Về môđun và vành S- nội xạ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ DIỄM CHI

VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH S- NỘI XẠ

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.01.04

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017


Công trình được hoàn thành tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Lê Văn Thuyết

Phản biện 1:...........................................
Phản biện 2:...........................................

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ Toán học họp tại trường Đại học Sư phạm- Đại học Đà Nẵng
vào ngày .....tháng......năm 2017.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thộng tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng.
- Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1.Tính cấp thiết của đề tài.
Lý thuyết vành và môđun là một trong những lý thuyết toán học đã và
đang được phát triển mạnh mẽ, với sự quan tâm của nhiều nhà toán học.
Vào những năm 1960, 1970 của thế kỷ trước, tầm quan trọng của môđun
nội xạ trong lý thuyết môđun nói riêng và trong đại số nói chung được nhiều
nhà toán học nghiên cứu và phát triển. Một trong những nghiên cứu của lý
thuyết này là việc nghiên cứu “môđun s-nội xạ”. Lý thuyết môđun s-nội xạ
ra đời và có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu lý thuyết vành s-nội xạ.
Trước tiên, chúng tôi xin đề cập đến môđun nội xạ. Khái niệm môđun
nội xạ được Baer đề xuất vào năm 1940. Theo đó, một môđun M được gọi là

N -nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N thì mọi đồng cấu f : A → M
đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M . Môđun M được gọi là nội
xạ nếu M là N -nội xạ với mọi môđun N . Không chỉ đưa ra khái niệm
môđun nội xạ, Baer còn đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra khi
nào thì một R-môđun M là nội xạ. Tiêu chuẩn đó mang tên "Tiêu chuẩn
Baer" và được phát biểu như sau: Môđun MR là nội xạ nếu với mỗi iđêan
phải I của R, mọi đồng cấu f : IR → MR đều mở rộng được đến đồng
cấu g : RR → MR .
Từ khi tiêu chuẩn Baer ra đời, môđun nội xạ được mở rộng theo hai
hướng. Một là mở rộng môđun nội xạ từ định nghĩa gốc. Hai là mở rộng
theo tiêu chuẩn Baer.
Trong mở rộng thứ nhất đó, nhiều người đã nghĩ đến việc mở rộng đồng
cấu R-môđun từ môđun con đặc biệt hơn là môđun con của môđun con suy

biến Z(N ) của NR vào MR thành đồng cấu R-môđun từ NR vào MR .


2

Vấn đề này được nhiều nhà toán học tập trung nghiên cứu và tìm hiểu.
Vào năm 2013, Nasr A.Zeyada đã đưa ra khái niệm về môđun s-N -nội xạ.
Trong đó khái niệm s-N -nội xạ được định nghĩa: "Một R-môđun phải M
được gọi là s-N -nội xạ nếu mỗi đồng cấu R-môđun f : K → M , với mỗi
đơn cấu ι : K → N tồn tại đồng cấu h : N → M sao cho f = hι, trong
đó K là môđun con của môđun con suy biến của R-môđun N . Song song
với đó ông cũng đã đưa ra các khái niệm về s-nội xạ và s-nội xạ mạnh.
Đặc biệt hơn là ông đã đưa ra một số tính chất về s-nội xạ của các môđun
trên vành SI, vành GV, vành PF,...
Với mong muốn tìm hiểu về những kết quả của môđun s-nội xạ, vành
s-nội xạ và được sự định hướng của thầy giáo hướng dẫn GS. TS. Lê Văn
Thuyết, tôi mạnh dạn chọn đề tài "Về môđun và vành S- nội xạ" để
nghiên cứu với hi vọng có thể tìm hiểu sâu hơn về các tính chất của chúng.
2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu và nghiên cứu kỹ các tài liệu có nguồn gốc khác nhau để lĩnh
hội các kiến thức liên quan về môđun và vành s-nội xạ, chứng minh cụ thể
các tính chất của môđun s-nội xạ, làm rõ thông qua một số ví dụ.
Hi vọng luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho một số học
viên cao học, cho các sinh viên toán các năm cuối.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu là môđun và vành s-nội xạ.
Luận văn chỉ đi sâu tìm hiểu các khái niệm, các tính chất quan trọng
của môđun và vành s-nội xạ và đưa ra các ví dụ minh họa.
4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là thu thập các bài báo khoa học, các

3

sách của những tác giả có liên quan đến môđun và vành s-nội xạ, đồng thời
tham gia trao đổi các kết quả đang nghiên cứu với các bạn học viên cùng
nhóm, với thầy hướng dẫn và với các bạn khác.
5. Bố cục đề tài.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được chia
thành hai chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về môđun, môđun con
cốt yếu, môđun nội xạ,...và một số vành liên quan: vành Nơte, vành nửa
hoàn chỉnh, bất biến Morita, vành giả Frobenius,...
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Chương này được chia làm
ba phần. Phần thứ nhất trình bày định nghĩa, các ví dụ về môđun s-nội
xạ. Phần thứ hai trình bày các tính chất của môđun s-nội xạ. Phần thứ ba
trình bày về tính chất s-nội xạ của môđun trên các vành đặc biệt.


