Đề 8 cuối kì giải tích i k59

Đề 8: Đề thi cuối kỳ môn giải tích I – k59
2

1  3s inx  x
Câu 1: Tìm giới hạn lim 

x 0
 1  sin x 

3


2 x  e x khi:x  0
Câu 2: Cho hàm số f ( x)  
0khi : x  0

Tính f '(0) .
Câu 3: Tìm các tiệm cận của hàm số y  3x  2arctan x
ln( x 2  1)
dx
Câu 4: Tính tích phân 
( x  2) 2
ln 2

Câu 5: Tính tích phân


0

e3 x
dx

2e x  1

Câu 6: Sử dụng vi phân toàn phần, tính gần đúng:
A  3 4(1,97) 2  (3, 02)3  3

Câu 7: Tìm cực trị của hàm số
z  2 x4  2 x2 y  y 2  4 x  2

Câu 8: Cho hàm số f ( x, y )  3 2 x3  y 3 .Tính các đạo hàm riêng
f
f
2 f
(0;0), (0;0), 2 (0;0) .
x
y
y

Câu 9: Chứng minh rằng với   0 ,tích phân suy rộng




1

cosx
dx hội tụ.
x

Câu 10: Cho các số xi , yi  (a, b), i  1,..., n(n  1) và xi  yi ,1  i  n .Chứng minh rằng:
nếu f khả vi trên (a,b) thì tồn tại số c   a, b  sao cho

Đáp án:

n

n

i 1

i 1

  f ( xi )  f ( yi )  f '(c) ( xi  yi )


Câu 1:
2

2 1 3sin x



4sin x 

lim ln 1
lim ln

 1  3sin x  x
 ) lim 
 e x0 x 1sin x  e x0 x  1sin x 

x 0

 1  sin x 
2 
4sin x 
2 4sin x
 ) lim ln 1 
 lim 
8

x 0 x
 1  sin x  x 0 x 1  sin x
2

Giới hạn là e8
Câu 2: ) f '(0)  lim
h 0

2h  e
h



3
h

.) f '(0)  lim
h 0

2h  e
h



3
h

2 .

Câu 3:
+) Hàm số không có tiệm cận đứng.
+) Khi x   : arctan x 


2

, tiệm cận xiên: y  x  3 .


+) Khi x   : arctan x   , tiệm cận xiên: y   x  3
2

Câu 4:
+) Đặt u  ln( x 2  1), dv 
I 

dx
2x
1
.Ta có: du  2 dx, v 
2
( x  2)

x 1
x2

ln( x 2  1)
2x
 2
dx
x2
( x  1)(x  2)

+)
2x
4x  2
4
ln( x 2  1) 2 2 x
2
1
4
1


,I  
  2
dx   2 dx  
dx
2
2
( x  1)( x  2) 5( x  1) 5( x  2)
x2
5 x 1

5 x 1
5 x2
ln( x 2  1) 2
2
4
I 
 ln( x 2  1)  arctanx  ln x  2  C .
x2
5
5
5
2

Câu 5: Đặt e x  t : I  
1

t2
dt
2t  1


2
t2
1 1
1
1 1
1 5 1
1
2
) I  

dt   ( t  
)dt   t 2  t  ln(2t  1)    ln 
2t  1
2 4 4(2t  1)
4 8
8 3 2
4
1
1
1
2

Câu 6: ) Xét hàm số f ( x, y)  3 4 x 2  y 3  3, A  f (1,97;3, 02)
2
2
1
1
4
9
f x'  (4 x 2  y 3  3) 3  8 x, f y'  (4 x 2  y 3  3) 3  (3 y 2 ) : f x' (2;3)  ; f y' (2;3)  
3
3
3
4

4
3

9
4

+) f (1,97;3, 02)  f (2;3)  f x' (2;3)  0, 03  f y' (2;3)  0, 02  2   0, 03   0, 02  2, 085
Câu 7: ) zx'  8 x3  4 xy  4  0, z 'y  2 x 2  2 y  0 .
Từ pt (2): x2  y, 4 x3  4  0 . Điểm dừng M1 (1;1) .
+) A  zxx''  24 x 2  4 y, B  z xy''  4 x, C  z ''yy  2
Tại M1 (1;1) : B2  AC  64  0 ,điểm cực tiểu, zmin  1 .
Câu 8;
)

f
f (h;0)  f (0;0) 3 f
f (0; h)  f (0;0)
(0;0)  lim
 2, (0;0)  lim
1
h 0
h 0
x
h
y
h

)

f (0; h)  f y (0;0)
f
y2
2 f
1 1


, 2 (0;0)  lim y
 lim
 0.
h 0
h 0 h
x 3 (2 x3  y 3 )2 y
h

Câu 9:
A

) Xét

A
A
A
cosx
1
cos x A
sin x
sin A
sin x
dx

d
(cos
x
)




dx


sin1



dx

 1

1 x
1 x


x 1
x
A
x 1
1
1

+) Cho A   :

sin A
 0 và
A



sin x

 x

1

dx hội tụ , vì

1

Câu 10:
+) Ta chứng minh bằng qui nạp toán học.
n=1: Định lý Lagrange

sinx
1
  1 , hội tụ tuyệt đối.
 1
x
x


+) Giả sử mệnh đề đúng với n, tức là tồn tại co   a, b  sao cho:
n

  f ( xi )  f ( yi ) 
i 1

n

f '(co ) ( xi  yi )
i 1

Xét xn1  yn1 thuộc khoảng (a,b). Định lý Lagrange c1   a, b  :
f ( xn 1 )  f (yn 1 )  f '(c1 )( xn 1  yn 1 )

Nếu co  c1  c thì có điều phải chứng minh.
n

Nếu co  c1 thì

f '(co ) ( xi  yi )  f '(c1 )( xn 1  yn 1 )
i 1

n 1

 (x  y )
i 1

i

giữa f '(co ) và f '(c1 ) , với 0  t 

 (1  t ) f '(co )  tf '(c1 ) là một số nằm

i

(x n 1  yn 1 )
n 1

 (x  y )
i 1

i

 1 . Do hàm số f khả vi trên  co , c1  nên

i

theo định lý giá trị trung bình của hàm khả vi, tồn tại c   co , c1  sao cho
f '(c)  (1  t ) f '  co   tf '  c1  . Suy ra điều phải chứng minh. Làm tương tự với co  c1