BẤT ĐẲNG THỨC TRONG SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYẾN THỊ NGỌC MỸ

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG SỐ
PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Chuyên ngành:

PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.0113

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

ĐÀ NẴNG - NĂM 2014


LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu,
kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bất kỳ công trình nào khác.
Đà Nẵng, tháng 4 năm 2014
Học viên
Nguyễn Thị Ngọc Mỹ

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1

1. Tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài . . . . . . . . . . . . . .

1

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . .

1

4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

5. Bố cục đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . .

1

CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

4

SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1 Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2 Dạng đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3 Dạng lượng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2

CÁC PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC SƠ CẤP . . . . . . 16
1.2.1 Định nghĩa phép biến hình bảo giác . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Phép biến hình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3 Phép nghịch đảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.4 Phép biến hình phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . 19
1.3

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỐ ĐIỂN LIÊN QUAN . . . . . 21
1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Bất đẳng thức dạng nội suy . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3 Bất đẳng thức Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . . 23


1.3.4 Bất đẳng thức K.Fan and J.Todd . . . . . . . . . . . 24
1.3.5 Tích trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4

BIỂU DIỄN DẠNG PHỨC CỦA MỘT SỐ YẾU TỐ
HÌNH HỌC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1 Tích vô hướng, tích lệch, tỉ số đơn, tỉ số kép

. . . . . 26

1.4.2 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5

MODUN, ARGUMENT VÀ CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN 32
1.5.1 Modun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.2 Argument của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG SỐ PHỨC
VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC
2.1

37

MỞ RỘNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TỪ DẠNG
THỰC SANG DẠNG PHỨC

. . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.1 Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . 37
2.1.2 Mở rộng khác(dạng phức) của bất đẳng thức Cauchy . 39
2.2

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC SỐ PHỨC
VÀO CHỨNG MINH HÌNH HỌC . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG
SỐ PHỨC VÀO CỰC TRỊ HÌNH HỌC

. . . . . . . . . . 46

KẾT LUẬN

56

TÀI LIỆU THAM KHẢO
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)

57


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngay từ thời cổ đại, người nguyên thủy đã sử dụng phép đếm khởi đầu
cho sự ra đời của hệ thống số-tập các số tự nhiên. Tiếp theo đó,để đáp
ứng yêu cầu ngày càng cao của con người thì hệ thống số ngày càng được
mở rộng, từ tập hợp các số tự nhiên mở rộng lên tập các số nguyên rồi
đến tập các số hữu tỉ rồi sau đó đến tập hợp các số thực. Đến thế kỉ XIX
do nhu cầu phát triển của toán học về giải những phương trình đại số, số
phức đã ra đời nhằm hoàn thiện thêm hệ thống số. Số phức đã thúc đẩy
nền toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết những vấn đề của khoa học
và kĩ thuật đặt ra.
Đối với học sinh bậc THPT thì số phức là một nội dung còn mới mẻ,
học sinh được tiếp cận với số phức trong chương trình giải tích 12 với thời
lượng không nhiều nên chỉ mới biết được những kiến thức cơ bản của số
phức. Đặc biệt, về bất đẳng thức số phức thì SGK 12 chưa đề cập tới.
Thưc chất nó là phần quan trọng trong toán học và những kiến thức đó
cũng làm phong phú thêm phạm vi ứng dụng của toán học.
Nhằm giúp các em hoc sinh hiểu thêm về bất đẳng thức số phức, nâng
cao năng lực ứng dụng bất đẳng thức số phức trong hình học và giúp các
em có thêm phương tiện để chứng minh, tính toán, tìm cực trị của các bài
toán hình học nên nên tôi chọn đề tài “Bất đẳng thức trong số phức và
một số ứng dụng trong hình học” làm luận văn .

2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài “Bất đẳng thức trong số phức và một số ứng dụng trong hình
học” được nghiên cứu với mục đích trình bày đầy đủ các kiến thức tổng
quan , các kĩ thuật cơ bản về phương pháp sử dụng số phức để tiếp cận
các bài toán giải các bài toán về bất đẳng thức và các dạng toán trong
hình học.

2

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
− Đối tượng nghiên cứu: các tài liệu về số phức, về bất đẳng thức, một
số ứng dụng trong hình học.
− Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu từ các tài liệu của giáo viên hướng
dẫn, các bạn học viên trong lớp, và các tài liệu sưu tầm được, đồng thời
sử dụng các trang wed như: diendantoanhoc.net, math.vn,. . .

4. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp các tài liệu liên quan, nắm cốt lõi nội dung kiến thức từ đó
sắp xếp trình bày một cách có hệ thống và khai thác các ứng dụng theo
đề tài đã chọn.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về bất đẳng thức trong
số phức và ứng dụng của nó trong hình học.
Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh
giỏi ở trường thpt.

