Bài tập hình học ôn thi vào lớp 10

Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang
Bi 99: Cho ABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn tõm O bỏn kớnh R.. Cỏc
phõn giỏc ca cỏc gúc ãABC , ãACB ln lt ct ng trũn ti E, F.

1) CMR: OF AB v OE AC.
2) Gi M l giao im ca ca OF v AB; N l giao im ca OE v AC.
CMR: T giỏc AMON ni tip v tớnh din tớch hỡnh trũn ngoi tip t giỏc
3) Gi I l giao im ca BE v CF; D l im i xng ca I qua BC. CMR:
ID MN.
ã
4) CMR: Nu D nm trờn (O) thỡ BAC
= 600.
Hng dn:

ã
ằ OF AB
(CF laứphaõ
n giaự
c) ằAF = BF
1. ãACF = BCF
ã
ã
ằ OE AC
ABE
= CAE
(BE laứphaõ
n giaự
c) ằAE = CE
ã
= 900 .
2. OF AB taùi M OMA

ã
ã
ã
OE AC taùi N ONA
= 900 OMA
+ ONA
= 1800 T AMON ni tip.
2

2

OA R2
OA
=

.
=
AMON ni tip ng trũn ng kớnh OA S= .
.
ữ
4
4
2
3. I v D i xng nhau qua BC ID BC (1)
1
1
OF AB taùi M MA = MB = AB . OE AC taùi N NA = NC = AC MN l ng
2
2

ABC

ID

MN

trung bỡnh ca
MN //BC(2). T (1) v (2)
.
ã
4. CMR: Nu D nm trờn (O) thỡ BAC
= 600:

+ I v D i xng qua BC BC l ng trung trc ca ID, suy ra:
ã
ã
- IBD cõn ti B CBD
( BC l ng trung trc ng thi l ng cao).
= CBE
ã
ã
- ICD cõn ti C BCD
( BC l ng trung trc ng thi l ng cao).
= BCF
ã
ã
ằ = CE
ằ m CE
ằ = ằAE (cmt)
+ Khi D nm trờn (O,R) thỡ: CBD

= CBE
(cmt) CD
ằ + CD
ằ =ẳ
ằ = 1 ACD
ẳ
ằ = CD
ằ Mc khỏc: ằAE + EC
ACD CD
ằAE = EC
(1).
3
ã
ã
ằ = BF
ằ m BF
ằ = AF(
ằ cmt) ằAF = FB
ằ = BD
ằ
BCD
= BCF
(cmt) BD

Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

75

Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang

ằ + BD
ằ = ABD
ẳ BD
ằ = 1 ABD
ẳ
- Mc khỏc: ằAF + FB
(2).
3

ã
ằ ãBAC = 1 sủBC
ằ = 1 (sủBD
ằ + sủCD
ằ ) (3).
n.tieỏ
p chaộ
nBC
- BAC
2

2
1 1
1
1
1
ẳ + sủ ABD
ẳ
ABD + sủ ẳ

ABD ữ= sủ ABD
= .3600 = 600 .
- T (1), (2), (3) ãBAC = sủ ẳ
2 3
3
6
6

(

)

Bi 100: Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng a. Gi M l im trờn cnh BC v N
l im trờn cnh CD sao cho BM = CN. Cỏc on thng AM v BN ct nhau ti H.
1. CMR: Cỏc t giỏc AHND v MHNC l nhng t giỏc ni tip.
2. Khi BM =

a
. Tớnh din tớch hỡnh trũn ngoi tip t giỏc AHND theo a.
4

3. Tỡm giỏ tr nh nht ca di on MN theo a.
Hng dn:

1. CMR: T giỏc AHND v MHNC ni tip:
ã
ã
+ ABM = BCN (c.g.c) BAM
= CBN
ã

ã
ã
+ CBN
+ ABH
= ABC
= 900 ãAHB = 900 (L tng 3 gúc ca AHB)
ã
AM BN ti H ãAHN = MHN
= 900 .
+ T giỏc AHND cú: ãAHN + ãADN = 1800 AHND l t giỏc ni tip.
ã
ã
+ T giỏc MHNC cú: MHN
+ MCN
= 1800 MHNC l t giỏc ni tip.
a
. Tớnh din tớch hỡnh trũn ngoi tip t giỏc AHND theo a:
4
a
a
3a
CN =
DN =
+ Khi BM =
.
4
4
4

2. Khi BM =

+ AND vuụng ti D AN =

2
5a
3a
AD + DN = a + ữ =
.
4
4
2

2

2

2

AN 2
25 a 2
5a
= ữ :4 =
+ Din tớch hỡnh trũn ngoi tip t giỏc AHND: S =
.
4
64
4
3. + t x = BM = CN CM = a x .
+ MCN vuụng ti C MN2 = CM2 + CN2 = (a x)2 + x2 = 2x2 2ax + a2 =
2

a
a a2

a2
2
=0
x
2

+
MN t giỏ tr nh nht l
khi x 2

ữ 2
2
2
2

a
a2 a 2
=
khi x =
2
2
2
a
a 2
Vy giỏ tr nh nht ca MN l
khi BM = .
2

2

MN t giỏ tr nh nht l

Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

76


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang

Bi 101:
Cho ABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn tõm O. ng cao BH
v CK ln lt ct (O) ti E v F.
1) CMR: T giỏc BKHC ni tip.
2) CMR: OA EF v EF // HK.
3) Khi ABC l tam giỏc u cú cnh bng a. Tớnh din tớch hỡnh viờn phõn
chn cung nh BC ca (O).
Hng dn:

ã
ã
a) BHC
= BKC
= 900 B, H, C, K ng trũn ng kớnh BC BKHC ni tip.
ã
ã
ẳ ) ABE
ã

ã
ã
ã
ằ AE = AF (1)
= KCH
(chaộ
nHK
= ACF
= CAF
(cmt) ằAE = CF
b) KBH
; ABE
Mc khỏc: OE = OF = R (2)
T (1) v ( 2) OA l ng trung trc ca EF OA EF .
ã
ã
ằ ) BCF
ã
ã
ã
ã
ằ ) (4)
+ BCK
= BHK
(chaộ
nBK
= BHK
(3). BCF
= BEF
(chaộ

nBF

ã
ã
ã
ã
T (3) v (4) BHK
= BEF;
BHK
vaứBEF
ủo
ng vũ EF // HK .
a 3
c) Gi R l bỏn kớnh ca (O) v h l chiu cao ca ABC u, ta cú:h =
2

2
2 a 3 a 3
=
- O l trng tõm ca ABC R = OA = h = .
3

3

2

3

2

a 3 a2
- S(O) = R2 =
(vdt)
ữ
ữ =

3
3
1
1 a 3 a2 3
- SABC = a.h = a
=
(vdt)
2
2 2
4
1
1 a2 a2 3
a2 (4 3 3)
- Svp = ( S(O) SABC ) = (
)=
(vdt).
3
3 3
4
36

Bi 102:
Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng a. Gi E l mt im bt k trờn
cnh BC. Qua B v ng thng vuụng gúc vi tia DE ti H, ng thng ny ct tia

DC ti F.
a) CMR: Nm im A, B, H, C, D cựng nm trờn mt ng trũn.
b) CMR: DE.HE = BE.CE.
c) Tớnh di on thng DH theo a khi E l trung im ca BC.
ã
d) CMR: HC l tia phõn giỏc ca DHF
.
Hng dn:

Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

77


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang

ã
ã
ã
a) BAD
= BHD
= BCD
= 900 A, B, H, C, D ng trũn ng kớnh BD.
b) DEC v BEH cú:

ã
ã
DEC
= BEH

( ủoỏ
i ủổ
nh)
DEC
ã
ã
DCE
= BHE
= 900


BEH

c) Khi E l trung im ca BC EB = EC =

DE EC
DE.HE = BE.CE.
=
BE EH

BC a
= .
2
2
2

a
a 5
- DEC vuụng ti C DE = EC + CD DE = ữ + a2 =
.

