Đề thi thử môn toán kì thi vào lớp 10 chuyên toán trường THPT chuyên sư phạm HN có đáp án

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP
10 THPT CHUYÊN
(ÁP DỤNG CHO HS THI VÀO
LỚP CHUYÊN TOÁN)
Thời gian: 150 phút
(không kể thời gian giao đề)

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
SƯ PHẠM
NĂM HỌC: 2014 - 2015

Câu 1(2 điểm).Cho biểu thức
=

6 +4
3√3

−8

−

√3

1 + 3√3

3 + 2√3 + 4

1 + √3

a) Rút gọn .
b) Xác định nguyên sao cho

− √3

.

nguyên.

Câu 2 (2 điểm). Giải hệ phương trình sau
+

+1= 2 +1

+

+1= 2 +1

Câu 3(2điểm).Tìm số tự nhiên
chính phương.

sao cho

=

−

+2

+2

là một số

Câu 4 (3 điểm).Cho đường tròn ( ) và dây cung
không là đường kính. Gọi
là điểm chính giữa của cung lớn
. Các tiếp tuyến tại , của ( ) cắt nhau tại .
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên
và là trung điểm của
. Tia
cắt đường tròn ( ) tại điểm thứ hai .
a) Gọi là giao điểm của
với
. Chứng minh tứ giác
nội tiếp.
b) Tia
cắt đường tròn ( ) tại điểm thứ hai . Chứng minh rằng
song
song với .
c) Chứng minh đường thẳng
đi qua trung điểm của đoạn thẳng .
Câu 5 (1 điểm). Xét tập = {1; 2; 3; … ; 2012}. Tô màu các phần tử của bởi
một trong 5 màu: xanh, đỏ, tím, vàng, nâu. Chứng minh rằng tồn tại ba phần tử
phân biệt , , của cùng màu sao cho: là bội của và là bội của .
------------------------------------Hết------------------------------------

ViettelStudy.vn

ĐÁP ÁN
Câu 1. a) Điều kiện:
4
≥ 0, ≠ .
3
Đặt √3 = . Ta có:
2

1+
+4
−
−8
+2 +4
1+
2 + 4 − ( − 2)
. (1 − +
=
( − 2)( + 2 + 4)
−2 +1
=
−2
=

Thay

−
− )

= √3 , ta có
=

3 − 2√3 + 1
√3 − 2

b) Ta có
=
Với

= 1, ta có

3 −3
√3 − 2

−2

= −2 (thoả mãn)

Xét ≠ 1: Do 3 − 3 ∈ ℤ, 3 − 3 ≠ 0 và
Ta có

∈ ℤ nên √3 − 2 ∈ ℤ.

= √3 +

1
√3 − 2

Do đó
∈ ℤ ⟺ √3 − 2 | 1 ⟺ √3 − 2 = ±1 ⟺
Kết luận:

= 3 hoặc

= (loại)

∈ {1; 3}.

Câu 2.Trừ theo từng vế hai phương trình của hệ ta được
+1−
Nhân liên hợp ta được
( − )

+ 1 + 3( − ) = 0
+

√

+1+

+1

+ 3 = 0.

Xét
=

+
√

+1+

+1

+3 =

3√

+1+
√

+3

+1+

+1+
+1

Ta có:
3
+ 1 + > 3| | + ≥ 0, 3
+ 1 + > 3| | +
Suy ra > 0. Từ đó ta có = . Thay vào hệ ta có:

ViettelStudy.vn

≥ 0.


+1= +1⇔
Vậy hệ có nghiệm duy nhất = = 0.

= 0.

Câu 3Ta có
=

(

−

+ 2 + 2)

Với

= 0, ta có

= 0 là số chính phương.

Với

= 1, ta có

= 4 là số chính phương.

Với

= 2, ta có

= 72 không là số chính phương.

Xét

≥ 3:

Vì

−

là số chính phương nên
−

+ 2 + 2 là số chính phương. Đặt

+2 +2=

( ∈ ℕ,

≥ 2).

Ta có
− 2 − 2 = ( − 2) − 2 ≥ 3(3 − 2) − 2 > 0
Suy ra

<

hay

<

.

Mặt khác

Suy ra

>(

− 1) hay

Do đó,
−1 < <
còn số tự nhiên nào.
Kết luận:

−(

− 1) =

>

− 1.

+2 +1>0

. Điều này không xảy ra vì giữa hai số tự nhiên liên tiếp không

∈ {0; 1}
A

Câu 4

a) Ta có
là đường trung bình của tam giác
. Suy ra:
=
=
Vậy tứ giác
nội tiếp.
b) Do tứ giác
nội tiếp nên
=
=
Suy ra
= 90 −
= 90 −
=
Do
là tiếp tuyến của ( ) nên
=
.
Suy ra:
=
Do đó, tứ giác
nội tiếp. Suy ra

E

H

O
M

B

D

K
P

N

F

ViettelStudy.vn
S

C


=
Vậy
song song với
c) Gọi là giao điểm của

=

.
với

.Ta có:
(

)=
=
.
Suy ra : Δ
~Δ
⇒
=
. .
Xét tam giác vuông
có
là đường cao, ta có :
Suy ra :
=
hay là trung điểm của .

=

.

.

Câu 5. Xét các phần tử: 2 , 2 , … , 2 của . Vì có 5 màu nên trong 11 phần tử trên có
ba phần tử cùng màu. Ba phần tử đó thỏa mãn yêu cầu bài toán.