6. Cấu trúc luận văn
Mở đầu
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị.
1.1. Số phức.
1.2. Các phép biến hình bảo giác sơ cấp.
1.3. Các bất đẳng thức cổ điển liên quan.
1.4. Biểu diễn dạng phức của một số yếu tố hình học.
1.5. Modun, argument và các hệ thức liên quan.

Chương 2. Một số dạng bất đẳng thức trong số phức và ứng dụng trong
hình học.
2.1. Mở rộng một số bất đẳng thức từ dạng thực sang dạng phức.
2.2. Ứng dụng bất đẳng thức trong số phức để giải toán về chứng minh.


3

2.3. Ứng dụng bất đẳng thức trong số phức để giải toán về cực trị hình
học.
Kết luận


4

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản về số phức.
Chương này tham khảo ở các tài liệu [1] , [3] , [4]

1.1

SỐ PHỨC

1.1.1 Định nghĩa số phức.
Xét tập R2 = R.R = {(a, b)/a, b ∈ R}.
Hai phần tử (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ R2 được gọi là bằng nhau nếu và chỉ nếu

a1 = a2 và b1 = b2 .

Xây dựng các phép toán trên R2 như sau
∀z1 = (a1 , b1 ), z2 = (a2 , b2 ) ∈ R2 .
+ Phép cộng z1 + z2 = (a1 + a2 , b1 + b2 ).
+ Phép nhân z1 z2 = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ).
Định nghĩa 1.1. Tập R2 cùng với hai phép toán cộng và nhân được định
nghĩa như trên gọi là tập số phức C, phần tử (a, b) ∈ C là một số phức.
Định lý 1.1. (C, +, .) là một trường (nghĩa là trên C với các phép toán
đã định nghĩa có các tính chất tương tự như trên R với các phép toán cộng
nhân thông thường).
Chứng minh.
Để chứng minh (C, +, .)là một trường ta chứng minh các vấn đề sau
(i) Phép cộng có tính giao hoán

∀z1 = (a1 , b1 ) ; z2 = (a2 , b2 ) ∈ C
Ta có

z1 + z2 = (a1 + a2 , b1 + b2 ) = (a2 + a1 , b2 + b1 ) = z2 + z1 .
(ii) Phép cộng có tính kết hợp

∀z1 = (a1 , b1 ) ; z2 = (a2 , b2 ) ; z3 = (a3 , b3 ) ∈ C.


5

Ta có

(z1 + z2 ) + z3 = (a1 + a2 , b1 + b2 ) + (a3 , b3 )
= (a1 + a2 + a3 , b1 + b2 + b3 )
= (a1 , b1 ) + (a2 + a3 , b2 + b3 )
= z1 + (z2 + z3 ) .

(iii) Tồn tại phần tử 0

∀z = (a, b) ∈ C.
Xét

0 = (0, 0) ∈ C.
Ta có

z + 0 = (a + 0, b + 0) = (a, b) = z.
(iv) Tồn tại phần tử đối

∀z = (a, b) ∈ C, ∃ − z = (−a, −b) ,
là phần tử đối.
Thật vậy
z + (−z) = (a, b) + (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (0, 0).
(v) Phép nhân có tính giao hoán

∀z1 = (a1 , b1 ) ; z2 = (a2 , b2 ) ∈ C.

Ta có

z1 z2 = (a1 , b1 )(a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 )
= (a2 a1 − b2 b1 , a2 b1 + a1 b2 ).

(vi) Phép nhân có tính chất kết hợp

∀z1 = (a1 , b1 ) ; z2 = (a2 , b2 ) ; z3 = (a3 , b3 ) ∈ C


6

(z1 z2 )z3 = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 − a2 b1 )(a3 , b3 )
= ((a1 a2 − b1 b2 )a3 − (a1 b2 − a2 b1 )b3 , (a1 a2 − b1 b2 )b3 − (a1 b2 − a2 b1 )a3
= (a1 a2 a3 − b1 b2 a3 − a1 b2 b3 − a2 b1 b3 , a1 a2 b3 − b1 b2 b3 + a1 b2 a3 + a2 b1 a3 )
z1 (z2 z3 ) = (a1 , b1 )(a2 a3 − b2 b3 , a2 b3 − a3 b2 )
= (a1 (a2 a3 − b2 b3 ) − b1 (a2 b3 + a3 b2 ), a1 (a2 b3 + a3 b2 ) + (a2 a3 − b2 b3 )b1
= (a1 a2 a3 − a1 b2 b3 − a2 b1 b3 − b1 b2 a3 , a1 a2 b3 + a1 b2 a3 + a2 b1 a3 − b1 b2 b3 )
Điều này chứng tỏ
(z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ).
(vii) Phép nhân có phần tử đơn vị
Tồn tại phần tử đơn vị

