cIB + aIC =

#»
#»
# » #»
#»
#»
#»
C. cIA + bIB + aIC = 0 .
D. cIA + aIB + bIC =

I là tâm đường tròn
#»
0.
#»
0.

(Dương Bảo Trâ)
Câu 4. Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn, ADC = 30◦ . Biết DA = a, DC = b,
# »
# »
# »
hãy biểu diễn DB theo hai
√ véc-tơ DA và DC.
# » # » # »
# » # » b−a 3# »
DC.
B. DB = DA + DC.
A. DB = DA +
b
# » # » b−a# »
# »

# »
# »
C. DB = DA +
DC.
D. DB = bDA + aDC.
b
(Đỗ Thị Hồng )
# »
# » #»
Câu 5. Cho hình bình hành ABCD, M là điểm thỏa mãn 5AM + 2CA = 0 . Trên các cạnh
AB, BC lần lượt lấy các diêm P , Q sao cho M P ∥ BC, M Q ∥ AB. Gọi N là giao điểm của
AN
CN
AQ và CP . Giá trị của tổng
+
bằng
AQ
CP
25
21
24
23
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

19
19
19
19
(Kim Duyên Nguyễ)
# »
Câu 6. Cho tứ giác ABCD, M là điểm tùy ý. K là điểm cố định thỏa mãn đẳng thức M A +
# » # »
# »
# »
M B + M C + 3M D = xM K. Giá trị x bằng
A. 6.
B. 2.
C. 5.
D. 4.
(Phạm Thị Ngọc - )
Câu 7. Cho tam giác ABC, trên cạnh AC, BC lần lượt lấy điểm M , N sao cho AM = 3M C,
N C = 2N B. Gọi O là giao điểm của AN và BM . Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích
tam giác OBN bằng 1.
A. 30.
B. 24.
C. 20.
D. 45.
(Nguyễn Thanh Hoà)
Câu 8. Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên BC kéo dài sao cho IB = 3IC. Gọi J, K lần lượt
# »
#»
# »
là các điểm trên cạnh AC, AB sao cho JA = 2JC, KB = 3KA. Khi đó, BC = mAI + nJK.
Tính tổng P = m + n.

A. −34.
B. 34.
C. −14.
D. 14.


MỤC LỤC

3

(Trần Ngọc Uyê)
# »
Câu 9. Cho hình bình hành ABCD, lấy M trên cạnh AB và N trên cạnh CD sao cho AM =
1# » # » 1# »
#»
# » #»
#»
AB, DN = DC. Gọi I và J lần lượt là các điểm thỏa mãn BI = mBC, AJ = nAI. Khi J
3
2
là trọng tâm tam giác BM N thì tích m · n bằng bao nhiêu?
1
2
A. .
B. 3.
C. .
D. 1.
3
3
(Phạm Văn Huấ)

Câu 10. Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy điểm M , trên cạnh BC lấy N sao cho AM =
3M B, N C = 2BN . Gọi I là giao điểm của AN với CM . Tính diện tích tam giác ABC biết
diện tích tam giác ICN bằng 2.
3
33
9
A. .
B.
.
C. 11.
D.
.
2
2
11
(Hứa Nguyễn Tường Vy-FB:)
# »
# »
#»
Câu 11. Cho ABC có trọng tâm G và hai điểm M , N thỏa mãn 3M A − 2CM = 0 ,
# »
# » #»
N A − 2N B = 0 . Chọn mệnh đề đúng.
# »
# »
# »
# »
# »
# »
# »

# »
A. N G = 4GM .
B. N G = 5GM .
C. N G = 6GM .
D. N G = 7GM .
(Trần Công Sơ)
# »
# » #»
Câu 12. Cho tam giác ABC. Gọi A , B , C là các điểm xác định bởi 2018A B +2019A C = 0 ,
# »
# » #»
# »
# » #»
2018B C + 2019B A = 0 , 2018C A + 2019C B = 0 . Khi đó, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ABC và A B C có cùng trọng tâm. B. ABC = A B C .
C. ABC ∼ A B C .
D. ABC và A B C có cùng trực tâm.
()
Câu 13. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi điểm M là trung điểm BC. Tính độ dài của
1# »
# »
véc-tơ AB + 2AC.
2√
√
√
√
a 21
a 21
a 21
a 21

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
2
4
7
Câu 14. Cho ABC có M là trung điểm của BC, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại
# » # » # »
# »
tiếp. Tìm x để HA + HB + HC = xHO.
A. x = 2.
B. x = −2.
C. x = 1.
D. x = 3.
(Tran Quoc An)
Câu 15. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL.
a + bk 2
Giả sử ngoài ra còn có CM = kAL. Biết cos A =
. Tính a + b + c + d.
c + dk 2
A. 18.
B. 5.
C. 26.
D. 17.

(Bùi Duy Nam)
# »
# » #»
Câu 16. Cho tam giác ABC. Gọi M , N , P là các điểm lần lượt thỏa mãn M A + 3M B = 0 ,
# » 1# » # »
# » #»
AN = AC, 2P B + 3P C = 0 . Gọi K là giao điểm của AP và M N . Trong các mệnh đề sau,
3
mệnh đề nào đúng?
# »
# » #»
# »
# » #»
A. 4KA + 5KP = 0 .
B. 3KA + 2KP = 0 .
# » # » #»
# » # »
C. KA + KP = 0 .
D. KA = KP .
(Pham Thanh My)


4

MỤC LỤC

Câu 17. Cho hình thang ABCD, (AB ∥ CD) có hai đường chéo vuông góc với nhau. Biết
# » # »
AB + CD = 20cm. Tìm AC + BD .
A. 40cm.

B. 20cm.
C. 30cm.
D. 10cm.
(Nguyễn Yến)
Câu 18. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4. Gọi AD là đường phân giác trong của góc
# »
# »
# »
A. Biết AD = mAB + nAC. Khi đó tổng m + n có giá trị là
1
1
A. 1.
B. −1.
C. .
D. − .
7
7
(Thanh Lâm Lê)
Câu 19. Cho tam giác ABC bất kì, gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,
CA. H, H lần lượt là trực tâm các tam giác ABC, M N P . Khẳng định nào đúng trong các
khẳng định sau?
# »
# »
# » # » # »
# » # » # »
A. HA + HB + HC = 3HH .
B. HA + HB + HC = 2HH .
# »
# » # » # » #»
# » # » # »

C. HA + HB + HC = 0 .
D. HM + HN + HP = 3HH .

LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning

(Huỳnh Kim )
Câu 20. Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm bất kì bên trong tam giác. Gọi D,
E, F lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA, AB. Với giá trị nào của k ta có hệ thức
# » # » # »
# »
M D + M E + M F = k M O.
3
1
B. k = 1.
C. k = .
D. k = 2.
A. k = .
2
2
(Huỳnh Kim )
Câu 21.
Một giá đỡ hình tam giác được gắn vào tường (như hình vẽ). Tam giác
ABC vuông cân tại B. Người ta treo vào điểm A một vật nặng 10 N.
Tính độ lớn của các lực tác động vào tường tại B và C? (Bỏ qua khối
lượng của giá đỡ)
√
√
B. FB = 10 N, FC = 10 √
2 N.
A. FB = 10 2 N, FC = 10 N.

C. FB = FC = 10 N.
D. FB = 10 N, FC = −10 2 N.

B

C

A

10N

(Nguyễn Thanh Dũ)
# » # » # » #»
Câu 22. Cho ba điểm A, B, C thuộc đường tròn tâm O, thỏa mãn OA + OB + OC = 0 . Tính
góc AOB?
B. AOB = 90◦ .
C. AOB = 150◦ .
D. AOB = 30◦ .
A. AOB = 120◦ .
(Trần Gia Chuâ)
1# » 2# »
# »
Câu 23. Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC thỏa mãn AM = AB + AC, khẳng
3
3
định nào sau đây là khẳng định đúng?
# »
# »
# »
# »

A. M B = 2M C.
B. M B = 2M C.
C. M C = 2M B.
D. M C = −3M B.
(Trần Gia Chuâ)
Câu 24. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, M là một điểm tùy ý nằm bên
trong tam giác đã cho; gọi A , B , C theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh
# » # » # »
k
# »
BC, CA và AB. Khi đó ta có đẳng thức vectơ k M A + M B + M C = lM O, kl = 0, là
l
phân số tối giản. Tính 2k 2 − l2 .
A. 2k 2 − l2 = 1.
B. 2k 2 − l2 = −1.
C. 2k 2 − l2 = 14.
D. 2k 2 − l2 = −5.
(Cao Văn Tùng-FB: Cao )


MỤC LỤC

5

1# »
# » 1# » # »
Câu 25. Cho hình vuông ABCD, E, F thõa mãn BE = BC; CF = − CD; AE ∩ BF = I.
3
2
#»

# »
# »
Ta có AI = k AB + lAD. Khi đó tỉ số k, l thỏa mãn cặp nào sau
2
6
2
5
3
6
1
3
B. k = ; l = .
C. k = ; l = .
D. k = − ; l = .
A. k = ; l = .
5
5
5
5
6
6
5
3
(Nguyễn Thị Trang-Fb:Trang )
Câu 26. Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N sao cho
AM = 3M C, N C = 2N B, gọi O là giao điểm của AN và BM .Tính diện tích ABC biết diện
tích OBN bằng 1.
A. 10.
B. 20.
C. 25.

