Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 phần đại số

Giáo án BDHSG Toán 8
Phần: Đại số
Ngày.thángnăm 201 - Tiết 1 8
Đ1
Hằng đẳng thức
A. Mục đích: HS nắm đợc ngoài 7 hằng đẳng thức và nắm thêm một
số hằng đẳng thức bậc n, nhị thức Niu Tơn. Rèn luyện kỹ năng vận
dụng linh hoạt hằng đẳng thức vào bài tập, bài tập nâng cao.
B. Nội dung:
I. Các hằng đẳng thức.
1.
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
A2 + B2 = (A + B)2 - 2AB
2.
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A2 + B2 = (A - B)2 + 2AB
3.
A2 - B2 = (A B)(A + B)
4.
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
A3 + B3 = (A + B)3 - 3AB (A + B)
5.
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
A3 - B3 = (A - B)3 + 3AB (A - B)
6.
A3 + B3 = (A + B)( A2- AB + B2)
7.
A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)
8.
(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2AC
(A - B - C)2 = A2 + B2 + C2 - 2AB - 2AC + 2AC

9. (m lẻ) Am + Bm = (A + B)(Am - 1- Am - 2B + Am - 3B2- ...- ABm -2 + Bm -1)
10.
An - Bn = (A - B)(An - 1+ An - 2B + An - 3B2 + ..+ ABn - 2 + Bn - 1)
11.
(A + B)n = C n0 An + C n1 An - 1B + C n2 An -- 2B2 + .. + C nn 1 ABn - 1 + C nn
Bn
(Nhị thức Niu Tơn)
k
*) Trong đó C n

n.!
k .!(n k )!

Quy ớc: 0 ! = 1 ;
k! = 1.2.3k
Hay dùng bảng tam giác Pat x Can.
n=0
1
n=1
1 1
n=2
1 2
1
n=3
1 3
3 1
n=4
1 4
6 4 1
n=5

1 5 10 10 5 1
...
C n0 C n1 C n2 .. C nn
Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy

1


Giáo án BDHSG Toán 8

II. Vận dụng hằng đẳng thức vào bài tập.
A.So sánh: A và B
1/ A = 1989 . 1991 ; B = 19902
bình phơng
2/ A = 216
; B = (2+1)(22+1)(24+1)
3/ A = 332
; B = (3+1)(32+1)(34+1)(38+1)
và so sánh
x y
4/ A = x y

x2 y2
; B= 2
x y2

(x >y > 0)

Hd
-v/d: hđt hiệu hai

- (1 = 2-1)
- tính 2B suy ra B

- nhân cả tử và mẫu

với x+y
B. Rút gọn:
1/ A = (3x+1)2-2(3x+5)(3x+1)+(3x+1)2
- v/d: hđt (A-B)2
2/ B = (a-b+c)2- (b-c)2- 2ab 2ac
- Bđ: a-b+c = a(b-c)
3/ C = (2a2+2a+1)( 2a2-2a+1) - (2a2+1)2
- v/d: hđt A2-B2
và (A+B)2
C. Tính giá trị của biểu thức:
1/ A = x3 + 3x2 + 3x + 6 với x = 19
- Bđ: về dạng (A +
3
B)
2/ B = x3 - 1 với x = 11
(A 3
B)
3/ C = x2 + 0,2x + 0,01 với x = 0,9
(A +
2
B)
4/ D = x2+2xy+y2- 4x 4y + 1 với x+y = 3
- Bđ về luỹ thừa
(x+y)
5/ E = x3 - 30x2 - 31x+ 1 với x = 31

- Thay 31 = x
2
2
2
6/ F = (2a-2b-c) + (2b+2c-a) +(2c+2a-b)
Cho a2 + b2 + c2= m. Tính F theo m
Hd: đặt a+b+c = x ta có
F = (2x-3c)2+ (2x-3a)2+(2x-3b)2
= 4x2 - 12xc+9c2 + 4x2 -12xa +9a2 +4x2 -12xb+9b2
= 12x2 - 12x(a+b+c) + 9(a2 + b2 + c2)
= 12x2- 12x2 + 9(a2 + b2 + c2)
= 9m
D/ Chứng minh:
1/ Nếu (a2 + b2)( x2 + y2) = (ax+by)2 với x,y 0
ay-bx= 0
2

a

b

- x y ay = bx

Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy


Giáo án BDHSG Toán 8
a b
Thì x y

vậy bđ để xét

hiệu.
2/ Nếu (a2 + b2 + c2)( x2+ y2+ z2) = (ax+by+cz)2
a

b

- Tơng tự bài a.

c

Thì x y z với x,y ,z 0
3/ Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc +ac
Tính hiệu
c/mr: a = b = c
2
c) = 0
4/ Cho (a+b+c)2 = 3(a2 + b2 + c2)
c/mr: a = b = c

- v/d: hđt (a+b+c) 2.
suy ra (a-b) 2+ (b- Tơng tự.

D.Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị biểu thức khác:
1/ Cho x + y = 2 ; x.y = 10
- V/d hđt : (A + B) 2
Tính: a/ x2 + y2
;
b/ x3 + y3

- A3+B3 = (A + B)33AB(A+B)
c/ x4 + y4
;
d/ x5 + y5
- câu d v/d k.quả
của a, b, c.
2/ a. Cho: x + y = 1
Tính : x3 + y3- 3xy
- V/d hđt suy ra
tính xy.
b. Cho: x - y = 1
- suy ra tính gtrị
biểu thức.
Tính : x3 - y3- 3xy
3/ Tổng 3 số a, b, c bằng 9 và tổng bình phơng
của chúng bằng 53. Tính : ab + bc + ac
- V/d hđt : (A + B
2
+ C)
5/ Cho a + b + c = 0
(1)
2
2
2
a +b +c =2
(2)
4
4
4
Tính : a + b + c

Hd: (1) (a+ b + c)2 = 0
a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + ac) = 0