4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này sẽ nhắc lại những kiến thức cơ bản về vành và môđun,
môđun nội xạ, môđun và vành Nơte, môđun con suy biến và không suy
biến và một số vành liên quan.
Ta quy ước vành được cho là kết hợp có đơn vị, khác 0 và mọi R-môđun
phải hay trái đều là unita. Ta cũng quy ước là các R-môđun là R-môđun

phải. Khi nào M là R-môđun trái thì sẽ đề cập thêm.
1.1. Các kiến thức cơ bản về vành và môđun
Sau đây là một số định quan trọng của đồng cấu môđun.
Định lý 1.1.1. Mỗi đồng cấu của các môđun phải

α : AR → BR
đều có thể phân tích được α = α ν trong đó đồng cấu

ν : A → A/K er (α)
là toàn cấu chính tắc, còn α là đơn cấu xác định bởi:

α : A/K er(α)

a + K er (α) → α (a) ∈ B.

Đơn cấu α là đẳng cấu khi và chỉ khi α toàn cấu.
Hệ quả 1.1.2. Cho α : AR → BR là đồng cấu R-môđun. Lúc đó:

A/K er (α)

Im (α) .

Định lý 1.1.3. Nếu B ≤ AR và C ≤ AR , thì:

(B + C) /C

B/B ∩ C.

Định lý 1.1.4 Nếu C ≤ B ≤ AR thì:

A/B

(A/C) / (B/C) .


5

Cho MR và N ≤ M . N được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu tồn
tại một môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P . Lúc đó ta nói P là
môđun con phụ của N trong M . Từ định nghĩa ta suy ra:

N là hạng tử trực tiếp của M
⇔ ∃P ≤ M M = N + P v à N ∩ P = 0
Phần tử e của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu e2 = e. Hai
phần tử lũy đẳng e và f của vành R được gọi là trực giao nếu ef = f e = 0.
Tập {e1 , e2 , ...en } ⊂ R gọi là tập đầy đủ các lũy đẳng trực giao từng đôi
một nếu

eiej = 0 (i, j = 1, 2, ..., n, i = j)
và

1 = e1 + e2 + ... + en
Một môđun con K của M là cốt yếu (lớn) trong M , ký hiệu K≤e M ,
trong trường hợp với mọi L ≤ M , K ∩ L = 0 suy ra L = 0.
Đơn cấu: f : K → M được gọi là cốt yếu nếu Im (f ) ≤e M . Môđun
con A của B là cốt yếu nếu và chỉ nếu phép nhúng A → B là đơn cấu cốt
yếu.
Bổ đề 1.1.7. Môđun con K ≤ M là cốt yếu trong M nếu và chỉ
nếu với mỗi 0 = x ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 = xr ∈ K .
Cho N là một môđun con của M . Nếu N ≤ M là cực đại với tính

chất N ∩ N = 0 thì ta nói N là một M -phần bù của N . Theo bổ đề
Zorn ta có thể thấy nếu N ≤ M , thì tập

{K ≤ M | K ∩ N = 0}
chứa một phần tử cực đại N .


6

Một môđun con K được gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con

H của M sao cho K≤eH thì suy ra H = K .
Cho A và A là các môđun con của MR . Khi đó A gọi là M -phần bù
cộng tính (hay còn gọi tắt là M -phần phụ) của A, nếu
(*) A + A = M
(*) A là môđun con cực tiểu thỏa mãn A + A = M , nghĩa là,
với mọi B ≤ M [A + B = M và B ≤ A ⇒ B = A ].
Môđun MR được gọi là đơn nếu M = 0 và M chỉ có hai môđun con
là 0 và M . Vành R được gọi là đơn nếu R = 0 và R chỉ có hai iđêan là 0
và R.
Nếu M là tổng trực tiếp các môđun con đơn, nghĩa là:

M = ⊕ Tα

(∗)

A

với (Tα )α∈A là một tập các môđun con của M thì (*) được gọi là một phân
tích nửa đơn của M , và khi đó môđun M được gọi là nửa đơn. Vành R

được gọi là vành nửa đơn phải (trái) nếu môđun RR (R R) nửa đơn.
Cho MR và X ⊆ M . Linh hóa tử phải của X trong R được ký hiệu

rR (X) và được xác định như sau:
rR (X) = {r ∈ R/xr = 0, x ∈ X} .
Cho A ⊆ R. Linh hóa tử trái của A trong M là:

lM (A) = {r ∈ M/xa = 0, a ∈ A} .
Khi X = {x} hay A = {a}, ta viết rR (x) hay lM (a). Với những
linh hóa tử trên R, nếu không có gì nhầm lẫn, người ta có thể bỏ ký hiệu

R trong lR , rR mà chỉ viết l, r.
Đế phải của môđun MR được ký hiệu là soc (MR ), nó là tổng các


