GT SPKTHCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN
-------------------------

Câu 1: ( 2 điểm) Cho số phức z 
Câu 2: (1,5 điểm) Cho hàm số

ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015

Môn: Toán cao cấp A1 (CĐ)
Mã môn học: 1001111
Ngày thi: 10/06/2015
Thời gian: 90 phút
Đề thi có 1 trang
Đề số: 1
SV được phép sử dụng tài liệu.

1 i
. Tính z 2015 và
3i

3

z.

 ln 1  3x 2 

, x0 .
f  x  

x
m,
x0


a. Tìm m để hàm số f  x  liên tục tại x0  0 .

b. Với giá trị m vừa tìm được ở câu a, xét sự khả vi của f  x  tại x0  0 .
Câu 3: (2 điểm) Xét sự hội tụ của các tích phân


a. I 


1

x x  x2  1
dx
x5  x  5

1

sin x
dx
x
0

b. J  

Câu 4: (2 điểm)



n
.
1
n 1

1
b. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n x n .
n 1 n.5
Câu 5: (2,5 điểm)
x3
a. Tìm giới hạn lim 2
.
x 0 x  2 y 2
y 0
a. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

2

n

x2 y 2
 3xy  x  2 y  5 .
b. Tìm cực trị tự do của hàm hai biến f  x, y   
2
2
Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
Ngày 5 tháng 6 năm 2015
Thông qua bộ môn

Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV

1/3


ĐÁP ÁN

 

2  cos
 i sin

1 i
4
4 

Câu 1. z 




3i
2  cos  i sin 
6
6

1 
5
 


 i sin
 cos
.
12
12 
2

0,5đ

0,5đ

5.2015
5.2015 
 1  
z

 i sin
0,5đ
.
  cos
12
12

 2 
1 
5 / 12  k 2
5 / 12  k 2 
3
z  6  cos

 i sin
 , k  0,1,2 .
3
3
2

2015

2015

Câu 2.

ln 1  3x 2 

3x 2
 0.
x 0
x 0
x 0 x
x
f  0   m ; lim f  x   f  0   m  0 .

a. lim f  x   lim

 lim

0,5đ

0,5đ
0,5đ

x0

ln 1  3x 
f  x   f  0
3x 2
 lim
 lim 2  3 (hữu hạn). Do đó, f  x  khả vi tại
b. lim
x 0
x 0
x 0 x
x0
x2
0,5đ
x0  0 .
Câu 3.
x x  x2  1
 0, x  1 .
a. Ta có
x5  x  5
x x  x2  1 x2 1

Khi x  , 5
; 0,5đ
x  x5
x5 x3

1
3

Mà  3 dx hội tụ (vì    1 ) nên I hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2.
0,5đ
2
x
1
2

sin x
 0, x  (0,1] .
x
sin x
x
1

Khi x  0 ,
;
0,5đ
x
x
x
1
1
1
Mà 
dx hội tụ (do    1 ) nên J hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2.
2
x
0

b. Ta có

0,5đ

Câu 4.
n
n
n
1

lim
  1 nên chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy. 0,5đ
n
n
2  1 n n 2n  1 2
1
1
b.   lim n n   R  5 . Chuỗi có khoảng hội tụ:  5,5 .
0,5đ
n
n5
5

a. Do lim

n


 1
1
Tại x  5 , chuỗi số  n  5n   

n
n 1 n5
n 1


Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV

n

hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. 0,5đ

2/3


1 n  1
5   phân kì.

n
n
5
n 1
n 1 n
Vậy miền hội tụ của chuổi lũy thừa là [  5;5) .
Tại x  5 , chuỗi số



0,5đ

Câu 5.

x3
x2
a. 0  2

. x  x ,   x, y    0,0 
x  2 y 2 x2  2 y 2

x3
 0.
Mà lim0  lim x  0 nên lim 2
x 0 x  2 y 2
x 0
x 0
y 0
y 0
y 0

0,5đ

0,5đ


 f 'x  x  3 y  1  0
b. 
0,5đ
f
'

y


3
x

2

0

 y
x  7 / 8
. Suy ra f  x  có điểm dừng M  7 / 8; 5 / 8 . 0,5đ

 y  5 / 8
A  1, B  3, C  1,   AC  B 2  8 .
Tại M  7 / 8; 5 / 8 ,do   8  0 nên f  x  không đạt cực trị tại M .

Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV

0,5đ

3/3