2
2
BE.CE
a a a 5 a 5
EH = . ữ :
=
- T: DE.HE = BE.CE (cmt) EH =
.
DE
10
2 2 2
2

2

a 5 a 5
3a 5
+
=
.
2
10
5
1
ã
ã
ã
ã
= ãABC = 450 CHD
= CBD

= 450 (1)
d) CHD
M: CBD
2
ã
ã
ã
+ Mc khỏc: CHD + CHF = DHF
= 900 (2)
1ã
ã
ã
ã
HC l tia phõn giỏc ca DHF
= CHF
= DHF
+ T (1) v (2) CHD
.
2

- DH = DE + EH =

Bi 103:
Mt hỡnh vuụng ABCD ni tip trong ng trũn ( O; R). im
M di ng trờn cung ABC, M khụng trựng vi A, B v C, MD ct AC ti H.
1) CMR:T giỏc MBOH ni tip c trong ng trũn v DH.DM = 2R2 .
2) CMR: MD.MH = MA.MC.
3) MDC v MAH bng nhau khi M mt v trớ c bit M. Xỏc nh
im M. Khi ú MD ct AC ti H. ng thng qua M v vuụng gúc vi AC ct
AC ti I. Chng minh rng I l trung im ca HC .

Hng dn:

1. CMR: T giỏc MBOH ni tip dc ng trũn:
ã
+ ABCD l hỡnh vuụng BD AC BOH
= 900 (1)
ã
ã
+ (O) cú: BMD
ni tip chn ng trũn BMD
= 900 (2)
ã
ã
+ T (1) v (2) BOH
+ BMD
= 900 + 900 = 1800 MBOH ni tip ng trũn ng
kớnh BH.
* CMR: DH.DM = 2R2:
ã
ã
ã
DOH v DMB cú: DOH
: chung DOH : DMB (g.g)
= DMB
= 900 v BDM
Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT 78
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang

DO DH
=
DO. DB = DH . DM R.2 R = DH . DM DH .DM = 2 R 2 (pcm).
DM DB

2. CMR: MD.MH = MA.MC:
ã
ã
ã
ã
MDC
= MAC
MDC
= MAH

ã
ã
ằ = ằAD CMD
CD = AD (ABCD l hỡnh vuụng) CD
= ãAMD CMD
= ãAMH .
ã
ã
ã
= MAH
(cmt) ; CMD
= ãAMH (cmt)
+ MDC v MAH cú: MDC

MDC : MAH (g.g)

MD MC
=
MD. MH = MA. MC .
MA MH

3. Chng minh rng I l trung im ca HC:
+ MDC = MAH MD = MA
ằ = BA
ằ (2)
ẳ + CD
ằ = MB
ằ + BA
ằ (1). Do: CD = BA CD
ẳ
ẳ MC
+ MD = MA MCD
= MBA
ẳ = MB
ẳ M l im chớnh gia BC
ằ . Hay Ml im chớnh gia BC
ằ .
T (1); (2) MC
+ MDC = MAH MDC = MAH MC = MH MHC cõn ti M (3)
+ Do MI AC MI HC
(4)

T (3) v (4)
MI l ng l ng trung tuyn ca MHC IH = IC

Hay I l trung im ca HC (pcm).
Bi 104:
Cho hai ng trũn (O; 20cm) v (O; 15cm) ct nhau ti A v B.
Bit AB = 24cm v O v O nm v hai phớa so vi dõy chung AB. V ng kớnh
AC ca ng trũn (O) v ng kớnh AD ca ng trũn (O).
a) CMR: Ba im C, B, D thng hng.
b) Tớnh di on OO.
c) Gi EF l tip tuyn chung ca hai ng trũn (O) v (O) (E, F l
cỏc tip im). CMR: ng thng AB i qua trung im ca on thng EF.
Hng dn:
:

a) (O) cú ãABC ni tip chn na ng trũn ng kớnh AC ãABC = 900 (1)
+ (O) cú ãABD ni tip chn na ng trũn ng kớnh AD ãABD = 900 (2)
ã
+ T (1) v (2) CBD
= ãABC + ãABD = 1800 Ba im C, B, D thng hng.
b) (O) v (O) ct nhau ti A v B OO l ng trung trc ca AB.
1
+ Gi H l giao im ca OO v AB OO AB tiH;HA =HB = AB = 12 (cm)
2

+ AHO vuụng ti H OH = OA HA = 20 12 = 16 (cm).
2

2

2

2

+ AHO vuụng ti H O ' H = O ' A2 HA2 = 152 122 = 9 (cm).
Suy ra: OO = OH + OH = 16 + 9 = 25 (cm).
c) Gi K l giao im ca AB v EF.
+ OEK vuụng ti E KE 2 = OK 2 OE 2
(1)
Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT 79
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh


Tỉ khoa häc tù nhiªn - trêng thcs trùc khang
+ ∆ OHK vng tại H ⇒ OK 2 = OH 2 + HK 2
(2)
2
2
2
2
2
+ Từ (1) và (2) ⇒ KE = (OH + HK ) – OE = 16 + HK2 – 202 = HK2 - 144 (*).
+ ∆ O’FK vng tại F ⇒ KF 2 = O ' K 2 − O ' F 2
(3)
2
2
2
+ ∆ O’HK vng tại H ⇒ O ' K = O ' H + HK
(2)
2
2
2
2

2
2
+ Từ (3) và (4) ⇒ KF = (O’H + HK ) - O’F = 9 + HK – 152 = HK2 - 144 (**).
a EF
+Từ (*); (**) ⇒ KE 2 = KF 2 ⇒ KE = KF Mà: KE + KF = EF ⇒ K làtrung điểm củ
⇒ AB đi qua trung điểm của EF (đpcm).

Bài 105: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B lần lượt kẻ hai
tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác
A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D.
1. CMR:
a) Tứ giác AOMC nội tiếp.
·
b) CD = CA + DB và COD
= 900.
c) AC. BD = R2.
·
2. Khi BAM
= 600. Chứng tỏ ∆ BDM là tam giác đều và tính diện tích của hình
quạt tròn chắn cung MB của nửa đường tròn đã cho theo R.
Hướng dẫn:

·
·
1a) Ax là tiếp tuyến tại A ⇒ OAC
= 900 (1). CD là tiếp tuyến tại M ⇒ OMC
= 900 (2)
·
·
Từ (1) và (2) ⇒ OAC

+ OMC
= 1800 ⇒ AOMC là tứ giác nội tiếp đường tròn
·
1b) CMR: CD = CA + DB và COD
= 900:
+ CA = CM và OC là tia phân giác của ·AOM (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) (1)
·
+ DB = DM và OD là tia phân giác của MOB
(T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) (2)
Suy ra: CD = CM + MD = CA + DB
·AOM + MOB
·
·
n giá
c
= 1800 (kềbu)ø. ·AOM + MOB
= 1800 (kềbu)ø. Mà OC làphâ
·
·
= 900.
củ
a ·AOM và OD làphâ
n giá
c củ
a MOB
⇒ COD
ng tại O : OM ⊥ CD ⇒ OM 2 = MC.MD
1c) ∆COD vuô

vớ

i OM =R,MC = AC, MD = BD ⇒ AC.BD = R2
·
2. Khi BAM
= 600. Chứng tỏ ∆ BDM là tam giác đều và tính diện tích của
hình quạt tròn chắn cung MB của nửa đường tròn đã cho theo R:
·
·
¼ ) (1)
+ DBM
= BAM
= 600 ( cùng chắn BM
∆ BDM có DB = DM ⇒ ∆ BDM cân tại D (2). Từ (1) và (2) ⇒ ∆ BDM đều.
·
·
+ BOM
= 2.BAM
= 2.600 =1200 ( hệ quả góc nội tiếp)

¤n tËp: Thi vµo líp 10 THPT
Gi¸o viªn: Hµ V¨n BØnh

80


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang

Squt =

R2n R2 60 R2
(vdt).

