Biểu diễn nhóm hữu hạn và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (297.87 KB, 26 trang )
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–
TRẦN QUANG
BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60.46.01.04
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Đà Nẵng - Năm 2017
Công trình được hoàn thành tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
—————————
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Ngọc Châu
Phản biện 1:...................................................................
Phản biện 2:...................................................................
Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ Toán học họp tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà
Nẵng vào ngày .....tháng......năm 2017.
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thộng tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng.
- Thư viện trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng.
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Lý thuyết biểu diễn nhóm là một trong những nội dung cơ bản của lý
thuyết nhóm, có nguồn gốc từ lý thuyết đặc trưng của nhóm abel được phát
biểu cho các nhóm cyclic bởi Gauss, Dirichlet và sau đó mở rộng sang cho nhóm
abel hữu hạn bởi Frobenius và Stickelberger. Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn
hình thành vào cuối thế kỷ XIX trong các công trình của Frobenius, Schur và
Burnside. Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn nghiên cứu các cách mà một nhóm
tác động trên một không gian véctơ bằng các tự đẳng cấu tuyến tính.
Lý thuyết biểu diễn nhóm là một nội dung cơ bản của lý thuyết nhóm và
có nhiều ứng dụng, chẳng hạn nó giúp hiểu rõ hơn cấu trúc của một nhóm: cụ
thể, biểu diễn nhóm hữu hạn thể hiện mỗi nhóm hữu hạn đều có ảnh đồng cấu
là một nhóm con của nhóm các ma trận khả nghịch.
Nhằm tìm hiểu biểu diễn nhóm hữu hạn cùng những ứng dụng của nó, tôi
chọn đề tài “ Biểu diễn nhóm hữu hạn và ứng dụng” cho luận văn thạc sĩ của
mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn.
- Biểu diễn một số nhóm bậc thấp.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn.
- Một số nhóm hữu hạn quen biết: nhóm abel, nhóm cyclic, nhóm nhị diện,
nhóm quaternion, nhóm đối xứng, nhóm thay phiên . . .
4. Phương pháp nghiên cứu
1
- Thu thập các bài báo khoa học, tài liệu liên quan đến lý thuyết biểu diễn
nhóm và ứng dụng.
- Tổng hợp, phân tích, giải quyết các vấn đề thuộc nội dung luận văn.
- Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn.
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn được chia thành 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương này sẽ nhắc lại những kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm và đại
số tuyến tính để làm cơ sở cho các chương sau.
Chương 2: Cơ sở về biểu diễn nhóm.
Chương này trình bày sơ lược lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn cùng các
kết quả liên quan.
Chương 3: Biểu diễn một số nhóm hữu hạn.
Chương này trình bày biểu diễn một số nhóm bậc thấp, nhóm hữu hạn
quen biết như: nhóm abel, nhóm cyclic, nhóm dihedral, nhóm quaternion, nhóm
đối xứng, nhóm thay phiên.
2
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này sẽ nhắc lại những kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm và đại
số tuyến tính để làm cơ sở cho các chương sau.
1.1. Một số khái niệm cơ bản về cấu trúc nhóm
1.1.1. Nhóm, nhóm con, nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương
Định nghĩa 1.1.1.1. Cho một tập hợp G khác rỗng cùng với phép toán
hai ngôi trên G
G×G→G
(a, b) → a ∗ b
Cặp (G, ∗) được gọi là một nhóm nếu
i. ∀a, b, c ∈ G, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c),
ii. Có một phần tử e ∈ G, được gọi là phần tử trung lập, có tính chất
a ∗ e = e ∗ a = a, ∀a ∈ G
iii. Với mỗi a ∈ G, có một phần tử a−1 ∈ G, được gọi là nghịch đảo của a,
sao cho a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e.
Nếu ∀a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a thì (G, ∗) được gọi là nhóm giao hoán.
Định nghĩa 1.1.1.2. Một tập con H của một nhóm G gọi là ổn định nếu
và chỉ nếu tích của hai phần tử x, y của H lại thuộc H .
Nếu H là một tập con ổn định của nhóm G, thì trên H cảm sinh được phép
toán từ phép toán của nhóm G.
Định nghĩa 1.1.1.3. Một tập con ổn định H của một nhóm G gọi là một
nhóm con của G, nếu và chỉ nếu H cùng với phép toán cảm sinh lập thành một
nhóm, kí hiệu H
G.
3
Định nghĩa 1.1.1.4. Nhóm G được gọi là một nhóm cyclic nếu G chứa
một phần tử a sao cho mọi phần tử của G đều là một lũy thừa nguyên nào đó
của a. Phần tử a có tính chất như thế gọi là phần tử sinh của nhóm cyclic G,
kí hiệu G = a . Nhóm cyclic cấp n được kí hiệu là Cn . Ta có:
Cn = a = a/an = 1 = 1, a1 , a2 , ..., an−1
Định nghĩa 1.1.1.5. Giả sử G là một nhóm với phần tử đơn vị 1 và a ∈ G.
Nếu am = 1 với mọi m > 0, thì ta nói a có cấp vô hạn. Nếu m là số nguyên
dương nhỏ nhất sao cho am = 1 thì m được gọi là cấp của a. Cấp của phần tử
a được kí hiệu là ord(a).
Từ định nghĩa trên ta có ord(a) =
a
và ord(a) = 1 ⇔ a = 1.
Định nghĩa 1.1.1.6. Giả sử N là một nhóm con của nhóm G. Với mỗi
a ∈ G, các tập hợp
aN = an|n ∈ N
N a = na|n ∈ N
được gọi tương ứng là lớp kề trái và lớp kề phải của N bởi a.
