Về Môđun và vành S-CS

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ HOÀNG OANH

VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH S-CS

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.01.04

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017


Công trình được hoàn thành tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Lê Văn Thuyết

Phản biện 1:...........................................
Phản biện 2:...........................................

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ Toán học họp tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà
Nẵng vào ngày .....tháng......năm 2017.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thộng tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng.
- Thư viện trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Khái niệm môđun nội xạ được R. Baer nghiên cứu đầu tiên vào năm
1940. Những năm sau đó, khái niệm này và các khái niệm mở rộng của nó
đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới.
Theo đó, một R-môđun phải M được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn
cấu f : PR → QR , với mọi PR , QR , mỗi đồng cấu γ : PR → MR tồn tại

R-đồng cấu γ : QR → MR sao cho γf = γ.
0

/

f

P
γ


M

~

/

Q

γ

Đơn cấu µ : M → N được gọi là bao nội xạ đối với môđun M (ký
hiệu là E(M )) nếu N là nội xạ và µ là đơn cấu cốt yếu. Nếu MR nội xạ
thì với mọi môđun con A của M ta có A≤e E(A)≤⊕ E(M ) = M. Từ tính
chất này người ta đưa ra khái niệm môđun CS hay còn gọi là môđun mở
rộng.
Môđun M được gọi là CS nếu mọi môđun con của M cốt yếu trong
một hạng tử trực tiếp của M. Rõ ràng, môđun nội xạ là CS. Các kết quả
về môđun CS được nghiên cứu và viết đầy đủ trong quyển sách “Extending
modules” (N. V. Dung, D. V. Huynh, P. F. Smith and R. Wisbauer). Trong
định nghĩa môđun CS, nếu ta chỉ lấy các môđun con suy biến của M thay
vì mọi môđun con của M thì môđun mới này được gọi là s-CS.
Được sự gợi ý của thầy giáo, GS. TS. Lê Văn Thuyết, tôi chọn đề tài:
VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH S-CS làm đề tài luận văn của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu


2

Mục tiêu của luận văn là tổng quan các kiến thức liên quan đến môđun
và vành s-CS. Trong quá trình tổng quan, chúng tôi sẽ chứng minh cụ thể
các tính chất của lớp môđun và vành này, làm rõ thông qua một số ví dụ.
Là một tổng quan nên nó có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho một số
học viên cao học, cho các sinh viên toán.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là môđun và vành s-CS.
Phạm vi nghiên cứu của luận văn chỉ đi sâu tìm hiểu các khái niệm, và
các tính chất của lớp môđun và vành s-CS.

4. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc hiểu các vấn đề liên quan đến môđun nội xạ, môđun CS.
- Thu thập nghiên cứu các tài liệu, bài báo liên quan đến môđun và
vành s-CS.
- Tổng hợp, phân tích, giải quyết các vấn đề nảy sinh.
- Trao đổi, thuyết trình tại xêmina của nhóm.
5. Bố cục đề tài
Luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về môđun, môđun con
cốt yếu và đối cốt yếu, môđun con suy biến và không suy biến, môđun con
đóng và UC-môđun, môđun nội xạ, môđun CS và một số vành liên quan.
Chương 2: Trình bày định nghĩa, ví dụ, các tính chất của môđun và
vành s-CS.


3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng tôi chủ yếu trình bày một số kiến thức cơ bản
về môđun, môđun con cốt yếu và đối cốt yếu, môđun con suy biến và không
suy biến, môđun con đóng và UC-môđun, môđun nội xạ, môđun CS và một
số vành liên quan.
Trong suốt luận văn này, vành được nhắc đến luôn là vành kết hợp có
đơn vị 1 = 0, các R-môđun đều unita và khi nói đến môđun ta hiểu là
môđun phải.
1.1. Một số khái niệm cơ bản về môđun
Môđun MR được gọi là đơn nếu M = 0 và M chỉ có hai môđun con
là 0 và M. Vành R được gọi là đơn nếu R = 0 và R chỉ có hai iđêan (hai

phía) là 0 và R.
Môđun M được gọi là nửa đơn nếu M là tổng trực tiếp của các môđun
con đơn. Vành R được gọi là nửa đơn phải (t.ư., trái) nếu RR (t.ư., R R)
nửa đơn.
Môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực tiểu của môđun M
nếu A = 0 và với mọi môđun con B của M mà B < A thì B = 0. Môđun
con A ≤ M được gọi là môđun con cực đại của môđun M nếu A = M
và với mọi môđun con B của M mà A < B thì B = M.
Mệnh đề 1.1.1. Môđun MR đơn khi và chỉ khi M = 0 và với mọi

0 = m ∈ M, M = mR.
Cho A và B là hai R-môđun phải. Đồng cấu α từ A vào B là ánh xạ