1 = (1, 0) ∈ C, z = 0.
Thật vậy

∀z1 = (a, b) ∈ C;
1.z = (1, 0)(a, b) = (1a − 0b, 1b + 0a) = (a, b) = (a, b)(1, 0) = z.1 = z
(viii) Tồn tại phần tử nghịch đảo

∃z1 = (a, b) ∈ C, z = 0.
phần tử nghịch đảo của z là

z −1 =

b
a
,
−
a2 + b 2 a2 + b 2

.

Thật vậy

z.z −1 = (a, b)(
=

a
b
a
(−b)
(−b)
a
,
−
)
=
a
−
b
,
a
+
b
a2 + b2 a2 + b2
a2 + b2
a2 + b2 a2 + b2
a2 + b 2

a2 + b2 −ab + ba

,
a2 + b2 a2 + b2

= (1, 0)


7

(ix) Phép nhân phân phối với phép cộng

∀z1 = (a1 , b1 ) ; z2 = (a2 , b2 ) ; z3 = (a3 , b3 ) ∈ C
Ta có:

z1 (z2 + z3 ) = (a1 , b1 ) (a2 + a3 , b2 + b3 )
= (a1 (a2 + a3 ) − b1 (b2 + b3 ), a1 (b2 + b3 ) + b1 (a2 + a3 ))
= (a1 a2 + a1 a3 − b1 b2 − b1 b3 , a1 b2 + a1 b3 + b1 a2 + b1 a3 )
= (a1 a2 − b1 b2 + a1 a3 − b1 b3 , a1 b2 + b1 a2 + a1 b3 + b1 a3 )
= (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 ) + (a1 a3 − b1 b3 , a1 b3 + b1 a3 )
= z1 z2 + z1 z3 .
Vậy ta đã chứng minh được (C, +, .) . Thỏa mãn các tiên đề của trường.
Do đó (C, +, .) là một trường số.
1.1.2 Dạng đại số của số phức
Quan hệ giữa R và C
Xét ánh xạ

f :R→C
a → f (a) = (a, 0)
Dễ dàng chứng minh được f là một đơn ánh và bảo toàn các phép toán

f (a + b) = f (a) + f (b)

f (a.b) = f (a).f (b)
Suy ra f đơn cấu cho phép ta có thể đồng nhất mỗi số phức (a, 0) với số
thực a.
(a, 0) ≡ a và R trở thành một bộ phận của C.


8

Đơn vị ảo
Đặt i = (0, 1) Ta có

i2 = (0, 1)(0, 1) = (0.0 − 1.1, 0.1 + 1.0) = (−1, 0)
Theo trên ta đã đồng nhất số phức (−1, 0) với số thực −1. Vậy i2 = −1.
Hay số phức i là nghiệm của pt x2 + 1 = 0. Ta gọi i là đơn vị ảo.
Mệnh đề 1.1. Mỗi số phức tùy ý ∀z = (a, b) có thể biểu diễn duy nhất
dưới dạng z = a + ib . Với a, b là những số thực tùy ý và trong đó i2 = −1.
Biểu thức a + ib là dạng đại số của số phức ∀z = (a, b) . Do đó
C = a + ib/a, b ∈ R, i2 = −1 .
Các khái niệm liên quan
a = Rez được gọi là phần thực của số phức z .
b = Imz được gọi là phần ảo của số phức z .
i được gọi là đơn vị ảo.
Nếu số phức z có phần thực a = 0 gọi là thuần ảo.
Số phức có phần ảo b = 0 gọi là số thực.
Hai số phức z1 và z2 gọi là bằng nhau nếu

Re(z1 ) = Re(z2 )
Im(z1 ) = Im(z2 )
Số phức z ∈ R ⇔ Im(z) = 0.
Số phức z ∈ C\R nếu Im(z) = 0.

Các phép toán trên dạng đại số
Tương tự ta cũng có định nghĩa phép toán cộng và nhân như sau
C = a + ib/a, b ∈ R, i2 = −1 .
(i) Phép cộng: Tổng của hai số phức z1 = a1 + ib1 ; z2 = a2 + ib2 là một số
phức z được xác định

z = a1 + a2 + i(b1 + b2 )
Kí hiệu

z = z1 + z2 .