7

môđun con đơn của MR , là giao của tất cả các môđun con cốt yếu của

MR , đây là môđun con nửa đơn lớn nhất của M . Căn của môđun MR
được ký hiệu là rad (MR ), nó là giao của tất cả các môđun con cực đại của

MR , là tổng các môđun con đối cốt yếu của MR . Nếu M là nửa đơn thì
rad(M ) = 0. Đặc biệt, rad (RR ) = rad (R R) = J(R). Khi đó
J(R) = {a ∈ R/1 − ar khả nghịch, ∀r ∈ R}.
1.2. Môđun xạ ảnh và nội xạ
Cho MR là một môđun. Nếu NR là một môđun, thì M được gọi là
nội xạ theo N (hay M là N -nội xạ) trong trường hợp với mọi đơn cấu

f : KR → NR và mỗi đồng cấu g : KR → MR tồn tại R-đồng cấu

g : N → M sao cho gf = g , nghĩa biểu đồ sau giao hoán:
MO a
g

0

/

K

g
f /
N

MR được gọi là nội xạ nếu nó là N -nội xạ với mọi R-môđun N .
MR được gọi là tựa nội xạ nếu M là M -nội xạ.
Để kiểm tra M có R-nội xạ hay không ta hay dùng tiêu chuẩn Baer.
Tiêu chuẩn Baer: Một R-môđun M là nội xạ nếu với mội iđêan
phải I của R, mọi đồng cấu f : IR → MR đều mở rộng được đến đồng
cấu f : RR → MR .
Ta có kết quả của phần này là:
Định lý 1.2.1. Mỗi môđun là môđun con của một môđun nội xạ
nào đó.


8

Hệ quả 1.2.2. Một môđun A là nội xạ nếu và chỉ nếu A là hạng
tử của mỗi môđun thực sự chứa nó.
Đối ngẫu với môđun nội xạ, ta có môđun P được gọi là xạ ảnh theo N

(hay P là N -xạ ảnh) trong trường hợp với mọi toàn cấu g : N → M và
mỗi đồng cấu f : P → M tồn tại đồng cấu h : P → N sao cho f = gh,
nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:

P
h

N

}

g

/



f

M

/

0

P được gọi là xạ ảnh nếu P là N -xạ ảnh với mọi R-môđun N .
Đơn cấu µ : M → Q được gọi là bao nội xạ đối với M nếu Q là
môđun nội xạ còn µ là đơn cấu cốt yếu. Ký hiệu E(M ) để chỉ bao nội xạ
của môđun M .
Toàn cấu ψ : P → M được gọi là phủ xạ ảnh(hoặc bao xạ ảnh) đối

với M nếu P là môđun xạ ảnh còn ψ là toàn cấu đối cốt yếu.
1.3. Môđun và vành Nơte
*) Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa điều kiện
dãy tăng (thường được viết tắt là ACC ) trong trường hợp với mọi dãy

L1 ≤ L2 ≤ ... ≤ Ln ≤ ...
trong L, tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln (i = 1, 2, ...).
*) Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa điều kiện dãy
giảm (thường được viết tắt là DCC ) trong trường hợp với mọi dãy

L1 ≥ L2 ≥ ... ≥ Ln ≥ ...
trong L, tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln (i = 1, 2, ...).


9

*) Môđun MR được gọi là Nơte nếu mỗi tập khác rỗng các môđun con
nào đó của M đều có phần tử cực đại.
*) Vành R được gọi là vành Nơte phải nếu môđun RR là Nơte.
Tích trực tiếp của các môđun nội xạ là nội xạ, tổng trực tiếp của các
môđun nội xạ chưa chắc là nội xạ. Tuy nhiên, trên vành Nơte thì mọi tổng
trực tiếp của các môđun nội xạ là nội xạ.
Định lý 1.3.2.( Định lý Matlis).
Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R đã cho:
(1) R là vành Nơte phải.
(2) Mọi tổng trực tiếp các R-môđun phải nội xạ là nội xạ.
(3) Mọi tổng trực tiếp đếm được các bao nội xạ các R-môđun phải
đơn là nội xạ.
1.4. Môđun suy biến và vành suy biến
Cho M là R-môđun phải. Một phần tử m ∈ M được gọi là phần tử

suy biến phải của M nếu iđêan phải r (m) ≤e RR .
Tập tất cả các phần tử suy biến phải của M được ký hiệu là Z(M )
được xác định như sau:

Z (M ) = {m ∈ M/r (m) ≤eR} ≤ M.
Z(M ) là môđun con suy biến của M .
Môđun M được gọi là suy biến (singular) nếu Z (M ) = M và được
gọi là không suy biến (nonsingular) nếu Z (M ) = 0.
Vành R được gọi là vành suy biến (không suy biến) phải nếu RR là
môđun suy biến (không suy biến).


