đề thi thử toán THPT quốc gia 2019 lần 2 trường THPT đô lương 3 – nghệ an

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG 3

Câu 1.

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Gọi M , N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  4  x 2 . Giá trị của biểu
thức  M  2 N  là

Câu 2.

A. 2 2  2 .
B. 4  2 2 .
C. 2 2  4 .
D. 2 2  2 .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 2;3 và đường thẳng d có phương trình

Câu 3.

x 1 y  2 z  3
. Tính bán kính của mặt cầu  S  có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d


2
1
1
A. 5 2 .

B. 4 5 .
C. 2 5 .
D. 10 2 .
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A(1; 2;3); B(2;0; 1) và mặt phẳng

( P) : x  y  z  1  0 . Tọa độ giao điểm C của đường thẳng AB và mặt phẳng  P  là
A. C  2;0; 1 .
Câu 4.

B. C 1;1; 1 .

C. C  0; 2; 1 .

D. C  2; 1;0 

Cho hàm số y   x3  3 x 2  4 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2  .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2; 0  .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  0;   .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng  2; 0  .

Câu 6.

Cho tam giác SOA vuông tại O có OA  4cm , SA  5cm , quay tam giác SOA xung quanh cạnh
SO được hình nón. Thể tích của khối nón tương ứng là:
80
cm3 .
A. 16 cm3 .
B. 15 cm3 .

C.
D. 36 cm3 .
3
Trong không gian Oxyz cho điểm A 3; 4;3 . Tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ bằng

Câu 7.

34
.
D. 10  3 2 .
2
Cho số phức z thỏa mãn  3  i  .z  i.z  7  6i . Môđun của số phức z bằng:

Câu 8.

A. 25 .
B. 2 5 .
C. 5 .
3
Tìm nguyên hàm của các hàm số f  x   x  2 x  5 thoả mãn F 1  3 .

Câu 5.



A.





B. 10 .

34 .

x4
5
 x2  5x  .
4
4
1
5
4
2
C. F  x   4 x  x  x  .
5
4
Tính đạo hàm của hàm số y  ln
A. y 
C. y 

3
.
 x  1 x  2
3

 x  1 x  2

.







C.

A. F  x  

Câu 9.





D. 5 .

x4
 x2  5x  3 .
4
1
D. F  x   4 x 4  x 2  x  3 .
5
B. F  x  

x 1
x2

B. y 

D. y 

3

 x  1 x  2 

2

3

 x  1 x  2 

2

.
.

Câu 10. Cho log 2 5  a; log3 5  b . Tính log 6 1080 theo a và b ta được
ab  1
2a  2b  ab
3a  3b  ab
2a  2b  ab
A.
.
B.
C.
.
D.
.
ab

ab
ab
ab
Câu 11. Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA vuông góc với đáy
 ABCD  và SA  a 6 . Thể tích khối chóp S. ABCD là

Trang 1/27 - WordToan


A.

a3
.
4

B. a 3 3 .
5

Câu 12. Cho biết


1

C.

5

5

1

1

a3 3
.
3

D. a 3

f  x  dx  6 ,  g  x  dx  8 . Tính K    4 f  x   g  x   dx .

A. K  16 .
B. K  61 .
C. K  5 .
Câu 13. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z   6  8i   2 và z.z  64 ?
A. 3.

B. 4.

Câu 14. Tìm họ nguyên hàm F  x   
A. F  x  
C. F  x  

2
.
3

1
4  2 x  1
1

4  2 x  1

2

3

C .

C.

D. K  6 .

C. 2.

1

 2 x  1

3

D. 1.

dx
B. F  x  
D. F  x  

1
8  2 x  1

4

C .

1
6  2 x  1

2

C .

Câu 15. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  2 x3  mx2  2 x  5 đồng biến trên
khoảng  2020;0  là

13
13
.
B. m  2 3 .
C. m  2 3 .
D. m   .
2
2
2
Câu 16. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  x  x, y  3x .
5
16
32
A. S  .
B. S 
.
C. S  9 .

D. S 
.
3
3
3
Câu 17. Cho a , b là các số dương. Tìm x biết log 3 x  4 log 3 a  7 log3 b
A. m 

1

1

A. x  a 4 b 7 .
B. x  a 7 b 4 .
C. x  a 4 b 7 .
D. x  a 4b 7 .
Câu 18. Biết rằng phương trình 5 x 1  53 x  26 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng x1  x2
A. 2 .
B. 5 .
C. 4 .
D. 2 .
Câu 19. Cho cấp số cộng có u2  4 và u4  10 . Khi đó u10 
A. 25 .
B. 28 .
C. 30 .
D. 31 .
3
2
Câu 20. Cho hàm số y  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng

A. a  0, b  0, c  0, d  0 .
C. a  0, b  0, c  0, d  0 .

B. a  0, b  0, c  0, d  0 .
D. a  0, b  0, c  0, d  0 .

Câu 21. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f '( x)  x 2 .( x  1)3 .( x  2) 4 .( x  3)5 , x  R . Số điểm cực trị của
hàm số đã cho là:
A. 1 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 22. Cho hình lăng trụ tứ giác đều có các cạnh đều bằng a . Thể tích khối lăng trụ đều là
2a 3
2a 3 2
a3 3
A.
.
D.
.
B. a 3 .
C.
.
3
4
3
Câu 23. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:
Trang 2/27 – Diễn đàn giáo viên Toán

Số nghiệm thực của phương trình 5 f 1  2 x   1  0
A. 0 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 2 .
Câu 24. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 1cm . Một mặt phẳng qua trục của hình trụ cà cắt hình trụ theo
thiết diện là hình vuông. Tính thể tích của khối trụ đã cho.
16
cm3 .
A. 8 cm3 .
B. 2 cm3 .
C.
D. 16cm3 .
3

1
Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình  
3
A.  2;   .
B. 1; 2  .

x2

 3 x là
C. 1; 2  .

D.  2;  .

Câu 26. Biết M  4; 3  là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. Khi đó điểm nào sau đây biểu
diễn số phức w   z ?