Mệnh đề 1.1.1.7. Hai lớp kề trái của N hoặc trùng nhau hoặc không có
phần tử nào chung. Các lớp kề phải cũng vậy. Như thế, nhóm G được phân hoạch
thành tập hợp rời của các lớp kề trái( tương ứng các lớp kề phải).
Định nghĩa 1.1.1.8. Cho G là một nhóm với phép toán nhân, một nhóm
con H của G được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu ∀x ∈ G, với mọi
a ∈ H, xax−1 ∈ H , và kí hiệu H
G.
Định nghĩa 1.1.1.9. Cho G là một nhóm và H ≤ G. Ta gọi tập gồm tất
cả các lớp kề trái của H trong G là tập thương của G trên H và kí hiệu G/H .
G/H = xH|x ∈ G
Lực lượng của tập G/H được gọi là chỉ số của nhóm con H trong nhóm G
và được kí hiệu là [G : H].
4
Mệnh đề 1.1.1.10. Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G.
Khi đó
i. Quy tắc cho tương ứng cặp (xH, yH) với lớp kề xyH là một ánh xạ
G/H × G/H → G/H .
ii. Tập thương G/H cùng với phép toán hai ngôi: (xH, yH) → xyH là một
nhóm, gọi là nhóm thương của G trên nhóm con chuẩn tắc H .
Định lý 1.1.1.11. (Định lý Lagrange) Giả sử G là một nhóm hữu hạn và
H là một nhóm con bất kỳ của G. Khi đó |G| là một bội
của |H|.
1.1.2. Nhóm con tâm, nhóm tâm hóa, nhóm con giao hoán tử
Mệnh đề 1.1.2.1. Cho G là một nhóm. Tập hợp
Z(G) = g ∈ G/gs = sg, ∀s ∈ G
là một nhóm con giao hoán và chuẩn tắc của G, và được gọi là tâm của nhóm
G.
Mệnh đề 1.1.2.2. Cho G là một nhóm, A ≤ G. Tập con
CG (A) = x ∈ G|x−1 ax = a, ∀a ∈ A
là một nhóm con của G, được gọi là nhóm tâm hóa của nhóm con A trong G.
Định nghĩa 1.1.2.3. Cho x, y là hai phần tử của một nhóm G. Kí hiệu
[x, y] = x−1 y −1 xy ∈ G và gọi là giao hoán tử của x với y .
Định nghĩa 1.1.2.4. Cho G là một nhóm. Nhóm con sinh ra bởi các giao
hoán tử [x, y], ∀x, y ∈ G, kí hiệu [G, G], và được gọi là nhóm con giao hoán tử
của nhóm G.
Mệnh đề 1.1.2.5. Cho G là một nhóm, khi đó [G, G] G.
1.1.3. Nhóm tuyến tính tổng quát
Định nghĩa 1.1.3.1. Giả sử K là một trường, V là một không gian véctơ
n chiều trên K. Kí hiêu GL(V ) là tập hợp tất cả các tự đẳng cấu tuyến tính của
V . Tập hợp GL(V ) cùng với phép hợp thành các ánh xạ lập thành một nhóm,
5
được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát trên V .
1.1.4. Vành nhóm
Định nghĩa 1.1.4.1. Giả sử G là một nhóm hữu hạn và K là một vành.
Gọi K[G] là tập hợp các tổ hợp tuyến tính hình thức
ks s của các phần tử
s∈G
của G với hệ số ks ∈ K . Khi đó, K[G] cùng với hai phép toán
ks s +
hs s =
(ks + hs ) s
s∈G
s∈G
ks s
s∈G
ht t
s∈G
=
t∈G
ks ht (st)
s∈G t∈G
lập thành một vành, gọi là vành nhóm của G (với hệ số trong K).
Đơn vị của K[G] là phần tử 1 = 1.e.
Với mỗi s ∈ G, bằng cách đặt tương ứng s → 1.s thì ta có thể coi G ⊂ K[G].
Rõ ràng K[G] là một vành giao hoán nếu và chỉ nếu G abel.
Nhóm cộng abel K[G] cùng với phép nhân vô hướng
h
hks s, ∀h ∈ K
ks s =
s∈G
s∈G
lập thành một K - không gian véctơ với cơ sở G.
1.2. Quan hệ liên hợp
1.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1.1. Cho G là một nhóm, a, x ∈ G.
Phần tử x−1 ax ∈ G được gọi là phần tử liên hợp của a bởi x, và kí hiệu
ax = x−1 ax.
1.2.2. Lớp liên hợp của một số nhóm hữu hạn
Cho nhóm dihedral như sau
Dn =< a, b|an = e, b2 = e, b−1 ab = a−1 > .
