KHÔNG GIAN SĐÓNG ĐẾM ĐƯỢC VÀ KHÔNG GIAN COMPẮC YẾU

Bộ GIáO DụC Và ĐàO TạO
ĐạI HọC Đà NẵNG

NGUYễN VĂN HOàNG

KHÔNG GIAN S-ĐóNG, ĐếM ĐƯợC
Và KHÔNG GIAN COMPact YếU
Chuyên nghành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60. 46. 0113

LUậN VĂN THạC Sĩ KHOA HọC

Người hướng dẫn khoa học: TS. LƯƠNG QUốC TUYểN

Nng Nm 2014


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng ai
công bố trong bất cứ công trình nào khác.
Đà Nẵng, tháng 05 năm 2014.
Tác giả luận văn

Nguyễn Văn Hoàng


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài ............................................................. 1
2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài .................................................. 1

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .............................................. 2
4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................ 2
5. Ý nghĩa và thực tiễn của đề tài ................................................... 3
6. Cấu trúc và tổng quan luận văn .................................................. 3
CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN TÔPÔ .................................................... 6
1.1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................. 6
1.2. TẬP NỬA MỞ VÀ TẬP NỬA ĐÓNG ................................. 18
1.3. TẬP MỞ CHÍNH QUY VÀ TẬP ĐÓNG CHÍNH QUY ...... 29
CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN S-ĐÓNG VÀ COMPẮC YẾU .......... 41
2.1. KHÔNG GIAN S-ĐÓNG ...................................................... 41
2.2. KHÔNG GIAN KHÔNG LIÊN THÔNG CỰC TRỊ, s-ĐÓNG,
TỰA H-ĐÓNG VÀ s-COMPẮC .................................................. 44
CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN S-ĐÓNG ĐẾM ĐƯỢC ...................... 50
3.1. CÁC TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN S-ĐÓNG ĐẾM
ĐƯỢC............................................................................................ 50
3.2. MỐI QUAN HỆ GIỮA KHÔNG GIAN S-ĐÓNG ĐẾM
ĐƯỢC VÀ KHÔNG GIAN COMPẮC YẾU ............................... 62
KẾT LUẬN ........................................................................................... 70
DANH MỤC TÀI TIỆU THAM KHẢO ............................................ 71
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao)


1

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Năm 1963, N. Levine giới thiệu khái niệm tập nửa mở, nửa đóng trong
không gian tôpô. Sau đó, năm 1976, T. Thompson giới thiệu khái niệm
không gian S -đóng (S-closed) nhằm mở rộng nhiều tính chất quan trọng
của không gian tôpô compắc. Đến năm 1984, J. R. Porter và R. G. Woods

đề xuất khái niệm không gian compắc yếu (feebly compact) đồng thời đặt
ra câu hỏi rằng có hay không một lớp không gian “nằm giữa” hai lớp không
gian S -đóng và compắc yếu.
Đến năm 1991, trong bài báo Countably S-closed spaces của K. Dlaska,
N. Ergun và M. Ganster, các tác giả đã chỉ ra rằng lớp không gian S đóng đếm được (countably S-closed) là lớp không gian nằm giữa các lớp
không gian S-đóng và compắc yếu. Trong luận văn này, chúng tôi nghiên
cứu về không gian S -đóng và S -đóng đếm được, điều kiện để không gian
tôpô trở thành S -đóng, S -đóng đếm được. Từ đó, tìm hiểu những tính
chất cơ bản của không gian S-đóng đếm được, mối quan hệ giữa không
gian S-đóng đếm được và không gian compắc yếu. Trên cở sở đó, chúng
tôi nghiên cứu các điều kiện đề hai lớp không gian S-đóng đếm được và
không gian compắc yếu trùng nhau. Ngoài ra, luận văn cũng quan tâm
đến một số không gian khác như không gian không liên thông cực trị
(extremally disconnected), không gian s-đóng (s-closed), không gian scompắc (s-compact), không gian RC -hoàn chỉnh (RC -pecfect) và không
gian km-hoàn chỉnh (km-pecfect). Bên cạnh đó, luận văn còn trình bày lớp
không gian mới là P -không gian (P -spaces) là lớp không gian nằm giữa
không gian S-đóng đếm được và không gian compắc yếu.
Bởi các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài “Không gian S-đóng
đếm được và không gian compắc yếu” làm đề tài luận văn thạc sĩ.
2. Mục đích nghiên cứu
Trong luận văn, chúng tôi nghiên cứu những vấn đề trong Tôpô đại
cương, các tập hợp suy rộng trong không gian tôpô, không gian S-đóng và


2

không gian S-đóng đếm được với các mục đích như sau.
• Tìm hiểu và chứng minh chi tiết các tính chất của các tập nửa mở,
tập nửa đóng, tập mở chính quy, tập đóng chính quy, tập trù mật địa
phương... trong không gian tôpô.

