Giải xấp xỉ phương trình phi tuyến và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ KHÁNH HÒA

GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VÀ
ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

Hà Nội - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ KHÁNH HÒA

GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Nguyễn Văn Hùng

Hà Nội - 2018


1

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng, thầy đã tận
tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và giúp đỡ tôi
hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo phòng Sau đại học, các thầy
cô giáo khoa toán, cũng như các thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K20 đợt 2
chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn
quan tâm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình
học tập và hoàn thiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn.

Hà Nội, tháng 10 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Thị Khánh Hòa


2

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS Nguyễn Văn
Hùng, luận văn thạc sĩ chuyên nghành Toán giải tích với đề tài “Giải xấp xỉ

phương trình phi tuyến và ứng dụng” được hoàn thành bởi sự tìm hiểu, nghiên
cứu và nhận thức của bản thân tác giả.
Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 10 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Thị Khánh Hòa


3

Mục lục
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Mục lục

4

Mở đầu

5

Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
1.1 Kiến thức về giải tích số . . . . . . . . . .
1.1.1 Số gần đúng . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Sai số . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Sai số tính toán . . . . . . . . . . .
1.1.4 Bài toán ngược của lý thuyết sai số
1.2 Kiến thức về giải tích hàm . . . . . . . . .
1.2.1 Một số không gian hàm . . . . . .
1.2.2 Nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình phi
2.1 Các phương pháp chia khoảng . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Phương pháp chia đôi . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Phương pháp điểm sai . . . . . . . . . . . . .
2.2 Phương pháp lặp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Phương pháp dây cung . . . . . . . . . . . . .
2.4 Hệ các phương trình phi tuyến . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

tuyến
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

7
7
7

8
9
11
13
13
16

.
.
.
.
.
.
.
.

18
19
19
23
25
31
31
34
37


4

Chương 3. Ứng dụng

3.1 Một số bài toán ứng dụng . . . .
3.2 Tính toán bằng phần mềm Maple
3.2.1 Phương pháp chia đôi . .
3.2.2 Phương pháp lặp đơn . . .
3.2.3 Phương pháp Newton . . .
3.2.4 Phương pháp dây cung . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

43
43
49
49
52
55
58

Kết luận

62

Tài liệu tham khảo

63


5

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình toán trung học phổ thông các bài toán về phương trình
và hệ phương trình là các bài toán hấp dẫn với cả giáo viên và các em học sinh,
đặc biệt với các em có tư duy khá. Tuy nhiên khi gặp các phương trình không

tuyến tính thì việc tìm tòi lời giải không phải là điều dễ dàng. Là một giáo viên
dạy toán trung học phổ thông tôi muốn giúp các em học sinh của mình có tư
duy, phương pháp giải bài toán một cách dễ dàng.
Mặt khác, trong thực tế nhiều bài toán như trong thiên văn, đo đạc ruộng
đất,. . . dẫn đến việc giải các phương trình phi tuyến. Tuy nhiên các phương
trình này thường phức tạp, khó có thể giải chính xác được mà chỉ có thể giải
gần đúng. Với công cụ máy tính giúp ích rất nhiều cho công việc này, có thể
tìm các nghiệm gần đúng với một sai số cho trước, hỗ trợ đắc lực cho việc tiếp
thu tốt các kiến thức khoa học một cách nhanh chóng.
Vì những lí do trên nên tôi chọn đề tài này để tìm hiểu, nghiên cứu và giải
quyết một phần của các vấn đề đó.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu các phương pháp giải các phương trình
đại số phi tuyến để vận dụng trong toán phổ thông và các bài toán thực tế.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
a) Hệ thống các kiến thức cơ bản cần dùng trong đề tài.


6

b) Tìm hiểu các phương pháp tìm nghiệm và nghiệm gần đúng của các
phương trình đại số phi tuyến và các ứng dụng trong giải toán.
c) Minh họa các phương pháp bằng chương trình Maple.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các phương pháp giải phương trình đại số phi tuyến như: Phương pháp dây
cung, phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton,. . . dùng để giải các bài toán
trong chương trình phổ thông và một số bài toán thực tế.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu giải tích số và giải tích hàm.