=
=
360
360
3

Bi 106: T im M ngoi ng trũn (O) v cỏt tuyn MCD khụng i qua tõm O
v hai tip tuyn MA v MB n ng trũn (O), õy A, B l cỏc tip im v C
nm gia M, D.
1) CMR: MA2 = MC. MD.
2) Gi I l trung im ca CD. CMR: 5 im M, A, O, I, B cựng nm trờn mt
ng trũn.
3) Gi H l giao im ca AB v MO. CMR: T giỏc CHOD ni tip c
ã
ng trũn. Suy ra AB l phõn giỏc ca CHD
.
4) Gi K l giao im ca cỏc tip tuyn ti C v D ca ng trũn (O). CMR:
3 im A, B, K thng hng.
HD:

ã
ã
ã
ằ
a) + MAC v MDA cú: MDA:chung
; MAC
= MDA
(cuứ
ng chaộ
n AC)

MA MC
=
MA2 = MC.MD (pcm)).
MD MA
ã
b) - I l trung im ca dõy CD OI CD OIM
= 900 nhỡn on OM(1)
ã
- MA OA (T/c tip tuyn) OAM
(2)
= 900 nhỡn on OM
ã
- MB OB (T/c tip tuyn) OBM
(3)
= 900 nhỡn on OM

MAC

:

MDA (g.g)

T (1), (2) v (3) 5 im M, A, I, O, B ng trũn ng kớnh OM.
c) + OAM vuụng ti A MA2 = MO. MH. M: MA2 = MC. MD (cmt )
MH MC
=
MD MO
MH MC
ã
MHC : MDO (c.g.c)

: chung .
=
+ v MDO cú: DOM
MD MO
ã
ã
ã
ã
ã
ã
Maứ
: MHC
= CHO
= 1800 (kebu)ứ MHC
= MDO
MHC
= CDO
ã
ã
CDO
+ CHO
= 1800 . Suy ra: T giỏc CHOD ni tip c ng trũn
MO. MH = MC. MD

ã
* CMR: AB l phõn giỏc ca CHD
:
ã
ã
ã

ã
+ COD cú OC = OD = R COD cõn ti O CDO
= DCO
MDO
= DCO

ã
ã
ằ )
Maứ
: OHD
= DCO(cuứ
ng chaộ
n OD
ã
ã
ã
ã
ã
ã
(1)
MDO
= OHD.Maứ
: MDO
= MHC
(cmt) OHD
= MHC

Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

81


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang

ã
ã
ã
ã
+ Mc khỏc: AHC
(2)
= 900 MHC;
AHD
= 900 OHD
ả = AHD.
ã
ã
ã
ã
T (1) v (2)
AHC
Maứ
: AHC
+ AHD
= CHD
ã
ã
AB l tia phõn giỏc ca CHD
Suy ra: HA l tia phõn giỏc ca CHD

(pcm).
d) Gi K l giao im ca cỏc tip tuyn ti C v D ca ng trũn (O).
CMR: 3 im A, B, K thng hng:
+ Gi K l giao im ca 2 tip tuyn ti C v D ca (O)
ã
+ CK OC (T/c tip tuyn) OCK
= 900 nhỡn on OK (1)
ã
+ DK OD (T/c tip tuyn) ODK
= 900 nhỡn on OK (2)
T (1), (2) T giỏc OCK ni tip ng trũn ng kớnh OK
ã
ã
ằ . OKC
ã
ã
OKC
= ODC
(cuứ
ng chaộ
n OC)
= MHC

ã
ã
ã
ã
ã
ã
Maứ

: MHC
+ OHC
= 1800 (kebu)ứ OKC
= MDO.
Maứ
: MHC
= MDO(cm
t)
ã
ã
OKC
+ OHC
= 1800 T giỏc OKCH ni tip ng trũn ng kớnh OK
ã
OHK
= ãOCK = 900(gúc ni tip chn na ng trũn)
HK MO. Maứ
: AB MO(cmt) HK AB 3 im A, B, K thng hng

Bi 107: Cho hỡnh vuụng cnh a, ly im M bt k thuc cnh BC (M khỏc B,C).
Qua B k ng thng vuụng gúc vi ng thng DM ti H, kộo di BH ct ng
thng DC ti K.
1. Chng minh: BHCD l t giỏc ni tip.
2. Chng minh: KM DB.
3. Chng minh: KC . KD = KH . KB.
4. Kớ hiu SABM , SDCM l din tớch ca tam giỏc ABM, tam giỏc DCM. CMR:
(SABM + SDCM ) khụng i. Xỏc nh v trớ ca M trờn BC S 2ABM + S2DCM t giỏ tr
nh nht. Tỡm giỏ tr nh nht ú theo a.
HD:

ã
ã
1. BHD
= BCD
= 900 B, H, C, D ng trũn ng kớnh BD.
2. BDK cú : DH BK v BC DK
DH caộ
t DK taùi M M l trc tõm ca BDK KM DB
3. Chng minh: KC . KD = KH . KB:
ã
ã
ã
+ KCB v KHD cú: KCB
= KHD
= 900; BKD
: chung KCB : KHD (g.g)



KC KH
KC . KD = KH . KB (pcm).
=
KB KD

4. CMR: (SABM + SDCM ) khụng i:
+ ABM vuụng ti B SABM =
Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

1

1
AB.BM = a.BM
2
2

82

(1)


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang

1
1
CD.CM = a.CM
(2)
2
2
1
1
T (1) v (2) SABM + SDCM = a.BM + a.CM
2
2
1
1
1
1
= a.(BM + CM) = a.BC = a.a = a2
2
2

2
2
1
+ Vỡ a l khụng i a2 khụng i (SABM + SDCM ) khụng i.
2

+ DCM vuụng ti C SDCM =

* Xỏc nh v trớ ca M trờn BC S 2ABM + S2DCM t giỏ tr nh nht. Tỡm
giỏ tr nh nht ú theo a:
+ t x = BM CM = a x
2

2

2

1
1

1
1

+ Ta cú: S + S = a.BM ữ + a.CM ữ = a.xữ + a.(a x)
2
2

2
2

1 2 2
1 2
1
1
= a2 x2 + (a x)2 = a2 2x2 2ax + a2 = a 2(x ax + a )
4
2
4
4
1 2
1 2 1 2
1
1
1
a4
= a (x a) + a ) = a2.(x a)2 + a4
2
2
4
2
2
8
8
4
1
1
a
2
2
+ SDCM

+ Giỏ tr nh nht ca SABM
l
khi : x a = 0 x = a
2
2
8
2
ABM

2

2
DCM

2
2
+ SDCM
Vy khi M l trung im ca BC thỡ SABM
t giỏ tr nh nht l

a4
.
8

Bi 108: Cho im A ngoi ng trũn (O, R). Gi AB, AC l hai tip tuyn ca
ng trũn (B v C l hai tip im). T A v mt tia ct ng trũn ti E v F (E
nm gia A v F).
a) CMR: AEC v ACF ng dng. Suy ra AC2 = AE. AF.
b) Gi I l trung im ca EF. Chng minh 5 im A, B, O, I, C cựng nm
trờn mt ng trũn.

c) T E v ng thng vuụng gúc vi OB ct BC ti M. Chng minh t
giỏc EMIC ni tip c trong ng trũn. Suy ra t giỏc MIFB l hỡnh thang.
d) Gi s cho OA = R 2 . Tớnh theo R phn din tớch t giỏc ABOC nm
ngoi hỡnh trũn (O)

ã
ằ
ã
a) AEC v ACF cú: ãACE = CFE
(cuứ
ng chaộ
n CE).
CAF
: chung
KCB : KHD (g.g)

AC
AE
AC2 = AE. AF (pcm).
=
AF
AC

Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

83


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang

b) Gi I l trung im ca EF. Chng minh 5 im A, B, O, I, C cựng nm
trờn mt ng trũn:
ã = 900 nhỡn on OA (1)
I l trung im ca dõy EF OI EF OIA
ã
AB OB (T/c tip tuyn) OBA
= 900 nhỡn on OA (2)
ã
AC OC (T/c tip tuyn ) OCA
= 900 nhỡn on OA (3)
T (1), (2) v (3) 5 im , A,B, O, I, C ng trũn ng kớnh OA.
c) T E v ng thng vuụng gúc vi OB ct BC ti M. Chng minh t
giỏc EMIC ni tip c trong ng trũn. Suy ra t giỏc MIFB l hỡnh thang:
Bài 109:
Cho hỡnh thang cõn ABCD (AB > CD, AB // CD) ni tip trong ng
trũn (O). K cỏc tip tuyn vi ng trũn (O) ti A v D chỳng ct nhau E. Gi M
l giao im ca hai ng chộo AC v BD.
1. Chng minh t giỏc AEDM ni tip c trong mt ng trũn.
2. Chng minh AB // EM.
3. ng thng EM ct cnh bờn AD v BC ca hỡnh thang ln lt H v K.
x
Chng minh M l trung im HK.
4. Chng minh

2
1
1
=
+

HK AB CD

D

Hng dn:
1. Chng minh t giỏc AEDM ni tip.