4

α : A → B thỏa mãn:
∀a1, a2 ∈ A, ∀r1, r2 ∈ R, α(a1r1 + a2r2) = α(a1)r1 + α(a2)r2.
Ký hiệu: α : AR → BR .
Đồng cấu α : AR → BR được gọi là đơn cấu (t.ư., toàn cấu, đẳng
cấu) nếu nó đơn ánh (t.ư., toán ánh, song ánh).
Tính chất sau nêu lên sự bảo toàn các môđun con qua các đồng cấu.
Định lý 1.1.2. Cho α : AR → BR , lúc đó:
(1) Nếu U ≤ A thì α(U ) ≤ B .
(2) Nếu V ≤ B thì α−1 (V ) ≤ A.
Sau đây là định lý cơ bản về đồng cấu môđun.
Định lý 1.1.3. Mỗi đồng cấu của các môđun phải α : A → B đều
có thể phân tích được α = α ν , trong đó đồng cấu ν : A → A/Ker(α)
là toàn cấu chính tắc, còn α : A/Ker(α) → B là đơn cấu xác định
bởi α (a + Ker(α)) = α(a).

Đơn cấu α là đẳng cấu khi và chỉ khi α toàn cấu.
Ta thu được hệ quả sau từ định lý cơ bản về đồng cấu môđun.
Hệ quả 1.1.4. Cho α : AR → BR là đồng cấu R-môđun. Lúc đó:

A/Ker(α) ∼
= Im(α).
Định lý 1.1.5. Nếu B ≤ AR và C ≤ AR thì:

(B + C)/C ∼
= B/(B ∩ C).
Sau đây là đặc trưng của hạng tử trực tiếp của RR , R R và sự phân
tích của vành. Phần tử e ∈ R được gọi là một lũy đẳng của vành R nếu

e2 = e.
Mệnh đề 1.1.6. Iđêan phải I của vành R là một hạng tử trực tiếp


5

của RR nếu và chỉ nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho I = eR.
Hơn nữa, nếu e ∈ R là một lũy đẳng thì 1 − e cũng là một lũy đẳng và

RR = eR ⊕ (1 − e)R.
Cho N là một môđun con của M . Nếu N ≤ M là cực đại với tính
chất N ∩ N = 0, ta nói N là một M -phần bù của N.
Cho A và A là các môđun con của MR . Khi đó A được gọi là M -phần
phụ của A nếu A là môđun con cực tiểu với tính chất A + A = M.
1.2. Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu
Một môđun con K của M là cốt yếu hoặc lớn trong M nếu với mọi
môđun con L ≤ M , K ∩ L = 0 suy ra L = 0. Khi đó chúng ta cũng gọi

M là mở rộng cốt yếu của K và được ký hiệu là K ≤e M. Một môđun
con K của M là đối cốt yếu hoặc bé trong M nếu với mọi môđun con

L ≤ M , K + L = M suy ra L = M và được ký hiệu là K

M.

Đơn cấu f : K → M được gọi là cốt yếu nếu Im(f ) ≤e M. Toàn
cấu g : M → N được gọi là đối cốt yếu nếu Ker(g)

M.

Dưới đây là một vài tính chất đặc trưng của môđun con cốt yếu và
môđun con đối cốt yếu.
Mệnh đề 1.2.1. Cho MR , K ≤ N ≤ M và H ≤ M. Khi đó:
(1) K ≤e M ⇔ K ≤e N và N ≤e M.
(2) H ∩ K ≤e M ⇔ H ≤e M và K ≤e M.
Mệnh đề 1.2.2. Cho MR , K ≤ N ≤ M và H ≤ M. Khi đó:
(1) N

M ⇔K

(2) H + K

M và N/K

M ⇔H

M và K

M/K.
M.


6

Mệnh đề 1.2.3. Môđun con K ≤ M là cốt yếu trong M nếu và
chỉ nếu với mỗi 0 = x ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 = xr ∈ K.
Mệnh đề 1.2.4. Cho MR , K1 ≤ M1 ≤ M, K2 ≤ M2 ≤ M và

M = M1 ⊕ M2, khi đó:
(1) K1 ⊕ K2

M1 ⊕ M2 ⇔ K1

M1 và K2

M2.

(2) K1 ⊕ K2 ≤e M1 ⊕ M2 ⇔ K1 ≤e M1 và K2 ≤e M2 .
Mệnh đề 1.2.5. Cho I là một iđêan phải cốt yếu của R, r ∈ R
khi đó:

r−1I = {s ∈ R|rs ∈ I} ≤e R.
Mệnh đề 1.2.6. Cho f : M → N là một R-đẳng cấu. Khi đó:

A ≤e M ⇔ f (A) ≤e N.
Bổ đề 1.2.7. Nếu A ≤e M và K ≤ M thì A ∩ K ≤e K.
Trong phần cuối của mục này, chúng tôi giới thiệu về căn và đế của

môđun.
Đế phải của môđun MR được ký hiệu là soc (MR ), nó là tổng của tất
cả các môđun con đơn của MR , là giao của tất cả các môđun con cốt yếu
của MR , đây là môđun con nửa đơn lớn nhất của M . Căn của môđun MR
được ký hiệu là rad (MR ) nó là giao của tất cả các môđun con cực đại của

MR , là tổng của tất cả các môđun con đối cốt yếu của MR . Nếu M là nửa
đơn thì rad(M ) = 0. Đặc biệt, rad (RR ) = rad (R R) = J(R) và

J(R) = {a ∈ R|1 − ar khả nghịch ∀r ∈ R}.
Mệnh đề 1.2.8. Mọi môđun con N ≤ M có một M -phần bù.
Hơn nữa, nếu N là một M -phần bù của N, thì:
(1) N ⊕ N ≤e M.