6. Dự kiến nội dung
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến
Chương 3: Ứng dụng


7

Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
1.1

Kiến thức về giải tích số

1.1.1

Số gần đúng

Định nghĩa 1.1.1 ([1]). Số a được gọi là số gần đúng của số a∗ nếu như a
không sai khác a∗ nhiều. Hiệu số ∆ = |a − a∗ | được gọi là sai số thực sự của a.
Nói chung vì không biết a∗ nên cũng không biết ∆, tuy nhiên ta có thể tìm
được ∆a ≥ 0 thỏa mãn điều kiện
|a − a∗ | ≤ ∆a

(1.1)

hay a − ∆a ≤ a∗ ≤ a + ∆a . Đương nhiên, ∆a thỏa mãn điều kiện (1.1) càng
nhỏ càng tốt.
Định nghĩa 1.1.2. Số ∆a nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện
|a − a∗ | ≤ ∆a
được gọi là sai số tuyệt đối của a.
Định nghĩa 1.1.3. Tỉ số δa =

∆a
được gọi là sai số tương đối của a.
|a|

Rõ ràng ∆a , δa càng nhỏ càng tốt.
Ví dụ 1.1.1. Giả sử a∗ = π, a = 3.14. Do
3.14 < a∗ < 3.15 = 3.14 + 0.01

(1.2)


8

nên ta có thể lấy ∆a = 0.01. Mặt khác,
3.14 < π < 3.142 = 3.14 + 0.002
do đó có thể coi ∆a = 0.002.
Ví dụ 1.1.2. Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta được a = 10 cm và b = 1
cm với ∆a = ∆b = 0.01. Khi đó ta có
δa =

∆a
0.01
=

= 0.1%
a
10

còn

∆b
0.01
=
= 1%
b
1
hay δb = 10δa . Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác hơn hẳn phép đo b mặc dù
∆a = ∆b . Như vậy độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương
đối.
δb =

1.1.2

Sai số

Một số thập phân a có dạng tổng quát như sau
a = ±(βp 10p + βp−1 10p−1 + · · · + βp−s 10p−s )
trong đó 0 ≤ βi ≤ 9 (i = p − 1, . . . , p − s), βp > 0 là những số nguyên.
• Nếu p − s ≥ 0 thì a là số nguyên.
• Nếu p − s = −m (m > 0) thì a là số thập phân có phần lẻ gồm m chữ số.
• Nếu s = +∞, a là số thập phân vô hạn.
Ví dụ 1.1.3. Cho a = 25670 = 2 · 104 + 5 · 103 + 6 · 102 + 7 · 101 . Ta có
p − s = 1 ≥ 0 nên a = 25670 là số nguyên.
Ví dụ 1.1.4. Cho a = 35.74 = 3 · 101 + 5 · 100 + 7 · 10−1 + 4 · 10−2 . Ta có

p − s = −2 nên a = 35.48 là số thập phân có phần lẻ gồm hai chữ số.
Làm tròn một số a là vứt bỏ một số các chữ số bên phải a để được một số
a
¯ ngắn gọn hơn và gần đúng nhất với a.
Quy tắc làm tròn: Giả sử
a = βp 10p + · · · + βj 10j + · · · + βp−s 10p−s


9

và ta giữ lại đến số hạng thứ j. Gọi phần vứt bỏ là µ, ta đặt
a
¯ = βp 10p + · · · + βj+1 10j+1 + β˜j 10j ,
trong đó
βj + 1 nếu 0.5 · 10j < µ < 10j

β˜j :=

βj

nếu 0 < µ < 0.5 · 10j .

Nếu µ = 0.5 · 10j thì β˜j = βj nếu βj là chẵn và β˜j = βj+1 nếu βj lẻ vì tính
toán với số chẵn tiện hơn.
Ví dụ 1.1.5. Theo quy tắc làm tròn bên trên ta có
π ≈ 3.141592 ≈ 3.14159 ≈ 3.1416 ≈ 3.142 ≈ 3.14 ≈ 3.1 ≈ 3,
và
2.718281828 ≈ 2.71828183 ≈ 2.7182818 ≈ 2.718282
≈ 2.71828 ≈ 2.7183 ≈ 2.718 ≈ 2.72 ≈ 2.7.
Định nghĩa 1.1.4 ([1]). Sai số làm tròn Γa ≥ 0 là số thỏa mãn điều kiện

|¯
a − a| = Γa .
Vì
a = βp 10p + · · · + βj 10j + µ,
còn
a
¯ = βp 10p + · · · + βj+1 10j+1 + β˜j 10j
nên
|¯
a − a| = |(βj − β˜j )10j + µ| < 0.5 · 10j .
1
Do đó, sai số làm tròn Γa ≤ 10j . Sau khi làm tròn, sai số tuyệt đối tăng lên
2
vì
|a∗ − a
¯| = |a∗ − a| + |a − a
¯| ≤ ∆a + Γa .
1.1.3

Sai số tính toán

Trong tính toán ta thường gặp 4 loại sai số sau:
1. Sai số giải thiết: do mô hình hóa, lý tưởng hóa bài toán thực tế. Sai số
này không loại trừ được.