C
M

E

H

K
O

1
A
ã
= s ằAC (gúc to bi tia tip tuyn v dõy)
Ta cú : EAC
2
1
ã
ằ (Dx l tia i ca tia tip tuyn DE)
= s DB
Tng t: xDB
Hỡnh 01
2

ằ
M AC = BD (do ABCD l hỡnh thang cõn) nờn ằAC = BD
ã
ã
Do ú EAC
. Vy t giỏc AEDM ni tip c trong mt ng trũn.
= xDB

2. Chng minh AB // EM.
ã
ã
T giỏc AEDM ni tip nờn EAD
(cựng chn cung ED)
= EMD
ã
M EAD
= ãABD (gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung )
ã
Suy ra: EMD
= ãABD . Do ú EM // AB.
3. Chng minh M l trung im HK.
DAB cú HM // AB

HM DH
=
.
AB
DA

CAB cú MK // AB

MK CK
=
AB CB

DH CK
=
(nh lớ Ta let cho hỡnh thang ABCD)
DA CB
HM MK
=
Nờn
. Do ú MH = MK. Vy M l trung im HK.
AB
AB
2
1
1
=
+
4. Chng minh
.
HK AB CD
HM DM
=
ADB cú HM // AB ta c:
(1) (h qu nh lớ Ta let )
AB
DB
KM BM

=
BCD cú KM // CD ta c:
(2) (h qu nh lớ Ta let )
CD
BD
HM KM DM BM DM + BM BD
+
=
+
=
=
=1
Cng (1) v (2) v theo v ta c:
AB CD
DB BD
BD
BD

M

Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

84

B


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang
2 HM 2 KM

+
= 2 , m MH = MK nờn 2HM = 2KM = HK
Suy ra:
AB
CD
HK HK
2
1
1
+
= 2 . Suy ra:
=
+
Do ú:
(pcm)
AB CD
HK AB CD

Bi 110:
Cho ABC vi ba gúc nhn ni tip (O). Cú H l trc tõm, BH ct AC
ti D ct (O) ti M. CH ct AB ti E ct (O) ti N. Cmr:
1) ED // MN
2) OA ED
ằ . Cmr: AP l phõn giỏc ca HAO
ã
3) Gi P l im chớnh gia cung nh BC
ằ .
4) Cho BC c nh A di ng trờn cung ln BC
a) CMR: bỏn kớnh ng trũn ngoi tip AED luụn khụng i
b) Tỡm iu kin ca ABC sao cho OH//BC

c) Tỡm v trớ A din tớch ABC ln nht
d) Tỡm v trớ ca A HA + HB + HC ln nht
A

M

N

D
E
H
O

B

C

I

P

K

Bi 111:
Cho na ng trũn ng kớnh AB, C trờn cung AB. K CH AB. I, K
l tõm ng trũn ngai tip CAH, BCH,ng thng IK ct CA, CB ti M, N
1) CMR: CM =CN
2) Xỏc nh v trớ ca C t giỏc ABNM ni tip.
3)K CD MN . Cmr: khi C di ng trờn ằAB thỡ CD luụn i qua mt im c nh.
4) Tỡm v trớ C din tớch CMN ln nht .

5) CMR: R12 = R22 + R32 . Trong ú R1 ; R2 ; R3 ln lt l bỏn kớnh ng trũn ni tip
ABC; CHA; CHB.
Bi 112:
Cho 2 ng trũn (O; R) v (O; R) ct nhau ti hai im A; B. K tip
tuyn chung ca hai ng trũn ( tip im l D v E ), DE ct tia AB ti M. Cmr:
1) MDB : MAD .
2) M l trung im ca DE.
3) Gi N l im i xng ca B qua M. Cmr: t giỏc ADNE ni tip .
4) Qua D k ng thng // vi AE, qua E k ng thng // AD. Hai ng
thng ny ct nhau ti S. Cmr: SB R1 + R2

Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

85


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang
A

O
K

I
B

E
M

D

N

S

Bi 113:
Cho (O) ng kớnh AB =2R trờn OA ly mt im bt kỡ k ng
thng d vuụng gúc AB ti I. Ct (O) ti hai im M; N trờn IM ly mt im E (E
khỏc M; I) ni AE ct (O) ti K, BK ct d ti D.
1) Cmr : IE. ID = MI2
2) Gi B l im i xng caB qua I. Cmr: t giỏc BAED ni tip
3) Cmr : AE.AK + BI. BA = 4R2
4) Tỡm v trớ I chu vi MIO ln nht
Bi 114:
Cho im A ngoi ng trũn tõm O. K hai tip tuyn AB, AC vi
ng trũn (B, C l tip im). M l im bt k trờn cung nh BC (M B; M C).
Gi D, E, F tng ng l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn cỏc ng thng AB, AC,
BC; H l giao im ca MB v DF; K l giao im ca MC v EF.
1) Chng minh :
a) MECF l t giỏc ni tip .
b) MF vuụng gúc vi HK .
2) Tỡm v trớ ca M trờn cung nh BC tớch MD . ME ln nht .
Bi 115:
Cho ABC ni tip (O) cú AC >AB. Gi D l im chớnh gia cung
nh BC. P l giao im ca AB v CD. Tip tuyn ca ng trũn ti C ct tip tuyn
ti D v AD ti E v Q. Chng minh :
a) T giỏc PACQ ni tip .
b) DE//PQ.
1

1

1

c) Nu F l giao im ca AD v BC thỡ : CE = CQ + CF
Bi 116:
T mt im S ngoi ng trũn (O) v hai tip tuyn SA, SB v cỏt
tuyn SCD ca ng trũn ú.
a) Gi E l trung im ca dõy CD. Chng minh 5 im S, A, E, O, B cựng thuc
mt ng trũn
b) Nu SA = AO thỡ SAOB l hỡnh gỡ? ti sao?
AB.CD
c) Chmg minh rng: AC.BD = BC.DA = 2

Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

86


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang

Bi 117:
Cho t giỏc ABCD ni tip ng trũn (O; R)( AB < CD). Gi P l im
chớnh gia ca cung nh AB; DP ct AB ti E v ct CB ti K; CP ct AB ti F v ct
DA ti I.
a) Chng minh: T giỏc CKID ni tip
b) Chng minh: IK // AB.
c) Chng minh: T giỏc CDFE ni tip
d) Chng minh: AP2 = PE .PD = PF . PC

e) Chng minh : AP l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip AED.
f) Gi R1, R2 l cỏc bỏn kớnh ng trũn ngoi tip AED v BED.Chng
minh: R1 + R2 = 4R 2 -PA 2
Bi 118:
Cho hỡnh vuụng ABCD, im M thuc cnh BC (M khỏc B, C). Qua B
k ng thng vuụng gúc vi DM, ng thng ny ct cỏc ng thng DM v DC
theo th t ti H v K.
1. Chng minh: Cỏc t giỏc ABHD, BHCD ni tip ng trũn;
ã
2. Tớnh CHK
;
3. Chng minh KH.KB = KC.KD;
4. ng thng AM ct ng thng DC ti N. Chng minh