2
+ 2(ab + ac + ac) = 0 ( theo 2)
2(ab + ac + ac) = - 2
(ab + ac + ac) = - 1
(ab + ac + ac)2 = 1
a2b2 + a2c2 + b2c2 + 2abc(a + b + c) = 1
a2b2 + a2c2 + b2c2 + 2abc. 0 = 1 (theo 1)
a2b2 + a2c2 + b2c2 = 1
(3)
2
2
2
2
(2) (a + b + c ) = 4
Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy
3


Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8

 a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) = 4
 a4 + b 4 + c 4 + 2 . 1 = 4
(theo 3)
4
4
4


a +b +c =2

III. Bµi tËp luyÖn tËp:
- Bt 29  31; 46  49 (sncpt8)

4

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy


Giáo án BDHSG Toán 8
Ngày...tháng....năm 201

- Tiết:9 16

Đ2
phân tích đa thức thành nhân tử
A. Mục đích: Hs nắm các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân
tử. Rèn kỹ năng vận dụng phối hợp linh hoạt các phơng pháp vào bài tập
và bài tập nâng cao.
B. Nội dung:
I. Các phơng pháp:
1/ Phơng pháp đặt nhân tử.
Vd: a/ 4x2- 6x = 2x(2x -3)
b/ x - y + (x - y)2 = (x - y)(1 + x - y)
c/ 2x(x-y) + (y-x) = 2x(x-y) - (x-y) = (x-y)(2x-1)
2/ Phơng pháp dùng hằng đẳng thức:
Vd: a/ x3- 64 = x3- 23 = (x-2)(x2+2x+4)
b/ 27 + 27x2+ 9x + x3 = (x + 3)3
c/ 10x - x2- 25 = - (x2- 10x + 25) = - (x-5)2

3/ Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử:
Vd: a/ x3- 2x2+ 2x - 4 = (x3- 2x2) + ( 2x - 4 )
= x2(x-2) + 2(x-2) = (x-2)(x2+2)
4/ Phối hợp nhiều phơng pháp:
Vd: a/ 2xy - x2 - y2 + 64 = 64 - (x2 - 2xy + y2)
= 82 - (x- y)2
= (8 + x - y)(8 - x + y)
3 2
2 2
2
2
b/ 3x y + 3x y +3xy +3y = 3y2(x3 + x2 + x +1) = 3y2[(x3 + x2 )+ (x
+1)]
= 3y2[x2(x + 1 )+ (x +1)]
= 3y2(x + 1)(x2+1)
5/ Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:
Vd: a/ x2 + 6x + 5 = x2+ x + 5x + 5
= x (x+1) + 5(x+1) = (x+1)(x+5)
4
2
b/ x - 7x + 1 = x4 + 2x2 + 1 - 9x2
= (x2+1)2 - (3x)2 = (x2+1 + 3x)( x2+1 - 3x)
6/ Phơng pháp cùng thêm bớt một hạng tử:
Vd: a/
x4 + 4 = (x4 + 4 + 4x2) - 4x2
= (x-2)2 - (2x)2 = (x-2+2x)(x-2- 2x)
b/ a8 + a + 1 = a8 - a2 + a2+ a + 1
= a2(a6-1) + (a2+ a + 1)
= a2(a3-1)(a3+1) + (a2+ a + 1 )
= a2(a-1)(a2+a+1)(a3+1) + (a2+ a + 1 )

= (a2+ a + 1 )[a2(a-1)(a3+1) +1]
Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy
5


Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
= (a + a + 1 )(a6- a5 + a3- a2 +1)
2

6

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy


Giáo án BDHSG Toán 8
7. Phơng pháp đặt ẩn phụ:
Vd: x(x+4)(x+6)(x+10) + 128 = x(x+10)(x+4)(x+6) + 128
= (x2+10)(x2+10+24) + 128 Đặt
x2+10+12 = y
= (y-12)(y+12) + 128
= y2 144 + 128 = y2- 16 = (y+ 4)(y- 4)
= (x2+10+16)( x2+10+8)
= (x+2)(x+8) ( x2+10+8)
8. Phơng pháp dùng hệ số bất định:
Vd: x4- 6x3+12x2- 14x + 3
Nxét: đa thức trên có hệ số bậc 4 cao nhất là 1. nên có thể phân tích
thành hai đa thức bậc phân tích thành.
x4- 6x3+12x2- 14x + 3 = (x2 + ax + b)( x2 + cx + d)
= x4+ (a+c)x3+(ac+b+d)x2+ (ad+b)x + bd
Đồng nhất thức hệ số hai vế ta đợc:

a+c=-6
giải tìm đợc b = 3; d = 1; c = - 4; a = - 2.
ac+d+b = 12
ad+b = - 14
bd = 3
Vậy x4- 6x3+12x2- 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)( x2 - 4x + 1)
9. Phơng pháp xét nghiệm:
Đa thức: f(x) = an xn + an-1 xn 1 +...+ a1x + a0
Nếu tồn tại a mà f(a) = 0 thì f(x) = (x a). Q(x)
- Lu ý: Nếu f(x) có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là: a (a0)
Vd: Cho đa thức: x2+ x 2
Với x = 1 thì x2+ x 2 = 12+ 1 2 = 0
X = - 2 thì x2+ x 2 = 22- 2 2 = 0
Vậy x2+ x 2 = (x 1)(x + 2)
II. Luyện tập: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1/ x4- x2 + 1
Hd: p2 tách -7x = 2x - 9x xuất hiện hđt:
hiệu a2- b2
2/ 4x4- 12x2 + 1
- Tách - 12x2 = 4x2 - 16x2 xuất hiện hđt:
hiệu a2- b2
3/ x4+ 4y4
- Thêm bớt 4x 2y2 xuất hiện hđt: (a+ b)2 và
a2- b2
4/ x2- 6x y2 4y + 5
- Tách 5 = 9 - 4 xuất hiện hđt: (x- 3) 2(y+2)2
5/ (x2+ 3)2 + 16
- Tơng tự (kết hợp nhiều p2)
6/ x4+ 3x + 2
7/ (x+3)3- (x+1)3- 56