D. 30.
(Nguyễn Thị Phương Thảo)
Câu 27. Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Chọn khẳng định đúng?
# » # » # »
# »
# » # » # »
# »
A. HA + HB + HC = 4HO.
B. HA + HB + HC = 2HO.
# » # » # » 2# »
# » # » # »
# »
C. HA + HB + HC = HO.
D. HA + HB + HC = 3HO.
3
Câu 28. Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC, O là một điểm trên đoạn AD sao
cho AO = 4OD. Gọi {E} = CO ∩ AB, {F } = BO ∩ AC, {M } = AD ∩ EF . Khẳng định nào
sau đây đúng?
2 # »
# »
# » 1# »
# » 2# »
# » 1# »
B. M O = AD.
C. M O = AD.
D. EM = BC.
A. M O = AD.
7
15

8
7
(Tác giả: Nguyễn Đặng)
Câu 29. Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC,
BD. Kẻ N H ⊥ AD (H ∈ AD) và M E ⊥ BC (E ∈ BC). Gọi {I} = M E ∩ N H, kẻ IK ⊥ DC
(K ∈ DC). Khi đó trong tam giác M N K hệ thức nào đúng?
#»
# »
# » #»
A. M K · IN + N K · IM + M N · IK = 0 .
#»
# »
# »
#»
B. IN · tan N + IM · tan M + IK · tan K = 0 .
#»
# »
# »
#»
C. IN · cot N + IM · cot M + IK · cot K = 0 .
# » # » # » #»
D. IN + IM + IK = 0 .
(Tác giả: Nguyễn Văn Toản, Email: )
Câu 30. Cho ABC, điểm M thuộc cạnh BC sao cho 2018 · S ABM = 2019 · S ACM . Đẳng
thức nào sau đây sai?
# »
# » #»
A. 2018 · S ABC = 4037 · S ACM .
B. 2018 · BM + 2019 · CM = 0 .
2019

# » 4037 # »
· BM .
D. S ABM =
· S ABC .
C. BC =
2018
4037
(Tác giả: Nguyễn Văn Phùng, gmail: )
Câu 31. Cho

ABC, điểm M thuộc cạnh BC sao cho S

= 3·S

ACM . Một đường thẳng
AB
AC
AM
cắt các cạnh AB, AM , AC lần lượt tại B , M , C phân biệt. Biết rằng
+2
= k·
.
AB
AC
AM
Tìm số k.
2
A. k = 1.
B. k = 2.
C. k = 3.

D. k = .
3
ABC

(Tác giả: Nguyễn Văn Phùng, gmail: )
Câu 32. Cho n điểm phân biệt trên mặt phẳng. Bạn An kí hiệu chúng là A1 , A2 , . . . , An .
# » # »
# »
Bạn Bình kí hiệu chúng là B1 , B2 , . . . , Bn (A1 = Bn ). Vectơ tổng A1 B1 + A2 B2 + · · · + An Bn
bằng
# »
# »
# »
#»
A. 0 .
B. A1 An .
C. B1 Bn .
D. A1 Bn .

LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning

(Nguyễn Văn Quân-FB:Quân Nguyễ)


6

MỤC LỤC

Câu 33. Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB và CD cắt nhau tại M . Qua trung điểm
AK

AM 2
S của BD kẻ SM cắt AC tại K sao cho
= a. Tính
CK
CM 2
1
D. a.
A. 2a.
B. a2 .
C. 2 .
a
2# » # »
# »
Câu 34. Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn BD = BC, AE =
3
1# »
AK
AC. Điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Xác định tỉ số
.
4
AD
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
2

3
2
5
(Facebook: Lê Văn Kỳ, Email: )
Câu 35. Cho tam giác ABC vuông tại C, có AC = b, BC = a và D là chân đường cao hạ tự
đỉnh C. Khẳng định nào sau đây là đúng?
b2 # »
a2 # »
b2 # »
a2 # »
# »
# »
CA
+
CB.
B.
CD
=
CA
−
CB.
A. CD = 2
a + b2
a2 + b 2
a2 + b 2
a2 + b 2
a2 # »
b2 # »
a2 # »
b2 # »

# »
# »
C. CD = 2
AC
+
BC.
D.
CD
=
AC
−
BC.
a + b2
a2 + b 2
a2 + b 2
a2 + b 2
#»
# » # » #»
Câu 36. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm xác định bởi 5IA−7IB − IC = 0 .
EA
.
Gọi E là giao điểm của AI và BG. Tính tỷ số
EI
1
1
A. 2.
B.
.
C. 3.
D. .

2
3
(Tác giả: Nguyễn Thị Thu Huyền. Tên FB: Thu Huyen Nguyen)
Câu 37. Cho hai tia Ox, Oy vuông góc. Trên tia Ox lấy các điểm A, B sao cho OA = OB = 1.
C là điểm thuộc đoạn OA, N là một điểm thuộc đoạn OB và dựng hình vuông OCM N . Trên
đoạn CM lấy điểm Q và dựng hình vuông ACQP
Ç . Gọi
å S là giao điểm của AM và P N . Giả sử
1
13
a
# »
# » #»
# » # »
# »
OC = k OA, AS = xAM , N S = y N P với k ∈
; 1 . Khi x + y =
thì k = với a, b ∈ N
2
10
b
và a, b nguyên tố cùng nhau thì a · b bằng
A. 7.
B. 4.
C. 5.
D. 12.
(Ngỗ Quang Nghiệp)
Câu 38. Cho tam giác ABC. Giả sử điểm M nằm trên cạnh BC thỏa mãn các tam giác M AB
và M AC lần lượt có diện tích là S1 và S2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
# »

# »
# »
# »
# »
# »
A. (S1 + S2 ) AM = S2 AB + S1 AC.
B. (S1 + S2 ) AM = S1 AB + S2 AC.
# »
# »
# »
# »
# »
# »
C. (S2 − S1 ) AM = S2 AB + S1 AC.
D. (S2 − S2 ) AM = S1 AB + S2 AC.
(Nguyễn Đức Duẩn)
#»
Câu 39. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, giả sử điểm I thỏa mãn AI =
m# »
1# »
# »
CK, tính
− M I, điểm K thuộc cạnh AC sao cho B, I, K thẳng hàng. Khi đó KA =
2
n
S = 25m + 6n + 2019.
A. 2019.
B. 2068.
C. 2018.
D. 2020.

(Nguyễn Quang Huy)
#»
#»
#»
Câu 40. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, lấy các điểm I và J sao cho IA = 2IB và 3JA +
#»
#»
#»
500
2IC = 0 và thỏa mãn đẳng thức IJ = k IG. Giá trị của biểu thức P = (25k 2 − 36) (k 2 + k + 1)
là
5
6
A. P = 1235.
B. P = 0.
C. P = .
D. P = .
6
5
(Nguyễn Thị Trà My)


MỤC LỤC

7

Câu 41. Cho tam giác ABC, gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho SABC = 3SAM C . Một đường
AB
AC
AM

thẳng cắt các cạnh AB, AM, AC tại các điểm B , M , C phân biệt. Biết
+m
=n
.
AB
AC
AM
Tính m + n.
A. 2.
B. 5.
C. 3.
D. 4.
(Nguyễn Thị Trà My)
Câu 42. Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC, O là một điểm trên đoạn AD sao
cho AO = 4OD. Gọi {E} = CO ∩ AB, {F } = BO ∩ AC, {M } = AD ∩ EF . Khẳng định nào
sau đây đúng?
2 # »
# »
# » 1# »
# » 2# »
# » 1# »
B. M O = AD.
C. M O = AD.
D. EM = BC.
A. M O = AD.
7
15
8
7
(Nguyễn Đặng)

(Nguyễn Thi Tiết Hạnh)
Câu 44. Một đường thẳng cắt các cạnh DA, DC và đường chéo BD của hình bình hành
# »
# » # »
# »
ABCD lần lượt tại các điểm E, F và M . Biết DE = mDA, DF = nDC với m, n > 0. Khẳng
định đúng là
m # »
# »
# » m+n# »
DB.
B. DM =
DB.
A. DM =
mn
m+n
mn # »
n # »
# »
# »
DB.
D. DM =
DB.
C. DM =
m+n
m+n
(Lê Đức Lộc)
√
Câu 45. Hình thang cân ABCD có độ dài đường cao

AH
=
a,
AB
∥
CD,
AB
=
a
3, AD =
√
√
#» x+y z# »
a 2, AB < DC, AC cắt BH tại I. Biết AI =
AC, x, y, z, m ∈ N.
m
Tính tổng T = x + y + z + m.
A. 18.
B. 20.
C. 17.
D. 21.
()
Câu 46. Cho hình thang ABCD với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua O
vẽ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng này cắt các cạnh bên AD và BC
# »
theo thứ tự tại M và N . Với AB = a, CD = b. Tính M N .
# »
# »
# »
# »

# »
# »
# »
a · AB + b · DC
b · AB + a · DC
a · AB − b · DC
b · AB − a · DC
A.
. B.
. C.
. D.
.
a+b
a+b
a+b
a+b
(Nguyễn Thanh Tâm)
Câu 47. Cho tam giác ABC đều tâm O; điểm M thuộc miền trong tam giác OBC; D, E, F
lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
# » # » # » 1# »
# » # » # » # »
A. M D + M E + M F = M O.
B. M D + M E + M F = M O.
2
# » # » # »
# »
# » # » # » 3# »
C. M D + M E + M F = 3M O.
D. M D + M E + M F = M O.
2

(Phan Minh Tâm)

LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning

Câu 43. Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC,
BD. Kẻ N H ⊥ AD (H ∈ AD) và M E ⊥ BC (E ∈ BC). Gọi {I} = M E ∩ N H, kẻ IK ⊥ DC
(K ∈ DC). Khi đó trong tam giác M N K hệ thức nào đúng?
#»
# »
# » #»
A. M K · IN + N K · IM + M N · IK = 0 .
#»
# »
# »
#»
B. IN · tan N + IM · tan M + IK · tan K = 0 .
#»
# »
# »
#»
C. IN · cot N + IM · cot M + IK · cot K = 0 .
# » # » # » #»
D. IN + IM + IK = 0 .