A. N  4; 3 .

B. R  3; 4  .

C. Q  4; 3 .

D. P  4;3 .

5  x 1
, tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
x2  4x
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 1.
 x  2  3t

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y  5  4t , t   và điểm
 z  6  7t


Câu 27. Cho hàm số y 

A(1; 2;3) . Phương trình mặt phẳng qua A vuông góc với đường thẳng d là
A. 3x  4 y  7 z  10  0 .
B. 3x  4 y  7 z  16  0 .
C. 3x  4 y  7 z 16  0 .
D. 3 x  4 y  7 z  10  0 .
Câu 29. Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình dưới đây:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Giá trị cực đại của hàm số bằng 1.
B. Giá trị cực đại của hàm số bằng 2 .
C. Hàm số đạt cực đại tại x  1 .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x  3 .
Câu 30. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng a .
a 3
A.
D. a 3 .
.
B. a .
C. 2 3a .
2
 x  1 t

Câu 31. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  2  t và mặt phẳng ( P) : x  2 y  3 z  2  0 .
 z  3  2t

Đường thẳng  nằm trong mặt phẳng ( P) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d có
phương trình là:

Trang 3/27 - WordToan


 x  5 7t

A. d :  y  6  5 t .
 z  5  t


 x  5 7t

B. d :  y  6  5 t .
 z  5  t


 x  1 7 t

C. d :  y  2  5 t .
 z  3 t


 x  1  7 t

D. d :  y  5 t .
 z  1 t

Câu 32. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị như hình bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của

 

tham số m để phương trình f e x  m có nghiệm thuộc khoảng  0;ln 3 :

 1 
B.   ;0  .
 3 

 1 
C.  ;1 .
 3 

 1 
D.   ;1 .
 3 
x  2  t

Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho điểm A  1;1;6  và đường thẳng  :  y  1  2t . Hình chiếu vuông
 z  2t

góc của điểm A trên đường thẳng  là
A. M  3; 1; 2  .
B. H 11; 17;18  .
C. N 1;3; 2  .
D. K  2;1;0  .

A. 1;3 .

Câu 34. Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển  3 x  2 

8

A. 1944C83 .
B. 1944C83 .
C. 864C83 .
D. 864C83 .
Câu 35. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng
uông góc với mặt phẳng đáy. Tính sinh của góc tạo bởi đường thẳng MD và mặt phẳng  SBC  ,
với M là trung điểm của BC .
15
15

13
A.
.
B.
.
C.
.
5
3
3
Câu 36. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có bảng biến thiên như hình vẽ:

Bất phương trình e

x

D.

13
.
5

 m  f  x  có nghiệm x   4;16 khi và chỉ khi

A. m  f  4   e .

B. m  f  4   e2 .

2

C. m  f 16   e 4 .

D. m  f 16   e 4 .

Câu 37. Cho số phức z thỏa mãn z  1  3i  z  5  i  2 65 . Giá trị nhỏ nhất của z  2  i đạt được khi
z  a  bi với a , b là các số thực dương. Giá trị của 2a 2  b 2 bằng
A. 17 .
B. 33 .
C. 24 .
D. 36 .
Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho điểm M  2;1;1 , mặt phẳng   : x  y  z  4  0 và mặt cầu

 S  :  x  3

2

  y  3    z  4   16 . Phương trình đường thẳng  đi qua M và nằm trong  
2

Trang 4/27 – Diễn đàn giáo viên Toán

2


cắt mặt cầu  S  theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Đường thẳng  đi qua điểm nào trong
các điểm sau đây?
A.  4; 3;3  .
B.  4; 3; 3  .
C.  4;3; 3 .
D.  4; 3; 3  .

Câu 39. Xét các số phức z thỏa mãn
là parabol có đỉnh
1 3
A. I  ;   .
4 4
Câu 40. Trong không gian

z 1 i

 z  z  .i  1

là số thực. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w 

 1 1
B. I   ;  .
 2 2
Oxyz , cho mặt

z
2

1 3
 1 1
C. I  ;   .
D. I   ;  .
2
2


 4 4

phẳng  P  : x  y  5 z  4  0 và đường thẳng

x 1 y 1 z  5
. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt mặt phẳng ( P ) có


2
1
6
phương trình là :
 x  2  3t
 x  2  t
 x  1  3t
x  3  t




A.  y  2  2t .
B.  y  2  2t .
C.  y  2t .
D.  y  2 .
 z  t
 z t
 z  1 t
 z  1 t





Câu 41. Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau

d  :

1 4
x  x 3  x 2  5 . Khẳng định nào sau đây đúng?
4
g
x
A. Hàm số   đồng biến trên khoảng  ; 2  .
Gọi g  x   2 f 1  x  

B. Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  1;0  .
C. Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  0;1 .

D. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng 1;   .





Câu 42. Trong các cặp số thực  a; b  để bất phương trình:  x  1 x  a  x 2  x  b  0 nghiệm đúng

x   , tích ab nhỏ nhất bằng
A. 1 .

B. 2 .

C. 

1
.
4

D.

1
.
4

Câu 43. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A2;1;3, B 6;5;5 . Gọi  S  là mặt cầu

đường kính AB . Mặt phẳng  P  vuông góc với AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình
tròn tâm H (giao của mặt cầu

S  và mặt phẳng  P  ) có thể tích lớn nhất, biết rằng

 P : 2 x  by  cz  d  0 với b, c, d   . Tính S  b  c  d .

A. S  18.
B. S  18.
C. S  12.
D. S  24.
Câu 44. Anh Việt vay tiền ngân hàng 500 triệu đồng mua nhà và trả góp hàng tháng. Cuối mỗi tháng bắt
đầu từ tháng thứ nhất anh trả 10 triệu đồng và chịu lãi suất là 0,9%/tháng cho số tiền chưa trả. Với
hình thức hoàn nợ như vậy thì sau bao lâu anh Việt sẽ trả hết số nợ ngân hàng?
A. 65 tháng.
B. 67 tháng.
C. 66 tháng.
D. 68 tháng.

ln 2
1
1
Câu 45. Biết I   x
dx   ln a  ln b  ln c  trong đó a , b , c là các số nguyên dương. Tính
x
c
e  3e  4
0
P  2a  b  c .
A. 1 .
B. 3 .
C. 4.
D. 3.
Trang 5/27 - WordToan


Câu 46. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn

2

1
  x  1 f  x  dx   3 ,
2

1

f  2   0 và

2

  f   x 
1

2

2

dx  7 . Tính tích phân I   f  x  dx .
1

7
7
7
7
A. I  .
B. I   .
C. I  
.
D. I 
.
5
5
20
20
Câu 47. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1. Biết khoảng cách từ A đến mặt
6
15
phẳng  SBC  là
, từ B đến mặt phẳng  SAC  là

, từ C đến mặt phẳng  SAB  là
4
10
30
.và hình chiếu vuông góc của S xuống đáy nằm trong tam giác ABC . Thể tích khối chóp
20
S . ABC bằng
1
1
1
1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
36
48
12
24
Câu 48. Trong chương trình giao lưu gồm có 15 người ngồi vào 15 ghế theo một hàng ngang. Giả sử người
dẫn chương trình chọn ngẫu nhiên 3 người trong 15 người để giao lưu với khán giả. Xác suất để
trong 3 người được chọn đó không có 2 người ngồi kề nhau
2
13
22
3

B.
.
C.
.
D. .
A. .
5
35
35
5
Câu 49. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt
phẳng vuông góc với đáy. Biết đường thẳng SC tạo với đáy một góc 60 . Tính tan góc giữa 2 mặt
phẳng  SCD  và  ABCD  .