8/ (x2+ x)2+ 4(x2+ x) 12
- p2 đặt ẩn phụ: x2+ x = y
Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy
7


Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
9/ 4x + 1/2z = 1/2(8x + z ) = 1/2(2x+z)(4x2-2xz+z2)
10/ xm+3 - xm +x - 1
III. Bµi tËp luyÖn tËp:
- Bt 170  177 (sncptt8)
3

8

3

3

3

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy


Giáo án BDHSG Toán 8
Ngày tháng .năm 201 - Tiết:17 20
Kiểm tra
A. Mục đích: Kiểm tra các kiến thức hằng đẳng thức, phân tích đa
thức thành nhân tử.
Rèn luyện kỹ năng làm bài tự lập t duy sáng tạo. Rút kinh nghiệm.

B. Nội dung:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a/ 4x3 +

1 3
y
2

c/ x 3- 6x2+ 16

b/ xm+4 + xm+3 - x - 1
d/ x 3(x2- 7)2- 36x
2. Tính giá trị của biểu thức:
a/ A = x3 - 3x2 + 3x + 6 tại = 21
b/ B = x3 - 30x2 - 31x+ 1 với x
= 31
3. Cho x + y + z = 0. Chứng minh x3+y3+z3 = 3zyz
4. Các số sau bình phơng của số nào:


a/ C = 9 ........
90 ........
025
n
n



b/ D = 9 ........
980 ........

01
n
n

C. Đáp án biểu điểm:
1. (4 điểm) a/ 4x3 +

1 3
1
1
y = (8x3 + y3) = (2x + y)(4x2- 2xy + y2)
2
2
2

b/ xm+4 + xm+3 - x -1 = xm+3 (x+1) - (x+1) = (x+1)(xm+3 - 1)
c/ x3- 6x2+ 16 = x3- 6x2+ 12x - 8 -12x + 24 = (x-2)3- 12(x-2) = (x-2)
(x2+4x- 8)
d/ x3(x2- 7)2- 36x = x[x2(x4-14x+49x2) - 36] = x(x6-14x4+49x2-36)
= x[(x6-x4) - (13x4-13x2) + (36x2-36)]
= x[x4(x2-1) - 13x2(x2-1) + 36(x2-1)]
= x(x2-1)(x4-13x2+36) = x(x-1)(x+1)[x2(x2-9) -4(x2-9)]
= x(x-1)(x+1)( x2-4) x2-9) = x(x-1)(x+1(x-2)(x+2)(x3)(x+3)
2. (2điểm)
a/Với x = 21 tacó A = x3 - 3x2 + 3x + 6 = (x-1)3+ 5 = (21- 1)3+5 =
203+5 = 8005
b/ với x = 31 ta có B = x3 -30x2 - 31x+1 = x3-(x-1)x2 - x.x+ 1 = x3 -x3 + x2
-x2+ 1 = 1
3. (2 điểm) với x + y + z = 0
Xét x3+y3+z3 - 3zyz = (x+y)3 + z3 - 3x2y - 3xy2 + -3xyz

= (x+y+z)[(x+y)2-z(x+y)+z2] - 3xyz(x+y+z)
= (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-xz) = 0.(x2+y2+z2-xy-yzxz) = 0
Suy ra x3+y3+z3 = 3zyz

4.(2 điểm) a/ Đặt 9 ........
9 = a 10n- 1 = a 10n = a + 1
n

Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy

9


Giáo án BDHSG Toán 8



C = 9 ........
90 ........
025 = 9 ........
9.10n.100 + 25 = a (a+1) .100 + 25
n
n
n


= 100a2 + 100a + 25 = (10a + 5)2 = (10.9 ........
9 + 5)2 = (9 ........
95)2
n

n



b/D = 9 ........
980 ........
01 = 9 ........
9.10n.100 +8.10n.10 + 1= a (a+1) .100 +
n
n
n

80(a+1)+1


= 100a2 + 180a + 81 = (10a+9)2= (10. 9 ........
9+9)2 = (9 ........
9)2
n
n 1

Ngày.tháng.năm 201

-

Tiết:21 28

Đ3
Tính chia hết, chia có d đối với đa thức
A. Mục đích: HS nắm đợc phơng pháp c/m chia hết trong phếp chia

đa thức cho một số, đa thúc chia hết cho đa thức. Biết tìm số d trong
phép chia. Rèn luyện kỷ năng vận dụng linh hoạt vào bài tập, bài tập
nâng cao.
B. Nội dung:
I. Đ/n: Với hai đa thức tuỳ ý A(x), B(x) (B(x) 0) Tồn tại duy nhất đa
thức Q(x) và R(x) sao cho A(x) = B(x).Q(x) + R(x) (Bậc R(x) < bậc B(x)
hoặc R = 0)
II/ Định lý Bê Du:
Đa thức: f(x) = an xn + an-1 xn 1 +...+ a1x + a0
f(x) (x- a) f(a) = 0 (Tức là khi a nghiệm của f(x))
III. Các phơng pháp:
1. Chứng minh đa thức chia hết cho một số.
A m A = B.m (Bội số m) hoặc A = B.m + C.m
Xét mọi trờng hợp số d khi chia A cho m.
Phân tích A thành m thừa số nguyên liên tiếp
Đồng d, quy nạp, phản chứng.
Kết hợp các phơng pháp trên
*) Khi chứng minh về tính chia hết luỹ thừa ta thờng sử hằng đẳng
thức:
- (a2- b2) (a- b)
- (a+1) n = B.số a + 1
- (a3- b3) (a- b)
- (a-1) 2n = B.số a + 1
- (an- bn) (a- b)
- (a-1) 2n + 1 = B.số a - 1
- (a3+ b3) (a+ b)
- (a+b)n = B.số a + bn = an + B.số
b
- Với n lẻ thì (an+ bn) (a+ b)
*) Các ví dụ:

Vd1: C/m đa thức: x2+ x - 2 chia hết cho x-1; x+2
Với x = 1 thì x2+ x - 2 = 12+ 1 - 2 = 0
10

Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy


Giáo án BDHSG Toán 8
x = - 2 thì x + x - 2 = 22- 2 - 2 = 0
Vậy x2+ x - 2 = (x - 1)(x + 2)
Suy ra x2+ x - 2 (x - 1)
x2+ x - 2 (x + 2)
x2+ x - 2 (x - 1)(x + 2)
Vd2: C/m
a/ 251- 1 7
- Hd: 251- 1 = (23)17- 1 23- 1 mà 23- 1 = 7 vậy 2511 7
b/ 270+ 370 13
270+ 370= (22)35+ (32)35= 435+ 935 4+9 = 13
c/ 1719+ 1917 18
1719+ 1917 = (1719+ 1) + (1917- 1) vì 1719+ 1
17+1= 18
1917 - 1 19-1 = 18 suy ra 1719+ 1917 18
d/ a3- a 3 (a z)
a3- a = a(/ a2- 1) = (a-1)a(a+1) 3 (tích là 3 số
nguyên liên tiếp nên tồn tại bội của 3)
2

2. Phơng pháp chứng minh đa thức chia hết cho đa thức:
P21: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử trong đó có nhân tử là
đa thức chia.

Vd: c/m x8+x4+1 chia hết cho x4-x2+1
Ta có x8+x4+1 = x8+2x4+1- x4= (x4+1)2- (x2)2 = (x4-x2+1)(x4+x2+1)
(x4-x2+1)
Vậy (x8+x4+1) (x4-x2+1)
P22: Vận dụng phép biến đổi tơng đơng:
f(x) g(x) f(x) - g(x) g(x)
Vd: f(x) = x99 + x88 + x77 +....+ x11 + 1
g(x) = x9 + x8 + x7 +....+ x1 + 1
C/m: f(x) g(x)
Ta có f(x) - g(x) = (x99- x9) + (x88- x8) +(x77- x7) +....+ (x11- x)
= x9(x90- 1) + x8(x80- 1) + x7(x70- 1) ++ x(x10- 1)
= x9 [(x10)9- 1] + x8[(x10)8- 1] + x7[(x10)7- 1] ++ x(x101)
= (x10- 1).Q(x) + (x10- 1).P(x) +....+ (x10- 1).T(x)
= (x10- 1)[Q(x) + P(x) +....+ T(x)]
= (x - 1)( x9 + x8 ++ x1 + 1).K(x) ( x9 + x8 + x7 +....+
x1 + 1)
Vậy f(x) g(x)
P23: C/m nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị
chia.
Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy 11


Giáo án BDHSG Toán 8
Vd: f(x) = (x +x-1) + (x -x+1)2 - 2 ; g(x) = x2-x
C/m: f(x) g(x)
Hd: Đa thức chia g(x) = x2-x = x(x-1) có nghiệm x = 0; x= 1
Vì với x = 0 thì g(x) = 0 ; với x = 1 thì g(x) = 0
xét f(0) = (02+0-1)2 + (02- 0+1)2 - 2 = 1 + 1 -2 = 0
f(1) = (12+1-1)2 + (12-1+1)2 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0
nên x = 0; x= 1 cũng là nghiệm của f(x).

Vậy f(x) g(x)
3. Tìm điều kiện chia hết :
Vd: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị
biểu thức B.
A = n3+2n2- 3n + 2 ; B = n2- n
Ta có A = n3+2n2- 3n + 2 = n3 - n2 + 3n2 - 3n + 2 = n(n2- n) + 3(n2- n) - 2
= (n2- n)(n+3) - 2
(n2- n)(n+3) - 2 n2- n 2 n2- n = n(n-1), do đó 2 n Ta có:
2

n
n-1
n(n-1)

1
0
0
loại
Vậy n = -1; n = 2

2

2

-1
-2
2

2
1

2

-2
-3
6
Loại

4. Tìm số d trong phép chia đa thức A cho đa thức B:
*) A = B.Q + R (R < B) Ta nói A chia B bằng thơng Q d R
Hay A = bội số B + R
Vd: Tìm số d trong phép chia 2100 cho 9
Thật vậy 23 = 8 = 9-1
Nên ta có: 2100 = 2(23)33 = 2(9-1)33 = 2(bội số 9 - 133) = bội số 9 - 2 =
bội số9 + 7
Vậy 2100 chia cho 9 d 7.
*) Đ/lý Bê Du: Số d trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x- a bằng
giá trị f(x) tại x = a.
Chứng minh: Do đa thức chia x - a bậc nhất nên số d trong phép chia
f(x) cho x- a là một hằng số r
Ta có : f(x) = (x- a).Q(x) + r
Với x = a ta có : f(a) = 0.Q(x) +r = r. Vậy f(a) = r (đpc/m)
Vd: Tìm số d khi chia x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 - 1
Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy
12


Giáo án BDHSG Toán 8
Vì đa thức chia x - 1 bậc hai nên đa thức d có dạng ax + b. gọi thơng
là Q(x)
Ta có x7 + x5 + x3 + 1 = (x2 - 1).Q(x) + ax + b với mọi x

