HSG toán 7 cẩm thủy 2018 2019

PHÒNG GD&ĐT CẨM THỦY
Đề chính thức

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học 2018 - 2019
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày 18 tháng 4 năm 2019

Câu 1: (4,0 ®iÓm) Tính giá trị các biểu thức
3

2

2019
2  3
 ÷ .  − ÷ . ( −1)
3  4
a) A =
2
3
1 2  5 
36. .  ÷ .  − ÷
5  5   12 
1
9
9
9
9
B= +
+

+
+ ... +
19 19.29 29.39 39.49
2009.2019

b)

Câu 2: (4,0 điểm)
a. Tìm x biết:

x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 2074
+
+
+
+
=0
2017 2016 2015 1007
11
2

2

b. Tìm các cặp số nguyên (x, y) biết: 2019 x − y −8 + y −1 = 1
Câu 3: (4,0 điểm)
1. Tìm ba số tự nhiên, biết rằng bội chung nhỏ nhất của chúng bằng 360 và số
thứ nhất và số thứ hai tỉ lệ nghịch với 3 và 2, số thứ hai và số thứ ba tỉ lệ thuận với 2
và 3
2. Cho a,b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn a 2 + c 2 = b 2 + d 2 chứng minh
rằng a + b + c + d là hợp số
Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A.Trên AB lấy điểm M ( M khác A và B),

Trên AC lấy điểm N sao cho AM = AN.
a) Chứng minh BN = CM
b) Gọi I là giao điểm của BN và CM,O là trung điểm của BC. Chứng minh ba
điểm A,I,O thẳng hàng
c) Chứng minh

BC + MN
< BN
2

Câu 5: (2,0 điểm)
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: 2.22 + 3.23 + 4.24 + .... + n.2 n = 2 n +5
---------------- Hết ---------------


GIẢI
Câu 1: (4,0 ®iÓm) Tính giá trị các biểu thức
3

2

2019
2  3
23 32
1 1
− 3. 4
.
 ÷ .  − ÷ . ( −1)
3  4


3
2
3
2
=
=
=2
a) A =
2
3
3
11 1
5
1 2  5 
2 2 1 4
.
.
−2 .3 . . 2 . 3 3
36. .  ÷ .  − ÷
1 1 3.4
5 5 3 .4
5  5   12 
1
9
9
9
9
+
+
+ ... +

b) B = +
19 19.29 29.39 39.49
2009.2019
10
10
10
10
10
10
B=
+
+
+
+ ... +
9
9.19 19.29 29.39 39.49
2009.2019
10
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
B= − + − +
− + − + ... +
−
9
9 19 19 29 29 39 39 49

2009 2019
10
1
1
B= −
9
9 2019
10
673 − 3
B=
9
3.2019
670 9
67
B=
. =
3.2019 10 673

Câu 2: (4,0 điểm)
x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 2074
+
+
+
+
=0
2017 2016 2015 1007
11
x+2
x+3
x+4

x+5
x + 2074
+1+
+1+
+1+
+2+
−5 = 0
2017
2016
2015
1007
11
x + 2019 x + 2019 x + 2019 x + 2019 x + 2019
+
+
+
+
=0
2017
2016
2015
1007
11
1
1
1
1
1
+
+

+
+ ÷= 0
( x + 2019 ) 
 2017 2016 2015 1007 11 
x + 2019 = 0
x = −2019

a. Tìm x biết:

b. Tìm các cặp số nguyên (x, y) biết: 2019 x

2

− y −8 + y 2 −1

=1

x2 − y − 8 + y 2 − 1 = 0
x2 − y − 8 + y 2 = 1
2
2
Mà x − y − 8 ≥ 0; y ≥ 0;
2
nên 0 ≤ y 2 ≤ 1 mà x; y ∈ Z y ∈ { 0;1} ⇒ y ∈ { 0; ±1}

 x2 − 8 = 1
Với y = 0 suy ra: x − 0 − 8 + 0 = 1 ⇒ x − 8 = 1 ⇒ x − 8 = 1 ⇒  2
 x − 8 = −1
2