1
1
1
=
+
.
2
2
AD
AM
AN 2

Bi 119:
Hỡnh thang ABCD cú ỏy AD, BC ( AD > BC)ni tip (O). Kộo di AB
v CD ct nhau ti I. Cỏc tip tuyn ca (O) ti B v D ct nhau ti K.
1) Chng minh BIKD ni tip v IK // BC

2) V hỡnh bỡnh hnh BDKM. ng trũn ngoi tip BKM ct (O) fi N.
Chng minh: D, N, M thng hng
3) Hỡnh thang ABCD cn cú thờm iu kin gỡ AIKD l hỡnh bỡnh hnh?
Khi ú chng minh IC. IE = ID. CE vi E l giao i ca BK v ID.
Hng dn:
IE

IK

DA

IC

3) ( Hng dn: EC = BC = BC = ID IC.IE = ID.CE )
Bi 120: Cho ng trũn (O) vi dõy BC c nh v mt im A thay i trờn cung
ln BC sao cho AC > AB v AC> BC. Gi D l im chớnh gia ca cung nh BC.
Cỏc tip tuyn ca (O) ti D v C ct nhau ti E. Gi P, Q ln lt l giao im ca
cỏc cp ng thng AB vi CD; AD vi CE.
1) Chng minh rng: DE//BC
2) Chng minh t giỏc PACQ ni tip ng trũn.
3) Gi giao im ca cỏc dõy AD v BC l F. Chng minh:
a

1
1
1
= CQ +
CE
CF

Hng dn:
ã
1) CDE
=

1
ằ
S DC
2

=

1
ằ = BCD
ã
S BD
2

o
b

DE// BC (2 gúc v trớ so le trong)

Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

87

c
e

d
p

q


ã
2) APC
=

1
2

Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang
ằ - DC)
ằ = AQC
ã
s (AC

ã
ã
T giỏc PACQ ni tip (vỡ APC
= AQC
)

3) T giỏc APQC ni tip

ã
ã

ằ )
CPQ
= CAQ
(cựng chn CQ
ã
ã
ằ )
CAQ
= CDE
(cựng chn DC
ã
ã
Suy ra CPQ
= CDE
DE // PQ
DE

CE

Ta cú : PQ = CQ
Cng (1) v (2) :

(vỡ DE//PQ)

QE
DE
= QC (vỡ DE// BC)
FC

(1) ,

DE
DE
CE + QE
CQ
1
1
1
+
=
=
=1
+
=
PQ
FC
CQ
CQ
PQ
FC
DE

(2)

(3)

ED = EC (t/c tip tuyn); t (1) suy ra PQ = CQ
Thay vo (3) ta cú :

1

1
1
+
=
CQ CF CE

Bi 121:
Cho ng trũn tõm O v ABC u ni tip ng trũn ú. M l 1
im bt k trờn cung nh BC.
a) Chng minh MA = MB + MC
b) Qua M k cỏc ng thng song song vi cỏc cnh ca ABC: ng
thng song song vi BC ct AB D; ng thng song song vi AC ct Bc E;
ng thng song song vi AB ct AC F. Chng minh cỏc t giỏc MCFE v
BDME ni tip.
c) Chng minh 3 im D, E, F thng hng
d) Gi P l giao im ca MA vi BC. Chng minh:

1
1
1
=
+
MP MB MC

A

F
O

B

E

P
C

D
M

Bi 122: Cho t giỏc ABCD ni tip trong ng trũn (O). ng thng BD v
cỏc tip tuyn vi (O) ti A, C ng qui ti S. Gi I l giao im ca AC v BD.
Chng minh rng:
A
a) AB.DC = AD.BC
b)

SB IB AB.CB
=
=
SD ID AD.CD

S
O

Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

88

I

D
C

B


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang
SA AB SB
=
=
HD: a) SAB SDA nờn:
(1)
SD DA SA
SC CB SB
=
=
SCB SDC nờn:
(2)
SD DC SC
AB BC
=
Do SA = SB v t (1) v (2):
AB.DC = AD.BC
DA DC
SB SB.SC AB.CB
=
=
b) T (1) v (2):
.

SD SD.SA AD.CD
IB AB.CB
Tng t phn a) T IAB IDC v ICB IDA =
pcm
ID AD.CD

Bi 123:
Cho ABC vuụng cõn A. AD l trung tuyn thuc cnh huyn, M l
mt im thay i trờn on AD. Gi N, P theo th t l hỡnh chiu vuụng gúc ca M
xung AB v AC. H l hỡnh chiu vuụng gúc ca N xung ng thng PD.
a) Xỏc nh v trớ ca N AHB cú din tớch ln nht.
b) CmR: Khi M thay i, HN luụn i qua mt im c nh.
HD:
ã
ã
a) K BE // AC ct PD ti E BE = PC = BN NEB
= NHB
= 450 .
ã
ã
Mt khỏc: AHN
= APN
= 450
C
ã
ã
AHB
.
= 900 , HN l phõn giỏc ca AHB
E

D
2
1
1 AH 2 + BH 2
AB4
2
2
2
H
SAHB = AH .BH
.
ữ =
P
4
4
2
16
M

B
A
Du = xy ra AH = BH H D M.
N
b) HN luụn i qua im chớnh gia ca na ng trũn ng kớnh AB (HN l
ã
phõn giỏc AHB
).
ã
Bi 124:
Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a. Mt gúc xBy

= 450 quay xung quanh B
sao cho Bx ct cnh AD ti M, By ct cnh CD N (M, N khụng trựng vi D). Gi E,
F tng ng l giao im ca BM, CN vi AC.
a) CmR: cỏc t giỏc ABFM, BCNE, MEFN ni tip.
b) CmR: MN luụn tip xỳc vi mt ng trũn c nh v chu vi MND
khụng i.
c) Tỡm v trớ ca M, N v nờu cỏch dng cỏc im ú MND cú din tớch
C
B
ln nht.
45
ã
ã
F
HD: a) FBM
= FAM
= 450 ABFM ni tip.
N
Tng t: BCNE ni tip.
ã
ã
ã
ã
BEN
+ BCN
= 180 0 BEN
= 90 0 . Tng t: MFN
= 900 pcm
H L
E

b) Ly im K trờn tia i ca tia AD sao cho AK = CN:
ã
ã
ã
ã
ã
BK = CN v KBM
= KBA
+ ABM
= NBC
+ ABM
0

ã
ã
= 900 NBM
= 450 = NBM

K

A

M

KMB = NBM (c.g.c) BA = BL MN tip xỳc vi (B, a)
Li cú: KBM = NMB KM = MN. T ú, suy ra:
PMND = MN + ND + MD = KA + AM + MD + DN = CD + ND + MD + MA = 2a.
c) Cú: MD + ND + MN = 2a MD + ND + MD 2 + ND2 = 2a
Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

89

D


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang

(

)

2

2

MD + ND
1

2
4a = MD + ND + MD + ND MD + ND +
ữ = 1 +
ữ ( MD + ND )
2
2


2
2
a

1


2 .
M:
MD.ND
=
2S

S
4 1 +
.MD.ND
MND
MND
ữ
2 2 +1
2

2

2

2

2

(

)

ã
ã
Du = xy ra MD = ND MBA
= NBC
= 22,50

Bi 125:
Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB = 2R, M l mt im bt kỡ
trờn na ng trũn (M khỏc A v B). H MH AB ti H. Gi P, Q, I ln lt l tõm
ng trũn ni tip cỏc tam giỏc MAH, MBH, AMB.
a) Chng minh im I l trc tõm ca MPQ
b) Tỡm qu tớch im I khi im M di ng trờn na ng trũn
c) Xỏc nh v trớ ca im M trờn na ng trũn chu vi PHQ ln nht
HD: a) D thy: A, P, I thng hng v B, Q, I thng hng.
M
ã
ã
ã
ã
ã
ã
Gi K MP AB: KMB
,
= KMH + BMH MKB = KMA + MAB
ã
ã
ã
ã
Mt khỏc: KMH = KMA v BMH
= MAB