7

(2) (N ⊕ N )/N ≤e M/N .
1.3. Môđun con suy biến và môđun con không suy biến
Cho MR và X ⊆ M. Linh hóa tử phải của X trong R được định
nghĩa là:

r(X) = {r ∈ R|xr = 0, x ∈ X}.
Cho A ⊆ R. Linh hóa tử trái của A trong M là:

l(A) = {m ∈ M |ma = 0, a ∈ A}.
Cho MR . Phần tử m ∈ M được gọi là phần tử suy biến của M nếu
iđêan phải r(m) cốt yếu trong RR . Tập hợp tất cả các phần tử suy biến
của M được ký hiệu là Z(M ).
Tập hợp Z(M ) có một số tính chất sau:

Mệnh đề 1.3.1.
(1) Z(M ) ≤ M và được gọi là môđun con suy biến của M.
(2) Z(M ).soc(RR ) = 0.
(3) Nếu f : M → N là một R-đồng cấu thì f (Z(M )) ≤ Z(N ).
(4) Nếu M ≤ N thì Z(M ) = M ∩ Z(N ).
Một môđun MR được gọi là suy biến (t.ư., không suy biến) nếu

Z(M ) = M (t.ư., Z(M ) = 0). Vành R được gọi là suy biến phải (t.ư.,
suy biến trái, suy biến) nếu Z(RR ) = R (t.ư., Z(R R) = R, suy biến
phải và suy biến trái). Định nghĩa tương tự đối với vành R không suy biến
phải.
Một môđun N được gọi là môđun con suy biến của M nếu N ≤ M
và r(N ) ≤e RR .


8

Mệnh đề 1.3.2. Cho vành R, S = soc(RR ). Khi đó:

Z(RR ) ≤ l(S).
Mệnh đề 1.3.3. Cho A và B là các R-môđun phải. Khi đó:

Z(A ⊕ B) = Z(A) ⊕ Z(B).
Mệnh đề 1.3.4. Cho A, B, C là các R-môđun phải. Khi đó:
(1) Z(C) = C ⇔ C ∼
= B/A với A ≤e B.
(2) Nếu A ≤ B và Z(B) = 0 thì Z(B/A) = B/A ⇔ A ≤e B.
Môđun con suy biến thứ hai Z2 (M ) của M là môđun con của M
chứa Z(M ) sao cho Z2 (M )/Z(M ) = Z(M/Z(M )).
Mệnh đề 1.3.5. Cho R-môđun phải M, khi đó:

(1) Z(M ) ≤e Z2 (M ).
(2) Nếu U ≤ M và M/U là môđun không suy biến thì Z2 (M ) ≤ U.
1.4. Môđun con đóng và UC-môđun
Môđun con C được gọi là đóng trong M nếu C không có mở rộng cốt
yếu thực sự trong M và được ký hiệu là C ≤c M.
Môđun con K của M được gọi là bao đóng của môđun con N trong

M nếu K đóng trong M và N ≤e K.
Định lý sau khẳng định sự tồn tại bao đóng của một môđun.
Định lý 1.4.1. Bao đóng của một môđun luôn tồn tại.
Dưới đây là một vài tính chất đặc trưng của môđun con đóng.
Mệnh đề 1.4.2. Nếu C ≤ D ≤ M , C ≤c D và D ≤c M thì

C ≤c M.


9

Mệnh đề 1.4.3. Giả sử M là một môđun. Khi đó mọi hạng tử
trực tiếp của M đóng trong M.
Từ Mệnh đề 1.4.2 và Mệnh đề 1.4.3 ta dễ dàng có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.4.4. Giả sử M là một môđun và A là môđun con tùy
ý của M, nếu A đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì A đóng trong

M.
Mệnh đề 1.4.5. (1) Nếu N ≤ M sao cho Z(M/N ) = 0 thì

N ≤c M.
(2) Nếu N ≤c M và Z(M ) = 0 thì Z(M/N ) = 0.
Môđun M được gọi là U C -môđun nếu mỗi môđun con của nó có duy

nhất bao đóng.
Mệnh đề 1.4.6. Cho môđun M , các điều kiện sau tương đương:
(1) M là UC-môđun.
(2) Nếu K là môđun con đóng bất kì của M , N là môđun con bất
kì của M thì K ∩ N đóng trong M.
(3) Không tồn tại R-môđun X với môđun con cốt yếu thực sự Y
sao cho (X/Y ) ⊕ X nhúng được trong M.
Mệnh đề 1.4.7. Z2 (M ) là môđun con đóng trong M.
1.5. Môđun nội xạ
Cho UR là một môđun. Nếu MR là một môđun thì U được gọi là nội
xạ theo M (hay U là M -nội xạ) nếu với mọi đơn cấu f : KR → MR và
mỗi đồng cấu ν : KR → UR tồn tại một R-đồng cấu ν : M → U sao cho