2

2

 x2 = 9
⇒ 2
⇒ x = ±3
x
=
7

2
2
2
Với y = 1 suy ra: x − 1 − 8 + 1 = 1 ⇒ x − 1 − 8 = 0 ⇒ x − 1 − 8 = 0


 x2 − 1 = 8
 x2 = 9
⇒ x2 −1 = 8 ⇒  2
⇒ 2
⇒ x = ±3
x
−
1
=
−
8
x
=

−
7


2
2
2
Với y = -1 suy ra: x + 1 − 8 + 1 = 1 ⇒ x + 1 − 8 = 0 ⇒ x + 1 − 8 = 0

 x2 + 1 = 8
 x2 = 7
⇒ x +1 = 8 ⇒  2
⇒ 2
⇒ x ∈θ
 x + 1 = −8  x = −9
2

Vậy các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đề bài là: ( 0;3) ; ( 0; −3) ; ( 1;3) ; ( 1; −3)
Câu 3: (4,0 điểm)
1. Tìm ba số tự nhiên, biết rằng bội chung nhỏ nhất của chúng bằng 360 và số
thứ nhất và số thứ hai tỉ lệ nghịch với 3 và 2, số thứ hai và số thứ ba tỉ lệ
thuận với 2 và 3
Gọi hai số cần tìm là a, b, c ( đk a; b; c ∈ N )
Vì số thứ nhất và số thứ hai tỉ lệ nghịch với 3 và 2 nên ta có: 3a = 2b ⇒ 9a = 6b
số thứ hai và số thứ ba tỉ lệ thuận với 2 và 3 nên ta có:
suy ra 9a = 6b = 4c ⇒

b c
= ⇒ 3b = 2c ⇒ 6b = 4c
2 3

a b c
= =
4 6 9

a b c
= = = k ⇒ a = 4 k ; b = 6k ; c = 9k
4 6 9
⇒ BCNN ( a; b; c ) = 2 2.32.k = 36k mà theo bài ra ⇒ BCNN ( a; b; c ) = 360

Đặt

Suy ra: ⇒ 36k = 360 ⇒ k = 10
⇒ a = 4.10 = 40; b = 6.10 = 60; c = 9.10 = 90

Vậy 3 số cần tìm là 40; 60; 90
2. Cho a,b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn a 2 + c 2 = b 2 + d 2 chứng minh
rằng a + b + c + d là hợp số
Cách 1:
a 2 + 2ac + c 2 + b 2 + 2bd + d 2 = 2 ( ac + bd )

a2 + c 2 = b2 + d 2

⇒ ( a + c ) − ( b + d ) = 2 ( ac + bd ) ⇒ a + c ≡ ( b + d ) ( mod 2 ) ⇒ a + c + b + d M2 mà a, b, c,
2

2

d
nguyên

dương
nên
a+b+c+d> 2 nên a+b+c+d là hợp số
Cách 2:
2
2
2
2
Xét a + b + c + d − ( a + b + c + d ) = a ( a − 1) + b ( b − 1) + c ( c − 1) + d ( d − 1)
Vì a,b, c, d là các số nguyên dương nên

a ( a − 1) M2; b ( b − 1) M2; c ( c − 1) M2; d ( d − 1) M2 a ( a − 1) + b ( b − 1) + c ( c − 1) + d ( d − 1) là số

chẵn

2
2
2
2
2
2
Mà a 2 + c 2 = b 2 + d 2 nên a + b + c + d = 2 ( b + d ) suy ra a 2 + b2 + c 2 + d 2 chẵn

Do đó a + b + c + d chẵn lớn hơn 2 nên a+b+c+d là hợp số
Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A.Trên AB lấy điểm M ( M khác A và B),
Trên AC lấy điểm N sao cho AM = AN.


a) Chứng minh BN = CM
b) Gọi I là giao điểm của BN và CM,O là trung điểm của BC. Chứng minh ba