F
I Q
Suy ra: BMK cõn ti B cú BI l phõn giỏc BI MK E
P
L AB MQ AML cõn AI ML pcm
ã

ã

MAB + MBA
ã
b) Thun: AIB
= 1800
= 1800 450 = 1350

A

K H O L

B

2

Vy im I thuc cung cha gúc 1350 v trờn on AB (thuc cựng mt na mt
phng cha M)
o li: Gi s I l im bt kỡ thuc cung cha gúc K IN AB, v (I, IN) k
hai tip tuyn AA v BB vi (I, IN) gi M l giao ca AA v BB. Ta cn chng
ã ' B = 900 .
minh
M

(O)
hay
Ta
cú:
AM
0
0
0
0
ã
ã
ã
ã ' AB + M
ã ' BA = 90 AM
ã ' B = 90 .
AIB
= 135 IBA
+ IAB
= 45 M
ã
ã
ã
ã
c) Ta cú: PMH
= QBH
(Gúc cú cnh t/ vuụng gúc). PHM
= QHB
= 450
MPH

BQH (g.g) nờn:

PH MH
MA
PH MA
ã
=
= tgMBA
=

=
.
QH HB
MB
QH MB

ã
ã
AMB
= PHQ
= 900
ã
ã
ã
ã
HQP
= MBA
MBA
+ HQF

= 1800

Licú:

HPQ

MAB(c.g.c).

Ta

cú:

ã
ã
BHQF ni tip. T ú suy ra: MFE
= QHB
= 450
MEF cõn ti M nờn: ME = MF. MQF = MQH (c.g.c) : MF = MH v QF = QH.
PH = PE CPQH = PH + QH + QP = EP + PQ + QF = EF = 2MF = 2MH
Vy: CPQH ln nht MH ln nht H O. Khi ú: M l im chớnh gia na
ng trũn (O)

Bi 126:
Cho ng trũn (O ; R) v P l mt im nm bờn trong ng trũn.
Qua P v hai dõy AB v CD vuụng gúc vi nhau. a) Chng minh rng PA 2 + PB2 +
PC2 + PD2 khụng i
C
I
b) Gi I l trung im ca BC. Tỡm qu tớch im I
HD: a) K ng kớnh BE. Ta cú AE // CD AC = DE. p dng L

B
A
P
2
2
2
2
2
2
Pitago cho v.BED: BD + DE = BD + AC = BE = 4R
K
O

Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

90

E
D


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang
2

Suy ra: PA + PB2 + PC2 + PD2 = AC2 + BD2 = 4R2 = Const
c) Thun: Gi K l trung im ca OP ta cú:
1
2IK 2 = IO 2 + IP 2 PO 2 . v.PBC cú PI l trung tuyn
2

IP = IB OI2 + IB2 = OI2 + IP2 = OB2 = R2
IK =


2R 2 OP 2 I thuc ng trũn K ;

2


2R 2 OP 2
2


ữ
ữ


o li: Ly im I thuc ng trũn (K). Qua I dng mt ng thng vuụng gúc
vi OI gi giao ca ng thng ny vi (O) l B, C. Gi giao im ca BP v
CP vi (O) l A, D. Ta cn chng minh AB CD.
1
2R 2 OP 2
IK l trung tuyn ca OPI nờn: 2IK 2 = IO 2 + IP 2 PO2 m: 2.IK2 =
2

2

2R OP
1

= IO 2 + IP 2 OP 2 OI 2 + IP 2 = R 2 = OB2. Mt khỏc: OI2 + IB2 = OB2
2
2
1
Suy ra: IP = IB. Hay: IP = BC. PCB vuụng ti P. Vy: AB CD
2



2

2

Bi 127:
Cho ba im A, B, C theo th t nm trờn mt ng thng d sao cho
AB = 2, BC = 4. Mt ng trũn di ng (O) cú tõm O v i qua B, C. Gi AT, AT l
hai tip tuyn k t A n (O), vi T, T l hai tip im.
a) Tỡm qu tớch cỏc im T v T
b) V ng kớnh MB ca (O). Gi P AM (O). Chng minh: AM.AP =
2
AO OC2
M
T
c) Tỡm qu tớch cỏc im M v P
HD:
O
a) Thun: Ta chng minh TA2 = AT2 = AB.AC = (2 3)2
P
d
Suy ra: T v T thuc ng trũn (A; 2 3 )

A
B
C
o: Ly mt im T1 bt kỡ thuc (A; 2 3 ). Qua T1 v mt ng
T'
thng vuụng gúc vi AT1 ct trung trc ca BC ti O. Ta cn chng
minh AT1 l tip tuyn ca (O ; OB): K tip tuyn AT2 Ta cú:
AT22 = AB.AC = AT12 OT1 = OT2 OT1 l bỏn kớnh (O). Suy ra:
AT1 l tip tuyn ca (O).
b) Ta cú: AT2 = AM.AP. M AT2 = OA2 OT2 hay: AT2 = OA2 OC2 AM.AP
= OA2 OB2
c) Qu tớch M:
Thun: BCM vuụng ti C CM d M thuc ng thng c vuụng gúc vi d ti
C
o: Gi s M thuc ng thng c qua trung im I ca BC k mt ng thng
vuụng gúc vi d giao vi MB ti O 1 V ng trũn (O1 ; O1B). Ta cn chng minh M
thuc (O1 ; O1B).
Ta cú: OI // BC OI l ng trung bỡnh ca BMC OB = OM M (O1 ;
O1B).
* Qu tớch P:
ã
Thun: Ta cú: APB
= 900 P thuc ng trũn ng kớnh AB
Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

91


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang

o: Ly mt im P bt kỡ trờn ng trũn ng kớnh AB. Qua C v mt ng
thng vuụng gúc vi d giao vi AP ti M. Gi O2 l giao ca ng trung trc BC vi
BM, v (O2 ; O2B) ta cn chng minh: P v M thuc (O2 ; O2B): OI l ng trung
ã
bỡnh ca BMC nờn OM = OB M thuc ng trũn. Ta cú: BPM
= 900 nờn P thuc
ng trũn ng kớnh BM hay: OP = OB.
R

Cho hai ng trũn (O, R) v O ', ữtip xỳc ngoi ti A. Trờn ng

Bi 128:



2

trũn (O) ly im B sao cho AB = R v im M trờn cung ln AB. Tia MA ct ng
trũn (O) ti im th hai l N. Qua N k ng thng song song vi AB ct ng
thng MN ti Q v ct ng trũn (O) ti P.
a) Chng minh OAM OAN.
b) Chng minh di on NQ khụng ph thuc vo v trớ im M.
c) T giỏc ABQP l hỡnh gỡ? ti sao?
d) Xỏc nh v trớ im M din tớch t giỏc ABQN t giỏ tr ln nht. Tớnh
Q
B
giỏ tr ú theo R.
M
HD: a) chng minh c OAM OAN.

P
MA OA
=
.
NA O 'A
A
O
MA
MA
OA
2

=
=
=
MA + NA MN OA + O ' A 3
AB MA
R
2
3R
=
. Hay:
= NQ =
= const.
Mt khỏc: AB // NQ
NQ MN
NQ 3
2

H

b) T a) suy ra:

O'
N

c) ABQP l hỡnh thang vỡ AB // NQ.