• Trình bày các vấn đề về không gian S-đóng và các khái niệm về không
gian không liên thông cực trị; không gian s-đóng và không gian s-compắc.
Chứng minh chi tiết các mệnh đề mà tài liệu đưa ra không chứng minh
hoặc chứng minh vắn tắt.
• Nghiên cứu điều kiện để không gian tôpô trở thành không gian Sđóng đếm được. Mối quan hệ giữa không gian S-đóng đếm được và không
gian compắc yếu. Điều kiện để không gian S-đóng đếm được và không gian
compắc yếu trùng nhau.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Tôpô đại cương, tập nửa mở, tập nửa đóng,
tập mở chính quy, tập đóng chính quy, tập trù mật địa phương, không gian
S-đóng, không gian không liên thông cực trị, không gian km-hoàn chỉnh,
không gian compắc yếu và không gian S-đóng đếm được.
Phạm vi nghiên cứu: Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu các tập
hợp suy rộng trong không gian tôpô. Bài toán về mối quan hệ giữa không
gian S-đóng và không gian S-đóng đếm được và bài toán về mối quan hệ
giữa không gian S-đóng đếm được và không gian compắc yếu.
4. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình
thực hiện đề tài. Bằng cách sử dụng các tính chất của các tập nửa mở, tập
nửa đóng, tập mở chính quy, tập đóng chính quy... trong không gian tôpô,
tính chất của không gian S-đóng và không gian S-đóng đếm được, chúng
tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian S-đóng và không gian S-đóng
đếm được cũng như mối quan hệ của chúng với các không gian khác như
không gian tựa H-đóng, không gian s-đóng, s-compắc, không gian không
liên thông cực trị. Nghiên cứu điều kiện để không gian S-đóng đếm được
và không gian compắc yếu trùng nhau cũng như mối quan hệ của chúng


3

với không gian không liên thông cực trị, RC-hoàn chỉnh và km-hoàn chỉnh.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
5.1 Luận văn góp phần giải quyết các bài toán sau trong không gian
tôpô.
(1) Mối quan hệ giữa không gian S-đóng và các không gian s-đóng,
không gian s-compắc, không gian tựa H-đóng và không gian không
liên thông cực trị.
(2) Mối quan hệ giữa không gian S-đóng với không gian S-đóng đếm
được, điều kiện để không gian S-đóng trở thành không gian S-đóng
đếm được.
(3) Mối quan hệ giữa không gian S-đóng đếm được và không gian compắc yếu, điều kiện để không gian S-đóng đếm được và không gian
compắc yếu trùng nhau. Trình bày về lớp không gian nằm giữa
không gian S-đóng đếm được và không gian compắc yếu.
5.2 Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên và học viên
cao học đang nghiên cứu về Tôpô đại cương.
6. Cấu trúc và tổng quan luận văn
6.1 Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn được trình bày trong 3 chương. Ngoài ra, luận
văn có Lời cam đoan, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận, Tài liệu
tham khảo.
Chương 1, trình bày về Tôpô đại cương và các tập hợp suy rộng trong
không gian tôpô, bao gồm 3 mục. Mục 1.1, trình bày về các kiến thức
chuẩn bị; Mục 1.2, trình bày về tập nửa mở, tập nửa đóng và tập nửa
chính quy; Mục 1.3, trình bày về tập mở chính quy, tập đóng chính quy,
tập trù mật địa phương.
Chương 2, trình bày về không gian S-đóng và mối quan hệ của không
gian S-đóng với các không gian khác, bao gồm 2 mục. Mục 2.1, trình bày
về không gian S-đóng; Mục 2.2, trình bày về không gian không liên thông
cực trị, không gian s-đóng, không gian s-compắc, không gian tựa H-đóng
và không gian compắc yếu.

4

Chương 3, trình bày về không gian S-đóng đếm được và mối quan hệ
giữa không gian S-đóng đếm được và không gian compắc yếu, bao gồm 2
mục. Mục 3.1, trình bày về các tính chất của không gian S-đóng đếm được;
Mục 3.2, trình bày về mối quan hệ giữa không gian S-đóng đếm được và
không gian compắc yếu.
6.2 Tổng quan luận văn
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa các tập
nửa mở, tập nửa đóng, tập nửa chính quy; mối quan hệ giữa các tập mở
chính quy, tập đóng chính quy, tập trù mật địa phương và các tính chất của
những tập hợp trên; trình bày khái niệm không gian S-đóng, điều kiện để
không gian tôpô trở thành không gian S-đóng và mối quan hệ của không
gian không gian S-đóng với các không gian khác như s-đóng, s-compắc,
không gian không liên thông cực trị, tựa H-đóng; trình bày khái niệm và
tính chất của không gian S-đóng đếm được, điều kiện để không gian tôpô
trở thành không gian S-đóng đếm được. Chúng tôi nghiên cứu mối quan
hệ giữa không gian S-đóng đếm được và không gian compắc yếu.
Trong chương thứ nhất của luận văn, chúng tôi trình bày các vấn đề về
Tôpô đại cương và các tập hợp suy rộng trong không gian tôpô. Kết quả
chính trong chương này là Mệnh đề 1.2.12, Mệnh đề 1.2.13, Mệnh đề 1.3.4,
Mệnh đề 1.3.9, Mệnh đề 1.3.10, nhờ các mệnh đề này cho chúng ta mối
quan hệ giữa tập mở chính quy, tập đóng chính quy và mối quan hệ của
chúng với tập mở, tập đóng, tập nửa mở và tập nửa đóng.
Trong chương thứ hai của luận văn, chúng tôi trình bày các vấn đề
về không gian S-đóng; các khái niệm về không gian không liên thông cực
trị, không gian s-compắc, không gian tựa H-đóng, không gian s-đóng và
mối quan hệ giữa các không gian trên với không gian S-đóng. Kết quả

chính của chương này là Mệnh đề 2.1.2, Mệnh đề 2.1.4. Mệnh đề 2.2.6,
Mệnh đề 2.2.12, Mệnh đề 1.3.10.
Trong chương thứ ba của luận văn, chúng tôi trình bày khái niệm
và các tính chất của không gian S-đóng đếm được, nghiên cứu điều kiện
để không gian tôpô trở thành không gian S-đóng đếm được. Chúng tôi,


5

nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian S-đóng đếm được và không gian
compắc yếu. Từ đó, trình bày câu trả lời khẳng định cho câu hỏi của J. R.
Porter và R. G. Woods đưa ra vào năm 1984, chứng minh các điều kiện
để hai lớp không gian không gian S-đóng đếm được và không gian compắc
yếu trùng nhau. Ngoài ra, chúng tôi còn quan tâm đến lớp không gian mới
đó là P-không gian được K. Dlaska, N. Ergun và M. Ganster đưa ra vào
năm 1991. Nó là lớp không gian “nằm giữa” không gian S-đóng đếm được
và không gian compắc yếu. Kết quả chính của chương này là Định lý 3.1.5,
Mệnh đề 3.1.7. Định lý 3.2.8, Hệ quả 3.2.9, Mệnh đề 3.2.13.
Trong luận văn, chúng tôi quy ước N = {1, 2, . . . }; ω = {0, 1, 2, . . . }.