8

MỤC LỤC
Dạng 2. Ba điểm thẳng hàng

Câu 48. Cho hình bình hành ABCD có các điểm M , I, N lần lượt thuộc các cạnh AB, BC,
1
1
CD sao cho AM = AB, BI = kBC, CN = CD. Gọi G là trọng tâm tam giác BM N . Xác
3
2
định k để AI đi qua G.
9
6
12
1
B.
.
C.
.
D.
.
A. .
3
13
11
13
(Phùng Hằng)
Câu 49. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao
1
3
cho AM = AB, AN = AC. Gọi O là giao điểm của CM và BN . Trên đường thẳng BC lấy
4
# »3 # »
E. Đặt BE = xBC. Tìm x để A, O, E thẳng hàng.

2
8
9
8
A. .
B. .
C.
.
D.
.
3
9
13
11
(Nguyễn Thanh Dũng)
Câu 50. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm BC; P là điểm đối xứng với A qua B; R là
2
điểm trên cạnh AC sao cho AR = AC. Khi đó đường thẳng AR đi qua điểm nào trong các
5
điểm sau đây?
A. Trọng tâm tam giác ABC.
B. Trọng tâm tam giác ABI.
C. Trung điểm AI.
D. Trung điểm BI.
(Phùng Hằng)
Câu 51. Cho ∆ABC có H là trung điểm của AB và G ∈ AC : GC = 2AG. Gọi F là giao
điểm của CH và BG. Tìm điểm I trên BC sao cho I, F , A thẳng hàng.
#»
#»
#»

#»
#»
#»
A. IC = −2IB.
B. IB = −2IC.
C. IB = IC.
D. IC = −3IB.
(Hoàng Thị Trà)
Câu 52. Cho tam giác ABC. I là trung điểm của BC. Gọi M , N , P lần lượt là các điểm xác
# »
# » # »
#» # »
# »
định bởi AM = mAB; AN = nAI; AP = pAC, với mnp = 0. Tìm điều kiện của m,n,p để M ,
N , P thẳng hàng.
A. mp = mn + np.
B. 2mp = mn + np. C. 2np = mn + mp. D. 2mn = mp + np.
(Phùng Hằng)
Câu 53. Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là trung điểm của BC, M và
N
là
các
điểm
được
xác
định
bởi

1
#

»
#
»

CN = BC
2
. Gọi P là giao điểm của AC và M N . Tính tỉ số diện tích tam giác AN P

# » #»
 # »
3M A + 4M B = 0
và tam giác CN P .
7
A. 3.
B. .
C. 4.
D. 2.
2
(Phùng Hằng)
2# » # »
# »
Câu 54. Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: BD = BC; AE =
3
1# »
a
# » a# »
AC. Điểm K trên AD thỏa mãn AK = AD (với là phân số tối giản) sao cho 3 điểm B,
4
b
b

K, E thẳng hàng. Tính P = a2 + b2 .
A. P = 10.
B. P = 13.
C. P = 29.
D. P = 5.


9

()
#» #»
# » #»
Câu 55. Cho tam giác ABC, I là điểm thỏa mãn: 2IA − IB + 4IC = 0 , K là điểm thỏa mãn:
# »
# »
# »
#
»
#
»
# »
#»
#»
KA + 2KB + 3KC = 0 , P là điểm thỏa mãn: P A + mP B + nP C = 0 . Có bao nhiêu cặp
(m,n), m, n ∈ Z, m, n ∈ [−10; 10] sao cho I, K, P thẳng hàng?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
()

# »
# »
# » # »
Câu 56. Cho tam giác ABC, M và N là hai điểm thỏa mãn: BM = BC − 2AB, CN =
# » # »
xAC − BC. Xác định x để A, M, N thẳng hàng.
1
1
C. 2.
D. − .
A. 3.
B. − .
3
2
()
Câu 57. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm AG, lấy K thuộc cạnh AC
# »
# »
sao choñ AKô = k AC. Nếu I, B,
hàng thì giáÇtrị của
Ç K thẳng
å
å k nằm trong khoảng?
Ç
å
1
1 1
1
1
B. 0;

.
C.
;
.
D.
;1 .
A. 0; .
6
2
5 3
5
(Trần Văn Luật)
# »
# »
Câu 58. Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc cạnh AC sao cho M A = −2M C, N thuộc
# »
# »
BM sao cho N B = −3N M , P là điểm thuộc BC. Biết rằng ba điểm A, N , P thẳng hàng khi
# »
# »
P B = k P C.
đây là đúng?
Ç Khẳngåđịnh nào sau Ç
å
Ç
å
Ç
å
5
5

1
1
A. k ∈ −3; − .
B. k ∈ − ; −1 .
C. k ∈ −1; − .
D. k ∈ − ; 0 .
2
2
2
2
(Hoàng Thị Kim Liên)
Câu 59. Cho tam giác ABC. Gọi M , N , P lần lượt nằm trên đường thẳng BC, CA, AB sao
# »
# » # »
# » # »
# »
cho M B = mM C, N C = nN A, P A = k P B. Tính tích mnk để M , N , P thẳng hàng.
A. 1.
B. −1.
C. 2.
D. −2.
()
Câu 60. Cho hình bình hành ABCD gọi M là trung điểm của cạnh CD, N là điểm thuộc
1
cạnh AD sao cho AN = AD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BM N , đường thẳng AG cắt
3
# » m# » m
BC tại K. Khi đó BK = BC ( là tối giản). Tính S = m + n.
n
n

A. S = 16.
B. S = 17.
C. S = 18.
D. S = 19.
(Phùng Hằ)
Câu 61. Cho hình thang ABCD có đáy AB, CD, CD = 2AB. M , N lần lượt là các điểm
thuộc cạnh AD và BC sao cho AM = 5M D, 3BN = 2N C. Gọi P là giao điểm của AC và
QN
a
a
PM
M N ; Q là giao điểm của BD và M N . Khi đó
+
= , với là phân số tối giản. Khi
PN
QM
b
b
đó a + b bằng
A. 386.
B. 385.
C. 287.
D. 288.
(Bùi Thị Lợi)
Câu 62. Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N sao cho
AM = 3M C, N C = 2BN . Gọi I là giao điểm của AN và BN . Tính diện tích tam giác ABC
biết diện tích tam giác BN I bằng 4.
A. S ABC = 110.
B. S ABC = 115.
C. S ABC = 125.

D. S ABC = 120.
(Vũ Thị Hằng)
# »
# »
Câu 63. Cho tam giác ABC, M thuộc cạnh AC sao cho M A = −2M C, N thuộc BM sao
# »
# »
# »
# »
cho N B = −3N M , P thuộc BC sao cho P B = k P C. Tìm giá trị k để ba điểm A, N , P thẳng
hàng.
1
1
A. k = .
B. k = −2.
C. k = − .
D. k = 2.
2
2
(Nguyễn Khắc Sâm)

LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning

MỤC LỤC


10

MỤC LỤC
Dạng 3. Quỹ tích

#»
# »
# » #»
Câu 64. Cho tam giác ABC với J là điểm thoả mãn 2JA + 5JB + 3JC = 0 , gọi E là điểm
# »
# »
thuộc AB và thoả mãn AE = k AB. Giá trị k làm cho C, E và J thẳng hàng thỏa mãn điều
kiện nào dưới đây?
A. k ∈ (−2; −1).
B. k ∈ (−1; 0).
C. k ∈ (0; 1).
D. k ∈ (1; 2).
(Nguyễn Văn Dũng)
Câu 65. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh bằng 1. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa
mãn 2M A2 + M B 2 + 2M C 2 + M D2 = 9 là một đường tròn có bán kính R. Khẳng định nào
sau đây đúng?
å
Ç
å
Ç
3
1 3
;
.
D. R ∈
;2 .
A. R ∈ (0; 1).
B. R ∈ (1; 2).
C. R ∈

2 2
2
(Lê Hồ Quang Minh)
# » # » # »
Câu 66. Cho tam giác ABC. Tập hợp những điểm M thỏa mãn 4M A + M B + M C =
# » # » # »
2M A − M B − M C là
A. đường thẳng đi qua A.
B. đường thẳng qua B và C.
C. đường tròn.
D. một điểm duy nhất.
(Viet Hung)
Câu 67. Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định với BC = 2a. Gọi H là trực tâm của
tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn BC. Nếu đỉnh A thay đổi nhưng luôn thỏa mãn
# » # »
M A · M H + M A2 = 4a2 thì điểm
√ tròn cố định có bán kính bằng
√ A luôn thuộc một đường
A. 2a.
B. a 3.
C. a 2.
D. a.
(Ngô Lê Tạo)
Câu 68. Cho hai điểm A và B cố định. Tìm giá trị k > 0 để tập hợp điểm M thỏa mãn điều
kiện M A2 + M B 2 = k là một đường tròn.
2
2
2
2
A. k < AB 2 .

