Bài tập chuỗi số và chuỗi hàm có lời giải 2

Bài 01.04.1.098.A.126
Sử dụng tính liên tục để đánh giá giới hạn

1


Lời giải:
Bởi vì :

x liên tục trên R
sinx liên tục trên R
 x  sin x liên tục trên R.

Như vậy hàm số

 liên tục trên R

Từ đó ta thấy :

Bài 01.04.1.099.A.126
Sử dụng tính liên tục để đánh giá giới hạn

2


Lời giải:
Bởi vì :

x 2  x liên tục trên R

Hàm số :

 cũng liên tục trên R

Ta thấy :

Bài 01.04.1.100.A.126
Sử dụng tính liên tục để đánh giá giới hạn

Lời giải:
Bời vì hàm số arctan là hàm số liên tục , áp dụng định luật 8 ta có :

3


Bài 01.04.1.101.A.126
Chứng minh rằng f liên tục trên  ,  

Lời giải:
Hàm số

bởi định luật 5 :
f  x   x 2 trên  ,1
 f liên tục trên đoạn  ,1

bởi định luật 7 :

f  x   x trên 1, 
 f liên tục trên đoạn 1, 

Tại x  1 :

Bởi vậy , hàm f liên tục tại điểm x  1
Như vậy ta có f liên tục trên  ,  

4


Bài 01.04.1.102.A.126
Chứng minh rằng f liên tục trên  ,  

Lời giải:
Hàm số

Theo định luật 7



f  x   sin x trên  , 
4

 
f  x   cos x trên  ,  
4 

   

 f liên tục trên  ,    ,  
4 4 

Ta có :

 tính liên tục của hàm sin tại


4

5


 bởi tính liên tục của hàm cos tại


4

Như vậy tồn tại :

 hàm f liên tục tại


4

 hàm f liên tục trên  ,  

Bài 01.04.1.103.A.126
Tìm những điểm mà tại đó f bị gián đoạn. Những điểm mà f liên tục bên
phía phải , bên phía trái hoặc cả hai.
Vẽ đồ thị hàm số f

6

Lời giải:
Hàm số :

có f liên tục trên

 ,2 ,  0,2 và  2, 

Ta có :

Bởi vậy :
 f bị gián đoạn tại 0

Từ

f  0  1 :
 f liên tục bên trại tại 0

Cũng có :

 f liên tục tại 2

Như vậy f chỉ bị gián đoạn tại điểm 0

Vẽ đồ thì hàm số f
7


Bài 01.04.1.104.A.127
Tìm những điểm mà tại đó f bị gián đoạn. Những điểm mà f liên tục bên

phía phải , bên phía trái hoặc cả hai.
Vẽ đồ thị hàm số f

8


Lời giải:
Hàm số :

có f liên tục trên

 ,1 , 1,3 và  3, 

Ta có :

Bởi vậy :
 f bị gián đoạn tại 1

Từ

f 1  2 :
 f liên tục bên trại tại 1

9


Cũng có :

 f liên tục tại 3 nhưng nó liên tục từ bên phải tại 3.

Như vậy f chỉ bị gián đoạn tại điểm 1

Vẽ đồ thì hàm số f

Bài 01.04.1.105.A.127
Tìm những điểm mà tại đó f bị gián đoạn. Những điểm mà f liên tục bên
phía phải , bên phía trái hoặc cả hai.
Vẽ đồ thị hàm số f

Lời giải:
10


Hàm số :

có f liên tục trên
f liên tục trên

 ,0 , 1,   vì trên mỗi khoảng nó là một đa thức
 0,1 vì trên khoảng nó là một hàm mũ.

Ta có :

Bởi vậy :
 f bị gián đoạn tại 0

11


Từ

f  0  1 :
 f liên tục bên phải tại 0

Cũng có :

 f gián đoạn tại 1.

Từ

f 1  e
 f liên tục bên trái tại 1

Vẽ đồ thì hàm số f

12


Bài 01.04.1.106.A.127
Tìm những giá trị của hằng số c để hàm số f liên tục trên  ,  

Lời giải:
Hàm số :

ta có :

f liên tục trên đoạn  ,2  và  2, 

Bởi vậy để f liên tục ta cần :

13


Như vậy :
c

2
thì hàm f liên tục trên
3

 ,  

Bài 01.04.1.107.A.127
Tìm những giá trị của a và b để hàm số f liên tục trên  ,  

Lời giải:
Hàm số :

Tại x  2 :

14


 4a  2b  3  4

4a  2b  11
Tại x  3 :

 9a  3b  3  6  a  b

10a  4b  3 2 
Lấy (1) + (2) ta có :

a

Thay a 

1
2

1
vào (1) ta có :
2

15


2b  1  b 

Như vậy a  b 

1
2

1
thì hàm số f liên tục trên đoạn  ,  
2

Bài 01.04.1.108.A.127
Hãy chỉ ra rằng hàm số f bị gián đoạn rời tại a. Nếu có sự gián đoạn rời đó ,

tìm hàm số g mà đồng dạng f với x  a và liên tục tại a.