10

Môđun con suy biến thứ hai của M là Z2 (M ) được xác định bởi:

Z2(M )/Z(M ) = Z(M/Z(M )).
Z2(M ) là môđun con đóng của M và M/Z2(M ) là không suy biến. Một
R-môđun G được gọi là xoắn Goldie nếu Z2(G)= G.
Một số tính chất của môđun con suy biến.
+ Z (M ) .soc (RR ) = 0.
+ Nếu f : M → N là R-đồng cấu thì f (Z (M )) ≤ Z (N ).
+ Nếu M ≤ N thì Z (M ) = M ∩ Z (N ).
+ Z (M ⊕ N ) = Z (M ) ⊕ Z (N ).
Bổ đề sau sẽ cho thấy mối quan hệ giữa môđun con cốt yếu và môđun
con suy biến.
Bổ đề 1.4.1.
Nếu K≤e M thì M/K suy biến, tức là Z(M/K) = M/K .
1.5. Vành nửa hoàn chỉnh
Cho vành R và I là một iđêan của nó. Nếu với mỗi lũy đẳng f của

vành thương R/I đều tồn tại lũy đẳng e của vành R sao cho e − f ∈ I
thì ta gọi các lũy đẳng nâng được modulo I .
Một vành R được gọi là nửa địa phương nếu vành thương R/J(R) là
(artin) nửa đơn.
Một vành R được gọi là semipotent nếu mọi iđêan phải (trái) không
chứa trong J(R) chứa một lũy đẳng khác không.
Một vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu R là nửa địa phương và
các lũy đẳng nâng được modulo J(R).


11

Cho I là iđêan phải của R, R được gọi là I -nửa hoàn chỉnh nếu với
mỗi iđêan phải K có thể phân tích thành K = eR⊕ U sao cho

e2 = e và U = K ∩ (1 − e)R ≤ I .
1.6. bất biến Morita
Định nghĩa 1.6.1. Giả sử C và D là hai phạm trù tùy ý. Khi đó
một hàm tử hiệp biến F : C → D là một tương đương phạm trù trong
trường hợp có một hàm tử G : D → C và đẳng cấu tự nhiên GF
và F G

1C

1D . Hàm tử G được gọi là tương đương khả nghịch của F . Khi

đó C và D được gọi là hai phạm trù tương đương, ký hiệu C ≈ D.
Hai vành R và S là bất biến Morita, viết tắt R ≈ S nếu có sự tương
đương cộng tính giữa các phạm trù môđun. Nghĩa là: có một đẳng cấu tự
nhiên η : GF → 1modR và ζ : F G → 1modS , hay với mỗi MR có một

đẳng cấu ηM : GF (M ) → M trong modR sao cho với mỗi M , M trong

modR và mỗi f : M → M trong modR, biểu đồ sau giao hoán:
f

MO

/

MO
ηM

ηM
GF (f )

GF (M )

/

GF (M )

1.7. Các lớp môđun, vành khác
Định nghĩa 1.7.1.
(1) Một môđun M được gọi là CS nếu với mọi môđun con A của M ,
thì tồn tại một hạng tử trực tiếp B của M thỏa A≤e B .
(2) Một môđun M được gọi là C2 nếu K và L là các môđun con của

M, K

L và K≤⊕M thì L≤⊕M .

12

(3) Một môđun M được gọi là thỏa điều kiện C3 nếu K và L là các
môđun con của M thỏa mãn K ∩ L = 0, K≤⊕ M và L≤⊕ M thì K ⊕ L
cũng là một hạng tử trực tiếp của M .
Định nghĩa 1.7.2.
*) Vành R được gọi là vành nửa nguyên sơ nếu R/J(R) nửa đơn và

J(R) lũy linh.
*) Vành R được gọi là địa phương nếu R có duy nhất một iđêan phải
(hoặc trái) cực đại.
*) Vành R được gọi là Kasch phải nếu với mỗi R-môđun phải đơn S
đều tồn tại một đơn cấu ι : S → RR .
*) Vành R được gọi là vành chính quy (von Neumann) nếu cho mỗi
phần tử r ∈ R, thì tồn tại r ∈ R sao cho r = rr r.
*) Vành R được gọi là vành giả Frobenius (pseudo-Frobenius) nếu và
chỉ nếu R là nửa hoàn chỉnh, tự nội xạ với đế phải cốt yếu, viết tắt là PF.
*) Vành R được gọi là vành SI phải nếu và chỉ nếu mỗi R-môđun phải
suy biến nội xạ.
*) Vành R được gọi là vành CF (vành FGF) nếu mỗi R-môđun phải
cyclic (hữu hạn sinh) nhúng vào một môđun tự do.
*) Vành R được gọi là min-C2 (C2) nếu mỗi iđêan phải đơn (iđêan
phải) đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của RR thì cũng là hạng tử trực
tiếp của RR .
*) Vành R được gọi là vành GV phải nếu và chỉ nếu mỗi R-môđun
phải đơn suy biến nội xạ.