6

CHƯƠNG 1

KHÔNG GIAN TÔPÔ
Trong chương này, chúng tôi trình bày các vấn đề về Tôpô đại cương
và các tập hợp suy rộng trong không gian tôpô. Mối quan hệ giữa các tập
nửa mở, tập nửa đóng, tập nửa chính quy; mối quan hệ giữa các tập mở
chính quy, tập đóng chính quy, tập trù mật địa phương và các tính chất

của những tập hợp trên.

1.1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.1 Định nghĩa ([3]). Giả sử X là một tập hợp và τ là họ các tập hợp
con nào đó của X. Ta nói τ là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các điều
kiện sau.
(i) ∅ ∈ τ và X ∈ τ ;
(ii) Nếu U1 ∈ τ, U2 ∈ τ , thì U1 ∩ U2 ∈ τ ;
(iii) Nếu {Ui : i ∈ I} ⊂ τ , thì

∪

Ui ∈ τ .

i∈I

Khi đó, cặp (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô. Các phần tử của X
được gọi là các điểm của không gian tôpô, mỗi phần tử của τ được gọi là
một tập mở trong không gian X.
1.1.2 Ví dụ.
(i) Giả sử X là tập không rỗng và τ = {∅, X}. Khi đó,
τ là một tôpô trên X và được gọi là tôpô thô trên X.
(ii) Giả sử X là tập không rỗng. Khi đó, họ τ = P (X) là một tôpô
trên X và được gọi là tôpô rời rạc trên X.
(iii) Giả sử X là tập vô hạn, đặt
∪
τ = {U ⊂ X : X \ U hữu hạn } {∅}.


7

Khi đó, τ là một tôpô trên X và được gọi là tôpô đối hữu hạn
trên X.
Chứng minh. (iii) Giả sử X là tập vô hạn, đặt
∪
τ = {U ⊂ X : X \ U hữu hạn } {∅}.
Khi đó, τ là một tôpô trên X. Thật vậy, theo giả thiết ta suy ra ∅ ∈ τ , và
X \ X = ∅ là tập hữu hạn nên X ∈ τ .
Hơn nữa, giả sử {Ui : i ∈ I} là họ gồm những phần tử thuộc τ và đặt
∪
U=
Ui . Khi đó, nếu U = ∅ ta suy ra U ∈ τ . Giả sử U ̸= ∅. Khi đó, tồn
i∈I

tại i ∈ I sao cho Ui ̸= ∅. Bởi vì Ui ∈ τ nên X \ Ui hữu hạn. Mặt khác, vì
Ui ⊂ U nên
X \ U ⊂ X \ Ui .
∪
Do đó, X \ U hữu hạn. Bởi vậy, {Ui : i ∈ I} ∈ τ .
Cuối cùng, giả sử U1 , U2 thuộc τ . Khi đó, nếu U1 ∩ U2 = ∅ ta suy ra
U1 ∩ U2 ∈ τ . Giả sử, U1 ∩ U2 ̸= ∅. Khi đó,
U1 ̸= ∅ và U2 ̸= ∅.
Bởi vì U1 , U2 thuộc τ nên X \ U1 và X \ U2 hữu hạn. Mặt khác, vì
X \ (U1 ∩ U2 ) = (X \ U1 ) ∪ (X \ U2 )
nên X \ (U1 ∩ U2 ) hữu hạn. Do vậy, U1 ∩ U2 thuộc τ .
1.1.3 Định nghĩa ([3]). Giả sử X là không gian tôpô và x ∈ X. Ta nói tập
con U ⊂ X là một lân cận của x nếu tồn tại tập mở V sao cho x ∈ V ⊂ U .
1.1.4 Nhận xét. U là một tập mở ⇔ U là lân cận của mọi điểm thuộc
nó.
Chứng minh. a) Điều kiện cần. Giả sử U ⊂ X và U là một tập mở. Khi

đó, đặt V = U . Do đó, với mọi x ∈ U , x ∈ V ⊂ U . Bởi vậy, U là lân cận
của mọi điểm thuộc nó.


8

b) Điều kiện đủ. Giả sử U ⊂ X và U là lân cận của mọi điểm x thuộc
U . Khi đó, tồn tại tập mở Vx sao cho x ∈ Vx ⊂ U với mọi x ∈ U . Suy ra
∪
∪
U=
{x} ⊂
Vx ⊂ U,
x∈U

x∈U

kéo theo
U=

∪

Vx .

x∈U

Do vậy, U là một tập mở.
1.1.5 Định nghĩa. Cho A là tập con của không gian tôpô (X, τ ) và x ∈ X.
Khi đó,
(i) x được gọi là một điểm trong của A nếu A là một lận cận của x.