15
.
15
2
 7 
Câu 50. Cho hàm số f  x    x  1  mx 2  4mx  m  n  2  với m, n   . Biết trên khoảng   ;0  hàm
 6 
 7 5
số đạt cực đại tại x  1 . Trên đoạn   ;   hàm số đã cho đạt cực tiểu tại.
 2 4
7
3
5
5
B. x   .
C. x   .

D. x   .
A. x   .
2
2
2
4
------------- HẾT ------------A. 15 .

B.

Trang 6/27 – Diễn đàn giáo viên Toán

15
.
2

C.

15
.
5

D.


BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C A A D A D C A C C
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
A B D A A A D A B A

11
D
36
C

12
A
37
B

13
D
38
A

14
C
39
A

15
C
40
C

16
D
41
C

17
A
42
D

18
C
43
B

19
B
44
B

20
D
45
D

21
C
46
B

22
B
47
B

23
D
48
C

24
B
49
B

25
A
50
B

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

Gọi M , N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  4  x 2 . Giá trị của biểu
thức  M  2 N  là
B. 4  2 2 .

A. 2 2  2 .

C. 2 2  4 .
Lời giải

D. 2 2  2 .

Chọn C
Tập xác định của hàm số y  x  4  x 2 là D   2; 2 .
Cách 1: Bấm máy tính. Với máy 580vn chọn start:-2, end: 2, step: 2/9 có:
M  2,824, N  2  M  2 N  1,176 thử thấy phương án C gần nhất với kết quả này nên ta
chọn C.
Cách 2: Giải tự luận.
y  1 

x



4  x2  x

.
4  x2
4  x2
Trên tập xác định D   2; 2 của hàm số ta có
 x  0
y  0  4  x 2  x  0  
 x  2   2; 2 .
 x   2
 M  2 2
y  2   2 , y 2  2 2 , y  2   2 suy ra 
 M  2N  2 2  4 .
 N  2

 

Câu 2.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 2;3 và đường thẳng d có phương trình
x 1 y  2 z  3
. Tính bán kính của mặt cầu  S  có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d


2
1
1
A. 5 2 .
B. 4 5 .
C. 2 5 .
D. 10 2 .
Lời giải
Chọn A
Bán kính của mặt cầu  S  có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d là R  d  A,  d   .

 x  1  2t
x 1 y  2 z  3



 y  2t
d  :
2
1
1
 z  3  t

 

Gọi H  1  2t; 2  t ; 3  t    d  là hình chiếu vuông góc của A lên  d  suy ra AH  ud .

 AH   2  2t ; 4  t; 6  t 
 2  2  2t   1 4  t    1 6  t   0  t  1
Có  
ud   2;1; 1

Vậy AH   4;3; 5   R  d  A,  d    AH  5 2 .
Câu 3.

A(1; 2;3); B(2;0; 1) và mặt phẳng
( P) : x  y  z  1  0 . Tọa độ giao điểm C của đường thẳng AB và mặt phẳng  P  là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz
A. C  2;0; 1 .

B. C 1;1; 1 .

cho

C. C  0; 2; 1 .

D. C  2; 1;0 

Lời giải
Trang 7/27 - WordToan


Chọn A


AB  1; 2; 4  .


Đường thẳng AB đi qua điểm A 1; 2;3 và có vectơ chỉ phương AB  1; 2; 4  nên AB có

x  1 t

phương trình là  y  2  2t  t    .
 z  3  4t


Gọi C  AB   P   C 1  t ; 2  2t ;3  4t  .

C   P   1  t  2  2t  3  4t  1  0  t  1  C  2;0; 1 .
Câu 4.

Cho hàm số y   x3  3 x 2  4 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2  .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2; 0  .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  0;   .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng  2; 0  .
Lời giải

Chọn D
x  0
Ta có y  3 x 2  6 x ; y  0  
.
 x  2
Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng  2; 0  và nghịch biến trên các
khoảng  ; 2  và  0;   .
Câu 5.

Cho tam giác SOA vuông tại O có OA  4cm , SA  5cm , quay tam giác SOA xung quanh cạnh
SO được hình nón. Thể tích của khối nón tương ứng là:
80
cm3 .
A. 16 cm3 .
B. 15 cm3 .
C.
D. 36 cm3 .
3
Lời giải
Chọn A

















Hình nón có đường sinh l  SA  5cm và bán kính đường tròn đáy R  OA  4cm .

Câu 6.

Khi đó đường cao của hình nón là: h  l 2  R 2  3cm .
1
1
Thể tích của khối nón: V  hR 2  ..3.16  16 cm3  .
3
3
Trong không gian Oxyz cho điểm A 3; 4;3 . Tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ bằng
A.

34 .

B. 10 .

C.

34
.
2

Lời giải
Chọn D
Gọi B, C , D lần lượt là hình chiếu của A lên các trục Ox, Oy, Oz .
Suy ra: B 3; 0; 0 , C 0; 4; 0 D 0; 0;3 .

Trang 8/27 – Diễn đàn giáo viên Toán

D. 10  3 2 .


Ta có:

AB  0;  4;  3  AB  5 .

AC  3; 0;  3  AC  3 2 .

AD  3;  4; 0  AD  5 .
Câu 7.

Khi đó tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ bằng: T  AB  AC  AD  10  3 2 .
Cho số phức z thỏa mãn  3  i  .z  i.z  7  6i . Môđun của số phức z bằng:
A. 25 .

B. 2 5 .

C.
Lời giải

D. 5 .

5.

Chọn C
Đặt z  x  yi,  x; y     z  x  yi .

Khi đó  3  i  .z  i.z  7  6i   3  i  x  yi   i  x  yi   7  6i   3x  2 y   3 yi  7  6i
3 x  2 y  7
x  1


 z  1  2i.
3 y  6
 y  2
Vậy z  12   2   5 .
2

Câu 8.

Tìm nguyên hàm của các hàm số f  x   x3  2 x  5 thoả mãn F 1  3 .
x4
5
 x2  5x  .
4
4
1
5
4
2
C. F  x   4 x  x  x  .
5
4

A. F  x  

x4

 x2  5x  3 .
4
1
D. F  x   4 x 4  x 2  x  3 .
5
Lời giải

B. F  x  

Chọn A
Ta có

f  x  dx  F  x   C    x 3  2 x  5 dx 



x4
x4
 x2  5x  C  F  x    x2  5x  C .
4
4

1
5
1 5  C  3  C   .
4
4
4
x
5

Vậy F  x  
 x2  5x  .
4
4
x 1
Tính đạo hàm của hàm số y  ln
x2
3
3
A. y 
.
B. y 
.
2
 x 1 x  2
 x  1 x  2

Mặt khác F 1  3 

Câu 9.