Với x = 1 ta đợc 4 = a + b
(1)
Với x = - 1 ta đợc -2 = - a + b (2) Từ (1) và (2) suy ra a = 3; b = 1
D phải tìm là 3x + 1
*) Lợc đồ Hoóc Ne: (xem sgk sptt8 Vũ Hữu Bình)
Bài tập luyện tập:
1/ Chứng minh: (7.5 2n + 12. 6 n) 19
Ta có : 7.5 2n + 12. 6 n = 7.25n + 12.6n - 19.6n + 19.6n = 7.25n - 7.6n +
19.6n
= 7(25n- 6n) + 19.6n
= 7.Q (25 - 9) + 19.6n
= 7.Q.19 + 19.6n
= 19.(7.Q + 6n) 19
Vậy (7.5 2n + 12. 6 n) 19
2/Tìm đa thức f(x) chia cho x- 3 thì d 7, f(x) chia cho x- 2 thì d 5,
f(x) chia cho (x-2)(x-3) thì đợc thơng 3x còn d.
Hd: f(x) chia cho x- 3 thì d 7 suy ra f(x) = (x- 3).Q(x) + 7 (1)
f(x) chia cho x- 2 thì d 5 suy ra f(x) = (x- 2).Q(x) + 5 (2)
f(x) chia (x-2)(x-3) thì đợc thơng 3x còn d f(x) = 3x.(x- 2)(x- 3) + ax
+ b (3)
Với x = 3 thay vào (1) ta có 3a + b = 7 (4)
Với x = 2 thay vào (1) ta có 2a + b = 5 (5)
Từ (4) và (5) suy ra a = 2; b = 1
Vậy số d trong phép chia f(x) cho (x-2)(x-3) là 2x + 1
Suy ra: f(x) = 3x.(x- 2)(x- 3) + 2x + 1 = 3x3- 15x2+ 20x + 1
*) BT: 230 236 (sptt8)
2

Ngày.tháng....năm 201

- Tiết 29 36

Đ4
Phân thức đại số
A. Mục đích: HS nắm đợc k/n và các tính chất phân thức đại số. Các
phép tính về phân thức. Rèn luyện kỷ năng vận dụng linh hoạt vào bài
tập, bài tập nâng cao.
B. Nội dung:
I. Các kiến thức cần nhớ:
Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy

13


Giáo án BDHSG Toán 8
1. Đ/n: Phân thức đại số có dạng

A
(A, B đa thức ; B 0)
B

A
xác định (có nghĩa)
B
A
AM
A
A: N
Tính chất:
=

(M 0) ;
=
(N là
B
BM
B
B:N
A
A.C
A
Rút gọn:
=
=
B
B .C
B
A
A
A
A
Quy tắc đổi dấu:
=
;
=
=
B
B
B
B
A 0

A
=0
B
B 0

2. Đkxđ : Phân thức

B 0

3.

nhân tử chung)

4.
5.
6.

A
B

A 0

A
B 0
7.
> 0 A và B cùng dấu
B
A0

B 0

8.

A 0

B 0
A và B trái dấu
A0

B 0

A
<0
B

9. Phân thức (phân số)

A
tối giản cln(A;B) = 1
B

10. Các phép tính về phân thức
a/ Phép cộng:

A
B
A B
+
=
(Phép cộng p/t khác mẫu quy đồng da về

M
M
M

cùng mẫu)
b/ Phép trừ:

A
B
A B
=
(Phép trừ p/t khác mẫu quy đồng da về
M
M
M

cùng mẫu)
A C
A.C
.
=
B D
B.D
A
C
A D
d/ Phép chia:
:
= .
B

D
B C

c/ Phép nhân:

=

A.D
B.C

II. Bài tập luyện tập:
1. Tìm đk để các phân tức sau đợc xác định:
2x
x 3
5x 2 1
b.
c.
x 2 2 x 15
2x 2 x 1
x 2 2x 3
Đáp số: a/ x -5 ; x 3 ; b/ x -1; x 1/2 ; c/ x

a.

2. Tìm giá trị để phân thức bằng 0:
14

Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy

Giáo án BDHSG Toán 8
x x x 1
x x2 x 1
b.
x3 2x 5
x 2 3x 2
x 5 2 x 4 2 x 3 4 x 2 3x 6
c.
x 2 2x 8
x 2; x 1
( x 2)( x 2 3)( x 2 1)

=
(vì x2+3 0) suy ra x = 1
( x 2)( x 4)
x 2; x 4

a.

3

2

3

3. Rút gọn phân thức:
1000.1004 1002.998
đặt 1000 = x
1000.1001 1001.999
x( x 4) ( x 2)( x 2)

4( x 1)
x 2 4x x 2 4
4
= x( x 1) ( x 1)( x 1) = 2
=
2
x 1
x x x 1
(b c) 3 (c a ) 3 (a b) 3
b. B = 2
a (b c ) b 2 (c a ) c 2 (a b)

a. A =

Hd: Phân tích mẫu thành nhân tử : a2(b- c) + b2(c- a) + c2(a- b) = (bc)(c- a)(a- b)
(b c ) 3 ( c a ) 3 ( a b ) 3
Suy ra: B =
đặt b- c = x; c- a = y; a- b = z
(b c)(c a )(a b)
x 3 y 3 z 3 3xyz

3
B=
xyz
xyz

Vì x3+y3+z3 - 3zyz = (x+y)3 + z3 - 3x2y - 3xy2 -3xyz
= (x+y+z)[(x+y)2-z(x+y)+z2] - 3xyz(x+y+z)
= (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-xz)
=0

(vì x+y+z = b- c + c- a + a- b = 0)
3
3
3
Nên x +y +z = 3zyz
c. Cho abc = 2 Rút gọn: M =

a
b
2c
+
+
ab a 2
bc b 1
ac 2c 2

Hd: Tạo ra có abc và thay abc = 2 hoặc 2 = abc
a
ab
2c
+
+
ab a 2
abc ab a
ac 2c abc
2c
a
ab
M=
+

+ c(a 2 ab)
ab a 2
2 ab a
ab a 2
M=
=1
ab a 2

M=

x2 y2 z 2
x
y
z
d. Cho =
= , rút gọn P =
(ax by cz ) 2
a
b
c
x
y
z
Hd: =
= = k suy ra: x = ak; y = bk; z = ck thay vào P ta có
a
b
c
2
(ak ) (bk ) 2 (ck ) 2

