Bài Tập Toán học kì 1 Lớp 12 tập 1 (dành cho học sinh)

MỤC LỤC
NỘI DUNG ---------------------------------------------------------------------------------- TRANG

PHẦN I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM --------------------------------------------------------------------- 1

ÔN TẬP NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ ĐỂ VẬN DỤNG GIẢI TOÁN----------------------------------1
§1 - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ -----------------------------------------------------------------------------7
§2 - CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ------------------------------------------------------------------------------------- 19
§3 - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (GTLN) VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (GTNN) CỦA HÀM SỐ ---------------- 36
§4 - TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ------------------------------------------------------------------------ 42
§5 - KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ----------------------------------------------- 47
§6 - CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ------------------------------------------ 62

PHẦN II. MŨ VÀ LOGARIT ----------------------------------------------------------------------- 67

LÝ THUYẾT -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 67
§1 – LŨY THỪA - HÀM SỐ LŨY THỪA ---------------------------------------------------------------------- 75
§2 – LOGARIT ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 76
§3- HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT ------------------------------------------------------------------------- 79
§4 – PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ------------------------------------------------- 86
§5- BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ------------------------------------- 90

PHẦN III. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ------------------------------------------------------------ 93

CHƯƠNG I – KHỐI ĐA DIỆN ----------------------------------------------------------------------------------- 95
§1. TÍNH CHẤT KHỐI ĐA DIỆN -------------------------------------------------------------------------------- 95
§2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP -------------------------------------------------------------------------------------- 97
§3. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ------------------------------------------------------------------------------- 99
§4. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU ---------------------------------------101
§5. KHOẢNG CÁCH ---------------------------------------------------------------------------------------------103
§6. CÁC BÀI TOÁN TỈ SỐ THỂ TÍCH ------------------------------------------------------------------------105

CHƯƠNG II – KHỐI TRÒN XOAY ----------------------------------------------------------------------------107
§7. MẶT CẦU -----------------------------------------------------------------------------------------------------111
§8. KHỐI NÓN-----------------------------------------------------------------------------------------------------115
§9. KHỐI TRỤ -----------------------------------------------------------------------------------------------------116


Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

NĂM HỌC 2018 - 2019

ÔN TẬP NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ
ĐỂ VẬN DỤNG GIẢI TOÁN
Vấn đề 1
CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM

 x  '  .x
1
  x ' 
2 x
'
1
1
     2
x 
x


1

 u  '  .u .u '
u'
  u ' 
2 u
'
1
u'
     2
u 
u

 sin x  '  cos x
 (cos x )'   sin x
1
 tan x  ' 
cos2 x
1
 cot x  '   2
sin x



1

 sin u  '  u '. cos u
 (cos x )'  u ' .sin u
u'

 tan u  ' 
cos2 u
u'
 cot u  '   2
sin u

 e  '  u '.e
 
 a  '  a . ln a  a  '  u ' .a

 ex '  e x
x

x

u

u

u

u

.ln a

 u.v  '  u '.v  v ' .u
'

u 
u '.v  v ' u

   
 v 
v2
1
x
1
 ln x  ' 
x

 ln x  ' 

 loga x  ' 

u'
u
u'
 ln u  ' 
u

 ln u  ' 

1
u'
 loga u  ' 
x ln a
u ln a

Vấn đề 2
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Hệ thức lượng cơ bản

sin 2 x  cos2 x  1
sin x
tan x 
cos x
1
2
1  tan x 
c os2x

tan x . cot x  1
cos x
cot x 
sin x
1
1  cot2 x 
sin2 x

Công thức cộng cung
sin a  b   sin a.cos b  cos a. sin b
cos a  b   cos a. cos b  sin a.sin b
tan a  tan b
tan a  b  
1  tan a. tan b
tan a  tan b
tan a  b  
1  tan a. tan b

Công thức biến đổi tổng thành tích
1
cos a  b   cos a  b 


2 
1
sin a. cos b   sin a  b   sin a  b 

2
cos a .cos b 

sin a .sin b 

1
cos a  b   cos a  b 

2 

Công thức nhân đôi – nhân ba – hạ bậc
sin 2x  2 sin x . cos x
cos 2x  cos2 x  sin2 x  2cos2 x  1  1  2 sin2 x
1  cos 2x
1  cos 2x
 sin2 x 
; cos2 x 
2
2
sin 3x  3 sin x  4 sin 3 x
(3sin – 4sỉn)
cos 3x  4 cos3 x  3 cos x
(4cổ – 3 cô)

Công thức biến đổi tổng thành tích

a b
a b
cos a  cos b  2 cos
. cos
2
2
a b
a b
cos a  cos b  2 sin
. sin
2
2
a b
a b
sin a  sin b  2 sin
. cos
2
2
a b
a b
sin a  sin b  2 cos
.sin
2
2

Công thức tính sin , cos  theo t  tan
2


2t

sin  
1  t2



1  t2
Đặt t  tan  cos  

2
1  t2

tan   2t

1  t2


/>
TRANG 1


Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

NĂM HỌC 2018 - 2019

Một số công thức khác

Một số công thức khác

1
3  1 cos 4x
cos4 x  sin4 x  1  sin2 2x 
2
4
3
5

3
cos
4x
cos6 x  sin6 x  1  sin2 2x 
4
8
2
tan x  cot x 
sin 2x
cot x  tan x  2 cot2x





sin x  cos x  2 sin x    2 cos x  
4 
4 







sin x  cos x  2 sin x    2 cos x  
4 
4 



Vấn đề 3
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình lượng giác cơ bản:

 u  v  k 2
a. Phương trình: sin u  sin v  
u    v  k 2

Đặc biệt:


sin x  0  x  k 



sin x  1  x   k 2

2


sin x  1  x    k 2


2


cos x  0  x    k 

2
Đặc biệt: cos x  1  x  k 2

cos x  1  x    k 2



u  v  k 2
b. Phương trình: cos u  cos v  
 u  v  l 2
tan u  tan v  u  v  k 
c. Phương trình:

Ðk : u, v   k 
2
tan x  0  x  k 


 tan x   1  x     k 

4

Đặc biệt:



cot x  0  x    k 
2
Đặc biệt: 


cot x   1  x    k 
4


cot u  cot v  u  v  k 

d. Phương trình:

Ðk : u, v  k 

2. Phương trình lượng giác cổ điển dạng: a sin x  b cos x  c 1
 Điều kiện có nghiệm: a 2  b 2  c 2 .
 Chia hai vế cho a 2  b 2 , ta được: 1 
 Đặt sin  

a
2

a b

2

, cos  

sin . sin x  cos .cos x 

 x      k 2

c

b
2

a  b2

a2  b2
(k  )

a
2

a b

2

sin x 

b
2

a b

2

cos x 

c
2

a  b2

  0, 2  . Phương trình trở thành:

 cos(x  ) 

c
a2  b2

 cos 

3. Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai dạng: a sin2 x  b sin x cos x  c cos2 x  d 2
/>
TRANG 2


Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

NĂM HỌC 2018 - 2019

 Kiểm tra xem cos x  0 có phải là nghiệm hay không ? Nếu có thì nhận nghiệm này.
 Khi cos x  0 , chia hai vế phương trình 2 cho cos2 x , ta được:
a. tan 2 x  b. tan x  c  d (1  tan 2 x )
 Đặt t  tan x , đưa về phương trình bậc hai theo t : (a  d )t 2  b.t  c  d  0  t  x

3. Phương trình đố i xứng dạng: a sin x  cos x   b sin x cos x  c  0 3

 Đặt t  cos x  sin x  2.cos x  ; t  2 .
4
1
 t 2  1  2 sin x . cos x  sin x . cos x   (t 2  1)
2
 Thay vào phương trình 3 , ta được phương trình bậc hai theo t  t  x





4. Phương trình đố i xứng dạng: a sin x  cos x  b sin x cos x  c  0 4






1
; ÐK : 0  t  2  sin x . cos x   (t 2  1)
4
2
 Giải tương tự như dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu trị tuyệt đối.