ViettelStudy.vn


ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
SƯ PHẠM

NĂM HỌC: 2014 - 2015

Câu 1 (2 điểm).Cho

>

ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN
KỲ THI TUYỂN SINH
LỚP 10 THPT

Thời gian: 150 phút
(không kể thời gian giao đề)

> 0. Xét biểu thức
√ −√
=
−
−
.
−
√ −√
√ +√

a) Rút gọn .
b) Biết ( − 1)( − 1) + 2√

= 1, hãy tính giá trị của biểu thức .

Câu 2 (2 điểm). Cho parabol ( ): =
và đường thẳng : = ( + 5) − với

là tham số.
a) Chứng minh rằng luôn cắt ( ) tại hai điểm phân biệt.
b) Gọi ( ; ), ( ; ) là các giao điểm của và ( ). Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
= | − |.
Câu 3 (2 điểm). Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh , cách
nhau 150km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 1,5 giờ. Hỏi sau khi gặp nhau bao lâu thì ô
tô đến và xe máy đến ,biết rằng vận tốc của xe máy bằng hai phần ba vận tốc của ô
tô.
Câu 4 (3 điểm). Cho tam giác
vuông tại và
<
. Gọi là hình chiếu của
trên
và
là điểm đối xứng của qua
. Tia
cắt đường tròn ngoại tiếp tam
giác
tại điểm ( ≠ ). Tia
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
tại điểm
( ≠ ).
a) Chứng minh rằng
=
.
b) Gọi là giao điểm thứ hai của
với đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
Chứng minh rằng

song song với
.
c) Gọi
là giao điểm thứ hai của
với đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
Chứng minh rằng là trung điểm của
.
Câu 5 (1 điểm). Cho ,
+

là các số thực khác 0 và thoả mãn
1 1
2
+ 2( + ) − 3 +
+3 +
−
= 4.

Tính giá trị của biểu thức

=

+ .

------------------------------------Hết------------------------------------

ViettelStudy.vn

ĐÁP ÁN

Câu 1
a) Ta có
=

√ − √ −

√ −√
−

+

√ +√

=

√ + √
√
=
.
−
√ −√

b) Ta có
( − 1)( − 1) + 2√
Vì
Vậy

<

nên √

=1⇒

=

+

− 2√

= √ −√

= √ −√ .

= −1.

Câu 2.
a) Phương trình hoành độ giao điểm của và ( ) là
= ( + 5) − ⇔
− ( + 5) + = 0 (1).
Ta có
Δ = (m + 5) − 4m = (m + 3) + 16 > 0, ∀
Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi .
Vậy luôn cắt ( ) tại hai điểm phân biệt.
b) Ta có , là hai nghiệm của (1). Theo định lý Viet:
+ = +5
= .
Ta có:
=( − ) =( + ) −4

= ( + 5) − 4 = ( + 3) + 16 ≥ 16
Do > 0 nên ≥ 4. Dấu bằng xảy ra khi = −3.
= 4.
Vậy
Câu 3. Gọivận tốc của xe máy là

km/h ( > 0). Khi đó vận tốc của ô tô là

km/h.

Theo đề bài ta có phương trình
3
= 150 ⇔ = 40.
2
Do đó, vận tốc của xe máy là 40 km/h và vận tốc của ô tô là 60 km/h.
Sau khi gặp nhau, thời gian ô tô đi đến là:
150
− 1,5 = 1 ( ).
60
Sau khi gặp nhau, thời gian xe máy đi đến là:
1,5. + 1,5.

Vietteltudy.vn
Đề thi thử môn toán kì thi vào lớp 10 chuyên toán trường THPT chuyên Sư phạm HN có đáp án


150
− 1,5 = 2,25 ( )
40
Câu 4 (3 điểm).

E

N

K

C

A
M

P
B

a)

H

Do đường tròn (
và
có
=

Suy ra Δ

=Δ

) có đường kính là AB nên
và

=
=
=
=
=
=
=

. Vậy

∈(
,

.

b)
Do
= 90 nên CE là đường kính của đường tròn (
Ta chứng minh
⊥
. Ta có:
=
=
=
=
Do đó
c)

∥

hay

Xét đường tròn (

⊥

=

Suy ra

). Suy ra

⊥

.

.
), ta có:
=

Xét đường tròn (

). Xét hai tam giác

=

1
đ
2

.

), ta có:
=
=
=
.
hay tam giác
cân tại . Do đó,

=

.

Câu 5 (1 điểm). Từ giả thiết ta có
+

+2

( + ) − 3(

+

) + 3( + ) − 4

−2=0

Vietteltudy.vn
Đề thi thử môn toán kì thi vào lớp 10 chuyên toán trường THPT chuyên Sư phạm HN có đáp án

⇔ ( − 1) + ( − 1) + 2
Đặt

=

− 1, =

− 1, ta có
+

+ 2( + 1)( + 1)( + ) = 0

⇔( + )
⇔ ( + )(
Xét

Suy ra

=

+

+

( + − 2) = 0

+

= 0. Vậy

−

+ 2( + 1)( + 1) = 0

+
+

+

+ 2 + 2 + 2) = 0

+ 2 + 2 + 2. Ta có
=

+ ( + 2) +

=

+

+2
2

+

+2 +2
+2
2

+

2

>0

= 2.

Vietteltudy.vn
Đề thi thử môn toán kì thi vào lớp 10 chuyên toán trường THPT chuyên Sư phạm HN có đáp án