9

(ii) Phép nhân: Tích của hai số z1 = a1 + ib1 ; z2 = a2 + ib2 là một số phức
z được xác định bởi

z = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + b1 a2 )
Kí hiệu

z = z1 z2 .
Định nghĩa này trùng với định nghĩa các phép toán trên C ở phần trước.
Số phức liên hợp
Định nghĩa 1.2. Cho số phức z = a + ib, số phức có dạng a − ib được
gọi là số phức liên hợp của số phức z , kí hiệu là z¯, nghĩa là z = a + ib và
z¯ = a + ib = a − ib.
Mệnh đề 1.2. Ta có
1. z = z¯ ⇔ z ∈ R
2. z = ¯z
3. z.¯

z là số thực không âm.
4. z1 + z2 = z1 + z2 .
5. z1 .z2 = z1 .z2
6. z −1 = (z)−1 , z ∈ C∗
z1
z1
7.
= , z2 ∈ C∗
z2
z2
Chứng minh.
1. Ta có
z = z ⇔ a + ib = a − ib ⇒ 2ib = 0 ⇒ b = 0 ⇒ z = a ∈ R.
2. Ta có
z = a − ib ⇒ ¯z = a + ib = z.
3. Ta có
z.¯
z∈R
2
2
z.¯
z = (a + ib)(a − ib) = a + b ≥ 0 ⇒
z.¯
z≥0
4. Ta có
z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i = (a1 + a2 ) − (b1 + b2 )i = (a1 − ib1 ) +
(a2 − ib2 ) = z1 + z2 .
5. Ta có

10

z1 z2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + a2 b1 )
= (a1 a2 − b1 b2 ) − i(a1 b2 + a2 b1 )
= (a1 − ib1 )(a2 − ib2 ) = z1 z2
6. Ta có
1
1
1
z. = 1 ⇒ (z. ) = 1 ⇒ z. = 1 ⇒ z −1 = z −1
z
z
z
7. Ta có
1
1
z¯1
z1
= (z1 . ) = z1 . = .
z2
z2
z¯2
z¯2
1.1.3 Dạng lượng giác của số phức.
Tọa độ cực của số phức
√
Trong mặt phẳng Oxy cho (a, b) khác gốc tọa độ. Số thực r = a2 + b2
gọi là bán kính cực của điểm M , số đo α ∈ [0, 2π] của góc lượng giác
−−→
(O˜

x, OM )
gọi là argument của M , cặp có thứ tự (r, α) gọi là tọa độ cực của điểm
M , viết M (r, α).
Trong đó: r được gọi là bán kính cực , α được gọi là góc cực của số phức
z.
Điểm gốc O là điểm duy nhất có r = 0 và α không xác định.
Mỗi điểm M trong mặt phẳng có duy nhất điểm (1, α) là giao điểm của
tia OM với đường tròn đơn vị tâm O.
Theo định nghĩa sin và cosin

a = r cos α; b = r sin α
−−→
Độ dài r của OM được gọi là modun của z , kí hiệu là: r = |z| =
√
a2 + b2 ≥ 0.
Do đó argument của số phức z được xác định với sai khác một bội của 2π .
∀z = 0, cos α =

Re(z)
Im(z)
, sin α =
.
|z|
|z|

Xét argument cực của M với các trường hợp sau
b
b
b
a. Nếu a = 0, từ tan α = ⇒ α = arctan +kπ , được α = arc tan +kπ ,

a
a
a


11

ở đây


a>0∩b>0
0






k = 1 khi a < 0, b ∈ R






2
a > 0, b < 0
b. Nếu a = 0 và b = 0 ta có

α=

 π


 2


 3π
2

b>0
khi
b<0

Biểu diễn lượng giác của số phức
Cho số phức z = a + ib. Ta có thể viết z dưới dạng cực

z = r(cosα + i sin α).
Trong đó

r=

√

a2 + b2 , a = r cos α, b = r sin α

Đặt θ = α + k2π, k ∈ Z . Khi đó

z = r [cos (θ − 2kπ) + i sin (θ − 2kπ)] = r(cosθ + i sin θ)
Tức là số phức z bất kì có thể viết z = r(cosϕ + i sin ϕ), r ≥ 0, ϕ ∈ R.