10

biểu đồ sau giao hoán

0

/

f /
M

K
ν

 }

ν

U

Cho QR là một môđun. Q được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu

f : KR → MR , với mọi KR , MR và mỗi đồng cấu ν : KR → QR tồn tại
một R-đồng cấu ν : M → Q sao cho biểu đồ sau giao hoán

0

/

f /
M

K
ν

 ~

ν

Q

Cho M là R-môđun phải. Đơn cấu µ : M → Q được gọi là bao nội
xạ đối với M nếu Q là môđun nội xạ và µ là đơn cấu cốt yếu.
Ví dụ 1.5.1. Đơn cấu ι : ZZ → QZ là bao nội xạ của ZZ .
Mệnh đề 1.5.2. Mọi môđun đều có một bao nội xạ. Nó duy nhất
sai khác một phép đẳng cấu.

Môđun M được gọi là tựa nội xạ nếu nó là M -nội xạ, tức là nếu mọi
đồng cấu β : X → M với X ≤ M, mở rộng đến một tự đồng cấu β của

M.
0

/

ι /
M

X
β


M

}

β

Môđun M là s-N -nội xạ nếu mọi đồng cấu f : K → M, với K là
môđun con suy biến của N có thể mở rộng đến N.
1.6. Môđun CS
Môđun M là môđun CS hay còn được gọi là thỏa mãn điều kiện C1
hoặc môđun mở rộng nếu mọi môđun con của M cốt yếu trong một hạng


11

tử trực tiếp của M.
Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện C2 nếu môđun con A của

M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M thì A cũng là hạng tử trực
tiếp của M.
Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện C3 nếu A và B là hai hạng
tử trực tiếp của M thỏa mãn A ∩ B = 0 thì A ⊕ B cũng là một hạng tử
trực tiếp của M.
Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1 và
C2. Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1
và C3.
Mệnh đề 1.6.1. Nếu M là môđun tựa nội xạ thì M là CS.
Một môđun khác không M được gọi là đều nếu với bất kì hai môđun
con khác không A, B của M ta luôn có A ∩ B = 0. Hay nói cách khác M
là đều nếu M = 0 và mọi môđun con khác không của M là cốt yếu trong

M. Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.6.2. Nếu M là môđun đều thì M là CS.
Mệnh đề 1.6.3. Mọi hạng tử trực tiếp của môđun CS là CS.
Tuy nhiên không phải lúc nào tổng trực tiếp của hai môđun CS cũng
là CS. Với số nguyên tố p, Z-môđun Zp ⊕ Z2p là môđun CS nhưng Z-môđun
Zp ⊕ Z3p không phải là môđun CS, bởi vì môđun con K = Z(1+ Zp , p+ Z3p )
là môđun con đóng mà không phải hạng tử trực tiếp.
Mệnh đề 1.6.4. Cho M = M1 ⊕ M2 với M1 , M2 là các R-môđun
phải. Khi đó, M1 là M2 -nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con N của

M mà N ∩ M1 = 0, tồn tại môđun con M của M sao cho N ⊆ M
và M = M1 ⊕ M .

12

Mệnh đề dưới đây đưa ra điều kiện để tổng trực tiếp của hai môđun
CS là môđun CS.
Mệnh đề 1.6.5. Cho M = M1 ⊕ M2 với M1 , M2 là các môđun

CS. Môđun M là CS nếu và chỉ nếu với mọi môđun con đóng K của
M thỏa mãn K ∩ M1 = 0 hoặc K ∩ M2 = 0 thì K là hạng tử trực tiếp
của M.
Họ các R-môđun {Mi |i ∈ I} được gọi là nội xạ tương hỗ nếu Mi là

Mj -nội xạ với mọi i, j ∈ I, i = j.
Mệnh đề 1.6.6. Cho M = M1 ⊕ . . . ⊕ Mn là tổng trực tiếp hữu
hạn của các môđun nội xạ tương hỗ Mi . Khi đó M là môđun CS khi
và chỉ khi Mi là CS với mọi i.
Mệnh đề dưới đây cho thấy mối liên hệ giữa môđun CS và môđun con
suy biến thứ hai của nó.
Mệnh đề 1.6.7. Môđun MR là CS khi và chỉ khi M = Z2 (M ) ⊕

M , với M là môđun con nào đó của M sao cho M và Z2(M ) là các
môđun CS và Z2 (M ) là M -nội xạ.
Mệnh đề 1.6.8. Cho M là R-môđun CS và giả sử rằng:
(1) R thỏa mãn điều kiện ACC trên các iđêan trái có dạng l(m),

m ∈ M, hoặc
(2) M có dãy ACC trên các môđun con linh hóa tử.
Khi đó M là tổng trực tiếp của các môđun con đều.
Từ Mệnh đề 1.6.8 ta có hệ quả sau:
Hệ quả 1.6.9. Cho M là R-môđun không suy biến CS. Khi đó

M là tổng trực tiếp của các môđun con đều khi và chỉ khi R thỏa mãn
điều kiện ACC trên các iđêan trái có dạng l(m) với m ∈ M.


