Đề thi và gợi ý giải môn toán khối B năm 2009!

ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
Môn thi : TOÁN
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = 2x
4
– 4x
2
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Với các giá trị nào của m, phương trình
2 2
x x 2 m
− =
có đúng 6 nghiệm thực
phân biệt?
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình
3
sin x cos xsin 2x 3 cos3x 2(cos4x sin x)
+ + = +
2. Giải hệ phương trình
2 2 2
xy x 1 7y
(x, y )
x y xy 1 13y
+ + =

∈

+ + =


¡
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân
3
2
1
3 ln x
I dx
(x 1)
+
=
+
∫
Câu IV (1 điểm)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’
và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
; tam giác ABC vuông tại C và
·
BAC
= 60
0
. Hình
chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam
giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.
Câu V (1 điểm)
Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)
3
+ 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức
A = 3(x
4
+ y
4
+ x
2
y
2
) – 2(x
2
+ y
2
) + 1
PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a. (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) :
2 2
4
(x 2) y
5
− + =
và
hai đường thẳng
1
: x – y = 0,
2
: x – 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán

kính của đường tròn (C
1
); biết đường tròn (C
1
) tiếp xúc với các đường thẳng
1
,
2
và tâm K thuộc đường tròn (C)
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1),
B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B
sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)
Câu VII.a (1 điểm)
Tìm số phức z thoả mãn :
z (2 i) 10 và z.z 25− + = =
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(-
1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x – y – 4 = 0. Xác định toạ độ các
điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0
và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song
song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến
đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Câu VII.b (1 điểm)
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số
2
x 1
y
x

−
=
tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4.
BÀI GIẢI GỢI Ý
Câu I.
1. y = 2x
4
– 4x
2
. TXĐ : D = R
y’ = 8x
3
– 8x; y’ = 0 x = 0 x = 1;
x
lim
→±∞
= +∞
x 1 0 1 +
y' 0 + 0 0 +
y + 0 +
2 CĐ 2
CT CT
y đồng biến trên (-1; 0); (1; +)
y nghịch biến trên (-; -1); (0; 1)
y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0
y đạt cực tiểu bằng -2 tại x = 1
Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)
Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); (
2
;0)

2. x
2
x
2
– 2 = m 2x
2
x
2
– 2 = 2m (*)
(*) là phương trình hoành độ giao điểm của (C’) :
y = 2x
2
x
2
– 2 và (d): y = 2m
Ta có (C’) (C); nếu x -
2
hay x
2
(C’) đđối xứng với (C) qua trục hoành nếu -
2
< x <
2
Theo đồ thị ta thấy ycbt 0 < 2m < 2 0 < m < 1
Câu II.
1. sinx+cosxsin2x+
3
3 cos3x 2(cos 4x sin x)
= +
3 1 3sin x sin3x

sin x sin3x 3cos3x 2cos4x
2 2 2
sin3x 3 cos3x 2cos4x
1 3
sin3x cos3x cos4x
2 2
sin sin 3x cos cos3x cos4x
6 6
cos4x cos 3x
6
4x 3x k2 x k2
6 6
2
4x 3x k2 x k
6 42 7
−
⇔ + + = +
⇔ + =
⇔ + =
π π
⇔ + =
π
 
⇔ = −
 ÷
 
π π
 
= − + + π = − + π
 

⇔ ⇔
 
π π π
 
= − + π = +
 
 
2.
{
2 2 2
xy x 1 7y
x y xy 1 13y
+ + =
+ + =
y = 0 hệ vô nghiệm
y 0 hệ
2
2
x 1
x 7
y y
x 1
x 13
y y

+ + =



+ + =




Đặt a =
1
x
y
+
; b =
x
y

2 2
2
1 x
a x 2
y y
= + +

2 2
2
1
x a 2b
y
+ = −
Ta có hệ là
{
2
a b 7
a b 13

+ =
− =

{
2
a b 7
a a 20 0
+ =
+ − =

{
a 4
b 3
=
=
hay
{
a 5
b 12
= −
=
. Vậy
1
x 4
y
x
3
y

+ =




=



hay
1
x 5
y
x
12
y

+ = −



=




{
2
x 4x 3 0
x 3y
− + =
=

hay
{
2
x 5x 12 0
x 12y
+ + =
=
(VN)
x 1
1
y
3
=



=


hay
{
x 3
y 1
=
=
Câu III :
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3