10

2. Sai số phương pháp: các bài toán thường gặp rất phức tạp, không thể giải
đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng. Sai số này được

nghiên cứu cho từng phương pháp.
3. Sai số các số liệu: các số liệu thường thu được bằng thực nghiệm do đó
có sai số. Sai số của các số liệu gần đúng đã được nghiên cứu ở các mục
trước.
4. Sai số tính toán: Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nên khi
tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán.
Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức
y = f (x1 , x2 , . . . , xn ).
Gọi x∗i my ∗ , i = 1, . . . , n và xi , y, i = 1, . . . , n là các giá trị đúng và gần đúng
của các đối số và hàm số. Nếu f khả vi liên tục thì
n
∗

|y − y | =

|f (x1 , . . . , xn ) − f (x∗1 , . . . , x∗n )|

|f i ||xi − x∗i |,

=
i=1

∂f
∂f
tính tại các điểm trung gian. Do
liên tục và
∂xi
∂xi
∆xi khá bé ta có thể coi sai số tính toán tuyệt đối ∆y bằng

trong đó f i là đạo hàm

n

|f i (x1 , . . . , xn )|∆xi ,

∆y =
i=1

do đó sai số tính toán tương đối δy bằng
∆y
δy =
=
|y|

n

∂
ln f ∆xi .
∂xi

i=1

n

Ví dụ 1.1.6. (Sai số các phép tính cộng trừ) Với y =

xi ,
i=1

n

∆y =

∆xi .
i=1

Giả sử
∆xm = max ∆xi
1≤i≤n

∂y
= 1 nên
∂xi


11

và chữ số chắc cuối cùng của xm ở hàng thứ k, nghĩa là ∆xm = 10k . Ta có
∆y ≥ ∆xm = 10k , vì vậy khi làm phép cộng đại số, nên qui tròn các xi đến
mức giữ lại 1 hoặc 2 chữ số bên phải hàng thứ k.
n

Trường hợp tổng đại số rất nhỏ, nghĩa là |y|

1 thì δy =
i=1

∆xi
|y|

1,

do đó kết quả không chính xác. Cho nên trong tính toán nên tránh các công
thức có hiệu của hai số gần nhau. Nếu không tránh được thì cần lấy các số với
nhiều chữ số chắc để hiệu của chúng có thêm chữ số chắc.
Ví dụ 1.1.7. (Sai số của phép tính nhân chia) Giả sử
x1 · · · xp
y=
.
xp+1 · · · xn
Khi đó

p

n

ln xi −

ln y =
i=1

suy ra

ln xj
j=p+1

n

δy =

δxi .
i=1

Ví dụ 1.1.8. (Sai số của các phép lũy thừa, khai căn, nghịch đảo) Cho y = xα ,
khi đó
d
δy =
ln y ∆x = |α|δx.
dx
Nếu α > 1 (phép lũy thừa) thì δy > δx, do đó độ chính xác giảm. Nếu 0 < α < 1
ta có phép khai căn, khi đó δy < δx, hay độ chính xác tăng. Nếu α = −1 ta có
phép nghịch đảo, δy = δx nghĩa là độ chính xác không đổi.
1.1.4

Bài toán ngược của lý thuyết sai số

Giả sử đại lượng y tính theo công thức y = f (x1 , . . . , xn ). Hỏi phải lấy ∆xi
bằng bao nhiêu để ∆y ≤ const cho trước? Sau đây là hai phương pháp đơn
giản để giải bài toán nêu trên.
1. Nguyên lý ảnh hưởng đều
∂f
∆xi = c (const) (i = 1, . . . , n), suy ra
Ta coi
∂xi
n

∆y =
i=1

∂f
∆xi = nc,
∂xi


12

vậy
c

∆xi =

∆y

=

∂f
∂xi

n

(i = 1, . . . , n).