 Đặt t  cos x  sin x  2. cos x 

Vấn đề 4
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

1. Phương trình bậc hai: ax 2  bx  c  0 1
a/ Giải phương trình bậc hai
Nếu b là số lẻ
Tính   b 2  4ac

Nếu b là số chẳn
Tính  '  b '2  ac với b '  b 2

 Nếu  '  0  Phương trình vô nghiệm.
 Nếu   0  Phương trình vô
 Nếu  '  0  Phương trình có nghiệm
nghiệm.
b'
kép: x   .
 Nếu   0  Phương trình có
a
b
nghiệm kép: x   .
 Nếu  '  0  Phương trình có hai
2a

 Nếu   0  Phương trình có hai
x 1  b '  '

a

nghiệm phân biệt: 
x 1  b  



2a
x 2  b '  '
nghiệm phân biệt: 

a

x 2  b  

2a
b/ Định lí Viét
Nếu phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 thì:
b
 Tổng hai nghiệm: S  x 1  x 2  
 2 '
a
 x1  x 2 

c
a
a
 Tích hai nghiệm: P  x 1.x 2 
a
c/ Dấu các nghiệm của phương trình

/>
TRANG 3


Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

NĂM HỌC 2018 - 2019

a  0
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt  

  0
 Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c  0
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
  0
 
P  0

  0


 Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt  P  0

S  0

  0


 Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  P  0

S  0


d/ So sánh hai nghiệm của phương trình bậc hai g(x )  ax 2  bx  c  0 với 1 số  bất kì





  0
  0

 x 2  x 1    a.g    0
 x1  x 2    
a.g    0


S
 S

  

 2
2
 x1    x2  a.g   0
2. Phương trình bậc 3: ax 3  b ' x 2  c ' x  d '  0 2
x  
2
 (x  ) ax  bx  c   0   2
ax  bx  c  0 3
Đặt g(x )  ax 2  bx  c ,   b 2  4ac
 Phương trình 2 có 3 nghiệm phân biệt  3 có 2 nghiệm phân biệt
  0
x    
g ()  0


 Phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt  3 có nghiệm kép x   hoặc 3 có hai
  0

g()  0

nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x    

  0

g()  0

 Phương trình 2 có 1 nghiệm  3 vô nghiệm hoặc 3 có nghiệm kép
  0

g()  0
x    


  0

3. Phương trình bậc bốn trùng phương : ax 4  bx 2  c  0 4
/>
TRANG 4


Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

NĂM HỌC 2018 - 2019

Đặt t  x 2 . ÐK : t  0 . Phương trình 4  at 2  bt  c  0 5
  0


 Phương trình 4  có 4 nghiệm phân biệt  5 có 2 nghiệm dương phân biệt  P  0

S  0


 Phương trình 4  có 3 nghiệm phân biệt  5 có 1 nghiệm t  0 và 1 nghiệm
c  0

t  0   b
  0
 a
 Phương trình 4  có 2 nghiệm phân biệt  5 có 2 nghiệm trái dấu hoặc 5 có nghiệm
ac  0

  0
kép dương  

S  0

4. Phương trình chứa căn thức :
B  0
+ A  B  
A  B 2


5. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
B  0
+ A  B  
A  B

6. Bất phương trình chứa căn thức:
B  0

A  0

+ A B  
B  0


2
A  B

7. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
+ A  B  B  A  B

+

A  0 hay B  0
A  B  
A  B


+ A  B  A  B

B  0



+ A  B  A  0

A  B 2


A  B
+ A  B  
A  B

Vấn đề 5
HÌNH HỌC PHẲNG
Trong mặt phẳng Decac Oxy cho:
o Bốn điểm: A x A, yA  , B xB , yB  , C xC , yC  và M xo , yo 
o Đường thẳng  : ax  by  c  0 .
o Đường tròn C m  : (x  a )2  y  b   R hay C m  : x 2  y 2  2ax  2by  c  0 có
2

tâm là I a,b  và bán kính là R  a 2  b 2  c .

2
2
 Véctơ AB  x B  x A; yB  yA   Độ dài đoạn thẳng AB  x B  x A   yB  yA 
(khoảng cách giữa hai điểm A, B)
x  xA
x  xA
 Để ba điểm A x A, yA  ; B xB , yB  và C xC , yC  thẳng hàng  B
 C
.

yB  y A
yC  yA
/>
TRANG 5


Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

NĂM HỌC 2018 - 2019

 Khoảng cách từ điểm M x o , yo  đến đường thẳng  : ax  by  c  0 là:
d M ,  

ax o  bxo  c

a2  b2
 Để A và B đối xứng nhau qua đường thẳng    là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng
AB.
  2
1
1
 Diện tích ΔABC: S ABC  AB.AC . sin A 
AB 2 .AC 2  AB.AC
2
2
1
1
1

abc
 p  p  a p  b  p  c   a.ha  b.hb  c.hc 
 pr
2
2
2
4R
Trong đó: R, r , p lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp và nửa
chu vi.
 Để A và B nằm về 2 phía (khác phía) so với đường thẳng
  ax A  byA  c . ax B  byB  c   0 .





 Để A và B nằm về cùng phía so với đường thẳng   ax A  byA  c . ax B  byB  c   0 .
 Để A và B cùng nằm trong đường tròn hay cùng nằm ngoài đường tròn
 PA /(Cm ).PB /(Cm )  0  x A2  yA2  2ax A  2byA  c x B2  yB2  2ax B  2byB  c   0 .
 Để A và B nằm về hai phía khác nhau đối với đường tròn (1 điểm phía trong, một điểm phía
ngoài)
 PA /(Cm ).PB /(Cm )  0  x A2  yA2  2ax A  2byA  c x B2  yB2  2ax B  2byB  c   0

/>
TRANG 6


Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

NĂM HỌC 2018 - 2019

CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
BÀI 1
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Cơ sở lý thuyết
1. Định nghĩa:
+ Hàm số y  f (x ) đồng biến trên K  x 1, x 2  K và x 1  x 2  f (x 1 )  f (x 2 ) .
+ Hàm số y  f (x ) nghịch biến trên K  x 1, x 2  K và x 1  x 2  f (x 1 )  f (x 2 ) .
2. Điều kiện cần: Giả sử y  f (x ) có đạo hàm trên khoảng I.
+ Nếu y  f (x ) đồng biến trên khoảng I thì f '(x )  0, x  I .
+ Nếu y  f (x ) nghịch biến trên khoảng I thì f '(x )  0, x  I .
3. Điều kiện đủ: Giả sử y  f (x ) có đạo hàm trên khoảng I.
+ Nếu y '  f '(x )  0 , x  I [ f '(x )  0 tại 1 số hữu hạn điểm] thì y  f (x ) đồng biến trên I.
+ Nếu y '  f '(x )  0 , x  I [ f '(x )  0 tại 1 số hữu hạn điểm] thì y  f (x ) nghịch biến trên I.
+ Nếu y '  f '(x )  0 , thì y  f (x ) không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì y  f (x ) phải liên tục trên đó.
DẠNG 1
XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU (tìm khoảng tăng - giảm) CỦA HÀM SỐ y  f  x 
1. Phương pháp giải
+ Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Thường gặp các trường hợp sau:
P (x )
-y
 TXÐ: Q(x )  0
Q(x )
- y  Q(x )  TXÐ: Q(x )  0
P (x )
 TXÐ: Q(x )  0