P=
(a.2 k b 2 k c 2 k ) 2

Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy

15


Giáo án BDHSG Toán 8
2

2

2

2

k (a b c )
k 2 (a.2 b 2 c 2 ) 2
1
= 2 2 2
a b c

=

4. Tính giá trị của biểu thức (phân thức):
a b c
bc a
ac b
=

=
c
a
b
b
c
a
Tính giá trị của biểu thức P = (1+ )(1+ )(1+ )
a
b
c
a b c
bc a
ac b
Hd: (1)
+2=
+2=
+2
c
a
b
a b c
a bc
a b c

=
=
c
a
b

- Nếu a+b+c 0 suy ra a = b = c P = 2.2.2 = 8

a. Cho a, b, c các số thoả mản

- Nếu a+b+c = 0 suy ra :

(1)

a+b=- c
b+c=-a
c+a=-b

a b b c c a
( c)( a )( b)


=
=-1
a
b
c
abc
1
1
1
b. Cho x > 0 và x2 + 2 = 7 Tính x3 + 3 ; x5 + 5
x
x
x

1
1
1
1
x3 + 3 ; Tính x4 + 4 x5 + 5
Hd: Tính x +
x
x
x
x
1
1
1
Ta có: (x + )2 = x2 + 2 + 2 = 7 + 2 = 9 x +
= 3 (vì x > 0)
x
x
x


P=

áp dụng hđt an + bn (n lẻ) và khai triển ta có :
1
1
1
2
) - (x +
3 = (x +
2 )( x +

x
x
x
1
1
1
x5 + 5 = (x + )(x4 + 4 ) - (x3 +
x
x
x
1
1
= (x + )[( x2 + 2 )2 - 2 ]
x
x

x3 +

= 3 . (72- 2) - 18 = 123

1
) = 7.3 - 3 = 18
x
1
)
x3
1
- (x3 + 3 )
x

5. Tìm x z để phân thức có giá trị nguyên:
2x3 6x 2 x 8
a/ A =
x 3

Hd: Tách phần nguyên, còn phần phân đa

về tử là hằng
b/ B =
16

x 4 2 x 3 3x 2 8 x 1
x 2 2x 1

v/d t/c ớc để tìm x.

Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy


Giáo án BDHSG Toán 8
c/ C =

4

3

2

x 3x 2 x 6 x 2
x2 2

6. Chứng minh:
6.1/ Cho a, b, c là ba số khác nhau, c/m:
b c
c a
a b
2
2
2
+
+
=
+
+
(a b)(a c) (b c )(b a ) (c a)(c b)
a b b x c a
b c
1
1
Hd: Nhận xét: (a b)(a c) =
+
a b
c a
c a
1
1
=
+
(b c )(b a )
a b

b c
a b
1
1
=
+
(c a)(c b)
c a b c
Cộng vế theo vế điều chứng minh.

6.2/ Chứng minh với mọi n nguyên dơng thì:
a/ Phân số:
=1 áp/d t/c

15n 2 8n 6
tối giản
30n 2 21n 13

Hd: gọi cln(t số; ms) = d. lý luận d

1 n2 n7
b/ Phân số:
không tối giản P/tích tử và mẫu thành nhân tử
1 n 2 n8

có nhân tử chung

xy 1
yz 1
xz 1

=
=
Chứng minh x = y = z hoặc xyz = 1.
y
z
x
1
1
1
Hd: Từ giã thiết suy ra x+ y = y + = z+ do đó
z
x
y z
1 1
x y
1 1
1 1
z y
X+y= - y = yz ; y-z = - =
; z-x= y - = xy
z
x z
xz
x
(x - y)(y - z)(z - x)
Suy ra: (x-y)(y-z)(z-x) =
x2 y2z2

6.3 Cho

Nên (x-y)(y-z)(z-x)( x2y2z2 -1) = 0
Từ đó suy ra điều c/m
*) BT: 120 126 ( sptt8)

Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy

17


Giáo án BDHSG Toán 8
Ngàytháng..năm 201

- Tuần10 , Tiết:37 40

Đ5 dãy phân thức có quy luật
A. Mục đích: Hs nắm đợc một số công thức tính tổng, tích áp dụng
vào bài tập. Rèn luyện kỷ năng tính toán kỷ năng vận dụng.
B. Nội dung:
1

1

1

1. Tính tổng vận dụng công thức: n(n 1) = n n 1
1
1
1
1
+

+
+.....+ (3n 1)(3n 2)
2.5
5.8
8.11
1
1
1 1 1
1
1
1 1
= ( - 5 + 5 - + - +.....+ (3n 1) - (3n 2) )
3 2
8
8
11
1
1 1
n
= ( - (3n 2) ) =
3 2
6n 4
5
6
5
5
5 6
6
b/ S2 = +
+...+ (6n 5)(6n 1) = ( +

+....+ (6n 5)(6n 1) )
1.7
7.13
6 1.7
7.13
1
1
1
5
1 1 1
5
5n
= (1- +.....+ (6n 5) - (6n 1) ) = (1- (6n 1) ) =
6
7 7 13
6
6n 1
2
1
1
2. Tính tổng vận dụng công thức: n(n 1)(n 2) = n(n 1) - (n 1)(n 2)
1
1
1
1
S3 =
+
+
+.....+ n(n 1)(n 2)
1.2.3

2.3.4 3.4.5
2
1
2
2
2
= [
+
+
+.....+ n(n 1)(n 2) ]
2 1.2.3
2.3.4 3.4.5
1
1
1 1
1
1
1
= [
+
+.....+ n(n 1) - (n 1)(n 2) ]
2 1.2. 2.3. 2.3. 3.4.
1
n(n 3)
1 1
= [
- (n 1)(n 2) ] = 4(n 1)(n 2)
2 1.2.
2n 1
1