Khi đó, ta nói z được biểu diễn dạng lượng giác.
Tập arg z = {ϕ,ϕ+2kπ, k ∈ Z} gọi là argument mở rộng của z .
Do đó hai số phức z1 , z2 = 0 biểu diễn dạng lượng giác

z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )
z2 = r2 (cosϕ2 + i sin ϕ2 )
bằng nhau

⇔

r1 = r2
ϕ1 = ϕ2 = 2kπ; k ∈ R

Phép toán trong dạng lượng giác của số phức

• Phép nhân hai số phức


12

Cho hai số phức

z1 = r1 (cosα1 + i sin α1 )
.
z2 = r2 (cosα2 + i sin α2 )
Khi đó

z1 z2 = r1 r2 [cos (α1 + α2 ) + i sin (α1 + α2 )] .
Chứng minh.
Ta có

z1 z2 = r1 r2 (cos α1 + i sin α1 ) (cos α2 + i sin α2 )
= r1 r2 [(cos α1 cos α2 − sin α1 sin α2 ) + i (cos α1 sin α2 + cos α2 sin α1 )]
= r1 r2 [cos (α1 + α2 ) + i sin (α1 + α2 )]
Chú ý.
a.

|z1 z2 | = |z1 | . |z2 | .
b.

arg (z1 .z2 ) = arg z1 + arg z2 − 2kπ
, trong đó

0, arg z1 + arg z2 < 2π
k=

1, argz1 + arg z2 ≥ 2π

c. Có thể viết

arg (z1 .z2 ) = {arg z1 + arg z2 + 2kππ, k ∈ Z}
d. Mở rộng với n ≥ 2 số phức.
Nếu

zk = rk (cos αk + i sin αk ) , k = 1, 2, ..., n
z1 z2 ....zn = r1 r2 ...rn [cos (α1 + α2 + ... + αn ) + i sin (α1 + α2 + ... + αn )]
Công thức trên có thể viết là
n

n

zk =
k=1

n

rk (cos
k=1

n

αk +i sin
k=1

αk )
k=1


13

• Công thức de Moivre
Cho z = r(cosα + i sin α) và n ∈ R
Ta có z n = rn (cosnα + i sin nα)
Chứng minh.
Dùng công thức nhân với z = z1 = z2 = ... = zn .

z n = r.r...r [cos(α + α + ... + α) + i sin (α + α + ... + α)] = rn (cos nα + i sin nα)
Chú ý:
a. |z n | = |z|n .
b. Nếu r = 1, thì (cos α + i sin α)n = (cos nα + i sin nα).

c. arg z n = {n arg z + 2kπ, k ∈ Z}

• Phép chia hai số phức
Giả sử z1 = r1 (cosα1 + i sin α1 ); z2 = r2 (cosα2 + i sin α2 ), z2 = 0
Khi đó
z1
r1
= [cos (α1 − α2 ) + i sin (α1 − α2 )]
z2
r2
Chứng minh.
Ta có

z1
r1 (cosα1 + i sin α1 ) r1 (cosα1 + i sin α1 )(cosα2 − i sin α2 )
=
=
z2
r2 (cosα2 + i sin α2 )
r2 (cos2 α1 + sin2 α2 )
=

r1
[(cos α1 cos α2 + sin α1 sin α2 ) + i (cos α1 sin α2 − cos α2 sin α1 )]
r2

=

r1
[cos (α1 − α2 ) + i sin (α1 − α2 )]

r2

Chú ý
z1
|z1 |
a.
=
.
z2
|z2 |
z1
b. arg
= {arg (z1 ) − arg (z2 ) + 2kπ, k ∈ Z}
z2
1 1
c. Với z1 = 1, z2 = z, = [cos (−α) + i sin (−α)]
z
r

• Công thức euler


14

eiα = cos α + i sin α; e−iα = cos α − i sin α, ∀α ∈ R.
Hệ quả 1.1.

cos α =

1 iα

e + e−iα
2

sin α =

1 iα
e − e−iα , ∀α ∈ R
2i

Mệnh đề 1.3. ∀α, α1 , α2 ∈ R ,ta có
1. eiα1 eiα2 = ei(α1 +α2 ) .
2. ei(α+2π) = eiα .
3. eiα = e−iα .
4. eiα = 1
Chứng minh.
Đối với các mệnh đề (1), (2), (4) suy trực tiếp từ định nghĩa và tính chất
của lũy thừa.
Xét (3) ta có

eiα = cosα + i sin α = cosα − i sin α = cos(−α) + i sin(−α) = e−iα
Căn bâc n của đơn vị và biểu diễn hình học của số phức
Căn bậc n của số phức
Định nghĩa 1.3. Cho số phức ω = 0 và số nguyên n ≥ 2 khi đó nghiệm
z của pt z n − ω = 0 là căn bậc n của số phức z .
Mệnh đề 1.4. Cho số phức ω = r (cosα + i sin α), với r > 0, α ∈ [0, 2π).
Khi đó căn bậc n của số phức ω gồm n số phân biệt xác định bởi pt
√
α 2kπ
α 2kπ
Zk = n r cos