13

CHƯƠNG 2

MÔĐUN VÀ VÀNH S-NỘI XẠ

Chương này là nội dung chính của luận văn, trình bày định nghĩa và
các ví dụ về môđun và vành s-nội xạ, trình bày và chứng minh các tính chất
của môđun và vành s-nội xạ và tính chất s-nội nội xạ của môđun trên một
số vành.
2.1. Định nghĩa và các ví dụ
Một R-môđun M được gọi là N -nội xạ (hay nội xạ theo N ) nếu với mọi
đơn cấu R-môđun ι : AR → NR và với mọi R-đồng cấu f : AR → MR
tồn tại đồng cấu h : NR → MR sao cho hι = f . Bằng cách thay đổi
môđun A bởi môđun con của môđun con suy biến của N ta được khái
niệm về môđun s-N -nội xạ.
Định nghĩa 2.1.1. Một R-môđun phải M được gọi là s-N -nội xạ
nếu với mỗi đơn cấu ι : K → N , mọi đồng cấu R-môđun f : K → M
tồn tại đồng cấu h : N → M sao cho f = hι, trong đó K là môđun con
của môđun con suy biến Z(N ) của N , tức là biểu đồ sau giao hoán:

0

/

ι /
N

K
f



M

}

h

M được gọi là s-nội xạ nếu M là s-R-nội xạ.
M được gọi là s-nội xạ mạnh nếu M là s-N -nội xạ với mọi R-môđun
phải N .
Nhận xét: R-môđun không suy biến là s-nội xạ mạnh.
Sau đây là một số ví dụ về vành s-nội xạ và s-nội xạ mạnh và không


14

s-nội xạ.
Ví dụ 2.1.2. Vành các số nguyên Z là s-nội xạ mạnh bởi vì Z(Z) = 0,
nhưng vành số nguyên Z không nội xạ.
Ví dụ 2.1.3. Cho R là Z-đại số sinh bởi x, y với quan hệ như sau:

yx = y 2 = 0, khi đó Z(R R) = 0 nên R R là s-nội xạ mạnh.
Ví dụ 2.1.4. Cho vành

R=

Z Z2
0 Z2

,

Khi đó Z(RR ) = 0 nên RR không suy biến nên RR là s-nội xạ mạnh.

Z(R R) = 0, với mỗi đồng cấu α : Z (R R) → R R, đồng cấu f : R R → R R
được xác định bởi:

f (r) = a
với r =
RR

a b
0 c

∈

1 0
0 0
Z Z2
0 Z2

+c

0 0
0 1

+ α( 0 b )
0 0

là mở rộng của α nên theo định nghĩa thì

là s-nội xạ.
Ví dụ 2.1.5. Cho vành R = Z/4Z là vành tự nội xạ; NR = 2Z/4Z,

Z(R) = N . Lấy M = RR ⊕ NR , khi đó đồng cấu
f :N → M
n → (n; n)
không thể mở rộng được nên M không phải là R-môđun s-nội xạ.
2.2. Tính chất
Một môđun đẳng cấu với một môđun nội xạ thì cũng nội xạ, tích trực
tiếp của họ các môđun nội xạ cũng là môđun nội xạ và ngược lại. Những


15

tính chất này cũng đảm bảo đối với môđun s-nội xạ, và với môđun s-nội xạ
còn có một số tính chất khác, mệnh đề sau sẽ thể hiện rõ điều này.
Mệnh đề 2.2.1.
(1) Giả sử N là R-môđun phải và {Mi , i ∈ I} là họ các R-môđun

Mi là s-N -nội xạ nếu và chỉ nếu Mi là

phải. Khi đó tích trực tiếp
i∈I

s-N -nội xạ, với mọi i ∈ I .
(2) Giả sử M, N và K là các R-môđun phải, K ≤ N . Nếu M là
s-N -nội xạ thì M là s-K -nội xạ.
(3) Giả sử M, N và K là các R-môđun phải với K

N . Nếu K

là s-M -nội xạ thì N là s-M -nội xạ.
(4) Giả sử N là R-môđun phải và {Ai , i ∈ I} là họ các R-môđun
phải. Khi đó N là s- ⊕ Ai -nội xạ nếu và chỉ nếu N là s-Ai -nội xạ, với
i∈I

∀i ∈ I .
(5) R-môđun phải M là s-nội xạ nếu và chỉ nếu M là s-P -nội xạ
với mọi R-môđun phải P xạ ảnh.
(6) Giả sử M, N và K là các R-môđun phải với N ≤⊕ M . Nếu M
là s-K -nội xạ thì N là s-K -nội xạ.
(7) Nếu A, B và M là các R-môđun phải, AR

BR , và M là

s-A-nội xạ thì M là s-B -nội xạ.
Hệ quả 2.2.2. Cho N là R-môđun phải. Khi đó:
(1) Tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun s-N -nội xạ là s-N -nội
xạ. Đặc biệt, tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun s-nội xạ (s-nội xạ
mạnh) là s-nội xạ (s-nội xạ mạnh).
(2) Hạng tử của môđun s-N -nội xạ (s-nội xạ, s-nội xạ mạnh) là
môđun s-N -nội xạ (s-nội xạ, s-nội xạ mạnh).