13

Cho dãy hữu hạn các môđun con của môđun A. Giả sử đó là:

0 = B0 ≤ B1 ≤ B2 ≤ . . . ≤ Bk−1 ≤ Bk = A.
Dãy này được gọi là dãy hợp thành đối với A nếu với mọi i = 1, 2, . . . , k,

Bi−1 cực đại trong Bi và ta nói k là độ dài của dãy hợp thành đó. Độ dài
của môđun A được định nghĩa là độ dài của dãy hợp thành của A.
Mệnh đề 1.6.10. Giả sử M = M1 ⊕ M2 với M1 là môđun nửa
đơn và M2 là tổng trực tiếp của các môđun nội xạ tương hỗ có độ dài
2. Khi đó M là môđun CS.
1.7. Một số vành liên quan
Vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu R/J là nửa đơn và các phần
tử lũy đẳng có thể nâng được modulo J.
Mệnh đề 1.7.1. Cho vành R, các điều kiện sau tương đương:
(1) R là vành nửa hoàn chỉnh.
(2) Mọi R-môđun phải (trái) hữu hạn sinh đều có phủ xạ ảnh.
(3) Mọi R-môđun phải (trái) cyclic đều có phủ xạ ảnh.
(4) Mọi R-môđun phải (trái) đơn đều có phủ xạ ảnh.
Môđun MR được gọi là Artin (t.ư., Nơte) nếu mỗi tập khác rỗng các
môđun con nào đó của M đều có phần tử cực tiểu (t.ư., cực đại). Vành R
được gọi là Artin (t.ư., Nơte) phải nếu môđun RR là Artin (t.ư., Nơte).
Tập κ các môđun con nào đó của môđun M được gọi là thỏa mãn điều
kiện dãy giảm hay DCC nếu với mọi dãy K1 ≥ K2 ≥ . . . ≥ Kn ≥ . . .
trong κ, tồn tại n ∈ N để cho Kn+i = Kn với i = 1, 2, . . . .

Dưới đây là đặc trưng của môđun Artin.


14

Định lý 1.7.2. Cho MR và A ≤ M. Các điều kiện sau tương
đương:
(1) M là Artin.
(2) A và M/A Artin.
(3) M thỏa mãn DCC đối với tập các môđun con.
(4) Mỗi môđun thương của môđun M hữu hạn đối sinh.
(5) Trong tập {Ai , i ∈ I} = 0 các môđun con của môđun M tồn
tại tập con hữu hạn {Ai , i ∈ I0 } (nghĩa là I0 ⊂ I hữu hạn) sao cho

Ai =
i∈I

Ai .
i∈I0

Tập κ các môđun con nào đó của môđun M được gọi là thỏa mãn điều
kiện dãy tăng hay ACC nếu với mọi dãy K1 ≤ K2 ≤ . . . ≤ Kn ≤ . . .
trong κ, tồn tại n ∈ N để cho Kn+i = Kn với i = 1, 2, . . . .
Dưới đây là đặc trưng của môđun Nơte.
Định lý 1.7.3. Cho MR và A ≤ M. Các điều kiện sau tương
đương:
(1) M là Nơte.
(2) A và M/A Nơte.
(3) M thỏa mãn ACC đối với tập các môđun con.
(4) Mỗi môđun con của môđun M hữu hạn sinh

(5) Trong tập {Ai , i ∈ I} = 0 các môđun con của môđun M tồn
tại tập con hữu hạn {Ai , i ∈ I0 } (nghĩa là I0 ⊂ I hữu hạn) sao cho
i∈I

Ai =

i∈I0

Ai .

Vành R được gọi là CS phải (t.ư., trái) nếu RR (t.ư., R R) là CS.


15

Ví dụ 1.7.4. Xét vành:

R=

F F
0 F

với F là trường. Ta có vành R là CS phải.
Vành R được gọi là vành Kasch phải nếu mọi môđun phải đơn K
nhúng được trong RR hay RR đối sinh ra K.
Vành R thỏa mãn một trong các điều kiện đương tương sau được gọi
là vành tựa Frobenius, viết tắt là QF.
(1) Vành R là QF.
(2) R là vành Artin phải và trái, tự nội xạ phải và trái.
(3) R là vành Nơte phải và trái, tự nội xạ phải và trái.