Mệnh đề 1.2.2.1. Số các lớp liên hợp của nhóm Dn phụ thuộc vào tính
chẵn lẻ của n, và được xác định như sau:
6
Nếu n lẻ: nhóm có
n+3
2
lớp liên hợp:
{e} , a, a−1 , ..., a
Nếu n chẵn: nhóm có
n
2
n−1
2
, a−
n−1
2
, b, ab, ..., an−1 b
+ 3 lớp liên hợp:
n
n
n
a, a−1 , ..., a 2 −1 , a− 2 +1 ,
{e} , a 2
b, a2 b, ..., an−2 b , ab, a3 b, ..., an−1 b
Mệnh đề 1.2.2.2. Nhóm
Q8 =< a, b|a4 = e, a2 = b2 , b−1 ab = a−1 >
có 5 lớp liên hợp là
{e} , a2 , a, a3 , b, a2 b , ab, a3 b
Mệnh đề 1.2.2.3. Nhóm
A4 =< a, b, c|a2 = b2 = e, c3 = 3, ab = ba, ac = cb, bc = cba, abc = ca >
có 4 lớp liên hợp là
{e} , {a, b, ba} , {c, ca, cb, cba} , c2 , c2 a, c2 b, c2 ba
Định lý 1.2.2.4. Cho G và H là hai nhóm hữu hạn. Nếu G có n lớp liên
hợp lần lượt có các phần tử đại diện là g1 , g2 , ..., gn và H có m lớp liên hợp lần
lượt có các phần tử đai diện là h1 , h2 , ..., hm . Khi đó, nhóm G × H có n.m lớp
liên hợp với các phần tử đại diện là gi , hj với i = 1, ..., n; j = 1, ..., m.
Từ Định lý 1.2.2.4, ta có các hệ quả sau:
Hệ quả 1.2.2.5. Cho nhóm C2 =< c >= {e, c}. Khi đó nhóm G = D3 ×C2
có 6 lớp liên hợp là
{e} , a, a−1 , b, ab, a2 b ,
{c} , ac, a−1 c , bc, abc, a2 bc
Hệ quả 1.2.2.6. Cho nhóm C2 =< x >= {e, x}. Khi đó nhóm G =
A4 × C2 có 8 lớp liên hợp là
{e} , {a, b, ba} , {c, ca, cb, cba} , c2 , c2 a, c2 b, c2 ba ,
{x} , {ax, bx, bax} , {cx, cax, cbx, cbax} , c2 x, c2 ax, c2 bx, c2 bax
7
CHƯƠNG 2
TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG
Chương này trình bày sơ lược lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn.
2.1. BIỂU DIỄN NHÓM THEO THUẬT NGỮ MÔĐUN.
Giả sử G là một nhóm hữu hạn, K là một trường, và V là một K - không
gian vectơ hữu hạn chiều.
2.1.1. Biểu diễn của một nhóm.
Định nghĩa 2.1.1.1. Một biểu diễn (tuyến tính) của nhóm G trong V là
một đồng cấu nhóm ρ: G → GL(V) từ G vào nhóm GL(V) các tự đẳng cấu
tuyến tính của V.
Định nghĩa 2.1.1.2. Một biểu diễn (tuyến tính) cấp n của nhóm G trong
K - không gian véctơ n chiều V là một đồng cấu nhóm
ρ : G → Gl(n, K) từ G vào nhóm Gl(n, K) các ma trận khả nghịch.
ρ : G → GL(n, K)
s → ρ(s) = As
Mệnh đề 2.1.1.3. Giả sử V là một K - không gian véctơ. Khi đó, V là
một không gian biểu diễn nếu và chỉ nếu V là một K[G] - môđun.
2.1.2. Biểu diễn chính quy của một nhóm
Định nghĩa 2.1.2.1. Xét ánh xạ ρ: G → GL(K[G]) được định nghĩa như
sau:
ρ : G → GL(K[G])
s → ρ(s) = ρs
với ρs
kt t
t∈G
=
kt (st)
t∈G
Ta có
8
ρs1 s2
kt t
t∈G
=
kt ((s1 s2 )t) =
t∈G
kt (s1 (s2 t))
t∈G
= ρs1
kt (s2 t)
= ρs1 ρs2
t∈G
kt t
t∈G
suy ra ρs1 s2 = ρs1 ρs2 với ∀ s1 , s2 ∈ G. Do đó ρ là một đồng cấu nhóm, và được
gọi là biểu diễn chính quy của nhóm G (với hệ số trong K).
2.1.3. Hai biểu diễn tương đương.
Định nghĩa 2.1.3.1. Cho ρ : G → GL(V) và ϕ : G → GL(W) lần lượt là
hai biểu diễn của G vào các C - không gian vectơ V và W.
i. Một đồng cấu từ ρ vào ϕ là một ánh xạ C - tuyến tính f : V → W sao
cho
∀s ∈ G.
f ρs = ϕs f,
ii. Nếu V và W là hai C[G] - môđun đẳng cấu với nhau thì ta nói ρ và ϕ
tương đương (hay đồng dạng, hoặc đẳng cấu) và kí hiệu ρ
Như vậy, nếu ρ
ϕ.
ϕ thì ta có thể tìm được đẳng cấu f : V → W sao cho
f ρs = ϕs f, ∀s ∈ G.
tức là biểu đồ sau giao hoán:
V
ρs
f /
W
V
f
ϕs
/W
2.1.4. Biểu diễn con.
Định nghĩa 2.1.4.1. Giả sử ρ : G → GL(V) là một biểu diễn của G.
Không gian vectơ con V’ ⊂ V được gọi là một G - không gian con hay một
không gian con ổn định dưới tác động của ρ nếu ρs (x) ∈ V với mọi
s ∈ G, ∀x ∈ V . Khi đó, hạn chế ρs |V của ρs trên V’ xác định một biểu diễn
ρs |V : G → GL(V ), được gọi là một biểu diễn con của ρ .
Mệnh đề 2.1.4.2. Hạn chế ρs |V là một biểu diễn con của ρ nếu và chỉ
nếu V’ là C[G] - môđun con của V.
9
2.1.5. Biểu diễn bất khả quy
Định nghĩa 2.1.5.1. Biểu diễn ρ : G → GL(V) được gọi là bất khả quy
nếu V không có G - không gian con nào khác V và 0. Nói cách khác, ρ là một
biểu diễn bất khả quy nếu và chỉ nếu V là một C[G] - môđun đơn.