∂f
∂xi

Nếu coi ∆xi = const (i = 1, . . . , n) thì
∆xi =

∆y

n
∂f
j=1 ∂xi

Nếu coi δx1 = δx2 = . . . = δxn và đặt k =
n

∆y = k

xi
i=1

do đó
∆xi =

∆xi
thì
|xi |

∂f
hay k =
∂xi

|xi |∆y
n
j=1

∂f
xj ∂x
i

.

∆y
n
j=1

∂f
xi ∂x
i

,

(i = 1, . . . , n).

Ví dụ 1.1.9. Một hình trụ có bán kính đáy R = 2m, chiều cao h = 3m. Hỏi
∆R và ∆h phải bằng bao nhiêu để thể tích V được tính chính xác tới 0.1m3 ?
Giải. Ta có V = πR2 h. Áp dụng nguyên lý ảnh hưởng đều thứ nhất, ta có
∂V
= R2 h = 12, nên
∂π
0.1
∂V
∆π =
< 0.003,
= 2πRh = 37.7,
3 × 12
∂R
suy ra
0.1

∂V
∆R =
< 0.001,
= πR2 = 12.6,
3 × 37.7
∂h
do đó
0.1
< 0.003.
∆h =
3 × 12.6
2. Phương pháp biên
Giả sử hàm y = f (x1 , . . . , xn ) đồng biến theo các biến x1 , . . . , xp và nghịch
biến theo các biến còn lại xp+1 , . . . , xn . Nếu biết cận thay đổi của đối số xi ≤
xi ≤ xi , i = 1, . . . , n, thì
y := f (x1 , . . . , xp , xp+1 , . . . , xn ) ≤ y ≤ y := f (x1 , . . . , xp , xp+1 , . . . , xn ).
Từ đây suy ra 0 ≤ ∆y ≤ y − y.


13

1.2

Kiến thức về giải tích hàm

1.2.1

Một số không gian hàm

Không gian metric

Định nghĩa 1.2.1 ([1]). Hàm số d đưa mọi cặp phần tử {x, y} của tập X vào
R1 được gọi là khoảng cách (hay metric) nếu với mọi x, y, z ∈ X ta có
a) d(x, y) ≥ 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y.
b) d(x, y) = d(y, x).
c) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (bất đẳng thức tam giác).
Định nghĩa 1.2.2 ([1]). Cặp (X, d) gồm tập nền X, metric d xác định trong
X được gọi là không gian metric.
Nếu không sợ nhầm lẫn, ta có thể dùng ký hiệu X để chỉ không gian metric
(X, d).
Ta nói dãy {xn } ⊂ X hội tụ đến phần tử x ∈ X, ký hiệu xn → x, nếu
d(xn , x) → 0 khi n → ∞. Ánh xạ A đưa không gian metric X vào không
gian metric Y liên tục tại điểm x ∈ X khi và chỉ khi mọi dãy xn → x suy ra
A(xn ) → A(x).
Dãy {xn } là dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu
∀ε > 0 ∃N (ε), ∀n, m > N (ε), d(xn , xm ) < ε.
Định nghĩa 1.2.3 ([1]). Không gian metric X là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản
hội tụ đến một phần tử nào đó thuộc X.
Không gian tuyến tính
Ta nói trên X xác định một cấu trúc tuyến tính λ, nếu với mọi x, y ∈ X với
mọi t ∈ R1 (hoặc t ∈ C) xác định phép cộng x + y ∈ X và phép nhân tx ∈ X,
thỏa mãn các tính chất sau:
1. x + y = y + x (giao hoán)
2. (x + y) + z = x + (y + z); s(tx) = (st)x (kết hợp)


14

3. (s + t)x = sx + tx; t(x + y) = tx + ty (phân phối)
4. Tồn tại phần tử không: x + θ = x ∀x ∈ X
5. Tồn tại phần tử đối: x + (−x) = θ ∀x ∈ X