C. y 

3

 x 1 x  2

.

D. y 

3

 x  1 x  2

2

.

Lời giải
Chọn C

 x  1 


3
x2
3
 x  1   x  2 


.

Ta có: y   ln
.

2
x 1
 x2
 x  2 x  1  x 1 x  2

x2
Câu 10. Cho log 2 5  a; log 3 5  b . Tính log 6 1080 theo a và b ta được
2a  2b  ab
3a  3b  ab
ab  1
A.
.
B.
C.
.
a b
ab
ab
Lời giải
Chọn C
Ta có:

D.

2a  2b  ab
.
a b

Trang 9/27 - WordToan


log 6 1080 

log 3 1080 log 3  8.5.27  3log 3 2  log 3 5  3 3log 3 5.log 5 2  log 3 5  3




log 3 6
log 3  3.2 
1  log 3 2
1  log 3 5.log 5 2

1
 log 3 5  3 3b. 1  b  3
log 2 5
3b  ab  3a
a



.
1
1
ab
1  log3 5.
1  b.
log 2 5
a
Câu 11. Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA vuông góc với đáy
 ABCD  và SA  a 6 . Thể tích khối chóp S. ABCD là
3log 3 5.

A.

a3

.
4

B. a 3 3 .

C.

a3 3
.
3

D. a 3

2
.
3

Lời giải
Chọn D

Diện tích hình vuông ABCD là: S ABCD  a 2 .
a3 6
1
2
Thể tích khối chóp S . ABCD là: V  .SA.S ABCD 
.
 a3
3
3
3

5

Câu 12. Cho biết


1

5

5

f  x  dx  6 ,  g  x  dx  8 . Tính K    4 f  x   g  x   dx .
1

A. K  16 .

B. K  61 .

1

C. K  5 .
Lời giải

D. K  6 .

Chọn A
5

5

5

1

1

1

Ta có: K    4 f  x   g  x   dx  4  f  x  dx   g  x  dx  4.6  8  16 .
Câu 13. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z   6  8i   2 và z.z  64 ?
A. 3.

B. 4.

C. 2.
Lời giải

D. 1.

Chọn D
Gọi z  x  yi  x, y    . Ta có:

2
2
 z   6  8i   2
 x  6    y  8  4


2
2

 z.z  64
 x  y  64

 C1 
 C2 

(1)

Đường tròn  C1  có tâm I  6;8 , bán kính R1  2 .
Đường tròn  C2  có tâm O  0;0  , bán kính R2  8 .
Do IO  62  82  10  R1  R2 nên  C1  tiếp xúc với  C2  cho nên hệ (1) có 1 nghiệm.
Vậy có 1 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
1
dx
Câu 14. Tìm họ nguyên hàm F  x   
3
 2 x  1
A. F  x  

1
4  2 x  1

3

C .

Trang 10/27 – Diễn đàn giáo viên Toán

B. F  x  

1
8  2 x  1

4

C .


C. F  x  

1
4  2 x  1

2

D. F  x  

C.

1
6  2 x  1

2

C .

Lời giải
Chọn C
Ta có F  x   

1

 2 x  1

1
1  2 x  1
1
3
C 
C.
 2 x  1 d  2 x  1  .
2

2
2
2
4  2 x  1
2

dx 
3

Câu 15. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  2 x3  mx2  2 x  5 đồng biến trên
khoảng  2020;0  là
A. m 

13
.
2

B. m  2 3 .

C. m  2 3 .

D. m  

13
.
2

Lời giải
Chọn C
* TXĐ: D  
* Ta có: y  6 x 2  2mx  2 , để hàm số đồng biến trên khoảng  2020;0  điều kiện là

y  0  6x 2  2mx  2  0 

3x 2  1
 m; x   2020;0
x

1

x

3x  1
3x  1
3
* Xét hàm số g  x  
 g  x  

 g x  0  
2
1
x
x

x   3

BBT:
2

2

Từ BBT suy ra điều kiện là m  2 3 .
Câu 16. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  x2  x, y  3x .
5
16
32
A. S  .
B. S 
.
C. S  9 .
D. S 
.
3
3
3
Lời giải
Chọn D
x  0

* Cận lấy tích phân là nghiệm của phương trình: x 2  x  3x  x 2  4 x  0  
x  4
4

* Diện tích hình phẳng là: S   x 2  4 x dx 
0

4

x

2

 4 x  dx  

0

32 32
 .
3
3

Câu 17. Cho a , b là các số dương. Tìm x biết log 3 x  4 log 3 a  7 log3 b
1

A. x  a 4 b 7 .

B. x  a 7 b 4 .

C. x  a 4 b 7 .

Lời giải

1

D. x  a 4b 7 .

Chọn A
Ta có log 3 x  log 3 a 4  log 3 b 7  log 3  a 4b 7   x  a 4b 7 .
Câu 18. Biết rằng phương trình 5 x 1  53 x  26 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng x1  x2
A. 2 .
B. 5 .
C. 4 .
D. 2 .
Lời giải
Trang 11/27 - WordToan


Chọn C
Phương trình 5x 1  51 x  26  5 x 1 

25
2 x 1
 26  5    26.5 x  25  0
5 x 1

5 x 1  1
x 1
.
  x 1


x
3

5
25



Vậy x1  x2  4 .

Câu 19. Cho cấp số cộng có u2  4 và u4  10 . Khi đó u10 
A. 25 .
B. 28 .
C. 30 .
Lời giải
Chọn B
Gọi cấp số cộng có công sai là d và u1 là số hạng đầu của cấp số

D. 31 .

u2  4
u  d  4
d  3
 1

 u10  u1  9d  28
Khi đó 
u1  1
u4  10 u1  3d  10
Câu 20. Cho hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng

A. a  0, b  0, c  0, d  0 .
C. a  0, b  0, c  0, d  0 .

B. a  0, b  0, c  0, d  0 .
D. a  0, b  0, c  0, d  0 .
Lời giải

Chọn D
Ta có lim f  x     a  0
x 

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số luôn đồng biến trên 
 f   x   0, x    3ax 2  2bx  c  0, x  

Nếu c  0  f   x   0 có 2 nghiệm trái dấu, mặt khác f   x   0 có nghiệm kép dương nên

2b
 0b  0.
2.3a
(hoặc đồ thị có hoành độ điểm uốn dương nên f   x   0 có nghiệm dương
c  0 và 

b
0b0)
3a
Đồ thị cắt trục Oy tại một điểm nằm dưới Ox  d  0
Vậy a  0, b  0, c  0, d  0
 x

Câu 21. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f '( x)  x 2 .( x  1)3 .( x  2) 4 .( x  3)5 , x  R . Số điểm cực trị của
hàm số đã cho là:
A. 1 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn C

Trang 12/27 – Diễn đàn giáo viên Toán


x  0
 x 1
2
3
4
5
f '( x )  0  x .( x  1) .( x  2) .( x  3)  0  
x  2

x  4
x  1 là nghiệm bội 3, x  3 là nghiệm bội 5 nên f '( x ) vẫn đổi dấu khi qua x  1 và x  3
x  0 và x  2 là nghiệm bội chẵn nên f '( x ) không đổi dấu qua x  0 và x  2
Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị
Câu 22. Cho hình lăng trụ tứ giác đều có các cạnh đều bằng a . Thể tích khối lăng trụ đều là
2a 3
2a 3 2
a3 3
A.