B. k = AB 2 .
C. k ≤ AB 2 .
D. k > AB 2 .
3
3
3
3
(Liêm Phạm)
Câu 69. Cho tam giác vuông ABC tại A. Tập hợp các điểm M thỏa mãn M B 2 +M C 2 = M A2
là
A. đường thẳng.
B. đường tròn.
C. đoạn thẳng.
D. một điểm.
()
Câu 70. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = 5 cm. Gọi (S) là tập hợp các điểm M
# » # » # » # »
trong mặt phẳng thỏa mãn hệ thức: M A · M B + M A · M C = 25. Gọi I là trung điểm của BC.
Kết luận nào sau đây đúng?
A. (S) là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AI.
B. (S) là đoạn thẳng AI.
√
5 10
C. (S) là đường tròn cố định bán kính R =
.
√4
5 2
D. (S) là đường tròn tâm I bán kính R =
.
4

(Trịnh Văn Thạch)


MỤC LỤC

11

Câu 71. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
5a2
4M A2 + M B 2 + M C 2 =
nằm trên một đường tròn (C) có bán kính bằng
2
√
a
a 3
a
a
B. .
C.
.
D. √ .
A. √ .
4
2
3
6
# »
# »
# »
# » # » # »

Câu 72. Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho M A + 3M B − 2M C = 2M A − M B − M C .
A.
B.
C.
D.

Tập
Tập
Tập
Tập

hợp
hợp
hợp
hợp

các điểm M là một đường tròn.
của các điểm M là một đường thẳng.
các điểm M là tập rỗng.
các điểm M chỉ là một điểm trùng với A.

Câu 73. Cho tam giác ABC đều, có cạnh bằng a. Khi đó tập hợp những điểm M sao cho
# » # » # » # » # » # » a2
là
MA · MB + MB · MC + MC · MA =
6
a
a
A. đường tròn có bán kính R = .
B. đường tròn có bán kính R = .

3√
2√
a 2
a 3
C. đường tròn có bán kính R =
.
D. đường tròn có bán kính R =
.
3
9

Câu 74. Cho

# » # »
ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho M B · M C = AM 2 .
(Tô Quốc An)

Câu 75. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
# »
# »
# »
# » # »
2M A + 3M B + 4M C = M B − M A là đường tròn cố định có bán kính bằng
3
1
1
C. .
D. .
A. 1.
B. .

3
2
2
(Lê Thị Bích Hải, Tên face: Bich Hai Le)
Câu 76. Cho tam giác ABC có là trọng tâm G. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn
# » # » # » # »
M A + M B − M C + BC

A. Đường tròn đường kính AB.
C. Đường tròn đường kính AC.

2

# » # »
# »
+ M A + M C − 3M G

2

# » # »
= CB + AC

2

B. Đường trung trực đoạn thẳng AB.
D. Đường trung trực đoạn thẳng AC.
(Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông)

√
Câu 77. Cho đoạn thẳng AB = 5. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức

# » # »
M A2 + M B 2 = 3M A · M B là một√
đường tròn có bán kính R. Tìm giá trị của R.√
5
5
3
3
A. R = .
B. R =
.
C. R = .
D. R =
.
2
2
2
2
(Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông)
# » # » # »
Câu 78. Cho tam giác ABC, có bao nhiêu điểm M thỏa mãn M A + M B + M C = 5?
A. 1.
B. 2.
C. vô số.
D. Không có điểm nào.
(Võ Khánh Huyền VânFb: Vân Võ)

LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning

(Vũ Thị Nga)

12

MỤC LỤC
Dạng 4. Tỷ lệ

ABC có AB = 3, AC = 4. Phân giác trong AD của góc BAC cắt trung tuyến
AD
BM tại I. Tính
.
AI
AD
3
AD
10
AD
29
AD
7
A.
= .
B.
= .
C.
= .
D.
= .
AI
2
AI

7
AI
20
AI
5

Câu 79. Cho

(Trần Quốc Đại)
Câu 80. [Đề thi olympic 30/4 TPHCM khối không chuyên lần 2] Cho ABC gọi điểm D nằm
trên cạnh BC sao cho BD = 2DC, E là trung điểm của AD. Một đường thẳng bất kì qua E
AB
AC
và cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N . Tính tỉ số
+2
AM
AN
AC
AB
AC
AB
+2·
= 6.
B.
+2·
= 5.
A.
AM
AN
AM

AN
AB
AC
28
AB
AC
29
C.
+2·
= .
D.
+2·
= .
AM
AN
5
AM
AN
5
LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning

(Đỗ Văn Đức)
Câu 81. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 2DB. Trên cạnh AC
lấy điểm E sao cho CE = 3EA. Gọi M là trung điểm của DE. Tia AM cắt BC tại N . Tỉ số
BN
có giá trị là
CN
1
3
1

2
A. .
B. .
C. .
D. .
4
8
2
7
(Khuyết Danh)
Câu 82. [Bài toán tổng quát của bài toán 79] Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm chia BC theo
AB
AC
tỉ số k. Trên các tia AB và AC lấy các điểm M,N . AI cắt M N tại P . Đặt
= b,
= c.
AM
AN
AI
Tỷ số
có giá trị bằng
AP
b − kc
c + kb
c − kb
b + kc
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.
1+k
1−k
1+k
1−k
(Khuyết Danh)
Câu 83. [Hệ quả hay dùng của bài toán 82] Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC.
AB
AC
Trên các tia AB và AC lấy các điểm M,N . AI cắt M N tại P . Đặt
= b,
= c. Tỷ số
AM
AN
AI
có giá trị bằng
AP
 
√
b+c
b2 + c 2
2bc
B.
A. bc.
.
C.
.

D.
.
2
2
b+c
(Nam Phương)
2# »
# »
Câu 84. Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các các điểm thỏa mãn BD = BC,
3
1# »
# »
AE = AC. Điểm K trên đoạn thẳng AD sao cho ba điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số
4
AD
?
AK
AD
1
AD
AD
2
AD
3
A.
= .
B.
= 3.
C.
= .

D.
= .
AK
3
AK
AK
3
AK
2
(Hải Vân)


MỤC LỤC

13

# »
# »
Câu 85. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thỏa mãn OC = −3OA,
# »
# »
OD = −4OB. Qua trung điểm M của AB dựng đường thẳng M O cắt CD tại N . Tính tỉ số
CN
?
ND
3
1
2
1
A. .

B. .
C. .
D. .
4
4
3
3
()
#»
#»
#»
#»
Câu 86. Cho tam giác ABC và điểm I thỏa mãn 23IA + 8IB + 2018IC = 0 . Đường thẳng
JB
AI cắt đường thẳng BC tại J. Giá trị của tỉ số
là
JC
23
2018
2018
8
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
8

23
8
23
(Ngô Ngọc Hà)
Câu 87. Cho tam giác ABC. Điểm Kchia trung tuyến AD theo tỷ số 3 : 1 kể từ đỉnh. Đường
SABF
, giá trị của k bằng
thẳng BK chia diện tích tam giác ABC theo tỷ số k =
SBCF
5
3
3
3
A. k = .
B. k = .
C. k = .
D. k = .
8
8
5
2
(Phạm Văn Bình)
# »
Câu 88. Cho tam giác ABC với K là trung điểm BC. Lấy các điểm M,N thỏa mãn AM =
x
3# » # » 1# »
# »
# » #»
# »
AB, AN = AC. Gọi I là giao điểm của M N và AK. Đặt M I = xM N , AI = y AK. Hỏi

4
3
y
bằng bao nhiêu?
4
5
3
B. .
C. 1.
D. .
A. .
2
3
3
(Tăng Lâm Tường Vinh-FB:tanglamtuong.vinh )
Câu 89. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh BC lấy E, F sao cho
AD
3 BE
1 BF
4
KD
= ;
= ;
= . Đường thẳng AE chia đoạn DF theo tỷ số
= k. Giá trị
DB
2 EC
3 FC
1
KF

của k bằng?
11
3
11
3
A. k = .
B. k = .
C. k = .
D. k = .
11
3
14
14
(Phạm Văn Bì)
Câu 90. Cho tam giác ABC. Kéo dài AB một đoạn BE = AB, gọi F là trung điểm của AC.
KB
Vẽ hình bình hành EAF G. Đường thẳng AG cắt BC tại K. Tính tỉ số
?
KC
1
3
1
2
A. .
B. .
C. .
D. .
4
8
5