6. 1 · x = x,
trong đó x, y, z là các phần tử bất kỳ thuộc X, s, t là hai số thực (phức) bất
kỳ.
Định nghĩa 1.2.4 ([1]). Không gian tuyến tính (X, λ) là tập nên X được
trang bị cấu trúc tuyến tính λ.
Sau này, nếu không sợ nhầm lẫn có thể dùng ký hiệu X để chỉ không gian
tuyến tính (X, λ).
Định nghĩa 1.2.5 ([1]). Tập F ⊂ X là không gian con của không gian tuyến
tính X, nếu F kín với phép cộng và phép nhân với đại lượng vô hướng:
∀α, β ∈ R1 (C), ∀x, y ∈ F ⇒ αx + βy ∈ F.
Định nghĩa 1.2.6 ([1]). Ánh xạ đưa không gian tuyến tính X vào không
gian tuyến tính Y được gọi là toán tử tuyến tính nếu với mọi x, y ∈ X và
α, β ∈ R1 (C) ta có
A(αx + βy) = αAx + βAy.
Ánh xạ f đưa không gian tuyến tính X vào R1 gọi là phiếm hàm. Nếu f là
toán tử tuyến tính đưa X vào R1 ta nói f là phiếm hàm tuyến tính.
Không gian tuyến tính định chuẩn
Ta nói trên không gian tuyến tính X xác định một cấu trúc chuẩn nếu với
x ∈ X, xác định một số x , gọi là chuẩn của x, thỏa mãn ba tính chất sau:
1. Xác định dương: x ≥ 0, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
2. Thuần nhất tương: tx = |t| x ∀x ∈ X, ∀t ∈ R1 .
3. Bất đẳng thức tam giác: x + y ≤ x + y ∀x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.2.7 ([1]). Nếu
gian tuyến tính định chuẩn.

·

là chuẩn trên X, ta nói (X, · ) là không

15

Mọi không gian tuyến tính định chuẩn là không gian metric với khoảng
cách d(x, y) = x − y . Dãy {xn } ⊂ X hội tụ đến x ∈ X khi và chỉ ki
xn − x → 0 (n → ∞).
Không gian Banach là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ. Hai chuẩn
· 1 và · 2 xác định trong không gian tuyến tính X gọi là tương đương nếu
tồn tại hai hằng số c1 , c2 > 0 sao cho
∀x ∈ X, c1 x

1

≤ x

2

≤ c2 x 1 .

Trong không gian hữu hạn chiều, mọi chuẩn đều tương đương. Toán tử tuyến
tính A đưa không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính
định chuẩn Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho
∀x ∈ X, Ax

Y

≤M x

X.

Toán tử tuyến tính là liên tục khi và chỉ khi nó giới nội.

Không gian có tích vô hướng
Hàm số ·, · đưa mọi cặp x, y trong không gian tuyến tính H vào R1 gọi là
tính vô hướng của x, y, ký hiệu là x, y nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
1. x, x ≥ 0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0
2. x, y = y, x
3. αx + βy, z = α x, z + β x, z , ∀x, y, z ∈ H, ∀α, β ∈ R1 .
Định nghĩa 1.2.8 ([1]). Cặp (H, ·, · ) gọi là không gian có tích vô hướng hay
không gian tiền Hilbert.
Mọi không gian có tích vô hướng là không gian định chuẩn với chuẩn x =
x, x 1/2 . Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đầy đủ.
Với mọi x, y ∈ H ta có bất đẳng thức CBS (Cauchy - Buniakovski Schwartz):
| x, y | ≤ x y .


16

1.2.2

Nguyên lý ánh xạ co

Định nghĩa 1.2.9 ([1]). Ánh xạ A đưa không gian metric (X, d) vào trong
nó được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại hằng số q ∈ [0, 1) sao cho với mọi x, y ∈
X, d(A(x), A(y)) ≤ qd(x, y). Hằng số q được gọi là hệ số co của A.
Định lý 1.2.1 (Nguyên lý ánh xạ co, [1]). Cho A là ánh xạ co trong không
gian metric đủ (X, d). Khi đó,
a) Tồn tại duy nhất x∗ ∈ X sao cho A(x∗ ) = x∗ . Phần tử x∗ gọi là điểm
bất động của ánh xạ A.
b) Mọi dãy lặp xn+1 = A(xn ) (n ≥ 0) xuất phát từ x0 bất kỳ đều hội tụ.
Ngoài ra, ta có các ước lượng sau:
d(xn , x∗ ) ≤ q n (1 − q)−1 d(x0 , x1 )

d(xn , x∗ ) ≤ q(1 − q)−1 d(xn−1 , xn )

(n ≥ 1)
(n ≥ 1).