.
D.
.
B. a 3 .
C.
.
3
3
4
Lời giải
Chọn B
Hình lăng trụ tứ giác đều có các cạnh đều bằng a là hình lập phương cạnh a
V  a3
Câu 23. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình 5 f 1  2 x   1  0
A. 0 .

B. 1 .

C. 3 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn D
1
5 f 1  2 x   1  0  f 1  2 x    . Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
5
1

y  f  t  (với t  1  2 x, t   ) và đường thẳng y   .
5
1
Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số y  f  t  và đường thẳng y   cắt nhau tại 2 điểm.
5
Vậy phương trình 5 f 1  2 x   1  0 có hai nghiệm thực phân biệt.

Câu 24. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 1cm . Một mặt phẳng qua trục của hình trụ cà cắt hình trụ theo
thiết diện là hình vuông. Tính thể tích của khối trụ đã cho.
16
cm3 .
A. 8 cm3 .
B. 2 cm3 .
C.
D. 16cm3 .
3
Lời giải
Chọn B
C

D

h

O

A

1 cm

B

Trang 13/27 - WordToan


Ta có bán kình đáy của hình trụ là r  1 cm .
Do thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông ABCD nên chiều cao của hình trụ
h  BC  2 r  2 cm
Vậy thể tích của khối trụ đã cho là V   .12.2  2 cm .

1
Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình  
3
A.  2;   .
B. 1; 2  .

x2

 3 x là
C. 1; 2 .

D.  2;   .

Lời giải
Chọn A
x2

x2

x

1
1
1
Ta có:  
 3 x   
   x2  x
3
3
3
x  0
x  0
x  0



  x  2
  x  2  0   x  2
 x   2;   .
 x  2  x2
 x2  x  2  0
 x   ; 1  2; 
 



 
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là  2;   .
Câu 26. Biết M  4; 3 là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. Khi đó điểm nào sau đây biểu
diễn số phức w   z ?

A. N  4; 3 .

B. R  3; 4  .

C. Q  4; 3  .

D. P  4;3 .

Lời giải
Chọn A
Vì M  4; 3 là điểm biểu diễn số phức z nên z  4  3i . Suy ra z  4  3i  w   z  4  3i .
Số phức w được biểu diễn bởi điểm N  4; 3 .
Câu 27. Cho hàm số y 
A. 4 .

5  x 1
, tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
x2  4x
B. 2 .
C. 3 .
D. 1.
Lời giải

Chọn B
Tập xác định: D   \ 4;0 .
5  x 1
   x  0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x0
x2  4 x
5  x 1

5  x 1
1
1
lim 2
 lim
 lim
  nên x  4 không phải là tiệm
x 4 x  4 x
x 4
8
x( x  4)( 5  x  1) x 4 x( 5  x  1)
cận đứng của đồ thị hàm số.
5  x 1
lim 2
 0  y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x  x  4 x
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 2.
 x  2  3t

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y  5  4t , t   và điểm
 z  6  7t

lim

A( 1; 2;3) . Phương trình mặt phẳng qua A vuông góc với đường thẳng d là
A. 3x  4 y  7 z  10  0 .
B. 3x  4 y  7 z  16  0 .
C. 3x  4 y  7 z 16  0 .
D. 3 x  4 y  7 z  10  0 .
Lời giải

Chọn D
Trang 14/27 – Diễn đàn giáo viên Toán


Gọi ( P ) là mặt phẳng qua A vuông góc với đường thẳng d . Khi đó vectơ chỉ phương của d cũng
 
là vectơ pháp tuyến của ( P ) . Do đó n( P )  ud  (3; 4;7) .
Phương trình mặt phẳng ( P ) là
3( x  1)  4( y  2)  7( z  3)  0
 3 x  4 y  7 z  10  0 .
Câu 29. Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình dưới đây:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Giá trị cực đại của hàm số bằng 1.
C. Hàm số đạt cực đại tại x  1 .

B. Giá trị cực đại của hàm số bằng 2 .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x  3 .
Lời giải

Chọn A
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cực đại của hàm số bằng 1 .
Câu 30. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng a .
a 3
A.
D. a 3 .
.
B. a .
C. 2 3a .
2

Lời giải
Chọn A
B

C

D

A

O

C'

B'

A'
D'

Gọi O là tâm của hình lập phương ABCD. AB C D  .
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD. ABC D là R  OA 

AC
.
2

Ta có: AC  AB 2  BC 2  a 2  AC   AA2  AC 2  a 3 .
Vậy R 

a 3

.
2

 x  1 t

Câu 31. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  2  t và mặt phẳng ( P) : x  2 y  3 z  2  0 .
 z  3  2t

Đường thẳng  nằm trong mặt phẳng ( P) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d có
phương trình là:
 x  5 7t
 x  5 7t
 x  1 7 t
 x  1  7 t




A. d :  y  6  5 t .
B. d :  y  6  5 t .
C. d :  y  2  5 t .
D. d :  y  5 t .
 z  5  t
 z  5  t
 z  3 t
 z  1 t





Lời giải

Trang 15/27 - WordToan


Chọn A
Gọi A    d  A  1  t ;  2  t ; 3  2 t  .
Vì A  P  nên 1  t  2  2  t   3  3  2 t   2  0  t   4 . Tọa độ của A  5;  6;  5 .

 ud   1;1; 2 

 
 u  ud ; nP    7;5;1 .
Ta có 
nP  1;  2;3
 x  5 7t

Đường thẳng d có phương trình là: d :  y  6  5 t .
 z  5  t


Câu 32. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị như hình bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của

 

tham số m để phương trình f e x  m có nghiệm thuộc khoảng  0;ln 3 :

 1 
B.   ;0  .
 3 

A. 1;3 .

 1 
C.  ;1 .
 3 
Lời giải

 1 
D.   ;1 .
 3 

Chọn D
Đặt ẩn phụ: t  e x , t  0 , phương trình f e x  m trở thành: f  t   m với t  0 .

 

   m có nghiệm x   0;ln 3  f  t   m có nghiệm t  1;3 .