(4) R là vành Artin phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc trái.
(5) R là vành Nơte phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc trái.
(6) R thỏa mãn ACC đối với các linh hóa tử phải hoặc trái, tự nội xạ
phải và trái.
Mệnh đề 1.7.5. Mọi vành nửa đơn là không suy biến. Đặc biệt,
vành R nửa đơn khi và chỉ khi mọi R-môđun phải M không suy biến.
Vành R được gọi là vành CF phải nếu mọi R-môđun phải cyclic có
thể nhúng được trong một môđun tự do. Vành R được gọi là vành F GF
phải nếu mọi R-môđun phải hữu hạn sinh có thể nhúng được trong một
môđun tự do.
Ta dễ thấy mọi vành CF phải là FGF phải.
Mệnh đề 1.7.6. Mọi vành CS phải, CF phải là Artin phải. Hơn
nữa, mọi vành CS phải, F GF phải là QF.


16

CHƯƠNG 2

MÔĐUN S-CS
Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa, các ví dụ minh họa
và các tính chất liên quan đến môđun và vành s-CS.
2.1. Định nghĩa và ví dụ về môđun s-CS
Định nghĩa 2.1.1. Môđun M được gọi là s-CS nếu mọi môđun con
suy biến của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. Vành R được
gọi là s-CS phải (t.ư. trái) nếu RR (t.ư. R R) là môđun s-CS.
Ta dễ thấy mọi môđun không suy biến là s-CS.
Ví dụ 2.1.2. Vành Z là ví dụ về vành giao hoán không suy biến và
từ đó là s-CS.
Ví dụ 2.1.3. Lấy R là Z-đại số sinh bởi x và y , yx = y 2 = 0. Ta có

vành R là không suy biến trái nên R R là s-CS.
Ví dụ 2.1.4. Sau đây là vành không giao hoán không suy biến phải
và không phải không suy biến trái là s-CS hai phía.
Xét vành

R=

Z Z2
0 Z2

.

Ta có:

Z(R R) =

0 Z2
0 0

mà

0 Z2
0 0

≤e

0 Z2
0 Z2

≤⊕ R R =

Vậy R R là s-CS.
Lại có Z(RR ) = 0 nên RR là s-CS.

0 Z2
0 Z2

⊕

Z 0

0 0

.


17

Ví dụ 2.1.5. Sau đây là ví dụ về vành s-CS hai phía mà không phải
không suy biến.
Xét vành

R=

Z4 2Z4
0 Z4

.

Ta có:

Z(RR ) = Z(R R) =

2Z4 2Z4
0 2Z4

.

Ta thấy mọi môđun con suy biến A của R luôn cốt yếu trong một hạng
tử trực tiếp của R. Vậy RR và R R là s-CS.
Ví dụ 2.1.6. Từ Mệnh đề 1.7.5 ta thấy mọi vành R nửa đơn là vành
s-CS. Hơn nữa, vành R mà mọi R-môđun phải (trái) không suy biến cũng
là vành s-CS.
Do mọi môđun tựa nội xạ là CS (theo Mệnh đề 1.6.1) nên nó cũng là
s-CS.
Ví dụ 2.1.7. Vành Zn tự nội xạ với mọi n ∈ Z. Suy ra Zn là s-CS
với mọi n ∈ Z.
Ví dụ 2.1.8. Vành giao hoán R = Z2 [x1 , x2 , ...] với x3i = 0 ∀i,

xixj = 0 ∀i = j và x2i = x2j = m = 0 ∀i, j là một ví dụ vành s-CS nhưng
không phải s-nội xạ.
2.2. Các tính chất của môđun s-CS
Ảnh đồng cấu của một môđun s-CS không phải bao giờ cũng là một
môđun s-CS. Thật vậy, ta xét Z-đồng cấu sau:

→ Z2 ⊕ Z8
a+bi → (a + 2Z, b + 8Z)

f : Z[i]

18

với f là toàn cấu, Z[i] là môđun s-CS nhưng Z2 ⊕ Z8 không phải là môđun
s-CS (theo Ví dụ 2.2.6).
Mệnh đề 2.2.1. Cho AR là môđun s-CS, AR ∼
= BR . Khi đó, BR
cũng là môđun s-CS.
Bổ đề 2.2.2. Cho M là R-môđun phải, các điều kiện sau tương
đương:
(1) Z2 (M ) là CS và Z2 (M )≤⊕ M.
(2) M là s-CS.
Chứng minh.
(1)⇒(2). Giả sử Z2 (M ) là CS và Z2 (M )≤⊕ M , N là một môđun con
suy biến M. Ta có:

N ≤ Z(M ) ≤ Z2(M )≤⊕M.
Do Z2 (M ) là CS suy ra

N ≤eN ≤⊕Z2(M )
hay

N ≤e N ≤⊕ M.
Vậy M là s-CS.
(2)⇒(1). Giả sử M là s-CS và K ≤ Z2 (M ) ≤ M. Vì M là s-CS nên
ta có

0 = Z(K)≤eL≤⊕M.
Ta cũng có L≤e K + L. Thật vậy, với mọi k + l ∈ K + L, k + l = 0,
ít nhất cho k = 0, vì k ∈ K ≤ Z2 (M ) nên

(k + Z(M )).I = 0 với I ≤e RR .
Suy ra tồn tại r ∈ R sao cho:

kr = 0 và kr ∈ Z(M ).