7
(Hoàng Ngọc Lâ)
Câu 91. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4. Phân giác trong AD của góc BAC cắt
AD
trung tuyến BM tại I. Tính tỉ số
.
AI
13
11
10
10
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
8
6
7
5
(Nguyễn Thị Phương Thảo)
Câu 92. Cho hình bình hành ABCD, O là điểm bất kỳ trên đoạn AC, đường thẳng BO cắt
AF
cạnh CD tại E và đường thẳng AD tại F sao cho EF = 2BO. Tính tỉ số
?
AD
√

√
1+ 5
5
.
B. 2.
C. 1 + 2.
D. .
A.
2
2


14

MỤC LỤC
(Nguyễn Văn Toản-FB: Dấu Vết Há )

Câu 93. Cho hai tam giác ABC và A1 B1 C1 ; gọi A2 , B2 ,C2 lần lượt là trọng tâm các tam
giác BCA1 , CAB1 , ABC1 . Gọi G, G1 , G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A1 B1 C1 ,
GG1
A2 B2 C2 . Tính tỉ số
ta được kết quả:
GG2
1
1
B. .
C. 3.
D. 2.
A. .
3

2
(Nguyễn Văn Mạ)
Dạng 5. Min - Max

LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning

Câu 94. Cho ∆ABC đều cạnh bằng 3, M là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Đặt
P = M A2 − M B 2 − M C 2 . Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P . Khi đó,
giá trị biểu thức T = 4a + b là
A. 3.
B. 6.
C. 9.
D. 12.
(Phùng Hằ)
Câu 95. Cho ∆ABC và 3 số dương x, y, z thay đổi có tổng bình phương x2 + y 2 + z 2 = k 2 ,
k ∈ R. Giá trị lớn nhất của P = xy cos C + yz cos A + zx cos B là:
k
k2
k
k2
A. .
B.
.
C. .
D.
.
2
2
3
3

(Trần Văn Ngờ)
Câu 96. Cho hai điểm A, B ∈ (I; 6) và M ∈ (I; 3), thỏa mãn AIB = 60◦ . Khi A , B , M thay
đổi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B?
√
√ P = M A + 2M√
C. 3 13.
D. 6 − 3.
A. 9.
B. 3 + 2 6.
(Trần Văn Ngờ)
Câu 97. Cho tứ giác ABCD, M là điểm tùy ý và các điểm I, J, K cố định sao cho đẳng thức
# » # » # »
# »
# »
thỏa mãn với mọi điểm M : M A + M B + M C + 3M D = k M K. Giá trị của k là
A. k = 3.
B. k = 4.
C. k = 5.
D. k = 6.
Câu 98. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi α là góc giữa hai đường trung tuyến BD và
CK. Giá trị nhỏ nhất của cos α bằng
4
5
4
3
A. .
B. .
C. .
D. .

5
4
3
4
Câu 99. Cho hai điểm cố định G và G là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A B C .
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = AA + BB + CC bằng
1
A. GG .
B. 3GG .
C. 2GG .
D. GG .
3
(Nguyễn Đức Hoạ)
Câu 100. Cho hình thang A1 B1 C1 D1 có A1 B1 //C1 D1 , A1 B1 = 3a, C1 D1 = 2a, D1 A1 B1 =
# »
C1 B1 A1 = 600 . Với mỗi điểm G1 di động trên cạnh A1 B1 ta xác định điểm F1 sao cho G1 F1 =
# » # »
# »
G1 C1 + G1 D1 . Tìm độ dài nhỏ nhất của G1 F1 .
√
√
3a 3
3a
A. 2a.
B. a 3.
C.
.
D.
.
2

2
(Nguyễn Văn Cô)


MỤC LỤC

15

Câu 101. Cho tam giác ABC vuông ở A, BC = 2, CA = b, AB = c và điểm M di động
Biểu thức F = −8M A2 + b2 M B 2 + c2 M C 2 đạt giá trị lớn nhất bằng
A. 4.
B. 12.
C. 16.
D. 24.
(Vũ Viê )
Câu 102. Cho ABC đều có cạnh bằng 2a. Gọi d là đường thẳng qua A và song song BC,
# »
# » # »
điểm M di động trên d. Tìm giá trị nhỏ nhất của M A + 2M B − M C .
√
√
√
√
a 3
a 3
.
D.
.
B. a 3.
C.

A. 2a 3.
4
2
(Phạm Khắc Thà)
Câu 103. Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ. Đặt a = BC, b =
MA MB MC
CA, c = AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =
+
+
.
b
c
√
√ a
√
√
3
3
.
D.
.
A. 3 3.
B. 3.
C.
3
2

Câu 104. Cho tam giác ABC có trung tuyến AA và CC vuông góc với nhau (A ∈ BC,C ∈ AB).
Tìm giá trị nhỏ nhất của cos B.
4

2
1
A. .
B. .
C. 1.
D. .
5
5
2
(Vũ Thị Hồng Lê-FB:Hồng Lê)
Câu 105. Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Tìm điểm M để véctơ
# »
# »
# »
aM A + bM B + cM C có độ dài nhỏ nhất
A. M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC.
B. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC.
C. M trùng với trực tâm H của tam giác ABC.
D. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
(Ngô Gia Khá)
Câu 106. Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a, M là điểm di động trên đường
thẳng AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
# » # » # »
# » # » # »
T = MA + MB + MC + 3 MA − MB + MC .
√
A. min T = 2a 3.

√
2a 3

B. min T =
.
3

√
C. min T = a 3.

√
5a 3
D. min T =
.
2
()

Câu 107. Cho ABC và A B C có các trọng tâm G và G cố định và GG = a. Khi đó giá
trị nhỏ nhất của T = AA + BB + CC là
A. 3a.
B. a.
C. 2a.
D. 4a.
(Phạm văn Tà)
Câu 108. Cho tam giác ABC với các cạnh AB = x,AC = y; (x > y > 0). Gọi AD là đường
# »
# »
# »
phân giác trong của góc A. Biết biểu thị vectơ AD = mAB + nAC. Tính S = m + n.
A. −2.
B. 0.
C. 1.
D. 2.

(Lê Hồng )

LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning

()


16

MỤC LỤC

ABC có AB = 3; AC = 4. Phân giác trong AD của góc BAC cắt trung
AD
a
a
tuyến BM tại I. Biết
= , với a,b ∈ N và tối giản. Tính S = a + 2b.
AI
b
b
A. 10.
B. 14.
C. 24.
D. 27.
Câu 109. Cho

(Lê Hồng )
Câu 110. Cho tứ giác ABCD có AD và BC cùng vuông góc với AB, AB = 8, AD = a,
BC = b. Gọi E là một điểm thuộc cạnh CD. Biết AEB = 90◦ , giá trị lớn nhất của T = ab
là

A. 4.
B. 16.
C. 8.
D. 64.

LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning

Câu 111. Cho tứ giác ABCD có AD và BC cùng vuông góc với AB, AB = h, AD = a,
# »
# »
#»
BC = b. Cho k là số thực dương thuộc (0; 1) và điểm E thỏa mãn k EC + (1 − k) ED = 0 .
Tìm hệ thức liên hệ giữa»a, b, h, k, để góc AEB = 90◦ ?
A. (1 − k) b + ka = h k (1 − k).
B. kb + (1 − k) a = hk (1 − k).
»
C. kb + (1 − k) a = h k (1 − k).
D. (1 − k) b + ka = hk (1 − k).
Câu 112. Cho tam giác có trọng tâm G, qua G dựng đường thẳng d cắt cách cạnh AB, AC
AM
AN
lần lượt tại M , N . Đặt
= x,
= y, gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn
AB
AC
nhất của T = x + y. Tính m + M .
10
17
11

5
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
3
6
6
2
(Nguyễn Thị Thu)
Câu 113. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho
# »
# »
# » # »
# » 1# »
BH = HC. Điểm M di động trên BC sao cho BM = xBC. Tìm x sao cho M A + GC đạt
3
giá trị nhỏ nhất.
4
4
5
6
A. .
B. .
C. .
D. .
5

4
6
5
()
√
Câu 114. Cho tam giác ABC đều cạnh 2 3, d là đường thẳng qua B và tạo với AB một
góc 60◦ . Biết C ∈
/ d. Khi M thay đổi trên d, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =
# » # »
# »
M A + M B + 3M C .
3
12
4
A. .
B.
.
C. .
D. 2.
5
5
5
(Hoàng Thị Thúy)
Câu 115. Cho tam giác ABC đều cạnh 1 nội tiếp đường tròn (O) và điểm M thay đổi trên
# » # » # »
O. Gọi s, i lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M A + M B − M C .
Tính s + i.
√
√
√

√
4 3
5 3
A. s + i = 3.
B. s + i =
.
C. s + i =
.
D. s + i = 2 3.
3
3
(Bùi Duy Nam)
Câu 116. Cho lục giác đều ABCDEF cạnh a . Trên đường chéo AC, CE lấy hai điểm M ,
AM
CN
N sao cho
=
= k (0 < k < 1). Độ dài BM 2 + BN 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi k bằng
AC
CE
bao nhiêu ?
1
1
2
3
A. .
B. .
C. .
D. .
2

4
3
4
(Bùi Duy Nam)