YCBT  f e

x

 1 
Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  ở hình trên, ta có: m    ;1 .
 3 

x  2  t

Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho điểm A  1;1;6  và đường thẳng  :  y  1  2t . Hình chiếu vuông

 z  2t

góc của điểm A trên đường thẳng  là
A. M  3; 1; 2  .
B. H 11; 17;18  .
C. N 1;3; 2  .
D. K  2;1;0  .

Lời giải
Chọn A
Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng   I  2  t;1  2t ; 2t 

véc tơ chỉ phương của đường thẳng  là u 1; 2; 2 

véc tơ AI   3  t ; 2t ; 2t  6 
   
Mà AI  u  AI .u  0  t  1  I  3; 1; 2   M  3; 1; 2
Câu 34. Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển  3 x  2 
A. 1944C83 .

B. 1944C83 .

Chọn B
Trang 16/27 – Diễn đàn giáo viên Toán

8

C. 864C83 .
Lời giải

D. 864C83 .


 3x  2 

8

8

8

k 0

k 0

  C8k .(3 x ) k .(2)8 k   C8k .3k .(2)8 k .x k

Theo bài ra  k  5 . Lấy hệ số chứa x 5 : C85 .35.( 2)3  1944C85  1944C83
Câu 35. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng
uông góc với mặt phẳng đáy. Tính sinh của góc tạo bởi đường thẳng MD và mặt phẳng  SBC  ,
với M là trung điểm của BC .
15
15
A.
.
B.
.
5
3

C.

13
.
3

D.

13
.
5

Lời giải
Chọn A

Gọi H là trung điểm của SB thì AH  SB 1
Do  SAB    ABCD  ,  SAB    ABCD   AB và BC  AB nên BC   SAB   BC  AH  2  .
Từ 1 và  2  suy ra AH   SBC  .
Gọi  là góc giữa DM với  SBC  ta có: sin  

d  D,  SBC  
DM



AH
.
DM

2

Có AH 

a 5
a 3
a
, DM  CD 2  CM 2  a 2    
.
2
2
2

3
15

.
5
5
Câu 36. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có bảng biến thiên như hình vẽ:
Suy ra sin  

Bất phương trình e
A. m  f  4   e .
2

x

 m  f  x  có nghiệm x   4;16 khi và chỉ khi

B. m  f  4   e2 .

C. m  f 16   e 4 .

D. m  f 16   e 4 .

Lời giải
Chọn C
Ta có e x  m  f  x   m  e
Xét g  x   e

x

x

 f  x  1 .

 f  x  , x   4;16 .

Trang 17/27 - WordToan


e x
 0, x   4;16
e x

 f   x   0, x   4;16 ( vì  x
Có g   x  
)
2 x
0  f   x   5, x   4;16


 Hàm số g  x  đồng biến trên  4;16

 g  4   g  x   g 16 
Bất phương trình 1 có nghiệm thuộc  4;16  m  g 16   m  e 4  f 16  .
Câu 37. Cho số phức z thỏa mãn z  1  3i  z  5  i  2 65 . Giá trị nhỏ nhất của z  2  i đạt được khi
z  a  bi với a , b là các số thực dương. Giá trị của 2a 2  b 2 bằng
A. 17 .
B. 33 .
C. 24 .
Lời giải
Chọn B
Gọi z  x  yi;  x , y    . Điểm M  x; y  biểu diễn số phức z .

D. 36 .

Theo giả thiết z  1  3i  z  5  i  2 65
 x  yi  1  3i  x  yi  5  i  2 65 
 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z
F2   5;1 . Mà z  2  i 

 x  2

2

 x  1

 x  5    y  1  2 65 (1)
nằm trên đường elip  E  có tiêu điểm F1 1; 3  và
2

  y  3 
2

2

2

  y  1  MA , với A  2; 1 là trung điểm của F1 F2 .
2

Do đó MA  z  2  i nhỏ nhất khi M     E  ; với  đi qua A ,   F1 F2 và M có tọa độ


4  3x
dương. Ta có F1 F2   6; 4   n   3; 2  . Phương trình  là 3 x  2 y  4  0  y 
.
2
2

3x  4

 3 
 x  1  
 2


2

3x  4 

 1   2 65
 x  5   
 2

x  2
.
 13x 2  52 x  104  2 65  13x 2  52 x  156  0  
 x  6
+ Với x  6  y  7 (loại).
2

Thay vào (1) ta được

2

+ Với x  2  y  5  M  2;5   a  2; b  5  2a 2  b 2  33 .
Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho điểm M  2;1;1 , mặt phẳng   : x  y  z  4  0 và mặt cầu

 S  :  x  3

2

  y  3    z  4   16 . Phương trình đường thẳng  đi qua M và nằm trong  
2

2

cắt mặt cầu  S  theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Đường thẳng  đi qua điểm nào trong
các điểm sau đây?
A.  4; 3;3  .

B.  4; 3; 3  .
C.  4;3; 3 .
D.  4; 3; 3  .
Lời giải
Chọn A


Mặt cầu  S  có tâm I  3;3; 4  , mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến là n  1;1;1 , MI  1; 2; 3  .

I

A

M

H

B

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên  . Khi đó d  I ,    IH  IM .
Để  cắt mặt cầu  S  theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất  d  I ,   lớn nhất    IM
Trang 18/27 – Diễn đàn giáo viên Toán



 
Khi đó  có vectơ chỉ phương là u   n, MI   1;  2;1 .
x  2  t
Phương trình đường thẳng  là  y  1  2t . Do đó  đi qua điểm có tọa độ  4; 3;3  .
z  1 t


z 1 i
z
Câu 39. Xét các số phức z thỏa mãn
là số thực. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w 
2
z  z .i  1



là parabol có đỉnh
1 3
A. I  ;   .
4 4



 1 1
B. I   ;  .
 2 2

1 3
C. I  ;   .
2 2
Lời giải

Chọn A
Gọi w  x  yi  z  2 w  2 x  2 yi 

z 1  i

 z  z  .i  1



(2 x  1)   2 y  1 .i
4 x.i  1

 1 1
D. I   ;  .
 4 4

là số thực

  2 x  1   2 y  1 .i  1  4 xi  là số thực  8 x 2  4 x  2 y  1  0  y  4 x 2  2 x 

1 3
Vậy tập hợp điểm biểu diễn w là parabol có đỉnh I  ;   .
4 4
Câu 40. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  5 z  4  0

và

1
.
2

đường

thẳng

x 1 y 1 z  5


. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt mặt phẳng ( P ) có
2
1
6
phương trình là :
 x  2  3t
 x  2  t
 x  1  3t
x  3  t




A.  y  2  2t .
B.  y  2  2t .
C.  y  2t .
D.  y  2 .
 z  t
 z t
 z  1 t
 z  1 t




Lời giải

Chọn C
Gọi  d '  là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt mặt phẳng ( P ) .

d  :

Ta có  d '   ( P ) và  d '    Q  với  Q  là mặt phẳng chứa d và vuông góc với ( P ) .