Ví dụ 2.1.5.2.
Mỗi biểu diễn cấp một ρ: G → GL(V) là một biểu diễn bất khả quy vì
dimC V = 1 nên V chỉ có hai không gian con là V và 0.
2.1.6. Tổng trực tiếp và tích tenxơ của các biểu diễn
Định nghĩa 2.1.6.1.
Cho hai biểu diễn ρ : G → GL(V) và ϕ : G → GL(W) của nhóm G.
Khi đó tổng trực tiếp
ρ ⊕ ϕ : G → GL(V ⊕ W)
và tích tenxơ
ρ ⊗ ϕ : G → GL(V ⊗ W)
của chúng được định nghĩa như sau:
(ρ ⊕ ϕ)s (v, w) = (ρs (v), ϕs (w))
(ρ ⊗ ϕ)s (v ⊗ w) = ρs (v) ⊗ ϕs (w)
với s ∈ G, v ∈ V, w ∈ W.
Định lý 2.1.6.2. (Định lý Maschke) Nếu đặc số của trường K không chia
hết cho cấp nhóm G thì K[G] là một vành nửa đơn, tức là mọi biểu diễn tuyến
tính của G trong một K - không gian vectơ đều là tổng trực tiếp của các biểu
diễn bất khả quy.
2.2. ĐẶC TRƯNG CỦA BIỂU DIỄN
2.2.1. Đặc trưng của biểu diễn tuyến tính
Định nghĩa 2.2.1.1. Giả sử ρ: G → GL(V) là một biểu diễn của nhóm G
trong không gian vectơ V. Hàm số χ : G → C được xác định như sau:
χ(s) = T r(ρs ), ∀s ∈ G.
10
được gọi là đặc trưng của biểu diễn ρ, hay đặc trưng của G xác định bởi ρ.
Định nghĩa 2.2.1.2.
Giả sử χ là đặc trưng của biểu diễn ρ : G → GL(V ). Khi đó, ta gọi cấp
của đặc trưng χ được gọi là cấp của biểu diễn ρ.
Mệnh đề 2.2.1.3. Giả sử χ là đặc trưng của biểu diễn ρ có cấp n, và cho
s ∈ G,
ord(s) = m, e là phần tử đơn vị của nhóm G. Khi đó:
i. χ(e) = n.
ii. χ(s) là tổng của n căn bậc m của đơn vị.
iii. χ(s) ≤ n. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi tồn tại giá trị λ ∈ C để
ρs = λid.
iv. χ(s−1 ) = χ(s),∀s ∈ G. ( χ(s) là số phức liên hợp của χ(s))
v. χ(tst−1 ) = χ(s), ∀s, t ∈ G.
Định nghĩa 2.2.1.4. Cho ρ : G → GL(V ) là một biểu diễn của G và χ
là một đặc trưng của ρ. Khi đó, hạt nhân của χ được định nghĩa bởi:
Kerχ = s ∈ G : χ(s) = χ(e)
Mệnh đề 2.2.1.5. Giả sử χρ và χϕ lần lượt là đặc trưng của các biểu diễn
ρ : G → GL(V) và ϕ : G → GL(W) của nhóm G. Khi đó:
i. Đặc trưng χ⊕ của biểu diễn tổng trực tiếp ρ ⊕ ϕ bằng χρ + χϕ .
ii. Đặc trưng χ⊗ của biểu diễn tổng trực tiếp ρ ⊗ ϕ bằng χρ .χϕ .
2.2.2. Bổ đề Schur
Định lý 2.2.2.1. (Bổ đề Schur) Giả sử ρ : G → GL(V) và ϕ : G → GL(W)
là các biểu diễn bất khả quy của nhóm G. Cho ánh xạ tuyến tính f : V → W
sao cho:
ϕs f = f ρs , ∀s ∈ G
Nói cách khác, f là một đồng cấu C[G] - môđun. Khi đó:
i. Nếu ρ và ϕ không đẳng cấu với nhau thì f = 0
11
ii. Nếu V = W và ρ
ϕ thì f là một phép vị tự tỉ số λ, tức là f = λidV ,
với λ là hằng số phức nào đó.
Hệ quả 2.2.2.2. Cho G là nhóm hữu hạn, V và W là các G - không gian
bất khả quy, λ là phiếm hàm C tuyến tính trên V. Xét x ∈ V, y ∈ W . Khi đó,
nếu V và W không đẳng cấu với nhau thì
λ(sx)s−1 y = 0.
s∈G
Đặc biệt, với µ là phiếm hàm C tuyến tính trên V thì:
λ(sx)µ s−1 y = 0
s∈G
Hệ quả 2.2.2.3. Giả sử ρ : G → GL(V)và ϕ : G → GL(W) là các biểu
diễn bất khả quy của nhóm G và h : V → W là ánh xạ tuyến tính. Đặt:
1
(ϕs )−1 hρs .
h0 =
|G| s∈G
Khi đó:
i. Nếu ρ và ϕ không đẳng cấu với nhau thì h0 = 0.
ii. Nếu V = W và ρ = ϕ thì h0 là phép vị tự với tỉ số λ =
T r(h)
dim(V ) .