MỤC LỤC

17

Câu 117. Cho hình chữ nhật ABCD có AD = a, AB = b. Gọi O và I lần lượt là trung điểm
# »
# » # » # »
# »
DB và DO. Gọi N là điểm thỏa mãn 2N A + 2N C − AB + AD = 2AD và N B lớn nhất.
Tính N B. √
√
√
√
a + a2 + b 2
2a + 3 a2 + b2
2a + a2 + b2
2a + 3 a2 + b2
. B.
.
C.
. D.
.
A.
2

2
4
4
(Đoàn Phú Như)
Câu 118. Cho tam giác ABC, AB = 3, BC = 4, CA = 5. Điểm M thuộc đường tròn ngoại
2
2
2
tiếp tam giác ABC. Giá trị nhỏ nhất√của biểu thức P = M B
√ + M C − M A là √
25 5 97
25 5 97
25 5 97
A. 0.
B.
−
.
C.
+
.
D.
−
.
2
2
2
2
2
4
(Nguyễn Phương Thảo)

(Nguyễn Phương Thảo)
Câu 120. Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp đôi đáy AB. Lấy một điểm E sao cho
# »
# »
3BC = 2DE và đồng thời thỏa mãn CA = CE. Giá trị nhỏ nhất của góc ABC nằm trong
khoảng nào dưới đây?
A. (95◦ ; 100◦ ).
B. (100◦ ; 106◦ ).
C. (106◦ ; 115◦ ).
D. (115◦ ; 120◦ ).
(Anonymous)
# »
# »
Câu 121. Cho hình thang ABCD có 2AB = DC, AC = 8, BD = 6, góc tạo bởi hai véc tơ
# »
# »
◦
AC và BD bằng
√ 120 . Khi đó giá trị√của AD + BC bằng √
√
14 + 4 7
15 + 2 10
13 + 2 5
.
B.
.
C.
.
D. 6 + 4 3.

A.
2
3
4
(Anonymous)
# »
# »
Câu 122. Cho hình thang ABCD có 2AB = DC, AC = 9,BD = 6. Giá trị của biểu thức
BC 2 − AD2 bằng
80
A. 15.
B.
.
C. 12.
D. 14.
3
(Anonymous)
Câu 123. Cho tam giác ABC có BAC = 60◦ và AB,AC đã biết. Biểu thức P = k · M A +
M B + M C đạt giá trị nhỏ nhất bằng AB + AC với mọi giá trị thực k ≥ k0 . Giá trị của k0 nằm
trong khoảng nào dưới đây? Ç
å
Ç
å
3
3
A. (0; 1).
B.
;2 .
C. 1;
.

D. (2; 3).
2
2
(Hồng Lê)
Câu 124. Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Tìm điểm M để véc-tơ
# »
# »
# »
aM A + bM B + cM C có độ dài nhỏ nhất
A. M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC.
B. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC.
C. M trùng với trực tâm H của tam giác ABC.
D. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning

Câu 119. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho
# » 1# »
# »
# »
BH = HC. Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM = xBC. Tìm x sao cho độ dài của
#3 » # »
vec-tơ M A + GC đạt giá trị nhỏ nhất.
4
5
6
5
A. .
B. .
C. .

D. .
5
6
5
4


18

MỤC LỤC

Câu 125. Cho tam giác ABC đều cạnh a và điểm M thay đổi. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 2M A2 + 3M B 2 − 4M C 2 là
26a2
26a2
A. 14a2 .
B. −14a2 .
C. −
.
D.
.
3
3
Câu 126. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau.
Tính giá trị nhỏ nhất của cos A.
1
2
3
4
B. .

C. .
D. .
A. .
2
3
4
5
# » # »
Câu 127. Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a. Một điểm M di động sao cho M A + M B =
# » # »
M A − M B . Gọi H là hình chiếu của M lên AB. Tính độ dài lớn nhất của M H?
√
a 3
a
B.
.
C. a.
D. 2a.
A. .
2
2
Câu 128. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi α là góc giữa hai trung tuyến BD và CK.
Giá trị nhỏ nhất của cos α là:.
4
2
3
1
B. .
C. .
D. .

A. .
2
5
3
4
# » 1# »
Câu 129. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A sao cho CH = HB.
# »
# »
# » # 3»
Điểm M di động trên BC sao cho CM = x · CB. Tìm x sao cho độ dài véc-tơ M A + GB đạt
giá trị nhỏ nhất.
8
5
6
5
A. .
B. .
C. .
D. .
5
6
5
8
Câu 130. Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC. Biết AB = 4, BC = 5
# »
và CA = 6. Khi đó DE bằng:
3# » 5# »
9# » 3# »
3# » 9# »

5# » 3# »
B. CA − CB.
C. CA − CB.
D. CA − CB.
A. CA − CB.
9
5
5
9
5
5
5
5
Câu 131. Một miếng gỗ có hình tam giác có diện tích là S điểm I, O lần lượt thỏa mãn
#» #»
#» # » # »
#»
IB + IC = 0 ; OA + OI = 0 . Cắt miếng gỗ theo một đường thẳng qua O, đường thẳng này
đi qua M , N lần lượt trên các cạnh AB, AC. Khi đó diện tích miếng gỗ chứa điểm A thuộc
đoạn ñ
ô
ñ
ô
ñ
ô
ñ
ô
S S
S S
3S S

S 3S
A.
; .
; .
; .
;
B.
C.
D.
.
4 3
3 2
8 2
4 8
(Đỗ Công Dũ)
Câu 132. Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 2. Tìm giá trị lớn nhất
của BC 2 − AB 2 − AC 2 .
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
(Nguyễn Tân )
Câu 133. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi M là điểm nằm trên cạnh AB. Tính giá trị
# »
# » # »
nhỏ nhất của biểu thức M A + 2M B + M C theo a.
√
√
√
√

a 3
a 3
a 3
2a 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
A.
4
2
8
3
()
Câu 134. Cho hình bình hành ABCD, M thuộc đường chéo AC, (M không trùng với các đỉnh
A, C) Trên các đường thẳng AB, BC, lấy các điểm P và Q sao cho M P ∥ BC, M Q ∥ AB.
# »
# »
# »
Gọi N là giao hai đường thẳng AQ và CP. Giả sử DN = mDA + nDC. Tìm giá trị lớn nhất
của m + n.
4
3
1
A. .
B. .
C. .

D. 2.
3
4
2
(Lê Thị Lan-FB:Lê )


MỤC LỤC

19

Câu 135. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho
# » 1# »
# »
# »
BH = HC. Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM = xBC. Tìm x sao cho độ dài của
#3» # »
vectơ M A + GC đạt giá trị nhỏ nhất.
4
5
6
5
A. .
B. .
C. .
D. .
5
6
5
4

(Nguyễn Văn Hưng)
Câu 136. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c nội tiếp đường tròn tâm O, bán
kính R. M là điểm thuộc đường tròn (O). Gọi N , n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P = M A2 + M B 2 + M C 2 . Khi đó giá
√ trị của N − n bằng
A. 12R√2 .
B. 4R√9R2 − a2 − b2 − c2 .
D. 8R 9R2 − a2 − b2 − c2 .
C. 2R 9R2 − a2 − b2 − c2 .
(Nguyễn Xuân Giao-FB:)

Câu 138. Cho tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
√
P = 3 cos 2A + 2 cos 2B + 2 3 cos 2C.
√

A. Pmin = −4.

√
C. Pmin = −2 − 3 3.

3−1
.
2
= −5.

B. Pmin =
D. Pmin

(Đồng Anh Tú)
Dạng 6. Tích vô hướng

# » # » # » # » # » # »
Câu 139. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính AB · BC
√ + BC · CA + CA · AB.
√
3a2
3a2
a2 3
a2 3
A. −
.
B.
.
C.
.
D. −
.
2
2
2
2
(Nguyễn Văn Nho)
Câu 140. Cho tam giác ABC có AD là trung tuyến, G là trọng tâm. Một đường thẳng qua
G cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N . Khẳng định nào sau đây đúng?
# » # » 1# » # » 2# » # »
# » # » # » # » # » # »
A. AM · AN = AN · M B + AM · N C.
B. AM · AN = AN · M B + AM · N C.

2
3
# » # » 2 # » # » # » # »
# » # » 3 # » # » # » # »
C. AM · AN = (AN · M B + AM · N C).
D. AM · AN = (AN · M B + AM · N C).
3
2
#»
#»
#»
#»
c thỏa mãn | #»
a | = a,| b | = b, | #»
c | = c và #»
a + b + 3 #»
c = 0.
Câu 141. Cho các véc-tơ #»
a , b , #»
#» #»
Tính A = #»
a · b + b · #»
c + #»
c · #»
a.
2
2
2
3c − a − b
3a2 − c2 + b2

3b2 − a2 − c2
3c2 − a2 + b2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
2
2
2
(Quang Phi)
Câu 142. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a, M là điểm trên đoạn BC sao cho
# » # »
2
M B = 2M C. Biết
√ rằng AM · BC = a . Độ dài cạnh AC là √
√
√
a 33
a 3
A. AC =
.
B. AC = a 3.
C. AC =
.
D. AC = a 5.