 
Véc tơ pháp tuyến của (Q) là n( Q )   n( P ) ; ud   11; 16; 1 .

Phương trình mặt phẳng  Q  :11( x  1)  16( y  1)  1.( z  5)  0  11x  16 y  z  10  0 .

 x  y  5z  4  0
Tập hợp điểm M ( x, y , z )   d '  thỏa mãn hệ 
11x  16 y  z  10  0

 x  1  3t


'
'
 ud '   3; 2;1 và  d  đi qua M (1; 0;1) . Do đó phương trình  d  là  y  2t
 z  1 t


Câu 41. Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau

1 4
x  x 3  x 2  5 . Khẳng định nào sau đây đúng?
4

A. Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  ; 2  .
Gọi g  x   2 f 1  x  

Trang 19/27 - WordToan


B. Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  1;0  .

C. Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  0;1 .

D. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng 1;  .
Lời giải

Chọn C

Xét g   x   2 f  1  x   x  3x  2 x  2 f  1  x   1  x   1  x .
3

3

2

Đặt 1  x  t suy ra g   x  trở thành h  t   2 f   t   t 3  t .
Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta suy ra h  t  nhận giá trị dương trên các khoảng  2; 1 và  0;1 .

Nhận giá trị âm trên các khoảng  1;0  và 1;  .

Suy ra hàm số g   x  nhận giá trị dương trên các khoảng  2;3 và  0;1 .

Hàm số g   x  nhận giá trị âm trên các khoảng 1;2  và  ;1 .
Suy ra hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  0;1 .





Câu 42. Trong các cặp số thực  a; b  để bất phương trình:  x  1 x  a  x 2  x  b  0 nghiệm đúng

x   , tích ab nhỏ nhất bằng
B. 2 .

A. 1 .

C. 

1
.
4

D.

1
.
4

Lời giải
Chọn D
TH1: x 2  x  b  0, x   .

1
.
4
Suy ra để  x  1 x  a  x 2  x  b  0 x   thì  x  1 x  a   0, x   .
   1  4b  0  b 





Suy ra a  1
TH2: x 2  x  b có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  b 

1
.
4

- Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm trong đó có nghiệm khác 1 và a thì giá trị của

 x  1 x  a   x 2  x  b  bị đổi dấu qua các nghiệm khác đó nên không thỏa mãn.

- Giả sử x1  1, x2  a

Suy ra  x  1 x  a   x 2  x  b


  a  1  1
 x 2   a  1 x  a  x 2  x  b  
 a  b  2 (loại).

a  b
1
Suy ra tích ab nhỏ nhất bằng .
4
Trang 20/27 – Diễn đàn giáo viên Toán


Câu 43. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A2;1;3, B 6;5;5 . Gọi  S  là mặt cầu

đường kính AB . Mặt phẳng  P  vuông góc với AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình
tròn tâm H (giao của mặt cầu

S  và mặt phẳng  P  ) có thể tích lớn nhất, biết rằng

 P : 2 x  by  cz  d  0 với b, c, d   . Tính S  b  c  d .

A. S  18.

B. S  18.

C. S  12.
Lời giải

D. S  24.

Chọn B
A

I
D

H

r

P

B

Cách 1.

Ta có AB   4; 4; 2  . Điểm H thuộc đoạn AB và không trùng với hai đầu mút nên ta giả sử
 
AH  t AB,  0  t  1
Khi đó tọa độ của điểm H là H  2  4t ;1  4t ;3  2t  và AH  tAB  6t .
Tâm của mặt cầu là trung điểm của AB có tọa độ I  4;3; 4  , bán kính R  IA  3
Bán kính đường tròn đáy của nón là r  R 2  IH 2  9  9  2t  1  6 t  t 2
2

Thể tích khối nón:
3

1
1
 t  t  2  2t  32
V   r 2 AH   .36.  t  t 2  .6t  36 t 2  2  2t   36 . 
  
3
3
3

3


2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t  2  2t  t  .
3
 14 11 13 
Khi đó H  ; ;  .
 3 3 3

Mặt phẳng  P  qua H , nhận AB làm véc tơ pháp tuyến có phương trình:


14 
11  13 
2  x    2  y     z    0  2 x  2 y  z  21  0 .



3
3  
3
b  2

 b  c  d  18.
Do đó: c  1

d  21
Cách 2.


Ta có AB  4;4;2 .

Gọi I là trung điểm AB  I 4;3; 4. Bán kính mặt cầu là R  IA  3 .
Giả sử IH  t . Xét điểm H  đối xứng với H qua I thì mặt phẳng qua H , H  cắt mặt cầu với
đường tròn có cùng bán kính nên thể tích khối nón sẽ lớn hơn nếu H nằm khác phía A so với
điểm I . Khi đó chiều cao của nón là AH  3  t 0  t  3
Bán kính mặt nón là: r  R 2  IH 2  9  t 2 .
Trang 21/27 - WordToan


1
1
π
Thể tích khối nón là: V  π.r 2 .h  π 9  t 2 3  t   t 3  3t 2  9t  27  .
3
3
3
3
2
Xét hàm số f t   t  3t  9t  27, có

t  1
f 't    3t 2  6t  9  0  
t  3 loai 
Bảng biến thiên

 max f t   f 1  32 . Khi đó IH  1  AH  4.
0;3



Đường thẳng AB nhận u 2; 2;1 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình
Suy ra H 2  2t ;1  2t ;3  t  .

 x  2  2t

 y  1  2t

 z  3  t


4
t 

2
2
2
3
Mà IH  2t  2   2t  2   t 1  1  9t 2 18t  8  0  
2

t 
3

2
 10 7 11 
 Với t   H  ; ;   AH  2. (loại).
3
 3 3 3
4
 14 11 13 

 Với t   H  ; ;   AH  4.
3
 3 3 3

14 11 13 
Khi đó, mặt phẳng  P  đi qua H  ; ;  và nhận vectơ u 2; 2;1 làm vectơ pháp tuyến nên có
 3 3 3 
phương trình là


14 
11  13 
2  x    2  y     z    0  2 x  2 y  z  21  0 .



3
3  
3
b  2

 b  c  d  18.
Do đó: c  1

d  21
Câu 44. Anh Việt vay tiền ngân hàng 500 triệu đồng mua nhà và trả góp hàng tháng. Cuối mỗi tháng bắt
đầu từ tháng thứ nhất anh trả 10 triệu đồng và chịu lãi suất là 0,9%/tháng cho số tiền chưa trả. Với
hình thức hoàn nợ như vậy thì sau bao lâu anh Việt sẽ trả hết số nợ ngân hàng?
A. 65 tháng.
B. 67 tháng.

