020 toán vào 10 chuyên đồng nai 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
TỈNH ĐỒNG NAI

KỲ THI TUYỂN SIN LỚP 10
NĂM HỌC 2018-2019
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian: 150 phút

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1.
1) Giải phương trình:

x 4 − 22 x 2 + 25 = 0

 a
a+ a  4−a
P = 
+
÷
÷. a
a
+
2
a
+
3
a
+
2




2) Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các số thực dương a sao cho

P

đạt giá trị lớn nhất

 x − xy = 6
( x, y ∈ ¡
 2
2
3 x + 2 xy − 3 y = 30
2

Câu 2. Giải hệ phương trình:

Câu 3. Tìm các tham số thực m để phương trình
x1 ; x2

biệt
Câu 4

P=

thỏa mãn

x 2 − ( m + 1) x + 2m = 0

có hai nghiệm phân

x1 + x2 − 1

( x1 + x2 )

1) Tìm các cặp số nguyên
2) Cho các số thực

)

a, b, c

2

− 3 x1 x2 + 3

đạt giá trị nhỏ nhất

( x; y )

thỏa mãn điều kiện

2 x 2 − 4 y 2 − 2 xy − 3 x − 3 = 0

. Chứng minh rằng

a +b

b +c
c3 + a3
1 1 1
+
+
≥ + +
2
2
2
2
2
2
ab ( a + b ) bc ( b + c ) ac ( c + a ) a b c
3

3

3

3

Oxy

M ( 50;100 )

N ( 100;0 )

Câu 5 Trên mặt phẳng tọa độ
cho hai điểm
và

. Tìm số các điểm
nguyên nằm bên trong tam giác OMN (Một điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ
và tung độ của điểm đó đều là các số nguyên)
Câu 6 Cho đường tròn (O) và đường kính AB cố định. Biết điểm C thuộc đường tròn (O) ,
với C khác A và B. Vẽ đường kính CD của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B của đường
tròn (O) cắt hai đường thẳng AC và AD lần lượt tại hai điểm E và F
1) Chứng minh tứ giác ECDF nội tiếp đường tròn
2) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BF. Chứng ,minh OE vuông góc với AH
3) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng OE và AH. Chứng minh điểm K thuộc
đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF


4) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF. Chứng minh I luôn thuộc đường
thẳng cố định và đường tròn (I) luôn đi qua 2 điểm cố định khi C di động trên (O)
thỏa mãn điều kiện

ĐÁP ÁN
Câu 1:
1) Giải phương trình
Đặt

x2 = t ( t ≥ 0)

phương trình trên trở thành:

t 2 − 22t + 25 = 0

∆ ' = 11 − 25 = 96 ⇒ ∆ ' = 4 6
2

Ta có:
⇒

Phương trình có hai nghiệm phân biệt :

(
(

 x2 = 2 2 + 3
 x 2 = 11 + 4 6

⇒
⇔
2
2
 x = 11 − 4 6
 x = 2 2 − 3

)
)

2

2

t1 = 11 + 4 6(tm)

t2 = 11 − 4 6(tm)

x = 2 2 + 3


x = − 2 2 + 3
⇔
x = 2 2 − 3

 x = 3 − 2 2

(

)

{ (

)

}

S = − 2 2 + 3 ; 3 − 2 2;2 2 − 3; 2 2 + 3

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm
2) Cho biểu thức…..
a) Rút gọn biểu thức P. Điều kiện

a>0


 a
a+ a  4− a
P=
+

÷.
 a +2 a+3 a +2 a

a. a +1  4 − a
a

.
=
+
 a +2
a +1 a + 2  a


 a
a  4−a
=
+
÷.
a
+
2
a
+
2

 a

(

(

(

=
=

(

)

)(

)(

)

)

a.
a +a 2− a 2+ a
.
=
a +2
a

)(

(

)(

a +1 2 − a

)

a

)

a + 1 2 − a = −a + a + 2

b) Tìm các số thực dương………..
a>0
Điều kiện
. Ta có:
2

1 9 9

P = −a + a + 2 = −  a − ÷ + ≤
2 4 4

⇔ a−

Dấu “=” xảy ra
Max..P =

Vậy

9

4

a=

khi

1
1
1
= 0 ⇔ a = ⇔ a = (tm)
2
2
4

1
4

Câu 2:

Giải hệ phương trình:
Xét
Xét

x=0
x≠0

 x 2 − xy = 6 (1)
 2
2
3x + 2 xy − 3 y = 30 (2)

không là nghiệm của hệ đã cho
ta có phương trình (1) tương đương với :

x 2 − xy = 6 ⇔ x − y =

6
6
⇒ x− = y
x
x


Thay vào phương trình (2) ta được:
2

6 
6

3 x + 2 x  x − ÷− 3  x − ÷ = 30
x 
x

108
⇔ 3 x 2 + 2 x 2 − 12 − 3 x 2 + 36 − 4 − 30 = 0
x
⇔ 2 x 4 − 6 x 2 − 108 = 0
2

⇔ ( x2 − 9) ( x2 + 6) = 0

⇔ x 2 − 9 = 0 (Vi

x 2 + 6 > 0)

x = 3 ⇒ y = 1
⇔
 x = −3 ⇒ y = −1

Vậy hệ đã cho có các nghiệm là

( 3;1) ; ( −3; −1)

Câu 3
∆ = ( m + 1) − 8m = m 2 − 6m − 1 > 0
2

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì
 m > 3 + 10
⇔
 m < 3 − 10

Áp dụng định lý Vi et ta có:

 x1 + x2 = m + 1

 x1 x2 = 2m

Theo đề bài ta có:
P=

x1 + x2 − 1

( x1 + x2 )

2

− 3x1 x2 + 3

=

( m + 1) − 1 =
m
m
=
2
2
2
( m + 1) − 3.2m + 3 m − 4m + 4 ( m − 2 )

1
m
1 8m + m 2 − 4 m + 4 ( m + 2 )
P+ =
+
=
=
≥0
2
2
8 ( m − 2) 2 8

8( m − 2)
8( m − 2)
2

Xét biểu thức :


⇒ P+

1
−1
≥0⇔ P≥
8
8

Dấu “=” xảy ra
P=

Vậy Min

⇔ m + 2 = 0 ⇔ m = −2(tm )

−1
8

khi

m = −2

Câu 4

1) Tìm các cặp số nguyên….
2 x 2 − 4 y 2 − 2 xy − 3x − 3 = 0

⇔ ( 2 x 2 − 4 xy − 2 x ) + ( 2 xy − 4 y 2 − 2 y ) − ( x − 2 y − 1) = 4
⇔ 2 x ( x − 2 y − 1) + 2 y ( x − 2 y − 1) − ( x − 2 y − 1) = 4
⇔ ( x − 2 y − 1) ( 2 x + 2 y − 1) = 4

Do

x, y ∈ ¢ , 2 x + 2 y − 1

(*)

lẻ nên ta có các trường hợp sau đây:

 x = 1
(tm)

 2 x + 2 y − 1 = −1  2 x + 2 y = 0
y
=
−
1




x
−
2

y
−
1
=
−
4
x
−
2
y
=
−
3



⇔
⇔  x = 7
( *) ⇔ 
 2 x + 2 y = 2

2 x + 2 y − 1 = 1
3
 


(ktm)

−4
  x − 2 y − 1 = 4

  x − 2 y = 5
 y =
3


Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là
2) Cho các số thực dương…..
Ta có:

( 1; −1)

2 ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) a + b
a 3 + b3
1
1
≥
+
⇔
≥
ab(a 2 + b 2 ) 2a 2b
2ab
2ab ( a 2 + b 2 )

⇔ 2 ( a 2 + ab + b 2 ) + b 2 ≥ 0 ⇔ ( a − b ) ≥ 0
2

Điều này luôn đúng, dấu bằng xảy ra

⇔a=b

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có:
Cộng vế theo vế ta có:

 c 3 + b3
1
1
≥
+

2
2
 cb ( c + b ) 2c 2b

3
3
1
1
 c +a
≥
+
2
2
 ca ( c + a ) 2c 2a


a 3 + b3
b3 + c 3
c3 + a3
1

1
1
1
1
1 1 1 1
+
+
≥
+
+ +
+
+
= + +
2
2
2
2
2
2
ab ( a + b ) bc ( b + c ) ac ( c + a ) 2a 2b 2c 2c 2a 2b a b c
a=b=c

Dấu “=” xảy ra khi
Vậy ta có điều phải chứng minh
Câu 5.
Gọi phương trình đường thẳng

OM

y = ax + b

là:

b = 0
a = 2
⇔
⇒ OM : y = 2 x

50a + b = 100
b = 0

Ta có:
Tương tự ta có:

y=0

Phương trình đường thẳng ON là:
y = −2 x + 200
MN
Phương trình đường thẳng
là:
Những điểm nằm trong tam giác