-y
Q(x )
+ Bước 2: Tìm các điểm tại đó y '  f '(x )  0 hoặc y '  f '(x ) không xác định, nghĩa là: tìm
đạo hàm y '  f '(x ) . Cho y '  f '(x )  0 tìm nghiệm xi với i  1; 2; 3...n  .
+ Bước 3: Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên để xét dấu
y '  f '(x ) .
+ Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, kết luận các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
- f '(x )  y '  0  Hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng……và……
- f '(x )  y '  0  Hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng…và……
2. Một số lưu ý khi giải toán
+ Lưu ý 1: Đối với hàm phân thức hữu tỷ thì dấu “=” không xảy ra.
+ Lưu ý 2:
ax  b
 Đối với hàm dạng: y 
thì hàm số luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên TXĐ,
cx  d
nghĩa là luôn tìm được y '  0 (hoặc y '  0 ) trên TXĐ.
ax 2  bx  c
 Đối với hàm dạng: y 
luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu.
a 'x b '
/>
TRANG 7


Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

NĂM HỌC 2018 - 2019

 Đối với hàm dạng: y  ax 4  bx 3  cx 2  dx  e luôn có ít nhất một khoảng đồng biến và
một khoảng nghịch biến.
 Cả ba hàm số trên không thể luôn đơn điệu trên  .
c) Đối với hàm mà có y '  f '(x )  0 có nhiều nghiệm, ta xét dấu theo nguyên tắc: (phương
pháp chung)
 Thay 1 điểm lân cận xo gần x n bên ô phải của bảng xét dấu vào f '(x ) . [Thay số xo sao
cho dễ tìm f '(x ) ].
 Xét dấu theo nguyên tắc: Dấu của f '(x ) đổi dấu khi đi qua nghiệm đơn và không đổi
dấu khi qua nghiệm kép.
+ Lưu ý 4: Xem lại 1 số cách giải phương trình lượng giác thường gặp và ta có thể đưa hàm số
lượng giác về dạng đa thức trong 1 số trường hợp.
+ Lưu ý 5: Cách tính đạo hàm hàm số dạng hữu tỉ (phân thức).
a b
c d
ax  b
ad  cb
y' 
2 
2 .
cx  d
cx  d 
cx  d 
chéo phụ.
y

a
2

ax  bx  c

y
y' 
a ' x2 b ' x  c '

b

a' b'

x2  2

a

c

a' c'

Cách nhớ: Tích đường chéo chính trừ tích đường

x
2

a ' x 2  b ' x  c '

b

Cách nhớ: (Anh bạn ăn cháo hai lần bỏ chạy)

c

b' c'



b ' a  a ' b  x 2  2 c ' a  a ' c x  c ' b  b ' c
2

a ' x 2  b ' x  c '

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho hàm số  C  : y  f  x  có đạo hàm trên khoảng K và các phát biểu sau:

 
f '  x   0, x  K

(1). Nếu f ' x  0, x  K thì hàm số f đồng biến trên K.
(2). Nếu

thì hàm số f nghịch biến trên K.

 
f '  x   0, x  K .

(3). Nếu hàm số đồng biến trên K thì f ' x  0, x  K .
(4). Nếu hàm số nghịch biến trên K thì

Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu trên?
A. 2
B. 3
C. 4

D. 1

Câu 2. Cho hàm số  C  : y  f  x  có đạo hàm trên khoảng K. Cho các phát biểu sau:

 

 

(1). Nếu f ' x  0, x  K và f ' x  0 tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên
K.
(2). Nếu f ' x  0, x  K và f ' x  0 có hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f nghịch biến trên

 

 

K.
(3). Nếu hàm số đồng biến trên K thì f ' x  0, x  K .
(4). Nếu hàm số nghịch biến trên K thì

 
f '  x   0, x  K .

Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu trên?
A. 1
B. 3
C. 2

D. 4

Câu 3. Giả sử hàm số  C  : y  f  x  có đạo hàm trên khoảng K. Cho các phát biểu sau:

 
f '  x   0, x  K

(1). Nếu f ' x  0, x  K thì hàm số f đồng biến trên K.
(2). Nếu

thì hàm số f nghịch biến trên K.

/>
TRANG 8


 

 

(3). Nếu hàm số C đồng biến trên K thì phương trình f x  0 có nhiều nhất một nghiệm thuộc
K.
(4). Nếu hàm số C nghịch biến trên K thì phương trình f x  0 có đúng một nghiệm thuộc K .

 

 

Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu trên .
A. 2
B. 3

C. 1

D. 4

Câu 4. Giả sử hàm số  C  : y  f  x  nghịch biến trên khoảng K và hàm số  C '  : y  g  x  đồng biến
trên khoảng K. Khi đó
A. hàm số f x  g x đồng biến trên khoảng K.
B. hàm số

   
f  x   g  x  nghịch biến trên khoảng K.

C. đồ thị của hàm số (C) và (C’) có nhiều nhất một điểm chung.
D. đồ thị của hàm số (C) và (C’) có đúng một điểm chung.

Câu 5. Hàm số y  ax3  bx2  cx  d , a  0 có khoảng đồng biến chứa hữu hạn số nguyên nếu

a  0

A.  2
.
b  3ac  0

a  0

B.  2
.
b  3ac  0

a  0

C.  2
.
b  3ac  0

a  0

D.  2
.
b  3ac  0

Câu 6. Hàm số y  ax3  bx2  cx  d , a  0 có khoảng nghịch biến chứa hữu hạn số nguyên nếu

a  0

A.  2
.
b  3ac  0

a  0

B.  2
.
b  3ac  0

a  0

C.  2
.
b  3ac  0

a  0

D.  2
.
b  3ac  0

Câu 7. Chọn phát biểu đúng khi nói về tính đơn điệu của hàm số y  ax4  bx2  c, a  0 .
A. Hàm số có thể đơn điệu trên R.
B. Khi a > 0 thì hàm số luôn đồng biến.
C. Hàm số luôn tồn tại đồng thời khoảng đồng biến và nghịch biến.
D. Khi a < 0 hàm số có thể nghịch biến trên R.