+
+ i sin
+
với k = 0, 1, 2, ..., n − 1.
n
n
n
n
Chứng minh.
Xét dạng lượng giác của số phức z = p (cos ϕ + i sin ϕ)
khi đó
z n = pn (cos nϕ + i sin nϕ)
Ta có
z n = ω suy ra pn (cos nϕ + i sin nϕ) = r (cos α + i sin α))


15
n

p =r
⇒

⇒


√
p= nr

 ϕ = α+k2π
n

n
vậy nghiệm của pt z − ω = 0 có dạng
√
zk = n r (cos ϕk + i sin ϕk ) ; k ∈ Z

ϕ = α + 2kπ

Do cos và sin là hai hàm tuần hoàn với chu kì 2π nên tập hợp trên chỉ có
n giá trị.
Chẳng hạn cho k lần lượt nhận các giá trị k = 0, 1, 2, ..., n − 1 ta sẽ được
n giá trị căn bậc n của Z .
Ta viết
√
√
2kπ
2kπ
n
+ i sin ϕ +
Z = n r cos ϕ +
n
n
Mệnh đề 1.5. Biểu diễn hình học của các căn bậc n của ω = 0, (n ≥ 3) là
√
đỉnh của một n giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính n r, r = |ω| .
Chứng minh.
Gọi Mo (zo ), M1 (z1 ), ..., Mn−1 (zn−1 ) là các điểm biểu diễn của các số phức
z1 , z2 , ..., zn−1 trên mặt phẳng phức.
Ta có
√
√

OMk = |zk | = n r, k ∈ {0, 1, ..., n − 1} ⇒ Mk ∈ C 0, n r
Mặt khác, số đo cung Mk Mk+1 bằng

arg zk+1 − arg zk =

α + 2 (k + 1) π − (α + 2kπ)
=
n

⇒ Mn−1 Mo = 2π − (n − 1)

2π
n ,k

∈ {0, 1, ..., n − 2}

2π
2π
=
n
n

Bởi vì các cung Mo M1 , M1 M2 , ..., Mn−1 Mo có số đo bằng nhau nên đa giác
M0 M1 ...Mn−1 đều.
Căn bậc n của đơn vị
Một nghiệm pt z n − 1 = 0 gọi là một căn bậc n của đơn vị.
Biểu diễn 1 dưới dạng lượng giác, 1 = cos 0 + i sin 0, từ công thức tìm căn
bậc n của số phức, ta có căn bậc n của đơn vị là:

16

zk = cos

2kπ
2kπ
+ i sin
, k ∈ {0, 1, 2, ..., n − 1}
n
n

⇒ z0 = (cos 0 + i sin 0) = 1
z1 = (cos 2π
n + i sin

2π
)
n

2π
z = cos 2π
n + i sin n
4π
4π
z2 = cos
+ i sin
= z2
n
n
Đặt: ...

.
2 (n − 1) π
2 (n − 1) π
zn−1 = cos
+ i sin
= z n−1
n
n
Vậy các căn bậc n của đơn vị là

1, z, z 2 , ..., z n−1
Kí hiệu Un = 1, z, z 2 , ..., z n−1 , trong đó

2π
2π
+ i sin
n
n
Số zk ∈ Un gọi là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị, nếu mọi số nguyên
dương m < n ta có: z m k = 1
Biểu diễn hình học các căn bậc n của đơn vị (n ≥ 3) là các điểm tạo thành
một n giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính 1
z = cos

1.2

CÁC PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC SƠ CẤP
1.2.1 Định nghĩa phép biến hình bảo giác

Định nghĩa 1.4. Phép biến hình ω = f (z) được gọi là bảo giác tại z nếu

thỏa mãn hai điều kiện sau:
i. Bảo toàn góc giữa hai đường cong bất kì qua điểm z (kể cả độ lớn và
hướng)
ii. Có hệ số co dãn không đổi tại z , nghĩa là mọi đường cong đi qua điểm
này đều có hệ số co dãn như nhau qua phép biến hình
Phép biến hình ω = f (z) được gọi là bảo giác trong miền D nếu nó bảo
giác tại mọi điểm của miền này.
Định lý sau đây cho điều kiện đủ của phép biến hình bảo giác


17

Định lý 1.2. Nếu hàm ω = f (z) khả vi tại z và f (z) = 0 thì phép biến
hình thực hiện bởi hàm ω = f (z) bảo giác tại điểm z , đồng thời arg f (z)
là góc quay và |f (z)| là hệ số co dãn tại điểm z của phép biến hình đó.
Từ định lý này suy ra rằng phép biến hình ω = f (z) giải tích trong miền
D và f (z) = 0, ∀z ∈ D thì nó là một phép biến hình bảo giác trong D
1.2.2 Phép biến hình tuyến tính ω = az + b
Phép biến hình này bảo giác trong toàn miền C vì