(ii) x được gọi là một điểm ngoài của A nếu X \ A là một lân cận
của x.
1.1.6 Định nghĩa ([3]). Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và F ⊂ X. Ta
nói F là một tập hợp đóng trong X nếu X \ F là một tập hợp mở trong X.
1.1.7 Định lí. Gọi D là họ tất cả các tập đóng trong không gian tôpô
(X, τ ). Khi đó,
(i) ∅ ∈ D , X ∈ D ;
(ii) Nếu F1 , F2 ∈ D , thì F1 ∪ F2 ∈ D ;
(iii) Nếu {Fi : i ∈ I} ⊂ D , thì

∩

Fi ∈ D .

i∈I

Chứng minh. (i) Suy ra từ định nghĩa tôpô và định nghĩa tập hợp đóng.
(ii) Giả sử F1 , F2 ∈ D . Khi đó, X \ F1 và X \ F2 là các tập mở. Mặt
khác, vì
X \ (F1 ∪ F2 ) = (X \ F1 ) ∩ (X \ F2 )


9

nên X \ (F1 ∪ F2 ) là tập mở. Do vậy, F1 ∪ F2 là tập đóng.
(iii) Giả sử {Fi : i ∈ I} là một họ các tập đóng trong X. Khi đó, vì
mỗi Fi là tập đóng nên X \ Fi là tập mở. Mặt khác, vì
(∩ )
∪
(X \ Fi ) = X \

Fi
nên X \

(∩

)

i∈I

Fi là tập mở. Do vậy,

i∈I

i∈I

∩

Fi là tập đóng.

i∈I

1.1.8 Định nghĩa ([3]). Giả sử A là một tập con của không gian tôpô
(X, τ ). Khi đó, giao của họ tất cả các tập đóng chứa A được gọi là bao
đóng của A. Kí hiệu là cl(A).
1.1.9 Nhận xét.

(i) cl(A) là tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa A.

(ii) A ⊂ cl(A).
(iii) A ⊂ X là tập đóng khi và chỉ khi cl(A) = A.

(iv) Nếu A ⊂ B, thì cl(A) ⊂ cl(B).
Chứng minh. (i), (ii) Suy ra từ Định nghĩa 1.1.8.
(iii) Giả sử A ⊂ X. Khi đó,
a) Điều kiện cần. Bởi vì cl(A) là tập đóng nhỏ nhất chứa A và A cũng
là tập đóng chứa A nên cl(A) ⊂ A. Mặt khác, theo (ii), ta có A ⊂ cl(A).
Do vậy, A = cl(A).
b) Điều kiện đủ. Hiển nhiên.
(iv) Giả sử A ⊂ B. Khi đó, theo (ii), ta có B ⊂ cl(B), kéo theo
A ⊂ cl(B). Mặt khác, theo (i), ta suy ra cl(A) là tập đóng nhỏ nhất
chứa A. Do vậy, cl(A) ⊂ cl(B).
1.1.10 Định lí. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô, F là tập đóng trong X
và x ∈ X. Khi đó, x ∈ F khi và chỉ khi với mọi lân cận U của x ta đều có
U ∩ F ̸= ∅.


10

Chứng minh. Giả sử F là tập đóng trong không gian tôpô (X, τ ) và x ∈ X.
Khi đó,
a) Điều kiện cần. Giả sử x ∈ F và tồn tại U là lân cận của x sao cho
U ∩ F = ∅. Khi đó, vì U ∩ F = ∅ nên x ∈
/ F . Điều này trái với giả thiết
x ∈ F . Do vậy, U ∩ F ̸= ∅.
b) Điều kiện đủ. Giả sử x ∈
/ F và với mọi lân cận U của x ta đều có
U ∩ F ̸= ∅. Khi đó, vì x ∈
/ F nên x ∈ X \ F . Lại vì F là tập đóng nên
X \ F là tập mở. Do đó, theo Nhận xét 1.1.4, ta suy ra U = X \ F là lân
cận của x. Bởi thế, U ∩ F = ∅. Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng
U ∩ F ̸= ∅. Do vậy, x ∈ F .

1.1.11 Định lí. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và A, B ⊂ X. Khi đó,
(i) cl(∅) = ∅; cl(X) = X;
(ii) cl(A ∩ B) ⊂ cl(A) ∩ cl(B);
(iii) cl(A ∪ B) = cl(A) ∪ cl(B);
(
)
(iv) cl cl(A) = cl(A).
Chứng minh. (i) và (iv). Hiển nhiên.
(ii) Bởi vì A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B nên theo Nhận xét 1.1.9, ta suy ra
cl(A ∩ B) ⊂ cl(A) và cl(A ∩ B) ⊂ cl(B).
Suy ra
cl(A ∩ B) ⊂ cl(A) ∩ cl(B).
(iii) Bởi vì A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B nên
cl(A) ⊂ cl(A ∪ B) và cl(B) ⊂ cl(A ∪ B).
Suy ra


11

cl(A) ∪ cl(B) ⊂ cl(A ∪ B).
Mặt khác, vì A ⊂ cl(A) và B ⊂ cl(B) nên
A ∪ B ⊂ cl(A) ∪ cl(B).
Hơn nữa, vì cl(A) ∪ cl(B) là tập đóng và A ∪ B ⊂ cl(A ∪ B) nên nhờ
Nhận xét 1.1.9(i), ta suy ra
cl(A ∪ B) ⊂ cl(A) ∪ cl(B).
Do vậy, cl(A ∪ B) = cl(A) ∪ cl(B).
1.1.12 Định nghĩa ([3]). Giả sử A là một tập con của không gian tôpô
(X, τ ). Khi đó, hợp tất cả các tập mở nằm trong A được gọi là phần trong
của A. Kí hiệu là int(A).
1.1.13 Nhận xét.

nằm trong A.