Câu 8. Hàm số y  ax3  bx2  cx  d , a  0 luôn đồng biến trên R khi và chỉ khi

a  0
.
b  3ac  0

A.  2

a  0
.
b  ac  0

B.  2

a  0
.
b  3ac  0

D.  2

 

D. ;0 .

C.  2

a  0
.
b  3ac  0

Câu 9. Hàm số y  x3  3x2  2 nghịch biến trên khoảng









B. 2;  .

A. ;2 .

Câu 10. Tìm khoảng đồng biến của hàm số y 

 

B.  0; 4 và  ;0 
A. ; 0

C. 0;2 .

1 3
x  2 x2  24 .
3

 
D.  ; 0 và  4;  
C. 2; 

Câu 11. Hàm số y  x4  2 x2  2 đồng biến trên các khoảng


  
B.  1;0  và  0;1 .

A. ; 1 và 1; 0 .

Câu 12. Hàm số y 

1 4
x  2 x2  2m  1 đồng biến trên các khoảng
4


  
C.  ;0  và  0;2  .

A. ; 2 và 2; 0 .

Câu 13. Hàm số y 

   
D.  1;0  và 1;   .
C. ;0 và 0;1 .

   
D.  2; 0  và  2;   .
B. 2; 0 và 0;2 .

1 4
x  8 x2  2 đồng biến trên các khoảng
4






Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao


  
C.  4; 0  và  4;   .

NĂM HỌC 2017 - 2018

   
D.  ; 2  và  2; 0  .

A. ; 4 và 4; 0 .

B. 4; 0 và 0;4 .

Câu 14. Hàm số y  x  x2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
1 
 1
C.  ;0 
A.  ;1
B.  0; 
2 
 2

x2  2 x
đồng biến trên khoảng
x 1
A.  ;1  1;  
B.  ;1 và 1;  



D. 1; 



Câu 15. Hàm số y 





C. R \ 1

D. ; 



1
Câu 16. Hàm số y   x4  2 x2  3 nghịch biến trên khoảng nào sau đây ?
4
A.  ; 2  và  0;2 
B.  ; 0 và  2;  



 

C. 2; 0 và 2; 





 

D. 2;  và ; 2



Câu 17. Hàm số y  x4  x2  2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?



A. 0; 





B. ;0





C. 1; 







D. ;1

Câu 18. Cho hàm số  C  : y   x4  2 x3  2 x  3 . Chọn đáp án đúng:



A. Hàm số (C) nghịch biến trên  ;



1 
 và 1;   .
2


B. Hàm số chỉ nghịch biến trên khoảng  ;



1 
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;  .
2


1 
.
2

 1 
 2 

D. Hàm số (C) chỉ nghịch biến trên khoảng   ;1  .

x2  4 x  4
Câu 19. Hàm số y 
đồng biến trên các khoảng nào?
1 x
A.  0;1 và 1;2 
C.  ;0  và 1;2 



 

B. ;0 và 2; 

Câu 20. Hàm số y 



   

C. 0;1  1;2

x2  x  3
có
x 1

A. đúng một khoảng đồng biến.
B. hai khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến.
C. hai khoảng đồng biến và hai khoảng nghịch biến.
D. đúng hai khoảng đồng biến.

Câu 21. Trên các khoảng nghịch biến của hàm số y 
A. 1

x2  3 x  1
có chứa bao nhiêu số nguyên âm?
x2

B. 4

C. 2

D. 3

Câu 22. Cho hàm số y  x3  3x  1 . Chọn phát biểu sai:
A. Hàm số đồng biến trên R.
B. Hàm số không có cực trị.
C. Hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
/>
TRANG 10


Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

NĂM HỌC 2017 - 2018

D. Hàm số nghịch biến trên R.

Câu 23. Hàm số y 

x2  x  2
đồng biến trên
x 1

 
C.  ; 1 và  1;  



Câu 24. Hàm số y 

 

B. ; 1  1; 

A. ;1



D. R

x2
đồng biến trên các khoảng nào:
1 x

 
C.  ;0  và  2;  

   
D.  ;1 và  2;  

A. 0;2

Câu 25. Cho hàm số  C  : y 
A. 5

B. 0;1 và 1;2

2  x  4

x2

. Trên đồ thị hàm số (C) có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên:

B. 6

C. 7

D. 8

Câu 26. Cho hàm số  C  : y  2 x3  3x  1 . Chọn phát biểu sai:
A. Hàm số  C  luôn giảm trên R.
B. Hàm số  C  không có cực trị.
C. Hàm số  C  luôn tăng trên R.
D. Đồ thị của hàm số cắt đường thẳng d: y = 1 tại một điểm duy nhất.
Câu 27. Hàm số y  x2  x  3 nghịch biến trên khoảng



1
2







A.  ;   .
C. ;  .

 1
 2



B.   ;   .


 1


1
D.   ;   và  ;   .
2
 2



Câu 28. Hàm số y  x3  6x2  9 x  7 đồng biến trên

 
C.  ;0  và 1;   .
A. 1;3 .


  
D.  ;1 và 3;   .

B. ; 1 và 3;  .

Câu 29. Hàm số y  x2  3x  2 nghịch biến trên khoảng





B. 2;  .

D.  1;  .

C.  ;2  .

A. ;1 .

 3
 2



3
2






x2
. Chọn phát biểu đúng.
x 1
A. Hàm số luôn đồng biến trên R \ 1 .

Câu 30. Cho hàm số y 

B. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng  ; 1 ;  1;  
C. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
D. Hàm số có duy nhất một cực trị.
Câu 31. Cho hàm số y  x4  6 x2  9 . Chọn phát biểu đúng.
A. Hàm số luôn đồng biến.
/>
TRANG 11


Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

NĂM HỌC 2017 - 2018

B. Hàm số luôn nghịch biến.
C. Hàm số có 2 cực trị.
D. Đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
x 1
Câu 32. Cho hàm số  C  : y 
. Cho các phát biểu sau:
x3
(1).Trên đồ thị của hàm số có 4 điểm có tọa độ nguyên.
(2). Hàm số có đúng hai tiệm cận.



 



(3). Hàm số nghịch biến trên ;3  3;  .
(4). Hàm số không có cực trị.
Số phát biểu đúng là:
A. 1
B. 2

C. 3

D. 4

Câu 33. Hàm số y  x3  x  2  x đồng biến trên khoảng:

 



A. 0;1

B. 1; 





C. 0; 











D. ;1

Câu 34. Hàm số y  x3  2 x2  2 x  4 đồng biến trên khoảng:



A. ; 2





B. 2; 





C. ; 



D. ;1

Câu 35. Biết hàm số y  x  3  3  x nghịch biến trên tập K. Hỏi trên tập K có thể chứa bao nhiêu
số nguyên.
A. 2

B. 5

C. 3

D. 4

Câu 36. Cho các hàm số sau:
(1). y 

(4). y 

201x  211
x 2

(2). y 

2x  3
x  1222

x2  2 x  2

(3). y 
(5). y 

2019 x  1



2x  3
x 1



1119  1117 x2  2023x

Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
A. 1
B. 2
C. 0

D. 3

Câu 37. Cho các hàm số sau:
3

3x  1111
(1). y 
x2
200 x  1
(2). y 
x  2016
(3). y  x  2

(4). y  x  x  2
4

(5). y  x  x  2
3

(6). y   x  x  2

Có bao nhiêu hàm số không có khoảng đồng biến trong các hàm số trên?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

Câu 38. Cho các hàm số sau:
(1). y  x  2

(4). y 

xx

(2). y  2016 x  1

(5). y  x x  2

3

(6). y  x  3x

2

(3). y  x 2 x  2
Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số luôn đồng biến trên R?
A. 5
B. 4
C. 3

D. 2

Câu 39. Cho các hàm số sau:
(1). y  3x  2

(2). y  sin x  2 x

/>
2017

(3). y  x

 2018x
TRANG 12


Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

(4). y 

x  2100
(5). y   x  2020

(6). y 



NĂM HỌC 2017 - 2018



2  3 x3  x

Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của
chúng?
A. 5
B. 4
C. 2

D. 3

Câu 40. Cho các hàm số sau:
2x  1
(1). y 
x2
(3). y 

2 x2  1
(2). y 
x 2
4

1 3
x  10 x2
3

2

(4). y  2999 x  10 x

Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số có khoảng đơn điệu chứa hữu hạn số
nguyên?
A. 1