16

Hệ quả 2.2.3.
(1) Cho M là R-môđun phải và 1 = e1 + e2 + ... + en trong R, với

ei là các lũy đẳng trực giao. Khi đó M là s-nội xạ nếu và chỉ nếu M
là s-ei R-nội xạ.
(2) Giả sử e, f là các lũy đẳng của R, eR

f R và M là s-eR-nội

xạ. Khi đó M là s-f R-nội xạ.
Một R-môđun N thỏa mỗi môđun con hữu hạn sinh là Nơte thì N là
Nơte địa phương, điều đó tương đương mỗi tổng trực tiếp của các môđun

M -nội xạ là M -nội xạ. Với s-nội xạ thì môđun N hữu hạn sinh chỉ cần
môđun con suy biến Z(N ) Nơte là đủ. Tính chất này được thể hiện rõ ở
mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.2.4. Nếu N là R-môđun hữu hạn sinh thì các điều
kiện sau tương đương:
(1) Tổng trực tiếp bất kỳ các môđun s-N -nội xạ là s-N -nội xạ.
(2) Tổng trực tiếp bất kỳ các môđun nội xạ là s-N -nội xạ.
(3) Z(N ) là Nơte.
Bổ đề 2.2.5. Giả sử M, N là các R-môđun phải sao cho Z2 (M )
nội xạ. Khi đó mỗi đồng cấu f : K → M mở rộng đến N , K ≤ Z2 (N ).
Hai mệnh đề tiếp theo cho ta thấy mối quan hệ giữa tính s-nội xạ của
một môđun với tính nội xạ của môđun suy biến thứ hai của nó và các môđun
xoắn Goldie, đồng thời cũng cho ta sự phân tích của một môđun s-nội xạ
mạnh thành tổng trực tiếp của hai môđun con.
Mệnh đề 2.2.6. Các phát biểu sau là tương đương:
(1) M là s-nội xạ mạnh.


17

(2) M là s-I(M )-nội xạ, với I(M ) là bao nội xạ của M .
(3) M = E⊕K , với K không suy biến và E nội xạ thỏa Z(M )≤e E .
(4) Z2 (M ) nội xạ.
(5) M là G-nội xạ với mọi G là môđun xoắn Goldie.
(6) M là I -nội xạ, với I = I(Z2 (M ))là bao nội xạ của Z2 (M ).
Hệ quả 2.2.7. Cho M là R-môđun phải xoắn Goldie. Khi đó, M
nội xạ nếu và chỉ nếu M là s-nội xạ mạnh.
Mệnh đề 2.2.8. Đối với một vành R, các điều kiện sau là tương
đương:
(1) RR là s-nội xạ mạnh.
(2) RR là s-I(RR ) nội xạ, với I(RR ) là bao nội xạ của RR .
(3) R = E ⊕ T , với ER là nội xạ và T không suy biến. Hơn nữa,
nếu Z(RR ) = 0 thì Z(RR )≤e E và trong trường hợp này thì E và T
nội xạ tương hỗ.
(4) Z2 (RR ) là nội xạ.
(5) RR là G-nội xạ với mọi R-môđun G xoắn Goldie.
(6) RR là I -nội xạ, với I = I(Z2 (RR )) là bao nội xạ của Z2 (RR ).
(7) Mọi R-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh là s-nội xạ mạnh.
Ví dụ 2.2.9. Cho vành R = Z/4Z là vành tự nội xạ; NR = 2Z/4Z.
Lấy M = RR ⊕ NR . Khi đó nên Z(M ) = N ⊕ N = 0 nên M không
suy biến, và Z2 (M ) = M không nội xạ, áp dụng Mệnh đề 2.2.6 suy ra M
không là R-môđun s-nội xạ mạnh.
Các ví dụ sau cho thấy hai lớp vành s-nội xạ và soc-nội xạ là khác nhau.


18

Ví dụ 2.2.10. Giả sử F = Z2 là trường có hai phần tử, Fn = F với
∞

∞

Fi, S = ⊕ Fi. Nếu R là vành con của Q sinh bởi 1

n = 1, 2, ..., Q =
i=1

i=1

và S thì R là vành chính quy von Neumann với soc(R)=S , R là s-nội xạ
mạnh nhưng không là vành soc-nội xạ.
Ví dụ 2.2.11. Giả sử R = Z [x1 , x2 , ...], x3i = 0 với mọi i, xi xj = 0
với i = j và x2i = x2j = m = 0 với mọi i, j . Khi đó ta có R là vành giao
hoán và nửa nguyên thủy, địa phương với J = span {m, x1 , x2 , ...} = Zr ,
và soc(R) = m = J 2 = Z2 m đơn và cốt yếu trong R. Khi đó R là
soc(R)-nội xạ nhưng R không là s-nội xạ.
2.3. Tính chất s-nội xạ của môđun trên một số vành
Đối với vành GV, tính nội xạ và s-nội xạ của môđun đơn suy biến là
như nhau.
Mệnh đề 2.3.1. Một vành R là vành GV phải nếu và chỉ nếu mỗi