(i) int(A) là một tập mở và là tập mở lớn nhất

(ii) int(A) ⊂ A;
(iii) A ⊂ X là tập mở khi và chỉ khi int(A) = A;
(iv) x ∈ int(A) khi và chỉ khi x là điểm trong của A;
(v) Nếu A ⊂ B, thì int(A) ⊂ int(B).
Chứng minh. (i) và (ii) Suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 1.1.12.
(iii) Giả sử A ⊂ X. Khi đó,
a) Điều kiện cần. Giả sử A là tập mở. Khi đó, vì int(A) là tập mở lớn
nhất nằm trong A và A cũng là tập mở nằm trong A nên A ⊂ int(A).
Mặt khác, theo (ii), ta có int(A) ⊂ A. Do vậy, A = int(A).
b) Điều kiện đủ. Hiển nhiên.
(iv) Giả sử A ⊂ X và x ∈ X. Khi đó,


12

a) Điều kiện cần. Giả sử x ∈ int(A). Khi đó, x ∈ int(A) ⊂ A. Do vậy,
x là điểm trong của A.
b) Điều kiện đủ. Giả sử x là điểm trong của A. Khi đó, tồn tại tập mở
U sao cho x ∈ U ⊂ A. Mặt khác, vì int(A) là tập mở lớn nhất trong A
nên U ⊂ int(A). Do vậy, x ∈ int(A).
(v) Giả sử A ⊂ B. Khi đó, vì int(A) ⊂ A nên int(A) ⊂ B. Mặt khác,
vì int(B) là tập mở lớn nhất nằm trong B nên int(A) ⊂ int(B).
1.1.14 Định lí ([3]). Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và A ⊂ X. Khi đó,
int(A) = X \ cl(X \ A)
Chứng minh. Bởi vì
X \ cl(X \ A) ⊂ X \ (X \ A) = A

và X \ cl(X \ A) là tập mở nên theo Nhận xét 1.1.13(i), ta suy ra
X \ cl(X \ A) ⊂ int(A).
Mặt khác, vì X \ A ⊂ X \ int(A) và X \ int(A) là tập đóng nên
(
)
cl(X \ A) ⊂ cl X \ int(A) = X \ int(A).
Từ đó ta suy ra
int(A) ⊂ X \ cl(X \ A).
Do vậy, int(A) = X \ cl(X \ A).
1.1.15 Định lí. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô (X, τ ) và A, B ⊂ X.
Khi đó,
(i) int(X) = X; int(∅) = ∅;
(ii) int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B);
(
)
(iii) int int(A) = int(A);


13

(iv) int(A) ∪ int(B) ⊂ int(A ∪ B).
Chứng minh. (i) và (iii). Suy ra từ Định nghĩa 1.1.12.
(ii) Bởi vì A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B nên theo Nhận xét 1.1.13(v), ta
suy ra
int(A ∩ B) ⊂ int(A) và int(A ∩ B) ⊂ int(B).
Do đó,
int(A ∩ B) ⊂ int(A) ∩ int(B).
Mặt khác, vì int(A) ⊂ A và int(B) ⊂ B nên
int(A) ∩ int(B) ⊂ A ∩ B.
Hơn nữa, vì int(A) ∩ int(B) là tập mở và int(A ∩ B) là tập mở lớn nhất

chứa trong A ∩ B nên
int(A) ∩ int(B) ⊂ int(A ∩ B)
Do vậy,
int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B).
(v) Bởi vì A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B nên theo Nhận xét 1.1.13(v),
int(A) ⊂ int(A ∪ B) và int(B) ⊂ int(A ∪ B).
Suy ra
int(A) ∪ int(B) ⊂ int(A ∪ B).
1.1.16 Định nghĩa ([3]). Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi
là trù mật trong X nếu cl(A) = X.
1.1.17 Ví dụ.

(i) Giả sử X = R với tôpô thông thường. Khi đó,

A = Q là tập trù mật trong X.
(ii) Giả sử X là không gian các số thực với tôpô đối hữu hạn. Khi đó,
A = N là tập trù mật trong X.


14

Chứng minh. (ii) Giả sử X là không gian các số thực với tôpô đối hữu hạn.
Khi đó, mỗi tập mở khác rỗng trong X là vô hạn và mỗi tập đóng trong
X, khác X là hữu hạn. Bởi vì A = N là tập vô hạn nên tập đóng duy nhất
chứa A là X. Suy ra cl(A) = X. Do vậy, A là tập trù mật trong X.
1.1.18 Nhận xét. Tập con A trù mật trong X khi và chỉ khi mỗi tập mở
khác rỗng trong X đều có điểm chung với A.
Chứng minh. Giả sử A ⊂ X và U ∈ τ, U ̸= ∅. Khi đó,
a) Điều kiện cần. Giả sử A trù mật trong X. Khi đó, ta chứng minh
rằng U ∩ A ̸= ∅. Giả sử ngược lại rằng U ∩ A = ∅. Khi đó, A ⊂ X \ U .

Mặt khác, vì U mở nên X \ U là tập đóng, kéo theo
cl(A) ⊂ cl(X \ U ) = X \ U.
Hơn nữa, vì A trù mật trong X nên cl(A) = X. Do đó, X ⊂ X \ U ,
kéo theo U = ∅. Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng U ̸= ∅. Do vậy,
U ∩ A ̸= ∅.
b) Điều kiện đủ. Giả sử mỗi tập mở khác rỗng trong X đều có điểm
chung với A. Khi đó, với mỗi x ∈ X và V là lân cận tùy ý của x, theo Định
nghĩa 1.1.3, tồn tại tập mở U sao cho x ∈ U ⊂ V . Theo giả thiết, ta suy ra
U ∩ A ̸= ∅, kéo theo V ∩ A ̸= ∅. Lại vì A ⊂ cl(A) nên V ∩ cl(A) ̸= ∅. Bởi
vì cl(A) là tập đóng nên theo Định lí 1.1.10, x ∈ cl(A) với mọi x ∈ X.
Bởi thế, cl(A) = X. Do vậy, A là tập trù mật.
1.1.19 Định nghĩa. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và U là họ các tập
hợp con nào đó của X.
(i) Ta nói U là một phủ của X nếu X =

∪
{U : U ∈ U }.