ω (z) = a = 0, ∀z.
Nếu a = |a| eiϕ thì ω = |a| eiϕ z + b.Điều này chứng tỏ phép biến hình tuyến
tính là hợp của ba phép biến hình sau
. Phép vị tự tâm O tỉ số k = |a|
. Phép quay tâm O, góc quay ϕ
. Phép tịnh tiến theo vecto b
Vậy phép biến hình tuyến tính là một phép biến hình đồng dạng (hợp của
phép vị tự, phép quay, phép tịnh tiến). Nó biến một hình bất kì thành một
hình đồng dạng với nó. Đặc biệt, biến một đường tròn thành một đường
tròn, biến một đường thẳng thành một đường thẳng, một đa giác thành

một đa giác đồng dạng.
Ví dụ 1.1. Tìm hàm ω = f (z) biến hình tam giác vuông cân A(3 +
2j), B(7+2j), C(5+4j) thành tam giác vuông cân tại O1 , B1 (−2j), C1 (1−
j)
Giải.
Vì các tam giác ABC và OB1 C1 đồng dạng nên phép biến hình được thực
hiên bằng một hàm bậc nhất ω = az + b . Phép biến hình này có thể phân
tích thành các phép biến hình liên tiếp sau đây
. Phép tịnh tiến từ A về gốc , xác định bằng vecto (−3 − 2j) . Phép tịnh
tiến này được xác định bởi hàm ξ = z − (3 + 2j)
π
−j
π
. Phép quay quanh một góc − , ứng với hàm ω = ξe 2
2
O1 B1
2
1
. Phép co dãn tâm O , hệ số k =
= = , được thực hiện bằng
AB
4
2
1
hàm w = ω
2


18

Vậy

1 π
3
j
w = e−j 2 (z − 3 − 2j) = − (z − 3 − 2j) = −jz + j − 1
2
2
2
1.2.3 Phép nghịch đảo
1
Phép biến hình ω = có thể mở rộng lên mặt phẳng phức mở rộng C
z
bằng cách cho ảnh của z = 0 là ∞ và ảnh của z = ∞ là ω = 0
−1
Đạo hàm ω = 2 , ∀z = 0, ∞ nên phép biến hình bảo giác tại mọi điểm
z
z = 0, ∞
Hai điểm A, B nằm trên một tia xuất phát từ tâm I của đường tròn(C)
bán kính R được gọi là liên hợp hay đối xứng qua (C) nếu

IA.IB = R2
1
1
Vì arg = − arg(¯
z ) nên z và ω
¯ = cùng nằm trên một tia xuất phát từ
z
z¯
O. Ngoài ra

1
|z| .
= 1,
z¯
do đó
1
z và ω
¯ = đối xứng nhau qua đường tròn đơn vị.
z¯
1
Vậy phép biến hình nghịch đảo ω = là hợp của phép đối xứng qua đường
z
tròn đơn vị và phép đối xứng qua trục thực. Phép biến hình này biến:
. Một đường tròn đi qua O thành một đường thẳng
. Một đường tròn không đi qua O thành một đường tròn
. Một đường thẳng đi qua O thành một đường thẳng qua Oxy
. Một đường thẳng không đi qua O thành một đường tròn đi qua O
Nếu ta xem một đường thẳng là một đường tròn (có bán kính vô hạn) thì
1
phép biến hình ω = biến một đường tròn thành một đường tròn .
z
Ảnh của đường tròn |z| = R là đường tròn |ω| = R1 , ảnh của đường tròn
1
|z| < R là phần ngoài hình tròn |ω| > . Ảnh của điểm M trên tia OB
R
là N trên tia OB , B đối xứng với B qua trục thực và ON.OM = 1.
1
Ví dụ 1.2. Tìm ảnh của hình tròn |z| < 1 qua phép biến hình ω =
z
Giải.

19

Dễ dàng thấy rằng ảnh của đường tròn |z| = a, (0 < a < 1) là đường tròn
1
|w| = .
a
1
Khi a biến thiên từ 0 đến 1 , thì giảm từ +∞ → 1 . Trong khi đường
a
tròn |z| = a quét nên hình tròn |z| < 1 thì ảnh của nó quét trên miền
|w| > 1 .
Tóm lại ảnh của miền |z| < 1 là miền |w| > 1.
1.2.4 Phép biến hình phân tuyến tính
az + b
Ta có thể mở rộng hàm phân tuyến tính ω =
lên mặt phẳng phức
cz + d
−c
mở rộng C¯ bằng cách cho ảnh của z =
là ∞ và ảnh của z = ∞ là
d
a
ω= .
c
ad − bc
−d
Đạo hàm ω (z) =
; ∞ nên phép biến hình bảo