Trước khi đi đến hệ quả tiếp theo của Bổ đề Schur, chúng ta giả sử với mỗi
s ∈ G, ρs và ϕs được cho lần lượt bởi các ma trận As = (aij (s)), Bs = (bkl (s))
trong các cơ sở {e1 , e2 , ..., en } của V và {ε1 , ε2 , ..., εm } của W. Khi đó ta có:
Hệ quả 2.2.2.4. Giả sử ρ : G → GL(V)và ϕ : G → GL(W) là các biểu
diễn bất khả quy của nhóm G. Nếu ρ và ϕ không đẳng cấu với nhau thì:
1
(aij (s)).(bkl (s−1 )) = 0, ∀i, j, k, l.
|G| s∈G
Hệ quả 2.2.2.5. Nếu ρ : G → GL(V ) là một biểu diễn bất khả quy cấp n,
thì
1
akl (s−1 )aji (s) =
|G| s∈G
1
n
0
(i = k, j = l)
(i = k ∨ j = l)
2.2.3. Tích vô hướng của các đặc trưng
Định lý 2.2.3.1. Giả sử χ, χ lần lượt là các đặc trưng của hai biểu diễn
bất khả quy không đẳng câu với nhau, khi đó:
12
i. < χ, χ >= 1.
ii. < χ, χ >= 0.
Hệ quả 2.2.3.2. Giả sử V là một G - không gian với đặc trưng α và giả
sử V được phân tích thành các G - không gian bất khả quy như sau:
V = W1 ⊕ W2 ... ⊕ Wk
Khi đó, nếu W là một G - không gian bất khả quy với đặc trưng χ thì số các
Wi đẳng cấu với W bằng < α, χ >.
Định nghĩa 2.2.3.3. Số < α, χ > được gọi là số lần xuất hiện của W
trong V, hay số bội mà W được chứa trong V.
Như vậy, mỗi G - không gian có phân tích duy nhất (sai khác một đẳng
cấu) thành tổng trực tiếp của các G - không gian bất khả quy.
Hệ quả 2.2.3.4. Cho hai biểu diễn của G có cùng một hàm đặc trưng thì
đẳng cấu với với nhau.
Định lý 2.2.3.5. Biểu diễn ρ : G → GL(V ) là bất khả quy khi và chỉ khi
đặc trưng χρ của nó có chuẩn bằng 1, tức là < χρ , χρ >.
2.2.4. Hệ đầy đủ các biểu diễn bất khả quy
Định lý 2.2.4.1. Cho ánh xạ ρ : G → GL(C[G]) là biểu diễn chính quy
của G. Đặc trưng của biểu diễn chính quy của G được cho bởi công thức:
|G| (s = e)
rG (s) =
0 (s = e)
với e là đơn vị của G.
Hệ quả 2.2.4.2. Mỗi biểu diễn bất khả quy đều chứa trong biểu diễn chính
quy với số bội bằng cấp của nó.
Hệ quả 2.2.4.3. Giả sử W1 , ..., Wk là tất cả các G - không gian bất khả
quy đôi một không đẳng cấu với nhau, lần lượt có các đặc trưng là χ1 , ..., χk với
các cấp tương ứng n1 , ..., nk . Khi đó:
i. n21 + ... + n2k = |G|
k
ni χi (s) = 0, ∀s ∈ G\{e}.
ii.
i=1
13
Định nghĩa 2.2.4.4. Hàm f : G → C được goi là một hàm lớp trên G
nếu
f (tst−1 ) = f (s), ∀s, t ∈ G.
Kí hiệu RC (G) là không gian vectơ con của không gian F(G,C) gồm tất cả
các hàm lớp trên G.
Định lý 2.2.4.5. Gọi χ1 , χ2 , ..., χk là đặc trưng của tất cả những biểu diễn
bất khả quy đôi một không đẳng cấu của G. Khi đó χ1 , χ2 , ..., χk lập nên một cơ
sở trực chuẩn của không gian RC (G) các hàm lớp trên G.
Định lý 2.2.4.6. Số các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu của
G bằng số lớp liên hợp của G.
Định lý 2.2.4.7. Cho χ1 , χ2 , ..., χm là m đặc trưng bất khả quy của G và
ψ1 , ..., ψn là n đặc trưng bất khả quy của H. Khi đó, G × H có m.n đặc trưng
bất khả quy, đó là:
χi × ψj với mọi i = 1, m, j = 1, n.
Ta hiểu phép nhân trong Định lý 2.2.4.7 như sau:
Giả sử
χi : G → C
g → χi (g)
ψj : H → C
và
h → ψj (h)
Khi đó:
χi × ψj : H × G → C
(g, h) → (χi × ψj )(g, h) = χi (g).ψj (h)
2.2.5. Phép nâng đặc trưng
Mệnh đề 2.2.5.1. Giả sử N
G và χ là một đặc trưng của G/N. Hàm
χ : G → C được xác định bởi χ(s) = χ(sN ), s ∈ G. Khi đó, χ là một đặc trưng
của G, và χ và χ có cùng cấp.
14
Định nghĩa 2.2.5.2.
Nếu N
G và χ là một đặc trưng của G/N. Hàm
χ : G → C được xác định bởi χ(s) = χ(sN ), s ∈ G được gọi là cái nâng của χ
lên G.
Định lý 2.2.5.3.
Giả sử N
G. Bằng cách kết hợp mỗi đặc trưng của
G/N với cái nâng của nó lên G, ta thu được một song ánh giữa tập hợp các đặc
trưng của G/N và tập hợp các đặc trưng χ của G thỏa mãn N ≤ Kerχ. Các
đặc trưng bất khả quy của G/N tương ứng với các đặc trưng bất khả quy của G
mà chứa N trong hạt nhân của chúng.
15
CHƯƠNG 3
BIỂU DIỄN MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN
Áp dụng các kết quả của chương 2, chương này trình bày biểu diễn của một
số nhóm hữu hạn quen biết.