(ii) U được gọi là một phủ mở của X nếu nó là phủ của X và mỗi
U ∈ U là tập con mở trong X.
(iii) V được gọi là một phủ con hữu hạn của U nếu V ⊂ U , V
∪
hữu hạn và X = {U : U ∈ V }.


15

1.1.20 Ví dụ.
(i) Trong không gian mêtric X với r > 0 cho trước
bất kì. Họ các hình cầu mở {B(x, r) : x ∈ X} là một phủ mở của X.

(ii) Trong không gian tôpô các số thực với tôpô thông thường. Họ các
khoảng mở (−n, n) với n ∈ ω là một phủ mở của R nhưng không có
phủ con hữu hạn.
1.1.21 Định nghĩa. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô. Khi đó, (X, τ )
được gọi là không gian Hausdorff nếu với x, y ∈ X mà x ̸= y tồn tại lân
cận U của x và lân cận V của y sao cho U ∩ V = ∅.
1.1.22 Ví dụ.
(i) Nếu X là tập khác rỗng và τ là tôpô rời rạc trên X
thì (X, τ ) là không gian Hausdorff.
(ii) Nếu X là không gian mêtric thì X là không gian Hausdorff.
1.1.23 Định nghĩa ([3]). Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và A ⊂ X.
Khi đó, tập A được gọi là một tập compắc nếu với mọi phủ mở của A đều
có một phủ con hữu hạn.
1.1.24 Định nghĩa ([3]). Giả sử (X, τ ) không gian tôpô. Khi đó, (X, τ )
được gọi là không gian compắc nếu với mọi phủ mở U của X có phủ con
hữu hạn.
1.1.25 Ví dụ.
(i) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô với tôpô rời rạc.
Khi đó, (X, τ ) là không gian compắc khi và chỉ khi X hữu hạn.
(ii) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô với tôpô đối hữu hạn. Khi đó,
(X, τ ) là không gian compắc.
(iii) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô với tôpô τ có hữu hạn phần tử.
Khi đó, (X, τ ) là không gian compắc.
1.1.26 Định lí. Giả sử (X, τ ) là không gian Hausdorff. Khi đó, mọi tập
compắc đều là tập đóng.


16

Chứng minh. Giả sử (X, τ ) là không gian Hausdorff và A là tập compắc

trong X. Khi đó, với mỗi x ∈ A và y ∈ X \ A, bởi vì x ̸= y nên có một lân
cận mở Vx của x và một lân cận mở Vx (y) của y sao cho Vx ∩ Vx (y) = ∅.
Bởi vì họ {Vx : x ∈ A} là một phủ mở của A và A là tập compắc nên có
n
∪
hữu hạn phần tử x1 , x2 , ..., xn của A sao cho
Vxi là phủ mở của A. Đặt
i=1

U=

n
∩

Vxi (y) và V =

i=1

n
∪

Vxi .

i=1

Do đó, U là lân cận mở của y và V là một tập mở chứa A. Bởi vì
A∩U ⊂

n
(∪

)

Vxi ∩

i=1

⊂

n (
∪

n
(∩

)
Vxi (y)

i=1

)
Vxi ∩ Vxi (y)

i=1

=∅
nên U ⊂ X \ A. Do đó, tập X \ A là lân cận của y với mọi y ∈ X \ A. Theo
Nhận xét 1.1.4, ta suy ra X \ A là tập mở. Bởi vậy, A là tập đóng.
1.1.27 Định lí. Giả sử (X, τ ) là không gian compắc và A là một tập con
đóng của X. Khi đó, A là một tập compắc.

Chứng minh. Giả sử (X, τ ) là không gian compắc, A là tập con đóng của
X và {Ui : i ∈ I} là một phủ mở của A. Khi đó, bởi vì A là tập đóng nên
X \ A là tập mở. Do đó,
(
) (∪
)
X \A ∪
{Ui : i ∈ I} = X
là phủ mở của X. Lại vì X là không gian compắc nên tồn tại tập con hữu
hạn I0 của I sao cho
(
) (∪
)
X = X \A ∪
{Ui : i ∈ I0 }
Do đó, {Ui : i ∈ I0 } là phủ con hữu hạn của A. Bởi vậy, A là tập compắc.


17

1.1.28 Mệnh đề.
(i) Giả sử A1 , A2 là hai tập compắc trong không
gian tôpô (X, τ ). Khi đó, A1 ∪ A2 là một tập compắc.
(ii) Giả sử (X, τ ) là không gian Hausdorff. Khi đó, giao một số hữu
hạn các tập compắc là compắc.
Chứng minh. (i) Giả sử A1 , A2 là hai tập compắc trong không gian tôpô
(X, τ ) và {Ui : i ∈ I} là phủ mở tùy ý của tập A1 ∪ A2 . Khi đó, vì
A1 ⊂ (A1 ∪ A2 ) và A2 ⊂ (A1 ∪ A2 )
nên {Ui : i ∈ I} cũng là phủ mở của A1 và A2 . Lại vì A1 và A2 là tập
compắc nên tồn tại hai tập con hữu hạn J1 , J2 của I sao cho