19

Từ đó

kr + lr = (k + l)r = 0
và

kr ∈ K ∩ Z(M ) = Z(K) ≤ L.
Vậy nên (k + l)r ∈ L.
Vì L≤⊕ M nên L≤c M suy ra K + L = L hay K ≤ L. Do đó

K ≤e L (vì Z(K) ≤e L).
Ta có Z2 (M )≤e L + Z2 (M ). Thật vậy, với mọi l ∈ L, tồn tại r ∈ R
sao cho:

lr ∈ Z(K) ≤ Z2(M ).
Với mọi l + Z ∈ L + Z2 (M ) (l ∈ L, z ∈ Z2 (M )) ta có:

(l + z)r = lr + zr ∈ Z2(M ).
Ta cũng có Z2 (M ) ≤c M. Suy ra

L + Z2(M ) = Z2(M ) hay L ≤ Z2(M ).
Từ đó L ≤⊕ Z2 (M ). Vì vậy Z2 (M ) là CS.

Do Z2 (M ) là bao đóng duy nhất của Z(M ) trong M nên ta có

Z2(M ) ≤⊕ M.
Ví dụ 2.2.3. Xét vành
Z/4Z 2Z/4Z
0
Z/4Z
là s-CS phải ở Ví dụ 2.1.5. Ta có:
2Z/4Z 2Z/4Z
Z(RR ) =
0
2Z/4Z
suy ra R/Z(R) là suy biến. Vì vậy:

R=

≤e R

Z2(R)/Z(R) = R/Z(R) hay Z2(R) = R ≤⊕ R.


20

Các tác giả Dinh Van Huynh, S. K. Jain và S. R. López-Permouth đã
chứng minh rằng nếu vành R đơn sao cho mọi R-môđun phải cyclic suy
biến là CS thì R là Nơte phải. Vậy nếu R đơn sao cho mọi R-môđun phải
cyclic là s-CS thì R có Nơte phải hay không? Ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.2.4. Nếu R đơn sao cho mọi R-môđun phải cyclic là

s-CS thì R là Nơte phải.

Bổ đề sau là mở rộng tính chất ở Mệnh đề 1.6.4 cho môđun s-CS.
Bổ đề 2.2.5. Cho M1 , M2 là các R-môđun phải, M = M1 ⊕ M2 .
Khi đó, M1 là s-M2 -nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con suy biến

N của M mà N ∩ M1 = 0, tồn tại môđun con M của M sao cho
M = M1 ⊕ M , N ⊆ M và M ∼
= M2.
Ví dụ 2.2.6. Dưới đây là một ví dụ cho thấy tổng trực tiếp của hai
môđun s-CS không là s-CS.
Ta có Z2 , Z8 là các Z-môđun s-CS nhưng Z2 ⊕ Z8 không là môđun
s-CS. Đặt:

N = Z2 ⊕ Z8, S = Z2 ⊕ 0, K = Z(1 + 2Z, 2 + 8Z).
Xét đồng cấu:

f : Z2 ⊕ Z8
(a, b)

→S⊕K
→ (a, 0) + b(1, 2)

Ta có Kerf = 0, Iimf = S ⊕K suy ra f đẳng cấu suy ra S ⊕K ≤⊕ N.

K chỉ chứa trong 2 hạng tử trực tiếp của N là N và S ⊕ K.
Ta có K là môđun con suy biến của N vì K.4Z = 0 và 4Z ≤e Z.
Vì K ∩ S = 0 nên K không cốt yếu trong K ⊕ S. Mặt khác ta cũng
có K không cốt yếu trong N do 0 = K = Z(0 + 2Z, 4 + 8Z) ≤ N và

K ∩ K = 0. Vì vậy Z2 ⊕ Z8 không là môđun s-CS.

21

Bổ đề 2.2.7. Cho M1 , M2 là các R-môđun phải, M = M1 ⊕ M2
với M1 , M2 là các s-CS môđun và M1 là s-M2 -nội xạ. Khi đó, M là
s-CS.
Bổ đề 2.2.8. Cho M là U C -môđun. Nếu M là s-CS thì mọi hạng
tử trực tiếp của M cũng là s-CS.
Bổ đề 2.2.9. Cho M = M1 ⊕M2 là UC-môđun sao cho Z(M1 )≤e M1
và Z(M2 ) = 0. Khi đó, Hom(K, Mi ) = 0 với K ≤ Mj , i = j(i, j =

1, 2).
Từ các Bổ đề 2.2.7, 2.2.8 và 2.2.9 ta có kết quả sau:
Hệ quả 2.2.10. Cho M = M1 ⊕ M2 là UC-môđun, Z(M1 )≤e M1 ,