B. 2

C. 3

Câu 41. Cho các hàm số sau:

x2
(1). y 
x 1
3

D. 0

x 2
x 5
3
(4). y  x  3x  2
(2). y 

2

(3). y  x  3 x
3

4

(5). y   x  2 x

2

(6). y  1999x  2019 x

Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên tập xác định của nó trong các hàm số trên?
A.0

B.4

C.3

D.2

DẠNG 2
Tìm điều kiện của tham số để hàm số y  f  x  đồng biến hoặc nghịch biến

I. Phương pháp giải
2

Dạng 1: Nếu y '  f '(x , m)  ax  bx  c thì:

 a  0

  0
 a  0
 Để hàm số y  f x, m  nghịch biến (giảm) trên   y '  f '(x , m )  0; x    


  0
 Để hàm số y  f x, m  đồng biến (tăng) trên   y '  f '(x , m )  0; x    


Chú ý: Đối với hàm phân số hữu tỉ thì dấu “=” không xảy ra.
Dạng 2: Nếu y '  ax  b ; x  ;   thì:

y '()  0
y '( )  0


y '()  0
 Để hàm số y  f x, m  nghịch biến trên ;    y '  0 ; x  ;    
y '( )  0

2
Dạng 3: Nếu y '  f '(x )  ax  bx  c hoặc y '  f '(x ) là một hàm bất kỳ nào khác, mà ta cần
y '  f '(x )  0 hay y '  f '(x )  0 trên khoảng a,b  hoặc đoạn a, b  (hoặc trên nửa đoạn hay nửa khoảng
 Để hàm số y  f x, m  đồng biến trên ;    y '  0 ; x  ;    


nào đó). Thì ta làm theo các bước sau:
/>
TRANG 13


Chuyên đề khảo sát hàm số 12
LỚP 12-Nâng cao
NĂM HỌC 2017 - 2018
 Bước 1: Tìm miền xác định của y '  f '(x ) .
 Bước 2: Độc lập (tách) m (hay biểu thức chứa m ) ra khỏi biến x và chuyển m về một vế. Đặt vế còn
lại là g(x ) . Lưu ý khi chuyển vế thành phân thức thì phải để ý điều kiện xác định của biểu thức để khi xét dấu
g '(x ) ta đưa vào bảng xét dấu g '(x ) .
 Bước 3: Tính g '(x ) . Cho g '(x )  0 và tìm nghiệm.
 Bước 4: Lập bảng biến thiên của g '(x ) .
 Bước 5: Kết luận: “Lớn hơn số lớn – Bé hơn số bé”. Nghĩa là:
+ khi ta đặt m  g x thì dựa vào bảng biến thiên ta sẽ lấy giá trị m  số lớn nhất trong bảng biến



thiên



+ khi ta đặt m  g x thì dựa vào bảng biến thiên ta sẽ lấy giá trị m  số nhỏ nhất trong bảng biến
thiên
Dạng đặc biệt: x1  x2 là hai nghiệm của y   0 .

 x1  a  x2  a   0
 x1  a  x2

 x1  b  x2
 x1  b  x2  b   0
 x1  a  x2  a   0
+ hàm số đơn điệu trên  a;    x1  x2  a  
 x1  x2  2a
+ hàm số đơn điệu trên  a; b   x1  a  b  x2  

 x1  b  x2  b   0
 x1  x2  2b

+ hàm số đơn điệu trên  ;b   b  x1  x2  
3

2

Dạng 4: Tìm m để hàm số y  ax  bx  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến)  l .
Ta giải như sau:
 Bước 1: Tính y '  f '(x ) .

a  0


 Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: 



  0



 Bước 3: Biến đổi x 1  x 2  l thành x1  x 2



2

 4x1.x 2  l 2

1 .

2 .

 Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m .
 Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
II. Một số lưu ý khi giải toán
 Lưu ý 1: Cần sử dụng thành thạo định lí Viét và so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số .
 Lưu ý 2: Ta có thể dùng dạng toán loại 3 để giải bài toán tìm tham số m của một bất phương trình hoặc
tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc 1, 2, …n nghiệm, …

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM:

Câu 42. Tìm m để hàm số y  mx  sin x đồng biến trên tập số thực.
A. m  1
B. m  1
C. m  
D. 1  m  1
Câu 43. Tìm m để hàm số y  mx  cos x đồng biến trên tập số thực.
A. m  1
B. m  1
C. m  
D. 1  m  1
mx  1
Câu 44. Tìm tất cả các tham số m để hàm số y 
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
xm
A. m  2  m  2
B. m  1  m  1
C. 2  m  2
D. 2  m  1
mx  3m  4
Câu 45. Tìm tất cả các tham số m để hàm số y 
đồng biến trên từng khoảng xác định.
x m
A. m  4  m  1
B. m  2  m  3
C. 3  m  2
D. 4  m  6
/>
TRANG 14

Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

Câu 46. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y 
khoảng xác định của nó?
B. 8

A. 5

NĂM HỌC 2017 - 2018

m2 x  m  20
đồng biến trên từng
x 1

C. 10

D. 6

Câu 47. Trong khoảng  100;100  chứa bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số

y

m2 x  3m  1
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
x2

A. 197

B. 186

C. 187

D. 198

Câu 48. Biết rằng khoảng  a; b  chứa tất cả các giá trị m thỏa mãn điều kiện hàm số y 



mx  3
xm



nghịch nghịch biến trên khoảng ; 2 . Tính giá trị của b  a .

2

A.

B. 2 2

C. 2 3

D. 2 3

Câu 49. Đặt S  m  Z :  100  m  100 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số m
mx  3m  2

đồng biến trên khoảng  2;   .
xm
100
101
102
103
A.
B.
C.
D.
199
199
199
199
2 x  3m  2
Câu 50. Tìm tất cả các tham số m để hàm số y 
nghịch biến trên khoảng 1;2 .
xm
A. m  0
B. m  5
C. m  4
D. m  2
được chọn thỏa mãn điều kiện hàm số y 

 

x  m4
Câu 51. Biết rằng tập  a; b  chứa tất cả các tham số m thỏa mãn điều kiện hàm số y 
đồng
xm

 1

biến trên khoảng  ;   . Tính giá trị của b  a .
 2

A.

1
2

B.

3
2

C.

2
3

Câu 52. Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y 
A. 2

từng khoảng xác định của nó.
B. -2

C. 0

Câu 53. Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y 



D.