{Ui : i ∈ J1 } là phủ mở của A1
và
{Ui : i ∈ J2 } là phủ mở của A2 .
Đặt
J = J1 ∪ J2 .
Bởi vì J1 , J2 hữu hạn nên J là tập con hữu hạn của I. Do đó, {Ui : i ∈ J}
là phủ con hữu hạn của A1 ∪ A2 . Bởi vậy, A1 ∪ A2 là tập compắc.
(ii) Giả sử (X, τ ) là không gian Hausdorff và {Ui : i ∈ I} là họ các tập
compắc trong X. Khi đó, đặt
∩
U = {Ui : i ∈ I}.
Bởi vì X là không gian Hausdorff nên theo Định lý 1.1.26, Ui là tập đóng
với mọi i ∈ I. Do đó, theo Định lý 1.1.7, ta suy ra U là tập đóng. Mặt
khác, vì U ⊂ Ui với mọi i ∈ I nên U là tập đóng trong Ui với mọi i ∈ I.
Lại vì Ui là tập compắc với mọi i ∈ I nên theo Định lý 1.1.27, ta suy ra U
∩
là tập compắc. Do vậy, {Ui : i ∈ I} là tập compắc.
1.1.29 Định nghĩa. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và A là một tập
con khác rỗng của X. Đặt τA = {V : V = A ∩ U, U ∈ τ }. Khi đó, τA


18

là môt tôpô trên A và không gian (A, τA ) được gọi là không gian con của
(X, τ ), τA được gọi là tôpô cảm sinh của tôpô τ trên X lên tập hợp A.

1.2 TẬP NỬA MỞ VÀ TẬP NỬA ĐÓNG
1.2.1 Định nghĩa ([5]). Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi
là nửa mở (semi-open) nếu tồn tại tập mở U sao cho U ⊂ A ⊂ cl(U ).
Kí hiệu SO(X, τ ) là họ tất cả các tập nửa mở trong (X, τ ).

1.2.2 Ví dụ. Cho X = {a, b, c} và τ = {∅, a, X}. Khi đó, A = {a, b} là
tập nửa mở trong X.
Chứng minh. Giả sử X = {a, b, c} với τ = {∅, a, X} và A = {a, b}. Khi đó,
U = {a} ⊂ A là tập mở trong X. Mặt khác, vì cl(U ) = X nên A ⊂ cl(U ).
Suy ra U ⊂ A ⊂ cl(A). Do vậy, A là tập nửa mở.
1.2.3 Nhận xét.
(i) Nếu A là tập mở trong không gian tôpô (X, τ ),
thì A là tập nửa mở.
(ii) Nếu x ∈ X và {x} là tập nửa mở, thì {x} là tập mở.
Chứng minh. (i) Giả sử A ⊂ X và A là tập mở. Khi đó, A ⊂ A ⊂ cl(A).
Do vậy, A là tập nửa mở.
(ii) Giả sử x ∈ X và {x} là tập nửa mở. Khi đó, tồn tại tập mở U
sao cho
U ⊂ {x} ⊂ cl(U ).
(1.1)
Do đó, U = ∅ hoặc U = {x}. Dễ thấy, U = ∅ không thỏa mãn (1.1) nên
U = {x}. Do vậy, U là tập mở.
1.2.4 Mệnh đề ([5]). Hợp của một họ tùy ý các tập nửa mở là tập nửa mở.
Chứng minh. Giả sử {Ai : i ∈ I} là một họ các tập nửa mở trong không
gian tôpô (X, τ ). Khi đó, với mỗi i ∈ I tồn tại tập mở Ui sao cho


19

Ui ⊂ Ai ⊂ cl(Ui ).
Suy ra
∪
Bởi vì

∪

i∈I

Ui ⊂

∪
i∈I

Ui là tập mở nên

i∈I

Ai ⊂
∪

∪

cl(Ui ) ⊂ cl

(∪

i∈I

)
Ui .

i∈I

Ai là tập nửa mở.

i∈I

1.2.5 Định nghĩa ([5]). Giả sử A là một tập con của không gian tôpô
(X, τ ). Khi đó, hợp của tất cả các tập nửa mở nằm trong A được gọi là
nửa phần trong (semi-interior ) của A và kí hiệu là sint(A).
1.2.6 Mệnh đề. Giả sử A là một tập con của không gian tôpô (X, τ ). Khi
đó, sint(A) là tập nửa mở lớn nhất nằm trong A.
Chứng minh. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và A ⊂ X. Khi đó, theo
Mệnh đề 1.2.4, hợp các tập nửa mở là tập nửa mở cho nên sint(A) là tập
nửa mở. Mặt khác, theo Định nghĩa 1.2.5, ta suy ra sint(A) là tập nửa
mở lớn nhất nằm trong A.
1.2.7 Định nghĩa ([5]). Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi
là tập nửa đóng (semi-closed ) nếu X\A là tập nửa mở.
Kí hiệu SC(X, τ ) là họ tất cả các tập nửa đóng trong (X, τ ).
1.2.8 Ví dụ. Giả sử X là không gian các số thực với tôpô thông thường.
Khi đó,
A = (−∞; a) ∪ [b; +∞)
với a, b ∈ R là tập nửa đóng.
Chứng minh. Giả sử X là không gian các số thực với tôpô thông thường
và A = (−∞; a) ∪ [b; +∞) với a, b ∈ R. Khi đó, X \ A = [a; b). Mặt khác,
vì U = (a; b) là tập mở trong X và cl(U ) = [a; b] nên
U ⊂ (X \ A) ⊂ cl(U ).