3.1. Biểu diễn nhóm Abel hữu hạn.
Định lý 3.1.1. Nhóm G là abel khi và chỉ khi mọi biểu diễn bất khả quy
của nó đều có cấp bằng 1.
Hệ quả 3.1.2. Giả sử A là một nhóm con abel của G. Khi đó, mọi biểu
diễn bất khả quy của G đều có cấp nhỏ hơn hoặc bằng [G : A].
Định lý 3.1.3 Có tương ứng một - một giữa các biểu diễn cấp một của
G với các biểu diễn bất khả quy của nhóm abel G/[G,G]. Số biểu diễn cấp một
không đẳng cấu với nhau của G bằng chỉ số của [G,G] trong nhóm G.
3.2. Biểu diễn nhóm cyclic hữu hạn
Xét nhóm cyclic cấp n sinh bởi a: Cn = a|an = e .
Ta thu được n biểu diễn bất khả quy bậc 1 của Cn với đặc trưng là:
χk (am ) = e
2πikm
n
(k = 0, 1, ..., n − 1)
Ta có bảng đặc trưng của nhóm Cn
χ0
..
.
χk
..
.
e
1
..
.
1
..
.
χn−1
1
a
1
..
.
e
e
am
...
..
.
...
...
..
.
...
..
.
2πik
n
..
.
2πi(n−1)
n
...
e
e
2πikm
n
..
.
2πi(n−1)m
n
3.3. Biểu diễn nhóm diheral Dn , n > 2
Biểu diễn của Dn phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của n.
16
...
...
..
.
...
..
.
...
an−1
1
..
.
e
2πik(n−1)
n
e
2πi(n−1)2
n
..
.
3.3.1. Biểu diễn của nhóm Dn với n chẵn.
Theo Mệnh đề 1.2.2.1, nhóm Dihedrah Dn có n2 + 3 lớp liên hợp:
n
n
1 ≤ r ≤ − 1 , a2j b, 1 ≤ j ≤
,
{e} , an/2 , ar , a−r
2
2
a2j+1 b, 1 ≤ j ≤
Do đó Dn có
n
2
n
2
.
+ 3 đặc trưng bất khả quy.
Bốn đặc trưng bất khả quy cấp một χ1 , χ2 , χ3 , χ4 này của Dn thu được
bằng 4 cách đặt tương ứng ±1 với a và b. Các đặc trưng tương ứng được mô tả
trong bảng sau:
am
1
1
(−1)m
(−1)m
χ1
χ2
χ3
χ4
bam
1
-1
(−1)m
(−1)m+1
Hai đặc trưng của biểu diễn cấp hai là χk được xác định như sau:
2πkm
χk (am ) = wkm + w−km = 2 cos
; χk (bam ) = 0.
n
với 0 ≤ k ≤ n/2.
Các đặc trưng χ1 , χ2 , χ3 , χ4 , χ1 , χ2 , ..., χ n −1 là hệ đầy đủ các đặc trưng bất
2
khả quy đôi một khác nhau của Dn bởi vì tổng bình phương các cấp của chúng
là 4.1 + ( n2 − 1).4 = 2n và bằng cấp của Dn .
Từ kết quả trên, ta có bảng đặc trưng của nhóm Dn , với n chẵn như sau:
χ1
χ2
χ3
χ4
χk
với 1 ≤ r ≤
n
2
an/2
ar
1
1
1
1
n/2
(−1)
(−1)r
(−1)n/2 (−1)r
2(−1)k 2cos 2πkr
n
e
1
1
1
1
2
− 1, 1 ≤ k ≤
n
2
−1
17
b
1
-1
1
-1
0
ab
1
-1
-1
1
0
3.3.2. Biểu diễn của nhóm Dn với n lẻ
Theo Mệnh đề 1.2.2.1, nhóm Dn ứng với n lẻ có đúng n+3
2 lớp liên hợp là:
n−1
), {as b, 0 ≤ s ≤ n − 1} .
{e} , ar , a−r (1 ≤ r ≤
2
Do đó, theo Định lý 2.2.4.6, nhóm Dn có đúng
n+3
2
Đồng thời ta có [Dn , Dn ] =< a >∼
= C2 . Vì Cn
đặc trưng bất khả quy.
Dn và Dn /Cn ∼
= C2 , nên
ta theo Định lý 3.1.1, Dn có hai biểu diễn bất khả quy cấp một
Do đó Dn có hai đặc trưng cấp một χ1 , χ2 xác định bởi:
χ1 (am ) = χ1 (bam ) = 1
χ2 (am ) = 1, χ2 (bam ) = −1
Các biểu diễn cấp hai ρk (0 < k < n2 ) được định nghĩa bởi cùng một công
thức khi n chẵn. Các đặc trưng χ1 , χ2 , ..., χ n−1 của ρ1 , ..., ρ
2
n−1
2
cùng với χ1 , χ2
lập thành hệ đầy đủ các đặc trưng bất khả quy đôi một không đẳng cấu với
nhau của Dn , vì
2.1 +
n−1
.4 = 2n = |Dn |
2
Ta có bảng đặc trưng của Dn ứng với n lẻ như sau:
χ1
χ2
χk
với 1 ≤ r ≤
n−1
2 ,
1≤k≤
ar
1
1
2cos 2πkr
n
e
1
1
2
b
1
-1
0
n−1
2 .
3.4. Biểu diễn nhóm quaternion
Xét nhóm quaternion Q8
Q8 = a, b|a4 = e, a2 = b2 , aba = b
Theo Mệnh đề 1.2.2.2, nhóm Q8 có 5 lớp liên hợp được đại diện bởi các
phần tử e, a2 , a, b, ab, nên nó có 5 biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng
cấu với nhau.