3
3

LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning

Câu 137. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R, M là một điểm
2
bất kì trên
đường tròn. Giá trị lớn√nhất của biểu thức S √
= M A2 + 2M B 2 − 3M C √
là
√
2
2
2
2
A. R 21.
B. −R 21.
C. 2R 21.
D. −2R 21.


20

MỤC LỤC
(Đoàn Thị Hường)

Câu 143. Cho tam giác ABC có BAC = 900 , AB = 1, AC = 2. Dựng điểm M sao cho
# »
# »

# »
AM ⊥ BC, AM = 3. Đặt AM = x · AB + y · AC. Tính T = x2 + y 2 ?
153
151
157
159
A. T =
.
B. T =
.
C. T =
.
D. x =
.
20
20
20
20
(Đào Hữu Nguyên)
# » # »
# »
Câu 144. Cho tam giác ABC vuông tại A. Quỹ tích điểm M thỏa mãn M B · M C = M A ·
# »
BC + M A2 là
A. Đường thẳng AC.
B. Đường thẳng vuông góc với AB.
C. Đường thẳng BC.
D. Đường trung trực cạnh BC.
(Nguyễn Bá Trường)

LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning

Câu 145. Cho tam giác đều ABC cạnh 3a, (a > 0). Lấy các điểm M , N , P lần lượt trên các
cạnh BC, CA, AB sao cho BM = a, CN = 2a, P = x (0 < x < 3a). Tìm x để AM ⊥ P N .
4a
a
2a
3a
B. x = .
C. x = .
D. x = .
A. x = .
5
5
5
5
(Nguyễn Bá Trường)
Câu 146. Cho tam giác ABC vuông cân tại B. Gọi M là trung điểm AB và I là điểm di động
AC
# » # »
trên đường thẳng M C. Khi 2IM + AC đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính tỉ số
.
AI
AC
AC √
AC
3
AC
A.
= 1.

B.
= 2.
= 2.
D.
= .
C.
AI
AI
AI
AI
2
(Nguyễn Đức Lợi)
1# »
# »
Câu 147. Cho ∆ABC có trọng tâm G, H là chân đường cao kẻ từ A sao cho BH = HC.
3
# »
# »
# » # »
Điểm M di động trên BC sao cho BM = xBC. Tìm x sao cho M A + GC nhỏ nhất.
6
5
4
5
B. .
C. .
D. .
A. .
5
4

5
6
(Vũ Thị Chuyền)
Câu 148. Cho tam giác ABC nhọn, không cân và nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi G và M
lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và trung điểm cạnh BC. Cho đường thẳng OG vuông góc
với đường thẳng OM tính giá trị biểu thức AC 2 + AB 2 + 2BC 2 theo R.
A. 8R2 .
B. 10R2 .
C. 12R2 .
D. 14R2 .
” = 60◦ . Lấy điểm E trên tia M P và
Câu 149. Cho tam giác M N P có M N = 4, M P = 8, M
# »
# »
đặt M E = k M P . Tìm k để N E vuông góc với trung tuyến M F của tam giác M N P .
2
2
1
1
A. k = .
B. k = .
C. k = .
D. k = .
3
5
3
2
# » # » # » # »
Câu 150. Đẳng thức M A · AD = M B · BC đúng với mọi điểm M . Khi đó tứ giác ABCD là
hình gì?

A. Hình thang vuông.
B. Hình chữ nhật.
C. Hình thoi.
D. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc.

Câu 151. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M , N lần lượt thuộc các đoạn thẳng BC và
# » 1# » # »
# »
AC sao cho BM = M C, CN = k AN và AM ⊥DN . Khi đó k thuộc khoảng nào dưới đây?
3
A. (3; 5).
B. (−5; −3).
C. (−4; −2).
D. (2; 4).
√
#»
#»
#»
Câu 152. Cho hai vector #»
a , b thỏa mãn đồng thời các điều kiện #»
a − 2 b = 7, #»
a + b = 2,
#»
#»
#»
vector (3 #»
a + b ) vuông góc với√( #»
a − b ). Tính cosin của góc tạo bởi hai vector√#»
a và b .
2

1
2
1
A. − √ .
B.
.
C. √ .
D. −
.
4
4
3
3


MỤC LỤC

21

Câu 153. Giả sử O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC = a, CA = b,
OA2 OB 2 OC 2
AB = c. Tìm giá trị biểu thức: K =
+
+
.
b·c
c·a
a·b
1
1

1
B. K = .
C. K = 1.
D. K = .
A. K = .
2
3
4

Câu 156. Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam
giácABC. Đặt BC = a, CA = b, AB = c. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c sao cho OH vuông
góc với trung tuyến vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC.
A. 2a2 = b2 + c2 .
B. 2b2 = a2 + c2 .
C. 2c2 = a2 + b2 .
D. b2 = 2a2 + 2c2 .
Câu 157. Cho tam giác ABC có AD là trung tuyến, G là trọng tâm. Một đường thẳng qua
G cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M , N . Khẳng định nào sau đây đúng?
# » # » # » # » # » # »
# » # » 1# » # » 2# » # »
B. AM · AN = AN · M B + AM · N C.
A. AM · AN = AN · M B + AM · N C.
2
3
# » # » 2 # » # » # » # »
# » # » 3 # » # » # » # »
C. AM · AN = (AN · M B + AM · N C).
D. AM · AN = (AN · M B + AM · N C).
3
2

(Nguyễn Lương Thành)
Câu 158. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 2 và AD = 4. Gọi M là trung điểm của
# »
# »
cạnh AB và N là điểm trên cạnh AD sao cho AN = k AD, CM vuông góc với BN . Khi đó k
thuộc vào
nào sau đâyÇ
Ç khoảng
å
å
Ç
å
Ç
å
1 1
1 1
1 1
1
;
;
;
A. 0;
.
B.
.
C.
.
D.
.
16

16 20
20 9
9 6
(Phạm Hồng )
” = 60◦ . Lấy điểm E trên tia M P và
Câu 159. Cho tam giác M N P có M N = 4, M P = 8, M
# »
# »
đặt M E = k M P . Tìm k để N E vuông góc với trung tuyến M F của tam giác M N P .
2
2
1
1
A. k = .
B. k = .
C. k = .
D. k = .
3
5
3
2

Câu 160. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. M là trung điểm của BC, D là
# »
chân đường phân giác trong góc A. Tính AD2
4c
4bc
# »
# »
A. AD2 =

p (p − a).
B. AD2 =
(p − a).
2
(b + c)
(b + c)2
4bc
4bc
# »
# »
C. AD2 =
D. AD2 =
p (p − a).
2 p (p − a).
(b + c)2
(b − c)
(Nguyễn Thị Phương Thảo)
Câu 161. Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và BAC = 60◦ . Các điểm M , N được xác
# »
# »
# »
# »
định bởi M C = −2M B và N B = −2N A. Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông
góc với nhau.
A. 6c2 − 4b2 − 5bc = 0.
B. 4c2 − 5b2 − 6bc = 0.
2
2
C. 6c − 5b − 4bc = 0.
D. 4c2 − 6b2 − 5bc = 0.

LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning

Câu 154. Cho hình vuông ABCD. M , N lần lượt nằm trên hai cạnh BC và CD sao cho
CM
CN
1
# »
# »
=
= . Gọi E là điểm thỏa mãn AE = k AN . Khi BE⊥AM , tính giá trị biểu thức
CB
CD
3
T = k 2 − k + 1.
13
7
8
5
A.
.
B. .
C. .
D.
.
16
9
9
16
AC

Câu 155. Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM =
.
4
Gọi N là trung điểm CD. Tam giác BM N là
A. Tam giác đều.
B. Tam giác cân.
C. Tam giác Vuông.
D. Tam giác vuông cân.


22

MỤC LỤC
(Nguyễn Văn Toả )

Câu 162. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là trung điểm của AC và M là
# »
# » # »
# »
điểm thỏa mãn OM = 2OA + OB + 2OC. Biết rằng OM vuông góc với BI và AC 2 = 3BC.BA.
Tính góc ABC.
A. 30◦ .
B. 45◦ .
C. 60◦ .
D. 120◦ .
(Trần Ngọ)
Câu 163. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD = h, đáy nhỏ AB = a, đáy lớn
CD = b. Gọi M là trung điểm của BC. Hệ thức giữa a, b, h để AM ⊥ BD là
A. a2 − h2 − ab = 0. B. h2 − a2 − ab = 0. C. h2 − b2 − ab = 0. D. b2 − h2 − ab = 0.
(Đào Trung Kiê)

# » 1# »
Câu 164. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Gọi M , N là các điểm thỏa mãn BM = BC,
3
# » 1# »
AN = AB. Gọi I là giao điểm của AM và CN . Tính diện tích của tam giác IBC theo a.
3
√
√
√
√
a2 7
2a2 7
2a2 3
a2 3
.
B. SIBC =
.
C. SIBC =
.
D. SIBC =
.
A. SIBC =
7
7
7
7
(Vũ Huỳnh Đứ)
# »
# » # » 2# »
Câu 165. Cho tam giác đều ABC và các điểm M , N , P thỏa mãn BM = k BC , CN = CA