(1.3)
(1.4)

Chứng minh. a) Vì
d(xn+1 , xn ) = d(A(xn ), A(xn−1 )) ≤ qd(xn , xn−1 ) ≤ · · · ≤ q n d(x0 , x1 )
nên
d(xn , xn+m ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + · · · + d(xn+m−1 , xn+m )
≤ q n d(x0 , x1 )(1 + q + · · · + q m−1 )
≤ q n (1 − q)−1 d(x0 , x1 ).
Từ đây suy ra dãy {xn } là dãy cơ bản. Do X đầy đủ nên xn → x∗ . Qua giới
hạn trong biểu thức xn+1 = A(xn ) ta được x∗ = A(x∗ ).
Giả sử ξ, ζ là hai điểm bất động của A. Ta có
0 ≤ d(ξ, ζ) = d(A(ξ), A(ζ)) ≤ qd(ξ, ζ).
Từ đây suy ra d(ξ, ζ) = 0 hay ξ ≡ ζ.
b) Cho m → ∞ trong biểu thức
d(xn , xn+m ) ≤ q n (1 − q)−1 d(x0 , x1 )
ta được
d(xn , x∗ ) ≤ q n (1 − q)−1 d(x0 , x1 ).


17

Để nhận được đánh giá (1.4) ta đánh giá
d(xn , xn+m ) ≤ qd(xn−1 , xn )(1 + q + · · · + q m−1 ) ≤ q(1 − q)−1 d(xn−1 , xn ).
Qua giới hạn khi m → ∞, ta có (1.4).

Với mỗi x0 ∈ X cố định, tập
S(x0 , R) := {x ∈ X : d(x, x0 ) < R}
được gọi là hình cầu mở tâm x0 , bán kính R. Tương tự như vậy các tập
¯ 0 , R) := {x ∈ X : d(x, x0 ) ≤ R}
S(x
và
S 0 (x0 , R) := {x ∈ X : d(x, x0 ) = R}
được gọi là hình cầu đóng hoặc mặt cầu tâm x0 , bán kính R.
¯ 0 , r) ⊂ X, trong đó X là không gian
Hệ quả 1.2.1 ([1]). Giả sử ∀x, y ∈ S(x
metric đủ, d(A(x), A(y)) ≤ qd(x, y) với hằng số q ∈ (0, 1). Nếu d(A(x0 ), x0 ) ≤
¯ 0 , r).
(1 − q)r thì A có duy nhất một điểm bất động trong S(x
¯ 0 , r) với metric d cũng là một không gian metric
Chứng minh. Tập Z := S(x
đủ. Để áp dụng nguyên lý ánh xạ co, chỉ cần chứng tỏ A đưa tập Z vào tập Z.
Thật vậy,
∀x ∈ Z d(A(x), x0 ) ≤ d(A(x), A(x0 )) + d(A(x0 ), x0 )
≤ qr + (1 − q)r = r,
nghĩa là A(x) ∈ Z.


18

Chương 2
Một số phương pháp giải phương
trình phi tuyến
Một trong các bài toán cơ bản của toán học là giải phương trình có dạng
f (x) = 0

(2.1)

trong đó f là hàm giá trị thực biến số thực. Số α thỏa mãn (2.1) được gọi là
một nghiệm của phương trình hay một không điểm của f. Nếu
f (x) = mx + d
với m và d là các hằng số cho trước, thì f được gọi là tuyến tính; nếu f không
viết được dưới dạng này thì f được gọi là phi tuyến. Hầu hết các phương trình
trong thực tế là phương trình phi tuyến và hiếm khi chúng có dạng đơn giản
để ta xác định nghiệm một cách chính xác. Khi đó, chúng ta cần phải dùng
phương pháp số để tìm nghiệm của chúng. Các kỹ thuật giải này được chia
thành hai loại gồm các phương pháp một điểm và các phương pháp hai điểm.
Ở mỗi bước của phương pháp hai điểm, ta tìm một cặp số, chúng tạo thành
một khoảng mà nghiệm nằm trong đó. Nói chung độ rộng của khoảng sẽ giảm
dần khi tiếp tục phương pháp, cho phép tính nghiệm tới độ chính xác cho trước
bất kỳ. Các ví dụ về phương pháp hai điểm là phương pháp chia đôi và phương
pháp điểm sai. Ngược lại, các phương pháp một điểm sinh ra một dãy số hội tụ
tới một trong các nghiệm của phương trình. Ví dụ như phương pháp lặp đơn,
phương pháp Newton, phương pháp cát tuyến.
Tất cả các phương pháp trình bày trong chương này dùng để giải phương
trình phi tuyến. Tuy nhiên, tồn tại các kỹ thuật đặc biệt áp dụng cho từng lớp
hàm giới hạn cụ thể, ví dụ như hàm đa thức.