Mặt khác, [Q8 , Q8 ] =< a2 > là nhóm cyclic cấp 2 nên
[Q8 : [Q8 , Q8 ]] = |Q8 /[Q8 , Q8 ]| = 4.
18
Theo Định lí 3.1.3, Q8 có đúng 4 biểu diễn bất khả quy cấp một đôi một
không đẳng cấu với nhau, vì chỉ số [Q8 : [Q8 , Q8 ]] = 4.
Theo Hệ quả 2.2.4.3, biểu diễn bất khả quy thứ 5 của Q8 có cấp bằng
√
8−4=2
Ta lại có một biểu diễn
√ cấp 2 của Q8 , được cho bởi tương ứng
0 1
−1 √0
b→ 1 0
a→
0 − −1
Ta có đặc trưng χ5 của biểu diễn này có các tính chất:
χ5 (e) = 2, χ5 (a2 ) = −2, χ5 (a) = χ5 (b) = χ5 (ab) = 0.
Từ đó suy ra < χ5 , χ5 >= 1. Vậy χ5 là một đặc trưng bất khả quy.
Bốn đặc trưng bất khả quy cấp một còn lại của Q8 được tìm theo phương
pháp của Định lí 3.1.1. Chúng đều bằng 1 trên các phần tử của nhóm các giao
hoán tử [Q8 , Q8 ] = e, a2 . Hơn nữa, vì a2 = b2 nên bốn đặc trưng này tương
ứng với 4 cách ánh xạ a, b vào ±1, là các căn bậc hai của 1. Cuối cùng, giá trị
của mỗi đặc trưng này trên ab bằng tích của hai giá trị của nó trên a và trên b.
Tất cả các đặc trưng bất khả quy đôi một không đẳng cấu của G được cho
trong bảng sau.
χ1
χ2
χ3
χ4
χ5
1
e
1
1
1
1
2
1
a2
1
1
1
1
-2
2
a
1
-1
-1
1
0
2
b
1
-1
1
-1
0
2
ab
1
1
-1
-1
0
3.5. Biểu diễn nhóm đối xứng, nhóm thay phiên.
3.5.1. Nhóm đối xứng, nhóm thay phiên.
Cho T là một tập hợp. Khi đó, tập S(T) gồm tất cả các song ánh trên T
cùng với phép hợp thành các ánh xạ lập nên một nhóm. Phần tử đơn vị của
S(T) là ánh xạ đồng nhất idT trên T. Phần tử nghịch đảo của phần tử α ∈ S(T )
chính là ánh xạ ngược α−1 .
19
Định nghĩa 3.5.1.1.
Nhóm S(T) được gọi là nhóm đối xứng trên tập hợp T. Mỗi nhóm con của
S(T) được gọi là một nhóm các phép thế trên T.
Đặc biệt, nếu T = {1, 2, ..., n} thì S(T) được kí hiệu đơn giản là Sn và được
gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử.
Mệnh đề 3.5.1.2. Sn là nhóm hữu hạn và |Sn | = n!.
Với n ≥ 2, ta đặt
(j − i) ∈ Z
∆n =
1≤i
Xét phép thế α ∈ Sn , ta định nghĩa
(α (j) − α (i)) ∈ Z
α (∆n ) =
1≤i
Khi đó, kí số (hoặc dấu) của phép thế α, kí hiệu là sgn(α), là số sau đây:
α(∆n )
∈ {1, −1}
sgn(α) =
∆n
Nếu sgn(α) = 1 thì α được gọi là phép thế chẵn.
Mệnh đề 3.5.1.3. Tập gồm tất cả các phép thế chẵn của Sn là một nhóm
con chuẩn tắc của nhóm Sn , kí hiệu là An và được gọi là nhóm thay phiên trên
n phần tử. Nhóm An có cấp
n!
2.
Định nghĩa 3.5.1.4.
i. Giả sử x1 , x2 , ..., xk là các phần tử đôi một khác nhau trong {1, 2, ..., n}.
Ta kí hiệu (x1 , x2 , ..., xk ) là phép thế được định nghĩa như sau
x1 → x2 , x2 → x3 , ..., xk−1 → xk , xk → x1
Khi đó, (x1 , x2 , ..., xk ) được gọi là một xích với độ dài k trên tập nền {1, 2, ..., n}.
ii. (x1 , x2 , ..., xk ) được goi là một xích của phép thế α ∈ Sn nếu α tác
động giống như (x1 , x2 , ..., xk ) trên các phần tử x1 , x2 , ..., xk .
Định lý 3.5.1.5.
Mọi phép thế α ∈ Sn đều là tích của tất cả các xích khác nhau của nó. Các
20
tập nền của các xích này là tập con rời nhau của tập (1,2,...,n).
Quy ước: Để cho gọn, khi viết mỗi phép thế thành tích các xích, ta sẽ bỏ
qua các xích có đội dài bằng 1. Chẳng hạn phép thế
1 2 3 4 5 6
α= 4 1 6 2 5 3
có thể viết thành các xích như sau α = (5)(3, 6)(1, 4, 2) = (3, 6)(1, 4, 2).
3.5.2. Biểu diễn nhóm đối xứng Sn ( n ≤ 4 )
Với n = 2, ta có S2 ∼
= C2 là nhóm cyclic cấp 2.