3
4 # »
# »
, AP = AB . Tìm k để AM vuông góc với P N .
15
1
2
3
1
B. k = .
C. k = .
D. k = .
A. k = .
3
2
3
4
(Huỳnh Thanh Tị)
Câu 166. Giả sử O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC = a; CA = b;
OA2 OB 2 OC 2
AB = c. Tìm giá trị biểu thức:K =
+
+
.
bc
ca
ab
1
1
1

A. K = .
B. K = .
C. K = 1.
D. K = .
2
3
4
(Tăng Duy Hù)
√
1 #»
#»
#»
Câu 167. Cho hai véc tơ #»
a và b thỏa mãn các điều kiện | #»
a| =
b = 1, #»
a − 2 b = 15.
2
#»
#»
Đặt #»
u = #»
a+b √
và #»
v = 2k #»
a − b , k ∈ R.
Tìm
tất
cả
các

giá
trị
của
k sao cho ( #»
u , #»
v ) =√60◦ .
√
√
3 5
3 5
17
17
A. k = 4 +
.
B. k = 4 ±
.
C. k = 5 +
.
D. k = 5 ±
.
2
2
2
2
(Nguyễn Thị Huệ)
# » # » #» # » # » #»
Câu 168. Cho tứ giác ABCD và hai điểm M , N thỏa mãn 2M B + M A = 0 ; 2N C + N D = 0
AD
cos DBC
= x. Tính

theo x để M N ⊥ BD.
và
BC
cos ADB
√
x
x
x
A. .
B. − .
C. √ .
D. x 3.
2
2
3
(Lê Thị Nguyệ)
Câu 169. Cho tam giác ABC có AB = 6; BC = 7; CA = 5. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB
a
# »
# »
sao cho AM = 2M B và N là điểm thuộc AC sao cho AN = k AC (k ∈ R). Biết k = −
b
a
( là phân số tối giản và a,b là các số nguyên) sao cho đường thẳng CM vuông góc với đường
b
thẳng BN . Tính giá trị biểu thức T = 2018a − 2019b + 5.
A. T = 2017.
B. T = −2020.
C. T = 2030.
D. T = −2030.

MỤC LỤC

23
(Trần Thanh Hà)

Câu 170. Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và BAC = 600 . Các điểm M , N được xác
# »
# »
# »
# »
định bởi M C = −2M B và N B = −2N A. Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông
góc với nhau.
A. 6c2 − 5b2 − 4bc = 0.
B. c2 − 6b2 − 5bc = 0.
C. 4c2 − 6b2 − 5bc = 0.
D. 4c2 + 6b2 − 5bc = 0.
(Đỗ Thế Nhấ)
Câu 171. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = 2a. Gọi M là trung điểm AB, N là
# »
# »
điểm trên cạnh AD sao cho AD = k AN . Tìm k để CM ⊥ BN .
A. k = 7,9.
B. k = 8.
C. k = 8,1.
D. k = 7,8.
(Nguyễn Ngọc )
Câu 172. Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn là AC. Gọi E, F lần lượt là hình
chiếu vuông góc của C trên AB, AD. Biểu thức nào sau đây là đúng.

A. AB · AH + AD · AF = AC 2 .
B. AB · AE + AD · AF = AC 2 .
C. AB · AE + AD · AH = AC 2 .
D. AB · AE + AD · AF = AC · AH.
(Trần Thị Thanh Thúy)
Câu 173. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD = h, cạnh đáy AB = a, CD = b.
Tìm hệ thức giữa a, b, h để BD vuông góc trung tuyến AM của tam giác ABC.
A. h2 = a(a + b).
B. h2 = a(b − a).
C. h(h + b) = a(a + b + h).
D. 2h2 = a(a + b).
()
Câu 174. Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O,R), M là điểm chính giữa
cung BC ( cung BC không chứa điểm A). Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. M A = M B · sin C + M C · sin B.
B. M A = M B · cos C + M C · cos B.
C. M A = M B · sin B + M C · sin C.
D. M A = M B · cos B + M C · cos C.
(Nguyễn Quang )
Câu 175. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. m là trung điểm của BC, D là
# »2
“ Tính AD
chân đường phân giác trong góc A.
4c
4bc
# »
# »
p(p − a).
B. AD2 =
(p − a).

A. AD2 =
2
(b + c)
(b + c)2
4bc
4bc
# »
# »
C. AD2 =
p(p − a).
D. AD2 =
p(p − a).
2
(b − c)
(b + c)2
(Lương Thị Hương Liễ)
Câu 176.
Trong cuộc thi giải trí toán học tổ chức nhân dịp
hoạt động chào mừng Ngày nhà giáo Việt Nam có
một trò chơi như sau: Người ta thiết kế hai đường ray
A
tạo với nhau một góc 30◦ như hình vẽ dưới đây. Trên
các đường thẳng Ox và Oy người ta để hai vật nặng
O
cùng trọng lượng. Buộc hai vật thể với nhau bằng
B
một thanh cứng AB = 1 m sao cho mỗi vật đều có
thể chuyển động được trên hai đường ray.
Nối hai vật bằng một sợi giây vòng qua một cột có gốc tại O. Người tham dự cuộc thi sẽ
đứng tại vị trí điểm B để kéo vật thể chuyển động trên Oy. Người thắng cuộc sẽ là người kéo

được vật thể ra xa nhất so với điểm gốc O. Hãy dùng kiến thức toán học để tính toán vị trí xa
nhất mà người tham dự cuộc thi có thể đạt được. √
√
A. 1 m.
B. 2 m.
C. 3 m.
D. 2 m.


24

MỤC LỤC
(Phạm Thành )

Câu 177.
Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b.
Trung tuyến CM
√ vuông góc với phân giác trong
CM
3
AL và
=
. Tính cos A.
AL
√
√2
2
5−1
.
B. cos A =

.
A. cos A =
4
√2
1
3
C. cos A =
.
D. cos A = .
2
2

A

M

C

L

B

(Phạm Thành Trung)
Câu 178. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, CD = 3. Điểm M , N thuộc cạnh AD và
BN
m
=
có m + n bằng
BC sao cho M N ⊥ BD. Phân số tối giản
n

NC
A. 29.
B. 18.
C. 16.
D. 27.
(Trần Văn Đoà)
Câu 179.
Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b.
Gọi M là trung điểm của AB và D là chân đường
phân giác trong góc A của tam giác ABC. Biết
rằng trung tuyến CM vuông góc với phân giác
trong AD. Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?
A. b = 2c.
B. c = 2b.
C. a = b + c.
D. c = a + b.

A

M

C

D

B

(Nguyễn Thị Thỏ)
Câu 180. Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O; R). Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC .
Khi đó

A. M A = M B + M C.
B. M A > M B + M C.
C. M A < M B + M C.
D. M A = 2M B + M C.
(Nguyễn Thị Thỏa)


MỤC LỤC

25
ĐÁP ÁN

1 A

19 B

37 D

55 C

73 C

92 C

110 B

129 B

151 B

2 A

20 C

38 A

56 D

75 B

93 C

111 C

130 A

152 B

3 A

21 B

39 B

57 B

76 A

94 B

112 B

131 A

153 C

4 A

22 A

40 B

58 B

77 A

95 B

113 C

133 B

154 A

5 A

23 C

41 B

59 A

78 C

96 C

114 B

136 B

155 D

6 A

24 B

42 B

60 B

79 B

97 D

115 B

137 C

156 A

7 A

25 B

43 B

61 A

80 A

98 A

116 B

138 A

157 B

8 A

26 D

44 D

62 D

81 B

99 B

117 C

139 A

158 D

9 A

27 B

45 D

63 B

82 B

100 B

118 B

140 B

159 B

10 B

28 B

46 B

64 C

83 B

101 B

119 B

141 A

160 D

11 B

29 B

47 D

65 C

84 B

102 B

121 B

142 A

161 D

12 A

30 C

48 C

66 C

85 A

103 B

122 A

144 B

162 C

13 B

31 C

49 C

67 B

86 C

104 A

123 B

145 B

163 B

14 A

32 A

50 B

68 D

87 D

105 B

124 B

146 B

164 A

15 A

33 D

51 A

69 D

88 A

106 A

125 B

147 D

165 A

16 C

34 B

52 B

70 C

89 A

107 A

126 D

148 C

166 C

169 B

170 C

171 B

172 B

173 A

174 C

175 D

176 B

177 D

178 B

179 B
17 B

35 A

53 C

71 D

90 A

108 C

127 A

149 B

167 A

18 A

36 B

54 A

72 A

91 C

109 C

128 B

150 B

168 B

Lời giải chi tiết
Câu 1.
Dựng hình bình hành BDIE như hình vẽ. Khi đó,

A

IE # » ID # »
#» #» #»
IB = IE + ID = − IA −
IC.
IA
IC
D
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có
MB
BC ID
BN
AB
IE
=
=
,
=
=
.
IA
MA
AC IC
NC
AC
BC # » AB # »
#»
Suy ra IB = −

IA −
IC.
AC
AC
x#» z# »
#»
#»
# » #»
#»
Từ xIA + y IB + z IC = 0 , suy ra IB = − IA − IC.
y
y
#» #»
Do IA, IC là hai véc-tơ không cùng phương suy ra x = 4t,
y = 6t, z = 3t với t > 0.
x y z
41
Vậy P = + + = .
y z x
12

M
I
N
B

C
E

180 A