2 = 0; ∀z =
c
(cz + d)
−d
giác tại mọi điểm z =
; ∞.
c
acz + bc
a(cz + d) + bc − ad a bc − ad
1
az + b
=
=
= +
.
.
ω=
cz + d c(cz + d)
c(cz + d)
c
c
cz + d
Do đó phép biến hình phân tuyến tính là hợp của ba phép biến hình
. Phép biến hình tuyến tính z → cz + d
1
. Phép nghịch đảo cz + d →
cz + d
1
bc − ad
1

a
. Phép biến hình tuyến tính
→
.
+
cz + d
c
cz + d c
Vì các phép biến hình tuyến tính và nghịch đảo biến một đường tròn thành
một đường tròn và bảo toàn tính đối xứng của 2 điểm đối xứng qua đường
tròn , nên phép biến hình phân tuyến tính cũng có tính chất đó.
az + b
Phép biến hình phân tuyến tính ω =
; c = 0 có thể viết lại
cz + d

a
b
z+
c = a1 z + b 1
ω= c
c
z + d1
z+
d
hoặc

ω=k

a2 z + b2

.
z + d2

(1.1)


20

Vì vậy chỉ phụ thuộc 3 tham số. Do đó một hàm phân tuyến tính được hoàn
toàn xác định khi biết ω1 , ω2 , ω3 của 3 điểm khác nhau bất kì z1 , z2 , z3 . Để
xác định 3 tham số a1 , b1 , d1 ta giải hệ phương trình sau đây:
a1 + b 1
a2 + b2
a3 + b3
ω1 =
; ω2 =
; ω3 =
z1 + d1
z2 + d2
z3 + d3
Hoặc hàm phải tìm có thể xác định bởi 3 pt:
ω − ω1 ω2 − ω1
z − z1 z2 − z1
.
=
.
.
ω − ω3 ω2 − ω3
z − z3 z2 − z3
Đặc biệt nếu ω(z0 ) = 0 và ω(z1 ) = ∞, theo (1.1)ta có:

z − z0
.
ω=k
z − z1
Ví dụ 1.3. Tìm phép biến hình bảo giác biến nửa mặt phẳng lên trên
hình tròn đơn vị sao cho z = a với Im a > 0 thành w = 0
Giải.
tính bảo toàn vị trí điểm đối xứng thì điểm z = a phải chuyển thành điểm
w = ∞ . Vậy phép biến hình phải tìm có dạng
w=k

z−a
z−a

Vì z = 0 chuyển thành một điểm nào đó trên đường tròn |w| = 1 nên suy
ra |k| = 1 hay k = ejα .
Vậy
z−a
w = ejα
z−a
.
Ví dụ 1.4. Biến hình tròn đơn vị thành chính nó sao cho z = a với |a| < 1
thành
w=0
Giải.
1
Theo tính bảo toàn vị trí đối xứng thì điểm b = nằm đối xứng với a qua
a
đường tròn |z| = 1 phải chuyển thành điểm w = ∞.Phép biến hình cần
tìm có dạng

z−a
z−a
w=k
=K
z−b
1 − az
,
trong đó k, K là các hằng số nào đó.


21

Vì z = 1 và |w| = 1 nên ta có

K

1−a
= |K| = 1
1−a

nên

K = ejα
và

z−a
1 − az
Ví dụ 1.5. Biến nửa mặt phẳng trên thành chính nó
Giải.
Phép biến hình này được thực hiện bằng hàm phân tuyến tính biến 3 điểm

z1 , z2 , z3 trên trục thực theo chiều dương của mặt phẳng z thành 3 điểm
w1 , w2 , w3 trên trục thực theo chiều dương của mặt phẳng w
w = ejα

1.3

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỐ ĐIỂN LIÊN QUAN

1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy
Với mọi bộ số (xi ) ; (yi ), ta luôn có bất đẳng thức sau
2

n

n

≤

xi yi

n

xi

2

yi 2

i=1

i=1

i=1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai bộ số (xi ); (yi ) tỷ lệ với nhau, tức
tồn tại cặp số thực α; β không đồng thời bằng 0, sao cho

αxi + βyi = 0, ∀i = 1, 2, ..., n
Chứng minh.
Ta có
n

n

(xi t − yi ) = t
i=1

2

n
2

xi − 2t
i=1

n

x i yi +
i=1

ta nhận được tam thức bậc hai dạng

f (t) = t2

n

i=1

xi 2 − 2t

n

n

i=1

2

yi ≥ 0;∀t ∈ R

x i yi +
i=1

nên

∆≤0

yi
i=1

2