3
1
2
1
1
3
2
2
1
3 ln x dx ln x
I dx 3 dx
(x 1) (x 1) (x 1)
dx 3 3
I 3
(x 1) (x 1) 4
ln x
I dx
(x 1)
+
= = +
+ + +
−
= = =
+ +
=
+
∫ ∫ ∫
∫
∫
Đặt u = lnx

dx
du
x
⇒ =
2
dx
dv .
(x 1)
=
+
Chọn
1
v
x 1
−
=
+
3
3 3 3
2
1
1 1 1
ln x dx ln3 dx dx ln3 3
I ln
x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2
= − + = − + − = − +
+ + +
∫ ∫ ∫
Vậy :
3

I (1 ln3) ln2
4
= + −
Câu IV.
BH=
2
a
,
2 1 3
3
3 2 2 4
BH a a
BN
BN
= ⇒ = =
;
3
'
2
a
B H
=
goïi CA= x, BA=2x,
3BC x=
2
2 2 2
2
2
CA
BA BC BN+ = +

2
2
2 2
3
3 4 2
4 2
a x
x x
 
⇔ + = +
 ÷
 
2
2
9
52
a
x⇔ =
Ta có:
3 3
' '
2 2
a
B H BB
= =
V=
2 3
2
1 1 3 1 9 3 9
3

3 2 2 12 52 2 208
a a a a
x
 
= =
 ÷
 
Câu V :
3
3 2
2
(x y) 4xy 2
(x y) (x y) 2 0 x y 1
(x y) 4xy 0

+ + ≥

⇒ + + + − ≥ ⇒ + ≥

+ − ≥


2
2 2
(x y) 1
x y
2 2
+
⇒ + ≥ ≥
dấu “=” xảy ra khi :

1
x y
2
= =
Ta có :
2 2 2
2 2
(x y )
x y
4
+
≤
( )
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A 3 x y x y 2(x y ) 1 3 (x y ) x y 2(x y ) 1
 
= + + − + + = + − − + +
 
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
(x y )
3 (x y ) 2(x y ) 1
4
9
(x y ) 2(x y ) 1
4
 
+
≥ + − − + +

 
 
= + − + +
Đặt t = x
2
+ y
2
, đk t ≥
1
2
2
9 1
f (t) t 2t 1, t
4 2
9 1
f '(t) t 2 0 t
2 2
1 9
f (t) f ( )
2 16
= − + ≥
= − > ∀ ≥
⇒ ≥ =
Vậy :
min
9 1
A khi x y
16 2
= = =
Câu VIa.

1. Phương trình 2 phân giác (
1
,
2
) :
x y x 7y
2 5 2
− −
= ±
1
2
5(x y) (x 7y)
y 2x :d
5(x y) x 7y
1
5(x y) x 7y
y x : d
2
⇔ − = ± −
= −

− = −


⇔ ⇔


− = − +
=



Phương trình hoành độ giao điểm của d
1
và (C) : (x – 2)
2
+ (– 2x)
2
=
4
5
25x
2
– 20x + 16 = 0 (vô nghiệm)
Phương trình hoành độ giao điểm của d
2
và (C) : (x – 2)
2
+
2
x 4
2 5
 
=
 ÷
 
2
25x 80x 64 0
⇔ − + =
x =
8

5
. Vậy K
8 4
;
5 5
 
 ÷
 
R = d (K,
1
) =
2 2
5
2. TH1 : (P) // CD. Ta có :
AB ( 3; 1;2),CD ( 2;4;0)
= − − = −
uuur uuur
(P) có PVT n ( 8; 4; 14) hay n (4;2;7)
(P) :4(x 1) 2(y 2) 7(z 1) 0
4x 2y 7z 15 0
⇒ = − − − =
− + − + − =
⇔ + + − =
r r
TH2 : (P) qua
I(1;1;1)
là trung điểm CD
Ta có AB ( 3; 1;2), AI (0; 1;0)
(P) có PVT n (2;0;3)
(P) :2(x 1) 3(z 1) 0 2x 3z 5 0

= − − = −
⇒ =
− + − = ⇔ + − =
uuur uur
r
Câu VIb.
1.
1 4 4
9
AH
2 2
1 36 36
S AH.BC 18 BC 4 2
9
2 AH
2
− − −
= =
= = ⇔ = = =
Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) = 0
x y 4
7 1
H : H ;
x y 3
2 2
− =

 
⇒ −


 ÷
+ =
 

B(m;m – 4)
2 2
2
2
2
BC 7 1
HB 8 m m 4
4 2 2
7 11
m 2
7
2 2
m 4
7 3
2
m 2
2 2
   
⇒ = = = − + − +
 ÷  ÷
   

= + =

 
⇔ − = ⇔


 ÷
 

= − =