19

2.1

Các phương pháp chia khoảng

2.1.1

Phương pháp chia đôi

Các phương pháp miêu tả trong chương này có thể được sử dụng để tìm
một nghiệm α của phương trình (2.1) tới độ chính xác cụ thể bất kỳ. Chúng
bắt đầu với một ước lượng ban đầu của α và liên tiếp cải tiến phép xấp xỉ này
cho tới khi thu được độ chính xác đặt ra. Ta có thể thu được thông tin chính
xác về số nghiệm và phép xấp xỉ của chúng bằng việc vẽ đồ thị của f và tìm
các giao điểm với trục x. Tuy nhiên, đôi khi để cho đơn giản ta biểu diễn lại
phương trình (2.1) thành
f1 (x) = f2 (x)
với hàm f1 và f2 có đồ thị dễ vẽ hơn so với f. Khi đó, các nghiệm của phương
trình ban đầu là các điểm mà đồ thị của f1 và f2 giao nhau. Ví dụ, phương
trình
2
(x + 1)2 e(x −2) − 1 = 0.
(2.2)
có thể được biểu diễn lại thành
2

(x + 1)2 = e(2−x ) .

Hình 2.1: Đồ thị hàm số y = (x + 1)2 và y = e(2−x

Rõ ràng từ hình 2.1 đồ thị của y = (x + 1)2 và y = e(2−x
Do đó, phương trình (2.2) có đúng hai nghiệm.

2

)

2)

giao nhau hai lần.

Giả sử f xác định và liên lục trên đoạn [a, b]. Nếu giá trị của f (x) tại x = a
và x = b trái dấu thì rõ ràng từ hình 2.2, f phải có ít nhất một không điểm


20

Hình 2.2: Hàm f có một không điểm thuộc (a, b)

giữa a và b. Kết quả này cung cấp một cách đơn giản và hiệu quả để tìm vị trí
xấp xỉ của không điểm của f. Ví dụ, xét hàm
f (x) = (x + 1)2 e(x

2

−2)

− 1.

Giá trị của f (x) với x = −3, −2, . . . , 3 được liệt kê trong Bảng 2.1, làm tròn
đến một số thập phân. Trong trường hợp này, f (−2) > 0, f (−1) < 0, f (0) < 0
và f (1) > 0. Do đó hàm có không điểm trong các đoạn [−2, −1] và [0, 1].
2 −2)

Bảng 2.1: Giá trị của hàm f (x) = (x + 1)2 e(x
x

−3

f (x) 4385.5

−2
6.4

−1

0

−1.0 −0.9

1

2

0.5 65.5

−1
3

17545.1

Định nghĩa 2.1.1. Một đoạn chứa một hoặc nhiều nghiệm của phương (2.1)
được gọi là một khoảng phân ly.
Bây giờ ta miêu tả hai phương pháp, được gọi là phương pháp chia đôi và
phương pháp điểm sai, mà giúp thu nhỏ khoảng phân ly một cách có hệ thống.
Xét một khoảng phân ly [a, b] mà f (a)f (b) < 0. Trong phương pháp chia

đôi, ta tính giá trị của f tại trung điểm c = (a + b)/2. Khi đó, có ba khả năng.
Đầu tiên, có thể xảy ra f (c) = 0 (mặc dù khó xảy ra). Trong trường hợp này, c
là một không điểm của f và không cần làm thêm bất cứ điều gì. Thứ hai, nếu
f (a)f (c) < 0, thì f có một không điểm giữa a và c. Ta lặp lại quá trình trên


21

đoạn mới [a, c]. Cuối cùng, nếu f (a)f (c) > 0 thì f (b)f (c) < 0 vì ta biết rằng
f (a) và f (b) trái dấu. Cho nên, f có một không điểm giữa c và b và lặp lại
quá trình cho đoạn mới [c, b]. Sau một bước của thuật toán, ta tìm được không
điểm hoặc một đoạn dây cung mới mà có độ dài bằng đúng một nửa đoạn dây
cung ban đầu. Quá trình tiếp tục cho tới khi độ dài của dây cung nhỏ hơn một
dung sai cho trước. Phương pháp này được minh họa trong hình 2.3.