R-môđun phải đơn suy biến là s-nội xạ mạnh.
Bổ đề 2.3.2. Cho M là R-môđun phải, các điều kiện sau tương
đương:
(1) M thỏa mãn điều kiện ACC các môđun con cốt yếu.
(2) M/soc(M ) là Nơte.
Với RR thỏa điều kiện ACC các môđun con (RR Nơte) tương đương
với tổng trực tiếp các môđun nội xạ là nội xạ, tuy nhiên nếu M chỉ thỏa
điều kiện ACC đối với các môđun con cốt yếu thì tổng trực tiếp các môđun
nội xạ hoặc s-nội xạ mạnh có tính chất gì? Mệnh đề tiếp theo sẽ trả lời được

câu hỏi trên.


19

Mệnh đề 2.3.3. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R
đã cho:
(1) Mọi tổng trực tiếp các R-môđun phải s-nội xạ mạnh là s-nội
xạ mạnh.
(2) Mọi tổng trực tiếp các R-môđun phải nội xạ là s-nội xạ mạnh.
(3) Mọi R-môđun hữu hạn sinh thỏa điều kiện ACC các môđun con
cốt yếu.
(4) R/Sr là nơte.
Nếu một môđun M trên vành R bất kỳ nội xạ thì s-nội xạ, điều ngược
lại thì không đúng, chẳng hạn vành số nguyên Z là s-nội xạ mạnh nhưng
không nội xạ. Tuy nhiên, nếu R là Z(RR )-nửa hoàn chỉnh, hai khái niệm
s-nội xạ và nội xạ là như nhau.
Bổ đề 2.3.4. R là Z(RR )-nửa hoàn chỉnh khi đó ta có:
1)Một môđun M là s-nội xạ nếu và chỉ nếu M là nội xạ.
2) K = rl(K) với mọi K là iđêan phải suy biến của R nếu và chỉ
nếu K = rl(K) với mọi iđêan phải K của R.
Mệnh đề 2.3.5. Cho M là R-môđun phải.

Z(M ) là hạng tử nửa đơn của M nếu và chỉ nếu mỗi R-môđun
phải là s-M -nội xạ.
Hệ quả 2.3.6. Một vành R là không suy biến phải nếu và chỉ nếu
mỗi R-môđun phải là s-nội xạ.
Đối với vành SI, nếu mỗi R-môđun phải suy biến s-nội xạ mạnh thì tất
cả các R-môđun cũng s-nội xạ mạnh và ngược lại. Định lý tiếp theo không

20

chỉ khẳng định điều đó mà còn cho thấy với mỗi vành R, R-môđun suy
biến s-nội xạ mạnh mà R-môđun cũng là s-nội xạ thì đó là vành SI.
Định lý 2.3.7. Các phát biểu sau là tương đương:
(1) R là vành SI phải.
(2) Mọi R-môđun phải là s-nội xạ mạnh.
(3) Mọi R-môđun phải suy biến là s-nội xạ mạnh.
Với một môđun M phải tựa nội xạ, mỗi môđun con L đẳng cấu với
một môđun con là hạng tử trực tiếp thì L cũng là hạng tử trực tiếp của M
(gọi là điều kiện C2), và các môđun con suy biến K và L là hạng tử trực
tiếp của M thỏa K ∩ L = 0 thì K ⊕ L cũng là hạng tử trực tiếp của M
(gọi là điều kiện C3). Với M là s-tựa nội xạ ta cũng có tính chất tương tự.
Mệnh đề 2.3.8. Giả sử M là một R-môđun phải s-tựa nội xạ.
(1) (s-C2) Nếu K và L là các môđun con suy biến của M , K

L

và K≤⊕ M thì L≤⊕ M .
(2) (s-C3) Nếu K và L là các môđun con suy biến của M với

K ∩ L = 0. Nếu K≤⊕M và L≤⊕M thì K ⊕ L cũng là một hạng tử
của M .
Một môđun M thỏa điều kiện C2 thì thỏa điều kiện C3, tương tự, M
thỏa s-C2 thì cũng thỏa điều kiện s-C3.
Mệnh đề 2.3.9. Nếu một môđun M thỏa điều kiện s-C2 thì M
thỏa điều kiện s-C3.
Mệnh đề 2.3.10. Cho R và S là các vành bất biến Morita với
tương đương phạm trù F : modR → modS . Cho M, N và K là các