(

)

1
1
1ã
ã
ẳ + AB
ằ
ẳ = 1 AOM
ã
ã
ABQ
= s MB
= s AM
= AO
'M = APN
2
2
2
2

ã
ã
ã
ã
M: APN = PAB(so le trong) ABQ = BAP ABQP l hỡnh thang cõn.
1
d) K AH QN. Ta cú: S = SABQN = (AB + QN).AH = (1,5R + R).AH =
2

2,5R.AH. Do ú:
S max AH max. M AH AN H N AN NQ AN AB ti A
ã
MAB
= 900 M l im i xng ca im B qua im O.
Khi ú, AMB vuụng ti A: AM2 = MB2 AB2 = 4R2 R2 = 3R2 AM = R 3 .
Do

AM 3
1
R 3
5R R 3 5 3R 2
= AN = AM =
.
=
. Vy: Max SANQB =
MN 2
2
2
4
2

8

Bi 129:
Cho ng trũn (I ; R) ni tip ABC tip xỳc vi cỏc cnh BC, CA, AB
ln lt ti cỏc im A, B, C.
a) Gi cỏc giao im ca (I) vi cỏc on IA, IB, IC ln lt l M, N, P. Chng
A
minh rng cỏc ng thng AM, BN, CP ng qui.
b) AI kộo di ct ng trũn ngoi tip ABC ti D (khỏc A). chng minh
rng:

M

IB.IC
= 2R .
ID

C'

HD: a) Chng minh: AM, BN, CP l ba phõn giỏc ca ABC.H
B

Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

92

B'

I

P

N

C

A'
D


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang
1à
ã
ã
= CAD
= A
b) Gi H l trung im ca BI. Ta cú: DBC
2
1
1
1
ã
à + B)
à . Mt khỏc: DBI
ã
à + DBC
ã
à + A)
à
DIB

= (A
= B
= (B
2
2
2
ã
ã
à
Suy ra: DBI
DBI cõn ti D DH l phõn giỏc D
= DIB
1à 1à ã
ã
= D
= C = ACI HDI ACI. Suy ra:
HDI
2
2
ID IH 2IH
IB
IB.IC
=
=
=
= 2R
IB.IC = ID.2IA = ID.2R
IC IA' 2IA' 2IA'
ID

Bi 130:
Cho ABC vuụng A (AC > AB) h AH BC ti H. ng trũn (H,
HA) ct cỏc ng thng AB, AC ln lt ti P v Q (P, Q A).
a) Chng minh P, H, Q thng hng v t giỏc BPCQ ni tip
b) Gi M l trung im ca cnh BC. Chng minh: AM PQ
ã
HD: a) PAQ
= 900 , PQ l ng kớnh (A, HA) Ba im P, H, Q thng hng.
A
à1 =Q
à m C
à =A
à 1 (Cựng ph vi CAH
ã
AHQ cõn ti H: A
)
1 2 3
à
à
P
Nờn: C = Q BPCQ ni tip.
1
2
E
à +H
à 1 , P$1 = C
à 2 = BAM
ã
à +H
à 2.

b) MAB cõn B
=Q
2
B 1
H
M
C
à
à
à
à
à
$
ã
M C = Q, H1 = H 2 B2 = P1 = BAM
à 3 = MAB
ã
à 3 = 90 0 AEP
ã
Q
Do ú: P$1 + A
+A
= 900
Vy: PQ AM ti E.
Bi 131:
Cho na ng trũn tõm O, ng kớnh BC v mt im A trờn na
ng trũn (A khỏc B v C). H AH vuụng gúc vi BC (H thuc BC). Trờn na mt
phng cú b BC cha im A dng hai ng trũn ng kớnh HB v HC, chỳng ln
lt ct AB v AC ti E v F.
a) Chng minh AE. AB = AF. AC.

b) Chng minh EF l tip tuyn chung ca 2 ng trũn ng kớnh HB v HC
c) Gi I v K ln lt l hai im i xng vi H qua AB v AC. Chng minh
ba im I, A, K thng hng.
d) ng thng IK ct tip tuyn k t B ca na ng trũn (O) ti M. Chng
minh MC, AH, EF ng qui.
S

HD: a) BEH cú trung tuyn OE ng vi cnh BH bng
1
BH nờn BEH vuụng ti E. Suy ra: HE AB.
2

M

I
E
Tng t: HF AC.
p dng h thc lng vi hai tam giỏc vuụng AHB v AHC,
B
ta cú:
O1
2
2
AH = AE. AB, AH = AF. AC. Suy ra: AE. AB = AF. AC.
b) T giỏc AFEH l hỡnh ch nht vỡ cú ba gúc vuụng.
Gi D l giao im ca AE v EF, ta cú: DA = DH = DE = DF.
ã ED = O
ã HD = 900 .
O1ED = O1HD (c.c.c). Suy ra: O
1

1
Do ú: EF OE ti E nờn: EF l tip tuyn ca ng trũn (O1).

Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

93

5
1

K

A
4
2

3

D

H

F

C
O2


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang

Tng t: EF l tip tuyn (O2) EF l tip tuyn chung
à1 =A
à 2, A
à3 =A
à4
c) Theo tớnh cht i xng ta cú: A
ã
ã
à1+A
à 2 ) = 2.BAC
ã
IAH
+ HAK
= 2(A
= 180 0 Ba im I, A, K thng hng.
ã
à 2 (So le) = A
à 1 MBA cõn ti A MA = MB
d) SB // AH SBA
=A
ã
à1 =A
à 5 v MBA
ã
à 1 S$ = A
à 5 MAB cõn ti A MA
Mt khỏc: MBA
+ S$ = 900 m A
=A

= MS
Suy ra: MA = MS. Gi s MC ct AH ti D. Theo L Ta lột:

AD ' CD ' HD '
=
=
m
MS CM MB

MS = MB nờn: AD = DH DH = DA mt khỏc: DH = DA D D.
Vy: AH, EF, MC ng qui ti ti D.

Bi 132:
Cho ABC vuụng A (AC > AB) ng cao AH. ng trũn (H; HA)
ct cỏc ng thng AB, AC ln lt ti P v Q (P, Q khỏc A).
a) Chng minh: P, H, Q thng hng. T giỏc BPCQ ni tip
b) Gi M l trung im ca cnh BC. Chng minh: AM PQ.
A
HD: a) PQ l ng kớnh ng trũn tõm A bỏn kớnh HA.
Ba im P, H, Q thng hng.
P
ã
ã
Ta cú: HQA
= HAQ
(AHQ cõn)
E
ã
ã
ã

B
Li cú: ACB
= HAQ
( = 900 CAH)
H M
C
ã
ã
ACB
BPCQ ni tip.
= AQB
Q
ã
ã
ã
ã
ã
ã
b) APQ
(AHP cõn), CAM
m ACM
= AHP
= AQP
= ACM
ã
ã
ã
ã
ã
Suy ra: APQ

+ CAM
= APQ
+ AQP
= 900 AEH
= 900 . Vy: AM PQ.
Bi 133:
Cho A l mt im bt kỡ trờn na ng trũn ng kớnh BC (A B,
C). H AH BC ti H. Gi I, K ln lt l tõm ca ng trũn ni tip AHB v
AHC. ng thng IK ct cỏc cnh AB, AC ln lt ti M, N. Chng minh:
a) AIH CKH v HIK ABC
b) MAN l tam giỏc cõn
c) Xỏc nh v trớ ca im A chu vi ca ng trũn ngoi tip MHN t
giỏ tr ln nht.

à1 =C
à 1 = 1 C
à = 1 BAH
ã
à1 =H
à 2 (= 450) v A
HD: a) D thy: H

ữ AIH
2
2


Suy ra:

HI CH AH
à = AB HI = AB Li cú:
=
,
= tgC
HK AH CH
AC
HK AC

ã
ã
IHK
= BAC
= 900 Suy ra: HIK ABC (c.g.c)
à = HKI
ã
ã
ã
b) HIK ABC C
NCH
+ NKH
= 1800

A

21

M I

CKH (g.g)

K

N

1
C
1
ã
ã
B
1
NCHK ni tip. Do ú: ANM
= KHC
= 45 .
H
Vy: AMN vuụng cõn ti A.
c) AKH = AKN (g.c.g) AN = AH = AM A l tõm ng trũn ngoi tip
HMN.
Do ú: CHMN = 2 AH CHMN ln nht AH ln nht m: AH OA
0

Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

94


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang

Du = xy ra AN = OA H O. Khi ú A l im chớnh gia ca na (O) v
CHMN = 2 R.
BI TP THAM KHO
Bi 1: Cho ABC cú cỏc ng cao BD v CE. ng thng DE ct ng trũn
ngoi tip tam giỏc ti hai im M v N.
A
1. Chng minh:BEDC ni tip.
x
ã
ã
2. Chng minh: DEA
.
= ACB

y

N

D

E
M

3. Chng minh: DE song song vi tip tuyn tai A

O

ca ng trũn ngoi tip tam giỏc.