OMN

phải thỏa mãn điều kiện:

y > 0
2 x > 0 ⇒ x > 0


⇒
 y < 2x
 y < −2 x + 200 −2 x + 200 > 0 ⇒ x < 100


Do tọa độ nguyên nên các điểm thỏa mãn đề bài là :
Lại có:
Từ đó:
Nếu

2 x ≤ −2 x + 200 ⇔ x ≤ 50; 2 x > −2 x + 200 ⇔ x > 50

x =1

ta có:

x=2

Nếu
ta có
………………
Nếu

x = 1; 2;3......;98;99

x = 50

ta có

y < 2x ⇒ y < 2 ⇒

y < 2x ⇒ y < 4 ⇒

có 1 điểm nguyên
có 3 điểm nguyên

y < 2 x ⇒ y < 100 ⇒

có 99 điểm nguyên


x = 51 ⇒ y < −2 x + 100 ⇒ y < 98 ⇒

Nếu
có 97 điểm nguyên
…………………
y < −2 x + 200 ⇒ y < 2 ⇒
x = 99
Nếu
ta có:
có 1 điểm nguyên
2 ( 1 + 3 + 5 + ..... + 97 ) + 99 = 2.

Vậy tổng số điểm thỏa mãn là :
Câu 6.

1) Chứng minh tứ giác ECDF nội tiếp

49.(2.1 + 48.2)
+ 99 = 4901
2

điểm


1
1
µ 1
E = sdAB = sdBC = sdAC


2
2
2

 ·ADC = 1 sdAC

2


Ta có:
(Vì góc ADC là góc nội tiếp (O) chắn cung AC)
2) Gọi H là trung điểm…..
Gọi K là giao điểm EO và AH
EAF là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên là góc vuông
Tam giác ABF và ABE đều vuông tại E nên:
·
sin BAF
=

BF 2 HF

=
AF
FA

·
BAF
= ·AEB

Mặt khác

sin ·AEB =

;

(do cùng phụ với

·
EAB

AB 2 AO
=
AE
FA

) nên

HF AO
=
FA FA

·
 ·AFH = EAO

 HF AO ⇒ ∆AFH : ∆AEO (c.g .c )
=

 FA FA

·
·
⇒ FAH
= EAO
·
·
·
⇒ FAH
+ EAK
= 900 = ·AEO + EAK
⇒ ·AEK = 900 ⇒ OE ⊥ AH (dpcm)

3) Gọi K là giao điểm…..
Ta có: OBD là tam giác cân tại O nên

·
·
ODB
= OBD

EDB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên đây là góc vuông, do đó
đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Do vậy BHD cân tại H nên

·
·
BDH
= DBH

·
·
·
·
·
·
·
ODH
= ODB
+ BDH
= OBD
+ DBH
= OBH
= 900 = OKH

Vậy
Do đó tứ giác OKDH nội tiếp

·
·
 KDO
= KHO
·

·
·
·
⇒
⇒ CEK
= KDO
⇒ CDK
= CEK
·
·
CEK = KHO

Nên tứ giác ECKD nội tiếp
Vậy K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ECD
4) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tâm giác ECDF……

DH = BH

(tính chất


Gọi N là giao điểm của CB và KH
Vì các góc

·
·
ECN
, EKN

vuông nên: EN là đường kính của (I) , I là trung điểm của EN

Gọi P là hình chiếu của I lên EF. Do NF vuông với EF (vì EFN là góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn) nên IP//NF
⇒ IP =

IP là đường trung bình tam giác ENF
Tứ giác AFNB có
IP =

Do đó:

FN / / AB; FA / / NB

FN
2

nên là hình bình hành, do vậy

FN = AB

1
AB = OB
2

Mà OB cố định nên I luôn di động trên đường thẳng song song với EF, cách EF một
khoảng không đổi OB
AB luôn cắt (I) tại 2 điểm. Gọi 2 điểm đó là M và Q, R là bán kính đường tròn tâm O
·
·
 MOD

= COQ
⇒ ∆ODM : ∆OQC ( g − g )

·
·
= CQO
 MDO
OD OM
⇒
=
⇒ OD.OC = R 2 = OM .OQ
OQ OC
·
·
CAM
= QAE
⇒ ∆ACM : ∆AQE ( g .g )

·
·
ACM
=
AQE

AC AM
⇒
=
⇔ AC. AE = AQ. AM
AQ AE

AC. AE = AB 2 = 4 R 2 ⇒ AQ. AM = 4 R 2
⇔ ( AO + OQ ) . ( AO − OM ) = 4 R 2
⇔ ( R + OQ ) . ( R − OM ) = 4 R 2
⇔ R 2 − R.OM + R.OQ − OQ.OM = 4 R 2
⇔ R 2 + R ( OQ − OM ) − R 2 = 4 R 2
⇒ OQ − OM = 4 R

Do vậy ta luôn tính được OQ, OM theo R. Mà O, R cố định nên Q, M cố định
Vậy đường tròn (I) luôn đi qua 2 điểm cố định M, Q khi C di động trên đường tròn (O)