1
3

2 x  m2
đồng biến trên
8 x
D. -1

mx  5
nghịch biến trên
2 x  m



khoảng ; 1 .
A. 2

B. 2

C. 1

Câu 54. Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y 



D. 3

m2 x  5
nghịch biến trên
2 mx  1



khoảng 3;  .
A. 50

B. 35

C. 40

Câu 55. Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y 



D. 45

x  2m  3
đồng biến trên
x  3m  2



khoảng ; 14 .
A.-10

B. -6

/>
C. -9

D. -3
TRANG 15


Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

Câu 56. Tìm tất cả các tham số m để hàm số y 
A. m  0

B. m  1

NĂM HỌC 2017 - 2018

 
tan x  m
đồng biến trên khoảng  0;  .
tan x  1
 4
C. m  1
D. m  2

Câu 57. Đặt S  m  Z :  100  m  100 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số m
tan x  2
đồng biến trên khoảng

tan x  m

 
 0;  .
 4
101
167
189
123
A.
B.
C.
D.
199
199
199
199
 
sin x  m  1
Câu 58. Tìm tất cả các tham số m để hàm số y 
nghịch biến trên khoảng  0;  .
sin x  2m
 2
được chọn thỏa mãn điều kiện hàm số y 

A. 1  m  0 hoặc m  2

B. 1  m  0 hoặc m 

C. m  1

1
2

D. m  2

Câu 59. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y 

m tan x  7
đồng biến trên
6 tan x  m




.
 4

khoảng  0;
A. 8

B. 9

C. 10

D. 7


4
Câu 60. Tìm tất cả các tham số m để hàm số y  x3  mx2   m   x đồng biến trên R.

3

A. m  0
B. 1  m  4
C. m  2
D. 0  m  2
1
Câu 61. Tìm tất cả các tham số m để hàm số y  x3   m  1 x2  m2  2 x  m  2 đồng biến trên R.
3
A. m  1
3
B. m 
2
C. 5  m  3
D. m  2





Câu 62. Tìm tất cả các tham số m để hàm số y  mx3  3  m  2  x2  3  m  1 x  2016 m2  2018 đồng
biến trên R.
A. 0  m

B. 0  m  6

4
3
Câu 63. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên m thuộc khoảng  100;100  . Tính xác suất để số được chọn
C. m 

4
3

D. m 

1 3 1 2
x  x   m  1 x  m4  2m đồng biến trên R.
3
2
101
99
98
110
A.
B.
C.
D.
199
199
199
199
Câu 64. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên m thuộc khoảng  0;50  . Tính xác suất để số được chọn thỏa
thỏa mãn điều kiện hàm số y 

1 3
x  x2   m  2  x  m3  2 m đồng biến trên R.
3
43
30

41
B.
C.
D.
49
49
49

mãn điều kiện hàm số y 
A.

47
49

Câu 65. Tìm tất cả các tham số m để hàm số y  x3  3mx2  3  m  1 x  3m đồng biến trên R.
/>
TRANG 16


Chuyên đề khảo sát hàm số 12
A. m  

LỚP 12-Nâng cao

NĂM HỌC 2017 - 2018

C. m  R

B. m  1

D. 10  m  10

Câu 66. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên m thuộc khoảng  101;101 . Tính xác suất để số được chọn
1 3
x  mx2   2m  1 x  m2  1 đồng biến trên R.
3
1
5
3
10
A.
B.
C.
D.
201
201
201
201
1 3
Câu 67. Tính tổng các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y 
x  mx2  mx  m  2 nghịch
3
thỏa mãn điều kiện hàm số y 

biến trên R.
A. 0

B. 2

C. -2

D. 1

Câu 68. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y 
A. 1

từng khoảng xác định của nó.
B. 4
3

x2  2mx  3m2
đồng biến trên
x  2m

C. 5

D. 2

2

Câu 69. Hàm số y   x  3x  mx  1 nghịch biến trên khoảng  ;0  khi
A. m  0.

B. m  0.

C. m  0.

D. m  0.

Câu 70. Tìm tất cả các tham số m để hàm số y  x3  3x2  mx  1 đồng biến trên khoảng  ;0  .

A. 10  m  0

B. m  5

C. m  3

D. m  1
3

2

Câu 71. Tìm tất cả các tham số thực m thỏa mãn điều kiện hàm số y  x  2mx   m  1 x  1 nghịch
biến trên đoạn 0;2  .

1
2
1
B. m 
3
A. m 

C. m 

D. m 

13
9

11
9

Câu 72. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y 



x2  5x  m2  6
đồng biến trên
x3



khoảng 1;  .
B. 7

A. 8

Câu 73. Tìm tất cả các tham số m để hàm số y 
A. m  1

B. m  1

C. 9

D. 6

x 1
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
x m
C. m  2
D. m  1

Câu 74. Tìm tất cả các tham số m để hàm số y  x4  2  m  1 x2  m  2 đồng biến trên khoảng 1;2  .
A. m  2

B. 1  m  2 .

A. 1  m  2 .

A. 1  m  2 .

Câu 75. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng  1000;1000  và thỏa mãn điều kiện hàm số

y  2 x3  3  2m  1 x2  6m  m  1 x  1 đồng biến trên khoảng  2;  .
A. 999

B. 1000

C. 998

D. 1010

Câu 76. Biết rằng hàm số y  x3  3x2  mx  1 nghịch biến trên đoạn dài 2 đơn vị khi m  m0 . Hỏi
biểu diễn số nào sau đây và m0 trên cùng trục số là gần nhau nhất ?
A. -1,05

B. -3,2

/>
C. -2,9

D. 0,05

TRANG 17


Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

Câu 77. Biết rằng khoảng (a;b) chứa tất cả các tham số m thỏa mãn hàm số y 

NĂM HỌC 2017 - 2018

mx  1
nghịch biến
xm

trên từng khoảng xác định của nó. Tìm P  b  a ?
A. 2
B. 0
C. 2
D. 1

Câu 78. Tìm m để hàm số y  2 x3  3  m  2  x2  6  m  1 x  2m đồng trên khoảng  5;   ?
A. m  1

B. m  2

C. m  4  m  0

D. m  4

Câu 79. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y  x4  2m2 x2  1 đồng biến trên





khoảng 1;  . khi
B. 4

A. 5

C. 3

D. 6

mx  2
nghịch
x m 3
biến trên từng khoảng xác định của nó . Tính giá trị của biểu thức P  a  b .

Câu 80. Biết rằng khoảng  a; b  chứa các tham số m thỏa mãn điều kiện hàm số y 
A. 1

C. 1

B. 2

D. 3

m
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
x 1
B. m  0
C. m  0
D. m  0

Câu 81. Tìm m để hàm số y  x  2 
A. m  0

Câu 82. Hàm số y  x 3  3 x 2  (m  1) x  4m nghịch biến trên khoảng  1;1 , khi giá trị của m là:
A. m  8

B. m  8

C. m  8

D. m  8

Câu 83. Tìm m để hàm số y  x  (m  1) x  (2m  3m  2) x đồng biến trên khoảng  2;  
3

A. m  2

B.

2

2

3
m2
2

C. m  2

D.

3
m2.
2

DẠNG 3
Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình – bất phương trình có chứa tham số m
Bài toán 1. Tìm m để phương trình f x; m   0 có nghiệm trên D ?
 Bước 1. Độc lập (tách) m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f  x   A m  .
 Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số f x  trên D.
 Bước 3.

Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị của tham số m để đường thẳng y  A m 

nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x  .
 Bước 4. Kết luận những giá trị cần tìm của m để phương trình f  x   A m  có nghiệm trên D.
Lưu ý:

+ Nếu hàm số y  f  x  có GTLN và GTNN trên D thì giá trị m cần tìm là những m thỏa mãn:

min f  x   A m  max f x  .
D

D

+ Nếu bài toán yêu cầu tìm tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa
vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng y  A m  nằm ngang cắt đồ thị hàm số
y  f  x  tại k điểm phân biệt.

Bài toán 2. Tìm m để bất phương trình f x; m   0 hoặc f x; m   0 có nghiệm trên D ?
/>
TRANG 18


Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

NĂM HỌC 2017 - 2018

 Bước 1. Độc lập (tách) m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f  x   A m  hoặc f  x   A m  .
 Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số f x  trên D.

 Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm:
+ Với bất phương trình f  x   A m  đó là những m sao cho tồn tại phần đồ thị nằm trên
đường thẳng y  A m , tức là A m  max f x 
D

khi max f x  .
D

+ Với bất phương trình f  x   A m  đó là những m sao cho tồn tại phần đồ thị nằm dưới

đường thẳng y  A m , tức là A m  min f  x 
D

Bài toán 3.

khi min f x  .
D

Tìm tham số m để bất phương trình f  x   A m  hoặc f  x   A m  nghiệm đúng

x  D ?
+ Bất phương trình f  x   A m  nghiệm đúng x  D  min f  x   A m .
D

+ Bất phương trình f  x   A m  nghiệm đúng x  D  max f  x   A m  .
D

Lưu ý:
+ Các bài toán liên quan hệ phương trình, hệ bất phương trình  ta cần biến đổi chuyển
về các phương trình và bất phương trình.
+ Khi đổi biến, cần quan tâm đến điều kiện của biến mới.
Câu 84. Tìm tham số thực m để phương trình: x  3x 2  1  m có nghiệm thực.
A. m 

3
1

2
6

B. m 

Câu 85. Tìm m để bất phương trình
A. 0  m  15

3
1

2
6

4 x  2  2 4  x  m có nghiệm.

B. m  14

3 1
4

B. m  0

D. m  14

C. m  14

Câu 86. Tìm tham số m để bất phương trình sau có nghiệm: mx 
A. m 

3
1


.
2
6

D. m 

C. m  

C. m 

x  3  m 1

3 1
4

D. m  

Câu 87. Tìm m để bất phương trình m 2 x 2  9  x  m có nghiệm với mọi x .
3
3
3
A. m  
B. m  0
C. m  
D. 1  m  
4
4
4
BÀI 2
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Cơ sở lý thuyết
1. Khái niệm cực trị của hàm số: Giả sử hàm số y  f (x ) xác định trên tập D  D    và x o  D
+ xo là điểm cực đại của hàm số y  f (x ) nếu  a, b   D và xo  a,b sao cho f (x )  f xo ,

x  a;b  \ xo  . Khi đó: f xo  được gọi là giá trị cực đại của y  f (x )
+ xo là điểm cực tiểu của hàm số y  f (x ) nếu  a, b   D và xo  a,b sao cho f x   f xo ,

x  a;b  \ xo  . Khi đó: f xo  được gọi là giá trị cực tiểu của y  f (x )
+ Nếu xo là điểm cực trị của hàm số y  f (x ) thì điểm xo ; f (xo ) được gọi là điểm cực trị của
đồ thị hàm số y  f (x ) .
2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị (Định lý Ferman).

/>
TRANG 19


Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

NĂM HỌC 2017 - 2018

Nếu hàm số y  f (x ) có đạo hàm tại xo và đạt cực trị tại điểm đó thì f ' xo   0 . Nghĩa là
hàm số y  f (x ) chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo
hàm.
3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
a. Định lý 1: Giả sử hàm số y  f (x ) liên tục trên khoảng a;b   xo và có đạo hàm a, b  \  xo 
+ Nếu f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua xo thì y  f (x ) đạt cực tiểu tại xo .
+ Nếu f '(x ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua xo thì y  f (x ) đạt cực đại tại xo .
x

a
b

f '(x )
y  f (x )

xo
–

0

+

f(a)
f(b)
cực tiểu
f(xo)

x

a
b

f '(x )

xo
+

y  f (x )

0
f(xo)
cực đại

–

f(a)
f(b)
b. Định lý 2: Giả sử hàm số y  f (x ) có đạo hàm trên a; b   xo ; f ' xo   0 và f '' xo   0
+ Nếu f '' xo   0 thì y  f (x ) đạt cực đại tại xo .
+ Nếu f '' xo   0 thì y  f (x ) đạt cực tiểu tại xo .
DẠNG 1
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Phương pháp giải
 Qui tắc 1: Dùng định lý 1
 Bước 1: Tìm miền xác định. Tính y '  f '(x ) .
 Bước 2: Tìm các điểm x i i  1, 2,.., n  tại đó y '  f '(x )  0 hoặc y '  f '(x ) không xác
định.
 Bước 3: Xét dấu f '(x ) , từ đó suy ra điểm cực trị dựa vào định lý 1.
 Qui tắc 2: Dùng định lý 2
 Bước 1: Tìm miền xác định. Tính y '  f '(x ) .
 Bước 2: Tìm các điểm x i i  1, 2,.., n  tại đó y '  f '(x )  0 hoặc y '  f '(x ) không xác
định.
 Bước 3: Xét dấu f ''(x ) và f ''(x i )
- Nếu f ''(x i )  0 thì hàm số đạt cực đại tại xi .
- Nếu f ''(x i )  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi .
2. Một số lưu ý khi giải toán
 Có 2 qui tắc tìm cực trị dựa vào định lí 1 (qui tắc 1) và định lí 2 (qui tắc 2):
/>

TRANG 20


Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

NĂM HỌC 2017 - 2018

 Nếu việc xét dấu của đạo hàm bậc nhất dễ dàng, thì nên dùng qui tắc 1.
 Nếu việc xét dấu ấy khó khăn (ví dụ như trong bài toán mà hàm số đã cho có dạng lượng
giác, hoặc bài toán có chứa tham số), thì nên dùng qui tắc 2.
 Nếu y ' không đổi dấu khi đi qua nghiệm (nghiệm kép) thì hàm số không có cực trị.
 Đối với hàm bậc 3 thì y '  0 có 2 nghiệm phân biệt là điều kiện cần và đủ để hàm có cực trị.
 Không cần xét hàm số y  f (x ) có hay không có đạo hàm tại điểm x  xo nhưng không thể
bỏ qua điều kiện “hàm số liên tục tại điểm xo ”.
 y '(x )  0
o
 Hàm số đạt cực trị tại x o  
y ''(x o )  0

 Đối với hàm số căn thức ta không xét dấu được như bậc 1, bậc 2 thì chọn điểm để xét dấu.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho hàm số  C  : y  f  x  xác định trên tập K và x0  K . Hàm số  C  đạt cực tiểu x0 nếu

 
B. f ''  x0   0 .
C. f ( x)  f  x0  , x  K \ x0  .
D. tồn tại số   0 sao cho  x0   ; x0     K và f  x   f  x0  , x   x0   ; x0    \  x0  .

Câu 2. Cho hàm số  C  : y  f  x  có đạo hàm trên khoảng K và x0  K . Nếu hàm số  C  đạt cực trị
A. f ' x0  0 .

tại điểm x0 thì
B. f ''  x0   0 .
C. f ''  x0   0 .
D. f  x0   0 Cho
 
hàm số  C  : y  f  x  xác định trên tập K và x0  K . Hàm số  C  đạt cực tại x0 nếu
A. f '  x0   0 .
B. f ''  x0   0 .
C. tồn tại khoảng x0   a; b   K sao cho f  x   f  x0  , x   a; b  \  x0  .
D. tồn tại khoảng x0   a; b   K sao cho f  x   f  x0  , x   a; b  \  x0  .
Câu 3. Giả sử hàm số  C  : y  f  x  xác định trên tập K và đạt cực tiểu tại điểm x0  K . Khi đó:
A. f ' x0  0 .

A. hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 .

 

B. nếu hàm số có đạo hàm tại x0 thì f ' x0  0 .

 

C. f '' x0  0 .
D. hàm số luôn có đạo hàm bằng 0 tại điểm x0 .

Câu 4. Giả sử hàm số  C  : y  f  x  có đạo hàm cấp một trên khoảng K và x0  K . Cho các phát
biểu sau:

 

(1). Nếu f ' x0  0 thì hàm số đạt cực trị tại x0 .

