Đề 7 giữa kì giải tích i k59

Đề 7: Đề thi giữa kì môn giải tích I – k59
Câu 1: Tìm hàm số ngược của hàm số y 
Câu 2: Phân loại điểm gián đoạn x 


2

2x  3
4x  5

của hàm số f ( x) 

1
1  4 tan x

Câu 3: Cho hàm số f ( x)  xe3 x .Tính đạo hàm cấp cao f (5) ( x) .
Câu 4: Chứng minh rằng 2 x arctan x  ln(1  x 2 ), x  0.
cot x
Câu 5: Tính giới hạn lim
cosx 

x0

Câu 6: Tính tích phân  arctan(2 x)dx
e x s inx  x
Câu 7: Tính giới hạn lim
x 0
x2
dx

 ( x  2) ( x  3)

Câu 8: Tính tích phân

2

2

Câu 9: Tính đạo hàm cấp cao y (19) (0) với y  arcsin x.
Câu 10: Cho hàm số f :  0,    R thỏa mãn f ( x)  1 và f ''(x)  0 với mọi x > 0.
Chứng minh rằng f '( x)  0 với mọi x > 0 .
Đáp Án :
5
2x  3
3 5y 
1
,y
x
,  y  .
4
4x  5
4y  2 
2

Câu 1: ) x 

 Hàm số ngược cần tìm: y 

3  5x 
1
, x   .

4x  2 
2

Câu 2: lim f ( x)  0, lim f ( x)  1.
x



x

2


2

lim f ( x)  lim f (x)  x 

x



2

x



2



2

là điểm gián đoạn loại 1.


Câu 3: )( xe3x )  x(e3x )(5)  C51 ( x)'(e3x )(4) , )  35 xe3x  5.34 e3x
Câu 4: +) Xét hàm số f ( x)  2 x arctan x  ln(1  x 2 ), x  0, f '( x)  2arctan x  0, x  0
)  f ( x) đồng biến khi x  0  f ( x)  f (0)  0, x  0

Câu 5:
lim cot x ln(cos x )

) I  lim(cos x)cot x  lim ecot x ln(cos x )  e x0
x 0

x 0

ln cos x L '
 tan x
 lim
 0,  I  1
x  0 tan x
x 0
1
cos 2 x

) lim cot x ln(cos x)  lim
x 0

Câu 6:

) I   arctan(2 x)dx  x arctan(2 x)  

2 xdx
1
, ) I  x arctan(2 x)  ln(1  4 x 2 )  C
2
1 4x
4

Câu 7:
L'
e x sin x  x L '
e x sin x  e x cos x  1
2e x cos x
) lim
 lim
, )  lim
1 .
x 0
x 0
x 0
x2
2x
2

Câu 8:
 1
dx
2
1

2 
 



 dx
2
2
2
2
( x  2) ( x  3)
x  2 ( x  3)
x3
 ( x  2)
1
1
)  
 2 ln x  2 
 2 ln x  3  C
x2
x3

) 

Câu 9:
) y ' 

1

 (1  x 2 ) y '  1  x 2  (1  x 2 ) y '' 2 xy ' 

x

  xy '  (1  x 2 ) y '' xy '  0

1 x
1 x
)  ((1  x 2 ) y '' xy ')(n)  0  (1  x 2 ) y (n  2)  n.2 x. y ( n 1)  n(n  1) y n  xy ( n 1)  ny n  0,
2

2

 y ( n  2) (0)  n 2 y ( n ) (0)  y (19) (0)  17 2 y (17) (0)  ...  (17!!) 2 y '(0)  (17!!) 2

Câu 10:
+) Phản chứng, giả sử có xo  0 sao cho f '( xo )  0 .Do f ''( x)  0 nên
f '( x)  f '( xo ), x  xo.


+) Theo Lagrange:
x 

c  ( xo , x) f ( x)  f (x o )  f '(c)( x  xo )  f ( xo )  f '( xo )( x  xo )     1 (trái gt ).