điểm A,I,O thẳng hàng
c) Chứng minh

BC + MN
< BN
2

a) Dễ cm đc ∆ANB = ∆AMC ( c.g .c )
Suy ra: BN = CM
b) Dễ cm đc ∆AIB = ∆AIC ( g.c.g )
Suy ra AI là tia phân giác của góc A (1)
Mà ∆ABC cân tại A có AO là trung tuyến đồng
thời là phân giác của góc A (2)
Từ (1) và (2) suy ra A,I,O thẳng hàng
c) Dễ cm đc ∆AIM = ∆AIN ( g.c.g ) suy ra IM = IN suy ra IB = IC
Xét ∆IMN ;có IM + IN > MN ⇒ 2 IN > MN
Xét ∆IBC ;có IB + IC > BC ⇒ 2 IB > BC
Suy ra: 2 IN + 2 IB > MN + BC ⇒

BC + MN
< BN
2

Câu 5: (2,0 điểm)
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: 2.22 + 3.23 + 4.2 4 + .... + n.2 n = 2 n +5
A = 2.22 + 3.23 + 4.2 4 + .... + n.2n
2 A = 2.23 + 3.24 + 4.25 + .... + n.2 n +1
2 A − A = 2.23 + 3.2 4 + 4.25 + .... + n.2 n +1 − 2.2 2 − 3.23 − 4.2 4 − .... − n.2 n
A = n.2 n +1 − 22 − (22 + 23 + 24 + 25 + .... + 2n )
Đặt: B = 22 + 23 + 2 4 + 25 + .... + 2 n

2 B = 23 + 24 + 25 + .... + 2n + 2n +1
2 B − B = (23 + 2 4 + 25 + .... + 2 n + 2 n +1 ) − (2 2 + 23 + 2 4 + 25 + .... + 2 n )
B = 2n +1 − 22
A = n.2n +1 − 22 − (2 n +1 − 2 2 ) = n.2n +1 − 2n +1 = (n − 1)2n +1
(n − 1)2 n +1 = 2n +5
n − 1 = 24 = 16 ⇒ n = 17


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7

ĐỀ THI VÒNG 4

NĂM HỌC 2018-2019
Môn thi: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1. (4 điểm)
a) Thực hiện phép tính:
b) Tính

A=

212.35 − 46.92

( 2 .3)
2

6

+ 8 .3
4

5

−

510.73 − 255.49 2

( 125.7 )

3

+ 59.143

S = 2100 − 299 + 298 + .... + 22 − 2
1 2 3
2019
+ 2 + 3 + ... + 2019 < 0, 75
3 3 3
3

c) Chứng tỏ:
Câu 2. (4 điểm)

a + b− c b+ c − a c + a − b
=
=
c
a
b

a) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn :
Hãy tính giá trị của biểu thức:

và a+b+c ≠ 0

b 
a 
c

B = 1 + 1 + 1 +  .
a 
c 
b


b) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định
chia cho ba lớp tỉ lệ với 5,6,7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có một lớp nhận
nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.
d) Cho ba số x,y, z tỉ lệ với 3,4,5. Tính

P=

2017 x + 2018 y − 2019 z

2017 x − 2018 y + 2019 z

Câu 3: (4 điểm)
a) Tìm x, y, z biết:

5z − 6 y 6x − 4z 4 y − 5x
=
=
và 3x – 2y + 5z = 96.
4
5
6

b) Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 +……+ 3x+100 chia hết cho 120 (với x ∈ N)
Câu 4. (6 điểm)
Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho
CD = AB. Gọi P,Q là trung điểm của AD, BC, và I là giao điểm các đường vuông
góc với AD và BC tại P và Q.
a) Chứng minh ∆AIB = ∆DIC
b) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC.
c) Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh AE =

1
AD .
2

Câu 5. (2 điểm) Cho biết xyz=1
x

y

z

Tính giá trị A = xy + x + 1 + yz + y + 1 + xz + z + 1
----------------------------------------------------------------------------

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - SBD:.......................


PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2018– 2019
Môn thi : Toán

Câu
Câu 1
(4 điểm)

Phần
a
2đ

Nội dung

A=

2 .3 − 4 .9
12

5

( 2 .3)
2

6

6

2

+ 84.35

−

5 .7 − 25 .49
10

3

5

( 125.7 )

3

Điểm
2

+ 59.143

10

212.35 − 212.34 510.73 − 5 .7 4
= 12 6 12 5 − 9 3 9 3 3
2 .3 + 2 .3 5 .7 + 5 .2 .7
212.34. ( 3 − 1) 510.7 3. ( 1 − 7 )
= 12 5
−
2 .3 . ( 3 + 1) 59.73. ( 1 + 23 )

0,5
0,5

10 3
212.34.2 5 .7 . ( −6 ) 1 −10 7
= 12 5 − 9 3
= −
=
2 .3 .4
5 .7 .9
6
3
2

b
2đ

a

2đ
Câu 2
( 4 điểm )

1

S =(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+...+ (-3)2015.
-3S = (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + ....+(-3)2015]
= (-3)1+ (-3)2+ ....+(-3)2016]
-3S – S = [(-3)1 + (-3)2+...+(-3)2016]-(3)0-(-3)1-...-(-3)2015.
-4S = (-3)2016 -1.
(−3) 2016 − 1 32016 − 1 1 − 32016
S =
=
=
−4
−4
4

0.5
0.5
0.5

+Vì a+b+c ≠ 0
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:

a + b− c b+ c − a c + a − b
a+ b− c+ b+ c− a+ c+ a−b
=
=

=
a+b+ c
c
a
b

mà

a+ b− c
b+ c− a
c+ a−b
+1=
+1=
+1
c
a
b

=>

a+ b b+ c c+ a
=
=
=2
c
a
b

=1

=2

b

a

c

b +a c +a b +c

Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên
khác 0)
Số gói tăm dự định chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần
lượt là: a, b, c
Ta có:

0.5
0.5
0.5





Vậy B = 1 + a ÷1 + c ÷1 + b ÷= ( a )( c )( b ) =8





b
2đ

0.5

a b c a +b +c
x
5x
6x x
7x
= = =
=
⇒a =
;b =
= ;c =
5 6 7
18
18
18
18 3
18

(1)
Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có:

0.5

1

0,5

a , b, c , a , + b , + c ,
x
4 x , 5x x , 6 x
= = =
=
⇒ a, =
;b =
= ;c =
4
5
6
15
15
15
15 3
15

(2)
So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C
nhận nhiều hơn lúc đầu
Vây: c’ – c = 4 hay

0.5

6x 7 x
x
−
=4⇒

= 4 ⇒ x = 360
15 18
90

Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói.
a
2đ
Câu 3
(4 điểm)

b
2đ

5z − 6 y 6x − 4z 4 y − 5x
=
=
4
5
6
20z − 24 y 30x − 20z 24 y − 30x
=
=
=>
16
25
36
=>10z = 12y = 15x
x y z
3x 2 y 5 z
=

=> = = => =
và 3x – 2y + 5z = 96
4 5 6
12 10 30
Giải ra ta được x = 12; y = 15; z = 18
3x+1 + 3x+2 + 3x+3 +…… + 3x+100
= (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8)+…+
(3x+97 +
3x+98 + 3x+99 + 3x+100)
= 3x(3+32+33+34) + 3x+4(3+32+33+34) +…+3x+96(3+32+33+34)
= 3x.120 + 3x+4.120 +…+3x+96.120
= 120(3x + 3x+4 +…+3x+96) M120 (đpcm)
Từ

0.5
0.5
0.5
0.5

1
0.5
0.5

A

P
C

B

0,5
E

Câu 4
(6 điểm )

D

I

a
2đ
b
1,5đ
c

Ta có IB = IC, IA = ID
Lại có AB = CD (gt)
Do đó ∆AIB = ∆DIC (c.c.c)

1
0,5
0,5

CM: ∠ DAI = ∠ D
∆AIB = ∆DIC (câu a), suy ra ∠ BAI = ∠ D
Do đó ∠ DAI = ∠ BAI.
Vậy AI là tia phân giác của góc BAC
Kẻ IE ⊥AB, ta có ∆AIE = ∆AIP

0,5
0,5
0,5
0,5


2đ

=> AE = AP
Mà AP = ½ AD (vì P là trung điểm AD)
Suy ra AE =

Câu 5
( 2 điểm )