Hình 2.3: Minh họa phương pháp chia đôi

Ví dụ 2.1.1. Để minh họa phương pháp chia đôi, ta tìm nghiệm dương của
phương trình
2
f (x) = (x + 1)2 ex −2 − 1 = 0
bắt đầu với khoảng phân ly [0, 1]. Với phương trình này, f (0) < 0 và f (1) > 0.
Trung điểm của đoạn là c = 0.5 với f (c) = −0.609009. Do f (0.5)f (1) < 0, ta
suy ra nghiệm nằm trong đoạn [0.5, 1].
Bước này và các bước tiếp theo của phương pháp chia đôi được chỉ ra trong
Bảng 2.2. Sau 17 lần chia đôi, khoảng phân ly là [0.866868, 0.866876]. Do đó,
giá trị của α được định lượng bằng
0.866872 ± 0.000004.
Lưu ý rằng ta có thể biết trước số lần chia đôi cần thiết để thu được độ
chính xác cho trước. Giả sử ta muốn tính nghiệm có sai số ±(1/2) × 10−k . Lấy

điểm giữa trong phép xấp xỉ của đoạn dây cung có độ dài 10−k đảm bảo rằng
độ sai số nhiều nhất là (1/2) × 10−k . Nếu khoảng phân ly ban đầu là [a, b] thì
sau n bước khoảng phân ly chiều dài là (b − a)/2n . Cho nên ta cần
(b − a)/2n < 10−k


22
Bảng 2.2:
n

a

b

c

f (c)

1

0

1

0.5

−0.609009

2

0.5

1

0.75

−0.272592

3

0.75

1

0.875

0.023105

4

0.75

0.875

0.8125

−0.139662

5

0.8125

0.875

0.84375

−0.062448

6

0.84375

0.875

0.859375

−0.020775

7

0.859375

0.875

0.867188

0.000883

8

0.859375

0.867188

0.863282

−0.010015

9

0.863282

0.867188

0.865235

−0.004584

10

0.865235

0.867188

0.866212

−0.001854

11

0.866212

0.867188

0.866700

−0.000487

12

0.866700

0.867188

0.866944

0.000 198

13

0.866700

0.866944

0.866822

−0.000145

14

0.866822

0.866944

0.866883

0.000027

15

0.866822

0.866883

0.866853

−0.000058

16

0.866853

0.866883

0.866868

−0.000016

17

0.866868

0.866883

0.866876

0.000007

tức là
2n > 10k (b − a).
Lấy logarit ta được
n log10 2 > log10 [10k (b − a)]
hay
n>

log10 [10k (b − a)]
.
log10 2

Ví dụ, khi a = 0, b = 1 và k = 5 bất đẳng trên trở thành
n>

log10 [105 (1 − 0)]
5
=
= 16.6.
log10 2
log10 2

23

Điều này khẳng định rằng cần 17 lần lặp để nghiệm trong Ví dụ 2.1.1 có sai số
±(1/2) × 10−5 .
2.1.2

Phương pháp điểm sai

Một hạn chế của phương pháp chia đôi là nó tìm các giá trị liên tiếp của
c chỉ sử dụng dấu của f (a) và f (b) mà không phản ánh độ lớn tương đối của
chúng. Ví dụ, nếu f (a) = 5000 và f (b) = −0.1, rõ ràng ta nên chọn giá trị của
c gần b hơn so với a. Phương pháp điểm sai cung cấp một cách để làm điều
này. Thay vì chỉ đơn giản chia đôi đoạn [a, b], ta lấy điểm c là giao của dây
cung nối (a, f (a)) và (b, f (b)) với trục Ox. Điều này được minh họa trong hình
2.4.

Hình 2.4: c là giao điểm của dây cung nối (a, f (a)) và (b, f (b)) với trục Ox

Phương trình tổng quát của đường thẳng là
y = mx + d
và điều kiện nó đi qua điểm (a, f (a)) và (b, f (b)) dẫn tới
f (b) − f (a)
af (b) − bf (a)
, d=
.
b−a
a−b
Giá trị của y bằng không tại điểm
d
af (b) − bf (a)

c=− =
.
m
f (b) − f (a)
m=

Khi đã tính được c theo công thức này, quá trình được lại cho đoạn [a, c] nếu
f (a)f (c) < 0 và cho đoạn [c, b] nếu f (b)f (c) < 0. Phương pháp được minh họa
trong hình 2.5.