Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường toán 7 có đáp án

PHÒNG GD BỐ TRẠCH
TRƯỜNG THCS THANH TRẠCH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN: TOÁN 7. ( LẦN 2)
( Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề)

Câu 1:(2 điểm)
2

a) Thực hiện phép tính:

1  1 2 5 1
: :
− +
2  2 3 ÷
 3 2

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
3n + 2 − 2n+ 2 + 3n − 2n chia hết cho 10
Câu 2:(2 điểm) Tìm x biết:
a. x −

1 4
2
+ = ( −3, 2 ) +
3 5
5

b. Tìm x biết 2 x+ 2.3x+1.5 x = 10800

Câu 3: (2 điểm)
a. Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo

2 3 1
: : . Biết rằng tổng các bình phương của
5 4 6

ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
a c
a2 + c2 a
=
b. Cho
. Chứng minh rằng: 2 2 = (Với thiết các biểu thức đều có nghĩa)
c b
b +c
b
µ
Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có A = 900 , AB = AC. Qua A vẽ đường thẳng d

sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng d. Kẻ BH và CK vuông góc với d.
Chứng minh rằng:
a. AH = CK
b. HK = BH + CK
Câu 5: (1 điểm) Chứng minh rằng:
A=

3
5
7
19

+ 2 2 + 2 2 + ×××+ 2 2 < 1
2
1 .2 2 .3 3 .4
9 .10
2

----------------- Hết. ----------------( Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)


Câu

HƯỚNG DẪN CHẤM
Đáp án

ý

Điểm
1,0

2

a

1  1 2  5 1 1 9 13 8 13 16 − 39 −23
: :
− + = : − = − =
=
2  2 3 ÷
18
18

 3 2 2 16 6 9 6

Vì đồ thị đi qua điểm M(-2;-8) nên ta có: - 8 = a.( -2) ⇒ a = 4
Vậy hàm số đã cho là; y = 4x.
Chọn A(1;4). Nối OA ta có đồ thị hàm số y = 4x.
1

4

b

0,5

A

2

0.5
-5

5

-2

-4

x−

1 4
2

1 4 −16 2
+ = ( −3, 2 ) + ⇔ x − + =
+
3 5
5
3 5
5
5

⇔ x−

2

1 4 14
+ =
3 5 5

0.25

0.25

 x −1 =2
1
a
⇔ x− = 2⇔  3
 x−1 =−2
3
 3
x = 2 + 1 = 7
3 3

⇔ 
x =-2 + 1 = -5
3 3


0.25

0.25

2 x + 2.3x +1.5 x = 10800

⇔ 2 x.4.3x.3.5 x = 10800

0,25
0,25
0,25
0,25

b ⇔ 30 x = 10800 :12 = 900
⇔ 30 x = 302
⇒x=2

3

a Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta có: a : b : c =
2

2

2

và a +b +c = 24309 (2)

2 3 1
: : (1)
5 4 6

0,25


a b c
2
3
k
= =
Từ (1) ⇒ 2 3 1 = k ⇒ a = k ; b = k ; c =
5
4
6
5 4 6
4
9
1
Do đó (2) ⇔ k 2 ( + + ) = 24309
25 16 36
⇒ k = 180 và k = −180

0,25

+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.
Khi đó ta có A = a + b + c = 237.
+ Với k = −180 , ta được: a = −72 ; b = −135 ; c = −30
Khi đó ta có A = −72 +( −135 ) + ( −30 ) = −237 .

0,25

0,25

0.5

a c
= suy ra c 2 = a.b
c b
a 2 + c 2 a 2 + a.b a (a + b) a
=
=
Ki đó 2 2 = 2
b +c
b + a.b b (b + a ) b

Từ

b

0,5
K
A
H
C

4

a Xét ∆AHK và ∆CKH có:

B

µ =K
µ = 900
H

AB = AC ( gt)
·
·
·
( Cùng phụ với KAC
)
HAB
= KCA
⇒ ∆AHK =∆CKA ( g.c.g)
Suy ra: AH = CK ( Cặp cạnh tương ứng)
Từ câu a ∆AHK =∆CKA suy ra: BH = AK ( Cặp cạnh tương ứng)
b
Vậy KH = AH + AK = BH + CK
3
5
7
19
+ 2 2 + 2 2 + ×××+ 2 2 =
2

1 .2 2 .3 3 .4
9 .10
2
2
2
2
2
2
2 −1 3 − 2 4 − 3
102 − 92
= 2 2 + 2 2 + 2 2 + ×××+ 2 2
1 .2
2 .3
3 .4
9 .10
1 1 1 1 1 1
1
1
= 2 − 2 + 2 − 2 + 2 − 2 + ×××+ 2 − 2
1 2 2 3 3 4
9 10
1
=1- 2 < 1
10

A=

5

Ta có:

1,0
0,5
0,5

2

( Lưu ý: Học sinh có cách giải khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa)

0,5

0,5