Z(M2) = 0. Khi đó, M là s-CS khi và chỉ khi M1 là CS.
Từ định nghĩa môđun CS và s-CS ta thấy mọi môđun CS là s-CS, vậy
một môđun s-CS là CS khi nào? Ta có Bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.11. Cho M là một môđun sao cho M/Z(M ) đơn. Khi
đó, M là s-CS khi và chỉ khi M là CS.
Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện (P ) nếu với mọi môđun con

N của M, tồn tại hạng tử trực tiếp K của M sao cho Z(K) ≤ N ≤ K.
Môđun M có chiều đều n (n là số nguyên không âm) nếu và chỉ nếu M
chứa tổng trực tiếp của n môđun con khác không nhưng không chứa tổng
trực tiếp của n + 1 môđun con khác không.
Bổ đề 2.2.12. Cho M là môđun không CS có chiều đều bằng 2
sao cho 0 = Z(M )≤⊕ M. Khi đó, M không thỏa mãn điều kiện (P ).
Mệnh đề 2.2.13. Cho M là UC-môđun, M thỏa mãn điều kiện
(P ) khi và chỉ khi M là s-CS môđun.

Mệnh đề 2.2.14. Cho M là môđun s-CS. Nếu M/soc(M ) có
chiều hữu hạn thì M = K ⊕ S ⊕ T với K có chiều hữu hạn, S nửa


22

đơn và Z(T ) = 0.
Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện C2 nếu K và L là các
môđun con của M, K ∼
= L, và K ≤⊕ M thì L ≤⊕ M. Ta cũng có
môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện C3 nếu K và L là các môđun
con của M, K ∩ L = 0, K ≤⊕ M và L ≤⊕ M thì K ⊕ L ≤⊕ M. Ta có

M thỏa mãn điều kiện C2 thì kéo theo M thỏa mãn điều kiện C3.
Mệnh đề 2.2.15. Giả sử MR là s-M -nội xạ. Khi đó:
(1) Nếu K, L là các môđun con suy biến của M , K ∼
= L, K≤⊕M
thì L≤⊕ M (Tức là M thỏa mãn điều kiện s-C2).
(2) Nếu K, L là các môđun con suy biến của M , K ∩ L = 0,

K≤⊕M, L≤⊕M thì K ⊕ L≤⊕M (Tức là M thỏa mãn điều kiện sC3).
Mệnh đề 2.2.16. Nếu môđun M thỏa mãn điều kiện s-C2 thì M
thỏa mãn điều kiện s-C3.
Một môđun được gọi là s-liên tục nếu thỏa mãn điều kiện s-C1 và
s-C2, tựa s-liên tục nếu thỏa mãn điều kiện s-C1 và s-C3. Vành R được
gọi là s-liên tục phải (tương ứng, tựa s-liên tục phải) nếu RR là s-liên
tục (tương ứng, tựa s-liên tục).
Cho R-môđun phải M, khi đó Ω(M ) là tập đại diện các lớp tương
đương của các môđun thương đơn của M và C(M ) là tập đại diện các lớp
tương đương của các môđun con đơn của M. Ta có bổ đề sau:

Bổ đề 2.2.17. Cho vành R và môđun PR là CS, hữu hạn sinh tựa
xạ ảnh sao cho |Ω(P )| ≤ |C(P )|. Khi đó |Ω(P )| = |C(P )| và PR có
đế cốt yếu hữu hạn sinh.
Mệnh đề 2.2.18. Nếu mọi R-môđun phải đơn suy biến nhúng


23

được trong M và M là s-CS thì Z2 (M ) hữu hạn đối sinh.
2.3. Các tính chất liên quan đến vành s-CS và các vành liên
quan
Vành R được gọi là vành P F phải nếu RR là nội xạ và là vật đối sinh
trong phạm trù các R-môđun phải.
Mệnh đề 2.3.1. Cho vành R. R là vành PF phải khi và chỉ khi

RR là vật đối sinh và (Zr2)R là CS.
Hệ quả 2.3.2. Vành R là PF phải khi và chỉ khi RR là vật đối
sinh và s-CS phải.
Bổ đề 2.3.3. Cho mR là một R-môđun phải đơn không suy biến.
Khi đó mR nhúng được trong R.
Bổ đề 2.3.4. Vành R là nửa hoàn chỉnh nếu và chỉ nếu mọi Rmôđun phải suy biến đơn có phủ xạ ảnh.
Mệnh đề 2.3.5. Nếu vành R là s-CS sao cho mọi R-môđun phải
đơn suy biến nhúng được trong (Z2r )R thì R là vành nửa hoàn chỉnh.
Định lý 2.3.6. Cho R là vành s-CS phải và CF phải. Khi đó, R
là vành Artin phải.
Các tác giả Gómez Pardo và Guil Asensio đã chứng minh được rằng
mọi vành CS phải và FGF phải là vành QF phải, sử dụng định lý trên chúng
ta có thể mở rộng kết quả này cho trường hợp vành s-CS.
Hệ quả 2.3.7. Cho R là vành s-CS phải, F GF phải. Khi đó vành

R là QF.