R-môđun phải. Khi đó


21

(1) KR là suy biến nếu và chỉ nếu F (K)S suy biến.
(2) MR là s-NR -nội xạ nếu và chỉ nếu F (M )S là s-F (N )S -nội xạ.
Như trên ta có thể thấy tính tự nội xạ và s-nội xạ mạnh là bất biến đối
với vành Morita và điều đó được khẳng định bởi định lý sau:
Định lý 2.3.11. s-nội xạ mạnh phải là một thuộc tính bất biến
tương đương Morita của vành.
Mệnh đề 2.3.12. Cho M là R-môđun xạ ảnh, khi đó các điều
kiện sau tương đương:
(1) Mọi ảnh đồng cấu của một R-môđun phải s-M -nội xạ cũng là
s-M -nội xạ.
(2) Mọi ảnh đồng cấu của một R-môđun phải nội xạ là s-M -nội
xạ.
(3) Mọi môđun con suy biến của M là xạ ảnh.
Hệ quả 2.3.13. Các điều kiện sau tương đương:
(1) Mọi môđun thương của R-môđun phải s-nội xạ là s-nội xạ.
(2) Mọi môđun thương của R-môđun phải nội xạ là s-nội xạ.
(3) Mọi iđêan phải suy biến là xạ ảnh.
Trên vành Z2 (RR )-nửa hoàn chỉnh, một môđun có thể được phân tích
thành tổng trực tiếp của một môđun nội xạ nửa đơn và môđun con suy biến
thứ hai của nó.
Mệnh đề 2.3.14. Các điều kiện sau tương đương:
(1) Mọi R-môđun phải s-nội xạ mạnh là nội xạ.
(2) Mọi R-môđun phải không suy biến là nội xạ nửa đơn.

22

(3) Với mọi R-môđun phải M , M = E ⊕ Z2 (M ) với E nội xạ nửa
đơn.
(4) R là Z2 (RR )-nửa hoàn chỉnh.
Sau đây là định lý nêu ra các điều kiện tương đương với vành PF liên
quan đến vành Z(RR )-nửa hoàn chỉnh và s-nội xạ mạnh.
Định lý 2.3.15. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R
đã cho:
(1) R là vành PF phải.
(2) R là Z(RR )-nửa hoàn chỉnh, s-nội xạ mạnh phải với đế phải
cốt yếu.
(3) R nửa hoàn chỉnh, min-C2 phải, s-nội xạ mạnh phải với đế phải
cốt yếu.
(4) R nửa hoàn chỉnh với soc(J) = soc(Z(RR )), s-nội xạ mạnh
phải với đế phải cốt yếu.
(5) R là hữu hạn đối sinh phải, min-C2 phải, s-nội xạ mạnh phải.
(6) R là vành Kasch phải, s-nội xạ mạnh phải.
(7) R là vành s-nội xạ mạnh phải và đối ngẫu của mỗi R-môđun
phải đơn là đơn.
Chú ý: Vành số nguyên Z là vành Nơte giao hoán s-nội xạ mạnh nhưng
không giả Frobenius.
Mệnh đề 2.3.16.
Mỗi vành CF phải s-nội xạ mạnh phải là giả Frobenius.


23

KẾT LUẬN

Luận văn gồm ba phần: mở đầu, nội dung và kết luận. Phần nội dung
được trình bày thành hai chương. Trong đó, chương 1 nêu lên một số kiến
thức cơ bản về vành và môđun làm nền tảng, cơ sở cho các chứng minh
trong chương sau. Trong chương này, tôi đã trình bày một số kết quả liên
quan đến đồng cấu môđun, môđun cốt yếu, môđun nội xạ, môđun con suy
biến, căn và đế... và một số kiến thức liên quan đến vành Nơte, vành nửa
hoàn chỉnh, vành Morita,...
Chương 2 trình bày nội dung chính của luận văn. Trong chương này,
nội dung gồm ba phần chính. Phần thứ nhất trình bày định nghĩa về môđun
và vành s-nội xạ, một số ví dụ về môđun và vành s-nội xạ mạnh, s-nội xạ và
không s-nội xạ. Phần thứ hai trình bày các tính chất cơ bản của môđun và
vành s-nội xạ. Tính chất đặc trưng của môđun s-nội xạ là Mệnh đề 2.2.4.
Đó là mệnh đề cơ bản cho thấy tính vượt trội so với môđun nội xạ, và đây
cũng là công cụ được áp dụng để chứng minh một số tính chất khác liên
quan đến môđun s-nội xạ. Một ứng dụng liên quan là với N là R-môđun
hữu hạn sinh thì tổng trực tiếp của các môđun nội xạ là s-nội xạ khi và chỉ
khi môđun con suy biến của N là Nơte (Mệnh đề 2.2.4). Ngoài ra, trong
phần này có đưa ra điều kiện để một môđun (vành) là s-nội xạ mạnh liên
quan đến môđun con suy biến thứ hai và khi đó nó được phân tích thành
tổng trực tiếp của một môđun nội xạ và một môđun không suy biến là nội
dung Mệnh đề 2.2.6 và Mệnh đề 2.2.8. Đặc biệt hơn,ở đây có trình bày thêm
một ví dụ về khảo sát tính s-nội xạ của môđun thông qua môđun con suy
biến thứ hai và hai ví dụ phân biệt sự khác nhau của môđun soc-nội xạ và
s-nội xạ. Phần thứ ba trình bày tính s-nội xạ của môđun trên một số vành.
Trên vành GV, tính nội xạ và s-nội xạ mạnh của môđun đơn suy biến là