Đề thi toán 2 KD k60 XD có đáp án

Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN TOÁN 2 KD

Đề số 1 K60

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (1,5điểm). Cho hàm số f (x, y) = cos(2x2 − y 2 ). Tính các đạo hàm riêng cấp hai fxx , fxy .
Câu 2 (2,0điểm). Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = 4x3 − 6xy + y 2 .
4
(x2 − y 3 )dx + (3x3 − y 2 )dy, trong đó L là đường
3
L
(Elip) 9x2 + 4y 2 = 36 có hướng ngược chiều kim đồng hồ.
Câu 3 (2,0điểm). Tính tích phân đường I =

Câu 4 (3,0điểm). Giải các phương trình vi phân sau
a. y + 2y = ex , với điều kiện ban đầu y(0) = −1
b. y − 4y + 4y = xe2x .
+∞

Câu 5 (1,5điểm). Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
n=1

xn
.

n.3n

Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN TOÁN 2 KD

Đề số 2 K60

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (1,5điểm). Cho hàm số f (x, y) = sin(x2 − 2y 2 ). Tính các đạo hàm riêng cấp hai fyx , fyy .
Câu 2 (2,0điểm). Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = −x2 + 4xy − 2y 3 .
4
(y 2 + x3 )dx + (−3y 3 + x2 )dy, trong đó L là đường
3
L
(Elip) 4x2 + 9y 2 = 36 có hướng ngược chiều kim đồng hồ.
Câu 3 (2,0điểm). Tính tích phân đường I =

Câu 4 (3,0điểm). Giải các phương trình vi phân sau
a. y − 2y = ex , với điều kiện ban đầu y(0) = 1
b. y + 4y + 4y = xe−2x .
+∞

Câu 5 (1,5điểm). Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
n=1

xn
.
n.(−4)n


ĐÁP ÁN ĐỀ 1
Câu 1. (1,5đ)
fx = −2x sin(x2 − y 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
fxx = −2 sin(x2 − y 2 ) − 4x2 cos(x2 − y 2 ),fxy = 4xy cos(x2 − y 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
Câu 2. (2,0đ)


fx = 12x2 − 6y = 0
Giải hệ

f = −6x + 2y = 0
y

được 2 điểm dừng M1 (0, 0), M2 (3/2, 9/2). . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Tính A = fxx = 24x, B = fxy = −6, C = fyy = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tại M1 , AC − B 2 < 0, M1 không phải cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tại M2 , AC − B 2 > 0, A > 0; M2 là điểm cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Câu 3. (2,0đ)
Dùng công thức Green I =

D

(9x2 + 4y 2 )dxdy,D = {9x2 + 4y 2 ≤ 36} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ

Đổi biến x = 2r cos ϕ, y = 3r sin ϕ được I =

2π
0

dϕ

1
0

36r2 .6rdr = ... = 108π . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ

Câu 4. (3,0đ)
a. y = 1/3ex + ce−2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
Do y(0) = −1 nên y = 1/3ex − 4/3e−2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
b. Nghiệm pt thuần nhất ytn = c1 e2x + c2 xe2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Nghiệm riêng có dạng yr = e2x x2 (ax + b), tính được yr = 1/6x3 e2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Suy ra nghiệm của phương trình là y = (c1 + c2 x + 1/6x3 )e2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Câu 5. (1,5đ)
Bk hội tụ R = 3, khoảng hội tụ (−3, 3), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tại x = −3, hội tụ theo Lebnitz, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tại x = 3, phân kì, miền hội tụ là [−3, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ


ĐÁP ÁN ĐỀ 2
Câu 1. (1,5đ)
fy = −2y cos(x2 − y 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
fyy = −2 sin(x2 − y 2 ) − 4y 2 sin(x2 − y 2 ),fyx = 4xy sin(x2 − y 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
Câu 2. (2,0đ)



fx = −2x + 4y = 0
Giải hệ

f = 4x − 6y 2 = 0
y

được 2 điểm dừng M1 (0, 0), M2 (8/3, 4/3). . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Tính A = fxx = −2, B = fxy = 4, C = fyy = −12y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tại M1 , AC − B 2 < 0, M1 không phải cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tại M2 , AC − B 2 > 0, A < 00; M2 là điểm cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Câu 3. (2,0đ)
Dùng công thức Green I =

D

(−4x2 − 9y 2 )dxdy,D = {4x2 + 9y 2 ≤ 36} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ

Đổi biến x = 3r cos ϕ, y = 2r sin ϕ được I = −

2π
0

dϕ

1
0

36r2 .6rdr = ... = −108π . . . . . . . . . . . 1,0đ

Câu 4. (3,0đ)
a. y = −ex + ce2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
Do y(0) = 1 nên y = −ex + 2e2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
b. Nghiệm pt thuần nhất ytn = c1 e−2x + c2 xe−2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Nghiệm riêng có dạng yr = e−2x x2 (ax + b), tính được yr = 1/6x3 e−2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Suy ra nghiệm của phương trình là y = (c1 + c2 x + 1/6x3 )e−2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Câu 5. (1,5đ)
Bk hội tụ R = 4, khoảng hội tụ (−4, 4), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tại x = −4, phân kì, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tại x = 4, hội tụ, miền hội tụ là (−4, 4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