1
AD
2

x
y
z
+
+
=
xy + x + 1 yz + y + 1 xz + z + 1
xz
xyz
z
+

+
=
2
xyz + xz + z xyz + xyz + xz xz + z + 1
xz
xyz
z
xyz + xz +1
+
+
=
=1
1 + xz + z
z +1 + xz
xz + z +1
xyz + xz +1

Lưu ý .Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

0,5
0,5
0,5
1
1


PHÒNG GD&ĐT NHƯ XUÂN

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 - 2019

Môn thi : TOÁN - LỚP 7
Ngày thi: 23 tháng 4 năm 2019
Thời gian: 150 phút

Câu 1: (4 điểm)
1) Tính giá trị các biểu thức sau:
−1
−1 −1 



45  1
1 1
−
+ + ÷ ÷ ÷ .
a) A =
19  2  3  4  ÷
 ÷


15 9
20 9
5.4 .9 − 4.3 .8
b) B = 10 19
.
5.2 .6 − 7.229.276
x +1
x +11
=0.
2) Tìm x biết: ( x − 7 ) − ( x − 7 )

Câu 2: (4 điểm)
1) Chứng minh rằng: A = 11n+ 2 + 122 n+1 chia hết cho 133 với mọi n ∈ N .
2) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện:
a+b−c b+c−a c+a −b
=
=
.
c
a
b
 b  a  c 
Hãy tính giá trị của biểu thức: B =  1 + ÷ 1 + ÷ 1 + ÷.
 a  c  b 
Câu 3: (4 điểm)
Ba lớp 7 ở một trường A có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa 1/3 số học sinh của
lớp 7A, 1/4 số học sinh của lớp 7B và 1/5 số học sinh của lớp 7C đi thi học
sinh giỏi cấp huyện thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau. Tính tổng số
học sinh của mỗi lớp 7 ở trường A.
Câu 4 (6 điểm)
· = 600 có tia phân giác Az. Từ điểm B trên tia Ax kẻ BH vuông góc
Cho xAy
với Ay tại H; kẻ BK vuông góc với AZ tại K; kẻ tia Bt song song với Ay, Bt cắt
Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M.
a) Chứng minh K là trung điểm của AC.
b) Chứng minh tam giác KMC đều.
c) Cho BK = 2cm. Tính các cạnh của tam giác AKM.
2
Câu 5: (2 điểm) Tìm x, y ∈ N biết: 15 ( x − 2019 ) = 64 − y 2 .
------------Hết------------

UBND HUYỆN KINH MÔN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI GIAO LƯU OLYMPIC CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2018 - 2019
MÔN: TOÁN - LỚP 7
Thời gian làm bài: 150 phút
( Đề gồm có: 5 câu, 01 trang)

Câu 1: ( 2,0 điểm)
3 3 3
− +
4 11 13 +
1) Tính M = 5 5 5
− +
4 11 13
1
2

1
3

1
4

2) Tính A= + + + ... +

1 1 1
− +

2 3 4
5 5 5
− +
4 6 8
1
1
2
3
2017 2018
A
+
+
+ ... +
+
; B=
. Tính
2019
2018 2017 2016
2
1
B

Câu 2: ( 2,0 điểm)
1) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: x + 2y = 3xy + 3
2) CMR với n nguyên dương thì 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hết cho 10.
Câu 3: ( 2,0 điểm )

(
(

a 2018 + b 2018
a c
1) Cho các số dương a,b,c,d; c ≠ d và = . CMR 2018 2018
b d
c +d

)
)

2019
2019

(a
=
(c

2019

− b 2019

2019

− d 2019

)
)

2018
2018

2018
2) Cho biết 3x − 2 y + 5 z − 7 x + ( xy + yz + xz − 500) = 0 .

Tính giá trị biểu thức

A = (3x - y - z)2019

Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam
giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.
1) Chứng minh rằng: DC = BE.
2) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Tính số đo góc BIK, góc AMN.
3) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.
Câu 5 (1,0đ)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
ab+bc+ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab+bc+ca)
---------------------------Hết---------------------