20

Do đó, X \ A là tập nửa mở. Bởi vậy, A là tập nửa đóng.
1.2.9 Nhận xét. Nếu A là một tập đóng trong không gian tôpô (X, τ ),
thì A là một tập nửa đóng.
Chứng minh. Giả sử A là một tập đóng. Khi đó, X \ A là tập mở. Theo

Nhận xét 1.2.3, ta suy ra X \ A là tập nửa mở. Do vậy, A là tập nửa
đóng.
1.2.10 Định nghĩa ([5]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ).
Khi đó, giao của tất cả các tập nửa đóng chứa A được gọi là bao nửa đóng
(semi-closure) của A và kí hiệu là scl(A).
1.2.11 Mệnh đề. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ). Khi
đó, scl(A) là tập nửa đóng bé nhất chứa A.
Chứng minh. Giả sử {Fi : i ∈ I} là họ tất cả các tập nửa đóng chứa A.
Khi đó,
(∩ ) ∪
Fi = (X\Fi ).
X\scl(A) = X\
i∈I

i∈I

Bởi vì Fi là nửa đóng với mọi i ∈ I nên X\Fi là nửa mở với mọi i ∈ I. Nhờ
∪
Mệnh đề 1.2.4, ta suy ra X\scl(A) = (X\Fi ) là tập nửa mở. Do đó,
i∈I

scl(A) là tập nửa đóng. Từ định nghĩa của scl(A) ta suy ra điều phải
chứng minh.
1.2.12 Mệnh đề. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô. Khi đó, các khẳng
định sau đây là tương đương.
(i) A là tập nửa mở trong (X, τ );
(ii) sint(A) = A;
(
)
(iii) A ⊂ cl int(A) ;

(
)
(iv) A ⊂ scl sint(A) .


21

Chứng minh. (i) =⇒ (ii) Giả sử A là tập nửa mở. Khi đó, theo Mệnh đề
1.2.6, sint(A) là tập nửa mở lớn nhất nằm trong A và A là tập nửa mở
nằm trong A nên A ⊂ sint(A). Mặt khác, theo Định nghĩa 1.2.5, ta suy
ra sint(A) ⊂ A. Do vậy, sint(A) = A.
(ii) =⇒ (i) Giả sử sint(A) = A. Khi đó, theo Mệnh đề 1.2.6, sint(A)
là tập nửa mở lớn nhất nằm trong A. Do vậy, A là tập nửa mở.
(i) =⇒ (iii) Giả sử A là tập nửa mở trong (X, τ ). Khi đó, tồn tại tập
mở U sao cho U ⊂ A ⊂ cl(U ). Mặt khác, vì U mở nên ta có
(
)
A ⊂ cl(U ) = cl int(U ) .
Hơn nữa, vì U ⊂ A nên int(U ) ⊂ int(A). Suy ra
(
)
(
)
cl int(U ) ⊂ cl int(A) .
(
)
Do vậy, A ⊂ cl int(A) .
(
)
(iii) =⇒ (i) Giả sử A ⊂ cl int(A) . Khi đó, nếu đặt int(A) = U ta

suy ra U là tập mở. Bởi vì int(A) ⊂ A nên U ⊂ A. Suy ra U ⊂ A ⊂ cl(U ).
Do vậy, A là tập nửa mở.
(i) =⇒ (iv) Giả sử A là tập nửa mở. Khi đó,
A = sint(A) và A ⊂ scl(A).
Do vậy,

(
)
A ⊂ scl(A) = scl sint(A) .
(
)
(iv) =⇒ (i) Giả sử A ⊂ scl sint(A) . Khi đó, đặt U = sint(A). Nhờ

Mệnh đề 1.2.6 và Mệnh đề 1.2.11, ta suy ra U là tập nửa mở và
U ⊂ A ⊂ scl(U ).
Hơn nữa, vì cl(U ) là tập đóng nên theo Nhận xét 1.2.9, cl(U ) là tập nửa
đóng chứa U . Theo Mệnh đề 1.2.11, vì scl(U ) là tập nửa đóng nhỏ nhất
chứa U nên scl(U ) ⊂ cl(U ). Do đó,
U ⊂ A ⊂ cl(U ).


22

Mặt khác, vì U là tập nửa mở nên tồn tại tập mở V sao cho
V ⊂ U ⊂ cl(V ).
Bởi vì cl(U ) là tập đóng nhỏ nhất chứa U nên cl(U ) ⊂ cl(V ). Suy ra tồn
tại V là tập mở sao cho
V ⊂ A ⊂ cl(U ) ⊂ cl(V ).
Do vậy, A là tập nửa mở.
1.2.13 Mệnh đề ([5]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ).

Khi đó,
(i) X \ scl(A) = sint(X \ A);
(ii) X \ sint(A) = scl(X \ A).
Chứng minh. (i) Giả sử {Fi : i ∈ I} là họ gồm tất cả các tập con nửa đóng
∩
Fi = scl(A). Với mỗi i ∈ I, ta đặt
trong X chứa A. Khi đó,
i∈I

Ui = X \ Fi .
Bởi vì mỗi Fi là tập nửa đóng nên Ui là tập nửa mở trong X với mọi i ∈ I.
Mặt khác, vì A ⊂ Fi với mọi i ∈ I nên Ui ⊂ X \ A với mọi i ∈ I. Hơn nữa,
vì {Fi : i ∈ I} là họ các tập con nửa đóng chứa A nên {Ui : i ∈ I} là họ
các tập nửa mở nằm trong X \ A. Do vậy,
∩
∪
X \ scl(A) = X \ ( Fi ) = (X \ Fi )
=

∪

i∈I

i∈I

Ui = sint(X \ A).

i∈I

(ii) Thay A bởi X \ A trong (i), ta suy ra

X \ scl(X \ A) = sint(A).
Suy ra

(
)
X \ X \ scl(X \ A) = X \ sint(A).