C. 66 tháng.
D. 68 tháng.
Lời giải
Chọn B
Gọi r là lãi suất của khoản vay.
- Số nợ của Việt sau tháng thứ nhất là: T1  500.1  r  10 (triệu đồng)
- Số nợ của Việt sau tháng thứ hai là:
2
2
T2  T1 1  r 10  500.1 r  101  r 10  500.1 r  10 1 1 r  (triệu đồng)
…
- Số nợ của Việt sau tháng thứ n là:
Trang 22/27 – Diễn đàn giáo viên Toán


n
n1
Tn  500.1  r  10 1  1  r   ...  1  r   (triệu đồng)


Giả sử sau tháng thứ n , Việt trả được hết số nợ, khi đó
n
n1
Tn  0  500.1  r   10 1  1  r   ...  1  r  



 50.1  r  
n

1  r  1
n

 1  r  
n

 1 
1
 n  log1r 

1 50r 
1 50r

r
1
Vậy n  log1,009
 66,73. Tức là sau khoảng 67 tháng Việt trả được hết nợ ngân hàng
1 50.0, 009
ln 2
1
1
Câu 45. Biết I   x
dx   ln a  ln b  ln c  trong đó a , b , c là các số nguyên dương. Tính
x
e  3e  4
c
0
P  2a  b  c .
A. 1 .
B. 3 .

C. 4.
D. 3.
Lời giải
Chọn D
ln 2
ln 2
1
e x dx
I  x
x

d
0 e2 x  4e x  3 .
e  3e  x  4
0
Đặt t  e x  dt  e x dx . Đổi cận: với x  0 thì t  1 , với x  ln 2 thì t  2 . Khi đó,
2

2

2

dt
1
1  1
1 
1 t 1
I  2

dt   


 dt  ln
t  4t  3 1  t  1 t  3
2 1  t 1 t  3 
2 t 3
1

2

1

1 3
1 1
  ln  ln    ln 3  ln 5  ln 2  .
2 5
2 2
 a  3, b  5, c  2.
Vậy P  2a  b  c  3 .

Câu 46. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn

2

1
  x  1 f  x  dx   3 ,
2

1

f  2   0 và

2

  f   x 
1

2

2

dx  7 . Tính tích phân I   f  x  dx .

7
A. I  .
5

1

7
B. I   .
5

C. I  

7
.
20

D. I 

7
.
20

Lời giải
Chọn B

 du  f   x  dx
u  f  x 

3
Đặt 

2
 x  1 .
dv   x  1 dx v 
3

2

Khi đó,

  x  1 f  x 
2

 x  1
dx 

1

3

3

f  x

2

1

2

1
3
   x  1 f   x  dx
31

2

1
1
3
      x  1 f   x  dx (vì f  2   0 )
3
31
2

   x  1 f   x  dx  1 .
3

1

Trang 23/27 - WordToan


2
2
   f   x  dx  7
1
 2
3
Ta lại có:   14  x  1 f   x  dx  14
1
2
2
  49  x  16 dx  7  x  1 7  7
1
 1
2

2

2

   f   x   dx   14  x  1 f   x  dx   49  x  1 dx  0
2

1
2

3

1

6

1
2

2

2

3
3
   f   x   7  x  1  dx  0 1 , mà   f   x   7  x  1  dx  0 .




1

1

7  x  1
nên 1  f   x   7  x  1  0  f   x   7  x  1  f  x  
C .
4
7
7

7
4
Mà f  2   0   C  0  C    f  x     x  1  1 .

4
4
4
4

3

3

2

5
2

7
7   x  1
7
4
 I   f  x  dx    x  1  1 dx  
 x   .


41
4  5
5
 1

1
7
Vậy I   .
5
Câu 47. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1. Biết khoảng cách từ A đến mặt
6
15
phẳng  SBC  là
, từ B đến mặt phẳng  SAC  là
, từ C đến mặt phẳng  SAB  là
4
10
30
.và hình chiếu vuông góc của S xuống đáy nằm trong tam giác ABC . Thể tích khối chóp
20
S . ABC bằng
1
1
1
1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
36
48

12
24
Lời giải
Chọn B
2

Gọi O là chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng  ABC 
Đặt d  A, BC   a, d  B, AC   b, d  C, AB   c,SO  h
Ta có S ABC  S OBC  S OAC  S OAB  a  b  c 
Trang 24/27 – Diễn đàn giáo viên Toán

3
1 ( vì ABC đều cạch bằng 1)
2


Mặt khác

d  O,  SBC  
d  A,  SBC  



OM
OI
2a
2a 6
a



 d  O,  SBC   
.

AM AK
3
3 4
2

2
1
1


ah
a2 h2 a 2
d  O,  SAC   d  O, AC 
2b
2b 15
b
Tương tự


 d  O,  SAC   
.

d  B,  SAC   d  B, AC 
3
3 10
5
5

1
1
 2  2  2  b  2h
b
h
b
d  O,  SAB   d  O, AB 
2c
2c 30
c
Tương tự


 d  O,  SAC   
.

d  C,  SAB   d  C, AB
3
3 20
10
10 1
1
 2  2  2  c  3h
c
h
c
3
3
1
1

 abc 
h
 V  .SO.SABC 
2
12
3
48
Câu 48. Trong chương trình giao lưu gồm có 15 người ngồi vào 15 ghế theo một hàng ngang. Giả sử người
dẫn chương trình chọn ngẫu nhiên 3 người trong 15 người để giao lưu với khán giả. Xác suất để
trong 3 người được chọn đó không có 2 người ngồi kề nhau
2
13
22
3
A. .
B.
.
C.
.
D. .
5
35
35
5
Lời giải
Chọn C
Ta có n     C153  455
Gọi A là biến cố “trong 3 người được chọn đó không có 2 người ngồi kề nhau”
 A là biến cố “ trong 3 người đươc chọn có ít nhất 2 người ngồi kề nhau”


TH 1: 3 người ngồi kề nhau có 13 cách chọn.
TH 2: có 2 người ngồi cạnh nhau
- Hai người ngồi cạnh nhau ngồi đầu hàng có 2 cách chọn, với mỗi cách chọn như vậy có 12 cách
chọn người còn lại vậy có: 2.12=24 cách
- Hai người ngồi cạnh nhau không ngồi đầu hàng có 12 cách chọn, với mỗi cách chọn như vậy có
11 cách chọn người còn lại vậy có: 11.12=132 cách
n A
13
22
 n A  132  24  13  169  P A 

 P  A 

35
35
Câu 49. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt
phẳng vuông góc với đáy. Biết đường thẳng SC tạo với đáy một góc 60 . Tính tan góc giữa 2 mặt
phẳng  SCD  và  ABCD  .

 

A. 15 .

 

B.

15
.

2

 

C.

15
.
5

D.

15
.
15

Lời giải
Chọn B

Trang 25/27 - WordToan