Lời giải:
(a)

Ta có :

với x  1

16


Sự gián đoạn rời và hàm g  x   x3  x3  x  1 đồng dạng hàm f với x  1
và liên tục trên R.

(b)

Ta có :

với x  2
Sự gián đoạn rời và hàm số g  x   x 2  x đồng dạng f với x  2 và liên tục
trên R.

(c)

Ta có :

Bởi vậy :

lim f  x  không tồn tại

x 

17


 hàm bị gián đoạn tại x   và là gián đoạn nhảy.

Bài 01.04.1.109.A.127
Nếu :

hãy tìm số c để :

Lời giải:
Ta có :

liên tục trên đoạn 31,32
Lại có :

Từ đó :

Như vậy c nằm trong khoảng  31,32  để f  c   1000

Bài 01.04.1.110.A.127
Sử dụng các định lý giá trị trung gian để chỉ ra rằng có 1 phương trình gốc
trong khoảng cho trước :

18


Lời giải:

Ta có :

liên tục trong khoảng 1,2
Lại có :

 1  0  15

Như vậy có tồn tại 1 số c trong khoảng 1,2  để cho f  c   0
Vậy có phương trình gốc của phương trình :

Bài 01.04.1.111.A.127
Sử dụng các định lý giá trị trung gian để chỉ ra rằng có 1 phương trình gốc
trong khoảng cho trước :

19


Lời giải:
Ta có :

liên tục trong khoảng  0,1
Lại có :

 1  0  1

Như vậy tồn tại 1 số c trong  0,1 để f  c   0
Vậy có tồn tại phương trình gốc của phương trình :

Bài 01.04.1.112.A.127
Sử dụng các định lý giá trị trung gian để chỉ ra rằng có 1 phương trình gốc

trong khoảng cho trước :

20


Lời giải:
Ta có :

tương đương với phương trình :

liên tục trong khoảng  0,1



Lại có :

 2  0  e  1

Như vậy tồn tại 1 số c trong  0,1 để f  c   0
Vậy có tồn tại phương trình gốc của phương trình :

Bài 01.04.1.113.A.127
Sử dụng các định lý giá trị trung gian để chỉ ra rằng có 1 phương trình gốc
trong khoảng cho trước :

21


Lời giải:
Ta có :

tương đương với phương trình :

liên tục trong khoảng 1,2



Lại có :

 sin1  0  sin 2  2

Như vậy tồn tại 1 số c trong 1,2  để f  c   0
Vậy có tồn tại phương trình gốc của phương trình :

Bài 01.04.1.114.A.127
(a)

Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm thực

(b)

Sừ dụng máy tính để tính 1 khoảng độ dài 0.01 chứa nghiệm thực

22


Lời giải:
(a)

Ta có :

liên tục trong khoảng  0,1
Lại có :

 0.46  0  1

Như vậy tồn tại 1 số c trong  0,1 để f  c   0
Vậy có tồn tại nghiệm của phương trình :

trong khoảng  0,1

(b)

Ta có :

Như vậy nghiệm thực nằm trong khoảng  0.86,0.87 
Bài 01.04.1.115.A.127
(a)

Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm thực

(b)

Sừ dụng máy tính để tính 1 khoảng độ dài 0.01 chứa nghiệm thực

23


Lời giải:
(a)

Ta có :

liên tục trong khoảng 1,2
Lại có :

 1  0  1.7

Như vậy tồn tại 1 số c trong 1,2  để f  c   0
Vậy có tồn tại nghiệm của phương trình :

trong khoảng 1,2 

(b)

Ta có :

Như vậy nghiệm thực nằm trong khoảng 1.34,1.35

24


Bài 01.04.1.116.A.127
(a)

Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm thực

(b) Sừ dụng đồ thị của bạn để tính chính xác giá trị nghiệm thực đến 3 chữ số thập
phân

Lời giải:
(a)

Ta có :

Lại có :

Như vậy tồn tại 1 số c trong  0,100  để f  c   0
Vậy có tồn tại nghiệm của phương trình :

trong khoảng  0,100 

25