 

(2). Nếu x0 là điểm cực trị thì f ' x0  0 .

 
 
f '  x0   0 và f ''  x0   0 thì hàm số đạt cực trị tại x0 .

(3). Nếu f ' x0  0 và f '' x0  0 thì x0 là điểm cực đại của đồ thị hàm số (C).
(4). Nếu

Các phát biểu đúng là:
A. (1), (3).
B. (2), (3).
/>
C. (2), (3), (4).

D. (2), (4).

TRANG 21


Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

NĂM HỌC 2017 - 2018

Câu 5. Giả sử hàm số  C  : y  f  x  xác định trên tập K và x0  K . Cho các phát biểu sau:

 
 
(2). Nếu f '  x0   0 thì hàm số (C) đạt cực trị tại điểm x0 .
(3). Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số (C) thì điểm  x0 ; f  x0   là điểm cực trị của đồ thị hàm số
(1). Nếu f ' x0  0 thì hàm số C không đạt cực trị tại x0 .

(C).
(4). Hàm số có thể đạt cực trị tại x0 mà không có đạo hàm tại x0 .
Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu đã cho?
A. 1
B. 2
C. 3

D. 4

Câu 6. Cho hàm số  C  : y  f  x  xác định trên tập K chứa x0 và các phát biểu sau:

 
f '  x0   0 và

 
f ''  x0   0 thì hàm số (C) đạt cực tiểu tại x0 .
là điểm cực đại thì f ''  x0   0 .
là điểm cực tiểu thì f ''  x0   0 .

(1). Nếu f ' x0  0 và f '' x0  0 thì hàm số (C) đạt cực đại tại x0 .

(2). Nếu

(3). Nếu x0
(4). Nếu x0

Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu đã cho?
A. 1
B. 2
C. 3

D. 4

Câu 7. Giả sử hàm số  C  : y  f  x  có đạo hàm trên khoảng K. Xét các phát biểu sau:
(1). Nếu hàm số (C) đạt cực tiểu trên khoảng K thì cũng sẽ đạt cực đại trên khoảng đó.
(2). Nếu hàm số (C) có hai điểm cực tiểu thì phải có một điểm cực đại.

 

(3). Số nghiệm của phương trình f ' x  0 bằng số điểm cực trị của hàm số đã cho.
(4). Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu đã cho?
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3

Câu 8. Giả sử hàm số  C  : y  f  x  xác định trên tập K chứa x0 .Xét các phát biểu sau:
(1). Nếu hàm số (C) đạt giá trị lớn nhất tại x0 thì sẽ đạt cực đại tại x0 .

 

(2). Nếu f ' x0  0 thì x0 có thể là một điểm cực trị của hàm số (C).
(3). Nếu x0 là điểm cực tiểu thì hàm số (C) sẽ đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 .

 

 

 

  

(4). Nếu có khoảng a; b  K chứa x0 thỏa mãn f x  f x0 , x  a; b \ x0
điểm cực đại của hàm số (C).
Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu đã cho?
A. 1
B. 3
C. 4

thì x0 là một

D. 2

Câu 9. Cho hàm số  C  : y  f  x  có đạo hàm trên khoảng  a; b  chứa x0 . Khi đó , x0 là một điểm
cực tiểu của hàm số (C) nếu

 





 









A. f ' x  0, x  x0 ; b và f ' x  0, x  a; x0 .

 

 

B. tồn tại f '' x0 và f '' x0  0 .

 

 
 
f ''  x0  và f ''  x0   0 .

C. f ' x  0, x  x0 ; b và f ' x  0, x  a; x0 .
D. tồn tại

Câu 10. Cho các phát biểu sau:

(1). Nếu hàm số đạt cực trị tại một điểm thì phải có đạo hàm bằng 0 tại điểm đó.
/>
TRANG 22


Chuyên đề khảo sát hàm số 12

LỚP 12-Nâng cao

NĂM HỌC 2017 - 2018

(2). Một hàm số có thể có thể có nhiều cực trị hoặc không có cực trị.
(3). Mỗi hàm số nếu có điểm cực đại thì nhất định sẽ có một điểm cực tiểu.
(4). Nếu hàm số liên tục trên tập xác định của nó thì sẽ có ít nhất một điểm cực trị.
Các phát biểu đúng là:
A. (1),(2),(4).
B. (2),(3).
C. (2).
D. (2),(4).

Câu 11. Cho các phát biểu sau:
(1). Một hàm số có thể có hữu hạn điểm cực trị hoặc vô hạn điểm cực trị hoặc không có điểm cực
trị nào.
(2). Hàm bậc ba có ít nhất một cực trị.
(3). Hàm bậc bốn có nhiều nhất ba cực trị.
(4). Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà đạo hàm của hàm số không xác định tại đó.
(5). Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà đạo hàm cấp hai của hàm số bằng không tại điểm
đó.
Có bao nhiêu phát biểu SAI trong các phát biểu đã cho?
A. 1

B. 2
C. 3
D. 4

Câu 12. Cho các phát biểu sau:
(1). Nếu một hàm số chẵn có một điểm cực trị thì sẽ có một điểm cực trị khác trái dấu.
(2). Hàm số lẻ không thể có hai điểm cực trị trái dấu.
(3). Hàm tuần hoàn luôn có vô hạn điểm cực trị.
(4). Hàm đa thức luôn có số điểm cực trị nhỏ hơn bậc của đa thức đó.
(5). Nếu hàm trùng phương có điểm cực tiểu thì cũng đạt giá trị nhỏ nhất tại đó.
Có bao nhiêu phát biểu SAI trong các phát biểu đã cho?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Câu 13. Cho mỗi hàm đa thức  C  y  f  x , C '  y  g  x  tương ứng có 2 điểm cực trị và có 1 điểm
cực trị. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Bậc của hàm số (C) lớn hơn bậc của hàm số (C’) đúng một đơn vị.
B. Bậc của hàm số (C) lớn hơn bậc của hàm số (C’) đúng hai đơn vị.
C. Bậc của hàm số (C’) có thể lớn hơn bậc của hàm số (C).
D. Tổng các bậc cuả hàm số (C) và (C’) bằng 3.

Câu 14. Hàm số  C  : y  ax4  bx2  c,  a  0  chỉ có thể
A. có một cực trị hoặc có hai cực trị.
B. không có cực trị hoặc có ba cực trị.
C. có một cực trị hoặc có ba cực trị
D. có ba cực trị hoặc có hai cực trị

Câu 15. Hàm số  C  : y  ax4  bx2  c,  a  0 

A. luôn có điểm cực trị.
B. luôn có điểm cực tiểu.

C. luôn có điểm cực đại.
D. luôn có ba cực trị.

Câu 16. Hàm số  C  : y  ax4  bx2  c,  a  0 
A. có ba điểm cực trị nếu b  0 .
B. có một điểm cực trị nếu b  0 .

C. có hai điểm cực đại nếu b  0 .
D. luôn có điểm cực tiểu.

Câu 17. Hàm số  C  : y  ax4  bx2  c,  a  0 
A. luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu.
B. luôn có điểm cực tiểu.

C. luôn có điểm cực đại.
D. chỉ có một điểm cực đại.

Câu 18. Cho hàm số  C  : y  ax4  bx2  c với a  0, b  0 . Khi đó:
A. hàm số (C) có hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.
/>
TRANG 23