1
3. Tính tổng vận dụng công thức: n 2 (n 1) 2 = 2 - (n 1) 2
n
3
5
2n 1
S4 = (1.2) 2 + (2.3) 2 +.....+ [n(n 1)]2
1
1
1
1
1
1
= 2 2 2 2 .....+ 2 - (n 1) 2
1
2
2
3
n
1
n ( n 2)
= 1 - (n 1) 2 = (n 1) 2
*) BT: 128 135 (sptt8)

a/ S1 =

18

Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy

Giáo án BDHSG Toán 8
Ngày....tháng.....năm 201 - Tiết:41 44
Đ
kiểm tra
A. Mục đích: kiểm tra đánh giá phân phân thức đại số. Rèn luyện kỷ
năng làm bài.
B. Nội dung: Đề ra:
Câu 1: n N thì n2 + n + 6 không chia hết cho 5.
a 4 16
Câu 2: Cho A = 4
a 4a 3 8a 2 16a 16

a/ Rút gọn A
b/ Tìm giá trị nguyên của a để A có giá trị nguyên.
1

1

1

Câu 3: C/mr: Nếu x 0, y 0, z 0 và x+ y = y+ = z+
z
x
Thì hoặc x = y = z hoặc xyz = 1.
x2
y2
z2
Câu 4: Cho S =
+

+
xy
yz
zx
2
2
y
z
x2
T=
+
+
xy
yz
zx

Chứng minh S = T
C.Hớng dẫn, biểu điểm.
Câu 1: (2điểm):
Vận dụng dấu hiệu không chia hết cho 5. xét tận cùng.
Xét n2 + n = n(n+1) vì n N Do đó đây là tích của 2 số tự nhiên liên
tiếp nên có tận
Cùng 0; 2; 6. Suy ra n2 + n + 6 = n(n+1) + 6 có tận cùng 6; 8; 2 nên
không chia hết cho 5.
Vậy n2 + n + 6 không chia hết cho 5.
Câu2: (3điểm)
a 4 16
a/A = 4
a 4a 3 8a 2 16a 16
(a 2)(a 2)

a2
= ( a 2) 2 =
a 2
a2
a 24
4
b/ A =
=
=1+
a 2
a 2
a 2
4
Để A có giá trị nguyên khi
nguyên. Khi 4 a -2. Hay a-2 làƯ(4)
a 2
Ư(4) ={ 1; 2; 4} Ta có : a-2
-1 -2 -4
1
2
4

a

1

0

-2

3

4

6

Vậy a = {-2; 0; 1; 3; 4; 6 }
Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy

19


Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8

C©u3: (3®iÓm)
1

1
z

1
suy ra
x
y z
1 1
x y
1 1
1 1
z y
x+y= - y = yz ; y-z = - =

; z-x= y - = xy
z
x z
xz
x
(x - y)(y - z)(z - x)
Suy ra: (x-y)(y-z)(z-x) =
x2 y2z2
 (x-y)(y-z)(z-x)( x2y2z2 -1) = 0
 (x-y) = 0 hoÆc (y-z) = 0 hoÆc (z-x) = 0 suy ra x = y = z
HoÆc x2y2z2 -1 = 0 suy ra xyz = 1.

x+ y = y + = z +

C©u 4: (2 ®iÓm)
x2
y2
y2
z2
z2
x2
XÐt S - T =
+
+
x y
yz
x y yz
zx
zx
2

2
2
2
2
2
x  y
y  z
z  x
=
+
+
xy
yz
zx
( x  y )( x  y )
( y  z )( y  z )
( z  x)( z  x)
=
+
+
xy
yz
zx

=x-y+y-z+z-x
= 0
VËy S - T = 0 suy ra S = T

20

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy


Giáo án BDHSG Toán 8
Ngàytháng..năm 201

- Tiết:45 52

Đ6 giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
của biểu thức chứabiến
A. Mục đích:Hs nắm đợc phơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
của biểu thức
chứa biến. Có kỷ vận dụng thành thạo vào giải toán dạng này.
B. Nội dung:
I. Các kiến thức cần nhớ:
1/ Giá trị nhỏ nhất:
- Cho biểu thức A(x), ta nói k là giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x); kí
hiệu Mim A(x)
Nếu thoả mản 2 đk:
+) A(x) k (k là hằng số)
+) x0 sao cho A(x0) = k
*) Phơng pháp: - Biến đổi A(x) = X2 + k k (k là hằng số)
- Dấu ''='' xảy ra khi X = 0
- Kết luận: Vậy Min A(x) = k X = 0
2/ Giá trị lớn nhất:
- Cho biểu thức A(x), ta nói k là giá trị lớn nhất của biểu thức A(x); kí
hiệu Max A(x)
Nếu thoả mản 2 đk:
+) A(x) k (k là hằng số)
+) x0 sao cho A(x0) = k

*) Phơng pháp: - Biến đổi A(x) = X2 + k k (k là hằng số)
- Dấu ''='' xảy ra khi X = 0
- Kết luận: Vậy Max A(x) = k X = 0
II. Bài tập:
Dạng 1: A(x) là tam thức (đa thức).
BT1: Tìm Min của A, biết A = 4x2- 4x - 3 = (2x- 1)2 - 4 - 4
Dấu ''='' xảy ra khi 2x - 1 = 0 x = 1/2
Vậy min A = - 4 x = 1/2
BT2: Tìm Max của B, biết
B = 4x - x2 = - (x2- 4x + 4) + 4 = - (x-2)2 + 4 4
Dấu ''='' xảy ra khi x - 2 = 0 x = 2
Vậy max B = 4 x = 2
BT3: Tìm Max C, biết
C = - x4+6x3-10x2+6x-9 = - (x2-3x)2- (x-3)2 0

x 0
x 2 3 x 0
x( x 3) 0

Dấu "=" xảy ra
x 3 x = 3
x 3 0
x 3


Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy

21

Giáo án BDHSG Toán 8
Vậy Max C = 0 x = 3
*) Chú ý: 1) A(x,y) = X2 Y2 + k
A(x,y) = z2+ k