B
C

4. Gi O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC.
ã
Chng minh: OA l phõn giỏc ca gúc MAN
. Chng t: AM2=AE. AB.

Bi 2: Cho(O) ng kớnh AC. trờn on OC ly im B v v ng trũn tõm O,
ng kớnh BC. Gi M l trung im ca on AB. T M v dõy cung DE vuụng gúc
vi AB;DC ct ng trũn tõm O ti I.

D

1. T giỏc ADBE l hỡnh gỡ?

I

2. C/m DMBI ni tip.

A

3. C/m B;I;E thng hng v MI=MD.

M

O

B

O'

C

4. C/m MC. DB=MI. DC
5. C/m MI l tip tuyn ca (O)

E

Hì
nh 2

à =1v. Trờn AC ly im M sao cho AM < MC. V ng
Bi 3: Cho ABC cú A

trũn tõm O ng kớnh CM ct BC ti E;ng thng BM ct (O) ti D;AD kộo di
ct (O) ti S.
1. C/m BADC ni tip.
ã
2. BC ct (O) E. Cmr:MD l phõn giỏc ca AED
.

3. C/m CA l phõn giỏc ca gúc BCS.
A

D

S

M

O

B

C

E

Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

95


Bi 4:

Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang
à = 1v. Trờn cnh AC ly im M sao cho AM > MC. Dng
Cho ABC cú A

ng trũn tõm O ng kớnh MC; ng trũn ny ct BC ti E. ng thng BM
ct (O) ti D v ng thng AD ct (O) ti S.
1. C/m ADCB ni tip.
2. C/m ME l phõn giỏc ca gúc AED.
ã
ã
3. C/m: ASM
= ACD
.

4. Chng t ME l phõn giỏc ca gúc AED.

K

5. C/m ba ng thng BA;EM;CD ng quy.
A

D

M

S
O
B

Hì
nh 4

Bi 5:

C

E

Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn v AB < AC ni tip trong ng trũn

tõm O. K ng cao AD v ng kớnh AA. Gi E:F theo th t l chõn ng
vuụng gúc k t B v C xung ng kớnh AA.
1. C/m AEDB ni tip.

2. C/m DB. AA=AD. AC
3. C/m:DE AC.
4. Gi M l trung im BC. Chng minh MD = ME = MF.
A

P

N

E
O

B

I
C

M

D

F
A'

Bi 6:

Hì
nh 5

M

Cho ABC cú ba gúc nhn ni tip trong ng trũn
tõm O. Gi M l
A

mt im bt k trờn cung nh AC. Gi E v F ln lt l chõn cỏc ng vuụng gúc
k t M n BC v AC. P l trung im AB;Q l trung im FE.
P

1 . C/m MFEC ni tip.
2 . C/m BM. EF=BA. EM
Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

F

O

Q

B

E

96
Hì
nh 6

C

Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang
3. C/M AMP : FMQ.

ã
4 . C/m PQM
= 90o.

Bi 7:

Cho (O) ng kớnh BC,im A nm trờn cung BC. Trờn tia AC ly im

D sao cho AB=AD. Dng hỡnh vuụng ABED;AE ct (O) ti im th hai F;Tip
tuyn ti B ct ng thng DE ti G.
1. C/m BGDC ni tip. Xỏc nh tõm I ca ng trũn ny.
2. C/m BFC vuụng cõn v F l tõm ng trũn ngoi tip BCD.
3. C/m GEFB ni tip.
4. Chng t:C;F;G thng hng v G cựng nm trờn ng trũn ngoi tip
A

BCD. Cú nhn xột gỡ v I v F
B

C

O

D
F

E

Hì
nh
Bi 8: Cho ABC cú 3 gúc nhn ni tip trong
(O). Tip tuyn
ti7 B v C ca ng
G

trũn ct nhau ti D. T D k ng thng song song vi AB,ng ny ct ng
trũn E v F,ct AC I(E nm trờn cung nh BC).

A

1. C/m: BDCO ni tip.

F

2. C/m: DC2 = DE. DF.

O

3. C/m: DOIC ni tip.

I

4. Chng t I l trung im FE.

C

B

E

D

Hì
nh 8

Bi 9:
Cho (O),dõy cung AB. T im M bt k trờn cung AB(M A v
M B),k dõy cung MN vuụng gúc vi AB ti H. Gi MQ l ng cao ca tam giỏc
MAN.
Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT 97
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang

1. C/m 4 im A;M;H;Q cựng nm trờn mt ng trũn.
2. C/m:NQ. NA=NH. NM
3. C/m MN l phõn giỏc ca gúc BMQ.
4. H on thng MP vuụng gúc vi BN;xỏc nh v trớ ca M trờn cung AB
MQ. AN + MP. BN cú giỏc tr ln nh
M

N

Q
P

A

I

H

A

B

I

H

B

P

Q
O

O

M
N

Bi 10:

Hì
nh 9 b

Hì
nh 9 a

Cho (O;R) v (I;r) tip xỳc ngoi ti A (R> r) . Dng tip tuyn chung

ngoi BC (B nm trờn ng trũn tõm O v C nm trờn trờn ng trũn tõm (I). Tip
tuyn BC ct tip tuyn ti A ca hai ng trũn E.
1 . Chng minh tam giỏc ABC vuụng A.
2 . O E ct AB N ; IE ct AC ti F . Chng minh N;E;F;A cựng nm trờn
mt ng trũn .
3. Chng t : BC2= 4 Rr
4 . Tớnh tớch tớch t giỏc BCIO theo R;r
B
E
C
N
F
A

O

I

Hì
nh 10

Bi 11:

Trờn hai cnh gúc vuụng xOy ly hai im A v B sao cho OA=OB.

Mt ng thng qua A ct OB ti M (M nm trờn on OB). T B h ng vuụng
gúc vi AM ti H,ct AO kộo di ti I.
1. C/m OMHI ni tip.
2. Tớnh gúc OMI.
Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

98


Tổ khoa học tự nhiên - trờng thcs trực khang

3. T O v ng vuụng gúc vi BI ti K. C/m OK=KH
y

A

4. Tỡm tp hp cỏc im K khi M thay i trờn OB.

E
M

O

B

x

H

K

I

Hì
nh 11

Bi 12:

Cho (O) ng kớnh AB v dõy CD vuụng gúc vi AB ti F. Trờn cung

BC ly im M. Ni A vi M ct CD ti E.
1. C/m: MA l phõn giỏc ca gúc CMD.
2. C/m: EFBM ni tip.
3. Chng t: AC2 = AE. AM
4. Gi giao im CB vi AM l N;MD vi AB l I. C/m NI//CD
5. Chng minh N l tõm ng trũn ni tip CIM
C
M
N

E
A

F

O

B

I

D

Bi 13:

Hì
nh 12

Cho (O) v im A nm ngoi ng trũn. V cỏc tip tuyn AB;AC v

cỏt tuyn ADE. Gi H l trung im DE.
1. C/m A;B;H;O;C cựng nm trờn 1 ng trũn.
2. C/m HA l phõn giỏc ca gúc BHC.
3. Gi I l giao im ca BC v DE. C/m AB2=AI. AH.
4. BH ct (O) P. C/m AE//CP.
B
E
H
I
D

O

K

P

Ôn tập: Thi vào lớp 10 THPT
Giáo viên: Hà Văn Bỉnh

99

C

Hì
nh 13

A