Với n = 3, nhóm S3 có ba lớp liên hợp, được đại diện bởi các phần tử e,
(1,2) và (1,2,3). Vậy S3 có ba biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu
với nhau. Mặt khác, S3 có hai biểu diễn cấp một là biểu diễn tầm thường χ1 và
biểu biễn signature χ2 định nghĩa như sau
χ2 (σ) = sgn(σ), σ ∈ S3 .
Biểu diễn bất khả quy thứ ba χ3 có cấp bằng
|S3 | − 12 − 12 = 2. Nó
được xác định bởi phương trình χ1 + χ2 + 2χ3 = rS3 , trong đó rS3 là đặc trưng
của biểu diễn chính quy của S3 .
Ta có bảng các đặc trưng bất khả quy của S3 như sau:
χ1
χ2
χ3
1
e
1
1
2
3
(1,2)
1
-1
0
2
(1,2,3)
1
1
-1
3.5.3. Biểu diễn nhóm thay phiên A4
Nhóm thay phiên A4 gồm 12 hoán vị chẵn trên bốn phần tử 1,2,3,4. Theo
Mệnh đề 1.2.2.4, nhóm A4 có 4 lớp liên hợp, được đại diện bởi các hoán vị e,
(1,2)(3,4), (1,2,3) và (1,3,2).
Vậy A4 có tất cả 4 biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau.
Nhóm các giao hoán tử [A4 , A4 ] gồm bốn phần tử
[A4 , A4 ] = e, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)
21
có chỉ số bằng 3 trong A4 . Vì thế, A4 có đúng ba biểu diễn bất khả quy cấp
|A4 | − 3.12 = 3.
một. Cấp của biểu diễn bất khả quy thứ 4 của A4 bằng
Phần tử a = (1,2,3) sinh ra nhóm cyclic cấp ba K = e, a, a2 .
Đặt H = [A4 , A4 ], ta thấy A4 là tích nữa trực tiếp của K bởi H theo nghĩa
sau đây:
H
A4 , H ∩ K = {e}, A4 = H.K.
Mỗi đặc trưng cấp một χ của K được mở rộng thành một đặc trưng của
A4 bằng cách đặt χ(h.k) = χ(k), với ∀h ∈ H, ∀k ∈ K . Từ đó, ba đặc trưng cấp
một của K ∼
= C3 cho ta 3 đặc trưng cấp một là χ1 , χ2 , χ3 của A4 . Đặc trưng
bất khải quy thứ tư χ4 được tìm bằng cách sử dụng phương trình trong Hệ quả
2.2.4.2
χ1 + χ2 + χ3 + 3χ4 = rA4
trong đó rA4 là đặc trưng của biểu diễn chính quy của nhóm A4 . Bẳng sau
đây mô tả đặc trưng của tất cả các biểu diễn bất khả quy của A4 , trong đó
w = e2πi/3 :
1
e
1
1
1
3
χ1
χ2
χ3
χ4
3
(1,2)(3,4)
1
1
1
-1
4
(1,2,3)
1
w
w2
0
4
(1,3,2)
1
w2
w
0
3.6. Biểu diễn nhóm D3 × C2 và nhóm A4 × C2
3.6.1. Biểu diễn nhóm D3 × C2
Theo Hệ quả 1.2.2.5, nhóm G = D3 × C2 có 6 lớp liên hợp là
{e} , a, a−1 , b, ab, a2 b ,
{c} , ac, a−1 c , bc, abc, a2 bc
Do đó, G có 6 biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau.
Ta nhắc lại bảng đặc trưng của nhóm D3
ψ1
ψ2
ψ3
e
1
1
1
a
1
1
2
22
b
1
-1
0
Áp dụng Định lý 2.2.4.7, từ bảng đặc trưng nhóm D3 và C2 , ta có bảng đặc
trưng của G như sau:
ψ1 × χ 1
ψ2 × χ 1
ψ3 × χ 1
ψ1 × χ 2
ψ2 × χ 2
ψ3 × χ 2
e
1
1
2
1
1
2
a
1
1
2
1
1
2
b
1
-1
0
1
-1
0
c
1
1
1
-1
-1
-1
ac
1
1
2
-1
-1
-2
bc
1
-1
0
-1
1
0
3.6.2. Biểu diễn nhóm A4 × C2
Hệ quả 1.2.2.6, ta có nhóm G = A4 × C2 có 8 lớp liên hợp là
{e} , {a, b, ba} , {c, ca, cb, cba} , c2 , c2 a, c2 b, c2 ba ,
{x} , {ax, bx, bax} , {cx, cax, cbx, cbax} , c2 x, c2 ax, c2 bx, c2 bax
Do đó, G có 8 biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau.
Ta nhắc lại bảng đặc trưng của nhóm A4
χ1
χ2
χ3
χ4
1
e
1
1
1
3
3
(1,2)(3,4)
1
1
1
-1
4
(1,2,3)
1
w
w2
0
4
(1,3,2)
1
w2
w
0
Áp dụng Định lý 2.2.4.7, từ bảng đặc trưng nhóm A4 và C2 , ta có bảng đặc
trưng của G như sau:
ψ1 × χ1
ψ2 × χ1
ψ3 × χ1
ψ4 × χ1
ψ1 × χ2
ψ2 × χ2
ψ3 × χ2
ψ4 × χ2
(e,e) (u;e) ((123),e) ((132),e) (e,c) (u,c) ((123),c) ((132),c)
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
w
w
1
1
w
w2
1
1
w2
w
1
1
w2
w
3
-1
0
0
3
-1
0
0
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
2
1
1
w
w
-1
-1
-w
-w2
1
1
w2
w
-1
-1
-w 2
-w
3
-1
0
0
-1
1
0
0
trong đó u = (12)(34).
23