2) Vd: A = (x-1)2 (x-3)2 0 ,nhng không kết luận đợc Min A =

0
(vì Không có giá trị nào của x làm cho A = 0)
Ta làm nh sau:
A = x2- 2x + 1 + x2- 6x + 9 = 2x2 - 8x + 10 = 2(x-2)2+ 2 2
Vậy Min A = 2 khi x = 2
*) Bài tập luyện tập:
a/ Tìm Min:
Tìm Max
2
1/ 4x -4x -3
1/ 4x - x 2
2/ x2 -3x + 5
2/ 1 -x 2 + 3x
3/ 2x2 - 4x + 34
3/ -5x 2 - 4x + 1
4/ 2x2 - 2xy+ 5y2 +5
4/ 6 - x2 - 6x
Dạng 2:
Tìm Min, Max của phân thức có tử là hằng số mẫu là tam thức
bậc hai.
3
4x 4x 5
3

3
3
Giải: M = 2
= (2 x 1) 2 4
4
4x 4x 5
3
1
Vậy Max M =
khi x =
4
2

Vd1: Tìm Max của M =

2

Vì (2x-1)2+ 4 4

Vd2: Tìm Min
2
2
2 =
(3x 1) 2 4
6x 5 9x
1
1
Ta có (3x 1) 2 4
(vì (3x-1)2+ 4 4
4

2
2 1

Suy ra: (3x 1) 2 4
4
2
1
1
VậyMin N =
khi x =
2
3

N=

Dạng 3: Các dạng khác
- Biến đổi đa về dạng 1 hoặc dạng 2.
+) k X2
+) Phân thức tử số là hằng.
Vd1: Tìm Min A =
22

x 2 4x 1
(đk x 0 )
x2

Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy


Giáo án BDHSG Toán 8

x 4x 1
4 x 4 x 1 3x 2
(2 x 1) 2 3x 2
(2 x 1) 2

3 -3
=
=
=
x2
x2
x2
x2
x2
1

2 x 1 0 x
(2 x 1) 2
2 suy ra x = 2 (t/mđk)
Dấu "=" xảy ra khi
=0
x2
x 0

Ta có A =

2

2

Vậy Min A = -3 khi x = 2

x

Vd2: Tìm Max : B = ( x 10) 2
đk x -10 . Nếu x = 0 thì B = 0
1
1
x = - 10
y
x 10
x
1
1
1
1
1
Thì B = ( x 10) 2 = -10y2+ y = -10(y2- 2y. +
) + = -10(y- )2+
10 400
40
20
40
1
40
1
1
1
1

x = 10 (t/mđk)
Dấu "=" xảy ra khi (y- ) = 0 y =
=
20
20
x 10
20
1
Vậy Max B =
khi x = 10
40
4x 2 6x 3
1
Vd3: Tìm Min C =
đk: x
2
(2 x 1)
2

Nếu x 0 và Đặt y =

4x 2 6x 3
Ta có C =
(2 x 1) 2
(4 x 2 4 x 1) (2 x 1) 1
=
(2 x 1) 2
(2 x 1) 2 (2 x 1) 1
=
(2 x 1) 2

1
1
1
= 1+ (2 x 1) 2 Đặt y =
2x 1
2x 1
1
3
3

Suy ra C = 1- y + y2 = (y - )2+
2
4
4
1
1
1
1
3

x=
Dấu "=" xảy ra khi (y - )2 = 0 y =
=
2
2
2x 1
2
2
3
3

Vậy Min C = khi x =
4
2

(t/mđk)

Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy

23


*) BT: 121  123; 301; 302

24

Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8
( sptt8)

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n Lîi - Trêng THCS Hång Thñy


Giáo án BDHSG Toán 8
Ngàythángnăm 201

Tiết: 53 60

Đ7: giải phơng trình
A. Mục đích: Hs nắm phơng pháp giải phơng trình bậc nhất một ẩn,
các dạng pt đa về dạng pt bậc nhất một ẩn. Rèn kỹ năng giải và biện
luận phơng trình có hệ số bằng chữ. vận dụng phối hợp linh hoạt các

phơng pháp vào bài tập và bài tập nâng cao.
B. Nội dung:
I. Phơng trình bậc nhất một ẩn:
Có dạng:
ax + b = 0 ax = - b (1)
+) a 0 thì (1) x = - b/a là nghiệm của pt.
+) a = 0
b = 0 thì (1) 0x = 0 Pt có vô số nghiệm.
b 0 thì (1) 0x 0 Pt vô nghiệm.
Vd: Giải và biện luận pt ẩn x:
m(mx - 1) = 3(mx - 1)
m2x - 3mx = m - 3
m(m-3)x = m - 3
- Nếu m 0, m 3 thì x = 1/m là nghiệm của pt.
- Nếu m = 0 thì 0x = -3, pt vô nghiệm
- Nếu m = 3 thì 0x = 0, pt có vsn.
II. Phơng trình tích:
f ( x ) 0

f(x).g(x).h(x) = 0 g ( x) 0
h( x) 0

Vd: (x-3)(x2+1) = 0 x-3 = 0 vì (x2+1) 0
x=3
Vậy phơng trìh có nghiệm x = 3.
*) Lu ý: pt bậc hai trở lên thì đua về pt tích.
III. Phơng trình chứa biến ở mẫu:
Các bớc: - Tìm đk.
- Quy đồng khử mẫu.
- Giải phơng trình vừa tìm đợc.

- Nghiệm đk.
Ví dụ1: Giải pt:

x
x
2x


2( x 3) 2( x 1) ( x 1)( x 3)

Đk: x 3; x -1

x(x+1) + x(x-3) = 4x
x2+ x + x2 - 3x = 4x
2x2 - 2x - 4x = 0

Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy

25